第02讲 三角形的边2025-2026学年人教版数学八 年级上册

第02讲 三角形的边 【人教版2024】 【知识点1 三角形的三边关系】 定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边； ②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 【典题练习】 【例1】在下列长度的三条线段中，首尾连接能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟知：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；是解本题的关键． 根据三角形的三边关系进行判断即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，不能构成三角形，不符合题意； D、，可以构成三角形，符合题意； 故选：D． 【练1】现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成 个． 【答案】7 【分析】本题考查三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ），解题的关键是逐一判断五条线段中任取三条的组合是否满足三边关系． 从五条线段中任取三条，根据三角形三边关系判断能否组成三角形，统计满足条件的组合数． 【详解】以其中的三条线段为边组成三角形的有： ； ； ； ； ； ； ． 共有 7 种情况． 故答案为： 7 ． 【例2】用一根长度为小木棒与两根长度分别为的小木棒组成一个三角形，那么这根小木棒的长度x可以是 ． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查构成三角形的条件，根据三角形的三边关系，确定的取值范围，进行求解即可． 【详解】解：由三角形三边关系得， 所以x的取值范围是． 故答案为：4（答案不唯一）． 【练2】在中，，，并且的长为偶数，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系．三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．根据“三角形的两边的和一定大于第三边，两边的差一定小于第三边”进行分析，解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴长是偶数， ∴为10， ∴的周长为：. 故答案为：21． 【例3】已知等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是 ． 【答案】10 【分析】根据2和4可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分别讨论求解． 【详解】解：当2为腰时，三边为2，2，4，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形， 当4为腰时，三边为4，4，2，符合三角形三边关系定理，周长为：4+4+2=10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是会根据题意，分类讨论． 【练3】已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、构成三角形的条件、非负数的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据非负数的性质得到则，再分腰长为3和7两种情况，根据构成三角形的条件验证是否能构成三角形，最后根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为3，3，7， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为7时，则该等腰三角形的三边长为3，7，7， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴该等腰三角形的周长为：17． 故答案为17． 【知识点2 三角形的稳定性】 性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 【典题练习】 【例4】如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的性质，理解并掌握“三角形具有稳定性”的概念是解题的关键． 根据图示，三角形的性质即可求解． 【详解】解：自行车的车架焊接横梁，运用的数学原理是“三角形具有稳定性”， 选项A、选项C和选项D都与题干不符， 故选：B． 【练4.1】下列图形中具有稳定性的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形具有稳定性、多边形不具有稳定性解答即可． 【详解】解：A、三角形具有稳定性，符合题意； B、长方形不具有稳定性，不符合题意； C、梯形不具有稳定性，不符合题意； D、正方形不具有稳定性，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性和多边形的不稳定性，属于应知应会题型，熟知三角形具有稳定性而多边形具有不稳定性是解题的关键． 【练4.2】如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？ 【答案】见解析 【分析】根据题意运用四边形的不稳定性和三角形的稳定性来回答问题即可． 【详解】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离．它的固定方法是：任选两个不在同一木条上的顶点固定就行了． 【点睛】本题考查了四边形的不稳定性，要使物体具有稳定性，应做成三角形，否则做成四边形、五边形等等，理解题意是解题的关键． 【能力闯关】 【基础关】 1.下列生活实物图形中，不是运用三角形的稳定性的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性解答即可． 【详解】解：由题意得，A、B、C三个选项中的图形都运用了三角形的稳定性，D选项中的图形具有伸缩功能，不运用三角形的稳定性， 故选：D． 2下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是三角形三边关系，解题关键是熟练掌握三角形三边关系． 根据三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”逐项进行判断即可． 【详解】解：选项，，不符合三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意，选项错误； 选项，符合三角形三边关系，能组成三角形，符合题意，选项正确； 选项，，不符合三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意，选项错误； 选项，，不符合三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意，选项错误． 故选：． 3.一个三角形的两边长分别为2和5，则第三边的长度可取的整数值为 （写出一个即可）． 【答案】4，5，6（写出一个即可） 【分析】由构成三角形三边成立的条件可得第三条边的取值范围． 【详解】设第三条长为x ∵2+5=7，5-2=3 ∴3＜x＜7． 故第三条边的整数值有4、5、6． 故答案为：4，5，6（写出一个即可） 【点睛】本题考查了构成三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，关键为“任意”两边均满足此关系． 4.已知等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是 ． 【答案】10 【分析】根据2和4可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分别讨论求解． 【详解】解：当2为腰时，三边为2，2，4，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形， 当4为腰时，三边为4，4，2，符合三角形三边关系定理，周长为：4+4+2=10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是会根据题意，分类讨论． 5.已知a，b，c是的三边，，若三角形的周长是偶数，求c边的长． 【答案】 【分析】先根据三角形的三边关系定理求出c的取值范围，再根据周长为偶数即可得． 【详解】解：∵a，b，c是的三边，， ∴， 解得： ∵三角形的周长是偶数， ∴c也是偶数，即． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形三边关系是解题关键． 【提升关】 6.设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据绝对值和平方的非负性，得到关于、的方程组，再根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：， ，， ，， ， ， 故选：C． 7.已知的三边分别为，化简： 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，整式的加减运算，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 首先根据三角三边的关系化简绝对值，然后再根据同类项的定义和合并同类项的方法进行化简即可． 【详解】解： 的三边分别为， ，， ， ， 故答案为：． 8.已知是等腰三角形，若的周长为27，其中两条边长分别是a和 ，求底边的长． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及三角形三边关系，分边长为a的边是腰和底两种情况，分别先根据三角形的三边关系判断，再运用等腰三角形的定义列式求解即可；掌握分类讨论思想和三角形的三边关系是解答本题的关键． 【详解】解:当腰长为a时,底边为,此时 ，不满足三角形三边条件，舍去； 当腰长为 时，底边为a ，由题意得，解得 此时三边长分别为5，11，11，符合题意，则底边长为 5． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 三角形的边 【人教版2024】 【知识点1 三角形的三边关系】 定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边； ②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 【典题练习】 【例1】在下列长度的三条线段中，首尾连接能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【练1】现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成 个． 【例2】用一根长度为小木棒与两根长度分别为的小木棒组成一个三角形，那么这根小木棒的长度x可以是 ． 【练2】在中，，，并且的长为偶数，则的周长为 ． 【例3】已知等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是 ． 【练3】已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是 ． 【知识点2 三角形的稳定性】 性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 【典题练习】 【例4】如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 【练4.1】下列图形中具有稳定性的是 （   ） A． B． C． D． 【练4.2】如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？ 【能力闯关】 【基础关】 1.下列生活实物图形中，不是运用三角形的稳定性的是（   ） A．B．C． D． 2下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3.一个三角形的两边长分别为2和5，则第三边的长度可取的整数值为 （写出一个即可）． 4.已知等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是 ． 5.已知a，b，c是的三边，，若三角形的周长是偶数，求c边的长． 【提升关】 6.设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7.已知的三边分别为，化简： 8.已知是等腰三角形，若的周长为27，其中两条边长分别是a和 ，求底边的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$