第二十四讲：圆周角（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第二十四讲：圆周角 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 知识点02：圆周角定理及其推论 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 知识点03：圆周角与弧的关系 圆周角推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 圆周角推论 2： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90° 的圆周角所对的弦是直径. 知识点04：圆内接四边形 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 结论：圆的内接四边形的对角互补. 知识点05：知识总结 考点1：圆周角概念及简单运算 【典型例题】 下列各图中，为圆周角的是（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定义．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义． 根据由圆周角的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、的边不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； B、的边、都不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； C、的顶点没在圆上，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； D、符合圆周角定义，是圆周角，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式训练1】 如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据圆周角的定义逐个选项判断即可解答．本题考查了圆周角的定义，熟记定义“顶点在圆上，两边和圆相交的角叫圆周角”是解题的关键． 【详解】解：是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 不是圆周角， 故选：C． 【变式训练2】 如图，A、B、C是上的三个点，，，则的度数是（    ） A．25° B．30° C．40° D．55° 【答案】B 【分析】首先根据∠B的度数求得∠BOC的度数，然后求得∠AOC的度数，从而求得等腰三角形的底角即可． 【详解】∵OB=OC，∠B=55°， ∴∠B=∠OCB， ∴∠BOC=180°-2∠B=70°， ∵∠AOB=50°， ∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=70°+50°=120°， ∵OA=OC， ∴∠A=∠OCA==30°， 故选：B． 【点睛】考查了圆周角定理及等腰三角形的性质，解题的关键是求得∠AOC的度数，难度不大． 考点2：圆周角定律 【典型例题】 如图，，，，是上的四个点，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦之间的关系、圆周角定理，连接，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到，根据圆周角定理计算，得到答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 由圆周角定理得，， 故选：A． 【变式训练1】 如图，点A，B，C是上的三个点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．直接根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 【变式训练2】 如图，四边形内接于，连接，，是的直径，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理，熟记在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键． 根据圆周角定理得到，，再根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：C． 考点3：同弧或等弧所对的圆周角相等 【典型例题】 29．如图是的直径，点在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，根据圆周角定理及其推论，可分别求出，，即可求的度数． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式训练1】 30．如图，中，弦、相交于，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等及三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据同弧所对的圆周角相等可知，即可利用外角性质求出． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴． 故选：C． 考点4：已知圆的内接四边形求度数 【典型例题】 如图，四边形为的内接四边形，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形性质以及圆周角定理，先根据圆周角定理确定，再由等边对等角及三角形内角和定理得出，结合圆内接四边形即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， 故选：B 【变式训练1】 如图，已知四边形是的内接四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案． 【详解】解：由圆周角定理得，， 四边形是的内接四边形， ， 故选：B． 一、单选题 1．下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ）． A．B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角和圆心角的定义解答即可． 【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； B．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； C．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意； D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角． 2．如图，A，B，C三点在上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，先作出弧所对的圆周角， 根据圆周角定理得出，然后根据圆内接四边形的性质即可求解，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，为弧所对的圆周角， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3．如图，在中，，，为的外接圆，半径为（        ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】此题主要考查了圆周角定理和勾股定理等内容，连接，，由圆周角定理求得，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：连接，， ∵， ∴， 在中， ，，， ∴， ∴， ∴（舍负）， ∴的半径是， 故选：B 4．圆的一条弦把圆分成度数的比为的两条弧，则弦所对的圆周角等于（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质， 根据题意画出图形，然后利用圆周角定理，圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】如图弦把圆分成度数的比为的两条弧， ∴，， ∴， 故选：D． 5．如图，是的直径，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由同弧所对的圆周角相等可得，由可得，进行计算即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 6．如图，点A、B、C、D、E 都在上，是直径，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键. 连接，根据平行线的性质求出根据圆周角定理得到进而求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可. 【详解】解：如图, 连接, ， ， ∵是的直径, ， ， ∵四边形为的内接四边形， ， ， 故选: . 7．如图，是工人李大爷自制的一个三角形纸板（厚度不计），已知，，，李大爷将该三角形纸板放置在一个圆形工件上，使得顶点A，C都在圆形工件的圆周上，将直角边与圆形工件圆周的交点记为点D，恰好发现，则该圆形工件的半径长为（    ） A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，30°角的直角三角形的性质，90°的圆周角所对的弦是直径，先根据等边对等角的到，然后得到，进而求出，然后根据是圆O的直径即可解题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是圆O的直径，即半径长为10cm， 故选A． 8．如图，四边形为的内接四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．根据圆内接四边形的对角互补即可求解． 【详解】解：四边形为的内接四边形，， ， ， ， 故选：C． 二、填空题 9．如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．    【答案】 【分析】根据圆周角的定义即可解答． 【详解】解：如图，   所对的圆周角是， 所对的圆周角是． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了圆周角，顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 10．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝18°， AE交⊙O于点B，且AB＝OD．则∠EOD＝ 【答案】54° 【分析】根据圆的基本性质，可得∠OEB=∠OBE，∠AOB=18°，从而得到∠OEB=∠OBE=∠A+∠AOB=36°，继而得到∠BOE=108°，即可求解． 【详解】解：∵CD是⊙O的直径， ∴OD=OE=OB， ∴∠OEB=∠OBE， ∵AB=OD， ∴AB=OB， ∴∠AOB=∠A， ∵∠A＝18°， ∴∠AOB=18°， ∴∠OEB=∠OBE=∠A+∠AOB=36°， ∴∠BOE=108°， ∴∠EOD=180°-∠BOE-∠AOB=54°． 故答案为：54° 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 11．如图，点A，点B，点C在上，分别连接，，．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆内相关概念和定理，三角形内角和定理等内容；掌握圆内相关概念是解题基础． 首先连接，，然后根据等弦对等圆心角得到，再根据三角形内角和得到，再由，，即可得到结果． 【详解】连接，， ， ，， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 12．如图，A，B，C，D是上四点，C为的中点，若，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和圆周角定理，能熟记等弧或同弧所对的圆周角相等是解此题的关键．根据C为的中点推出，根据圆周角定理得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵C为的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：25°． 13．如图，是的直径，是的弦，如果，那么 ． 【答案】/54度 【分析】本题考查圆周角定理，直角所对的圆周角是，即，同弧所对的圆周角是相等的，即，可得结论．解题的关键是熟练运用圆周角定理解决问题． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 14．如图，已知是的外接圆，是的直径，是的弦，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 由是的直径的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得，继而求得的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得答案． 【详解】解：∵是的直径的直径， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，已知内接于，是的直径，平分，交于D，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质．连接，根据是的直径，可得，再由平分，可得，即可求解． 【详解】解：连接． ∵是的直径， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为． 16．如图，四边形内接于，，，，则的值为 ． 【答案】5 【分析】如图，连接证明为直径，则三点共线，再证明结合从而可得答案. 【详解】解：如图，连接 为直径，则三点共线， ，， 故答案为：5 【点睛】本题考查的是的圆周角所对的弦是直径，直径所对的圆周角是直角，熟悉以上两个性质是解题的关键. 17．如图，为的直径，点C，D在上，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查直径所对圆周角是直角，直角三角形两锐角互补及圆内接四边形对角互补，根据圆内接四边形对角互补求出，再结合直径所对圆周角是直角即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ． 18．如图，四边形内接于圆，点在上，若，，，则为 度． 【答案】25 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关性质并灵活运用．连接、，先根据圆内接四边形的性质求出，然后根据，求出即可解答． 【详解】解：连接、， ， ， ， ， ． 故答案为：25． 三、解答题 19．如图，的弦相交于点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了圆周角定理、三角形全等的判定与性质、弧与弦的关系，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．连接，先证出，再根据圆周角定理可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：如图，连接， ， ， ， ， 由圆周角定理得：， 在和中， ， ∴， ． 20．如图，已知的内接，为直径，于点，连接． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查圆周角定理，由圆周角定理，推出，，由垂直的定义得到，由三角形内角和定理推出． 【详解】是圆的直径， ， ∴， ， ， ∴， ， ． 21．已知中，．以为直径的与的交点分别为D，E． (1)如图①，求的大小： (2)如图②，当时，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，“弧，弦，圆周角”之间的关系，直径所对的圆周角是直角． （1）根据圆内接四边形对角互补得出，进而得出答案； （2）连接，根据“弧，弦，圆周角”的关系得出，再根据“直径所对的圆周角是直角”得出，最后根据直角三角形的两个锐角互余得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴． ∵是的直径， ∴． 在中，． 22．如图，为半的直径，弦的延长线与过点B的切线交于点D，E为的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)过点C作，垂足为点F，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质及判定、圆周角定理、直角三角形斜边中线的性质及勾股定理，解题关键是熟练掌握证明切线的方法，能利用勾股定理结合方程思想求解半径． （1）连接，通过证明得出即可； （2）设，由勾股定理得，，列方程求出x的值，则． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵是直径， ∴， ∵中，E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点C在圆上， ∴是的切线； （2）解：∵中， ， ∴， 设， 由勾股定理得：，， ∴， ∴， 解得， 则， 即的半径为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第二十四讲：圆周角 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 知识点02：圆周角定理及其推论 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 知识点03：圆周角与弧的关系 圆周角推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 圆周角推论 2： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90° 的圆周角所对的弦是直径. 知识点04：圆内接四边形 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 结论：圆的内接四边形的对角互补. 知识点05：知识总结 考点1：圆周角概念及简单运算 【典型例题】 下列各图中，为圆周角的是（　　） A．B． C． D． 【变式训练1】 如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ） A． B．和 C．和 D．和 【变式训练2】 如图，A、B、C是上的三个点，，，则的度数是（    ） A．25° B．30° C．40° D．55° 考点2：圆周角定律 【典型例题】 如图，，，，是上的四个点，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，四边形内接于，连接，，是的直径，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 考点3：同弧或等弧所对的圆周角相等 【典型例题】 29．如图是的直径，点在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 30．如图，中，弦、相交于，，，则（    ） A． B． C． D． 考点4：已知圆的内接四边形求度数 【典型例题】 如图，四边形为的内接四边形，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，已知四边形是的内接四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ）． A．B． C． D． 2．如图，A，B，C三点在上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，为的外接圆，半径为（        ） A．2 B． C． D．1 4．圆的一条弦把圆分成度数的比为的两条弧，则弦所对的圆周角等于（     ） A． B．或 C． D．或 5．如图，是的直径，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 6．如图，点A、B、C、D、E 都在上，是直径，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 7．如图，是工人李大爷自制的一个三角形纸板（厚度不计），已知，，，李大爷将该三角形纸板放置在一个圆形工件上，使得顶点A，C都在圆形工件的圆周上，将直角边与圆形工件圆周的交点记为点D，恰好发现，则该圆形工件的半径长为（    ） A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm 8．如图，四边形为的内接四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．    10．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝18°， AE交⊙O于点B，且AB＝OD．则∠EOD＝ 11．如图，点A，点B，点C在上，分别连接，，．若，，则 ． 12．如图，A，B，C，D是上四点，C为的中点，若，则的度数为 ． 13．如图，是的直径，是的弦，如果，那么 ． 14．如图，已知是的外接圆，是的直径，是的弦，，则 ． 15．如图，已知内接于，是的直径，平分，交于D，若，则的长为 ． 16．如图，四边形内接于，，，，则的值为 ． 17．如图，为的直径，点C，D在上，若，则的度数为 ． 18．如图，四边形内接于圆，点在上，若，，，则为 度． 三、解答题 19．如图，的弦相交于点，求证：． 20．如图，已知的内接，为直径，于点，连接． 求证：． 21．已知中，．以为直径的与的交点分别为D，E． (1)如图①，求的大小： (2)如图②，当时，求的大小． 22．如图，为半的直径，弦的延长线与过点B的切线交于点D，E为的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)过点C作，垂足为点F，，求的半径． 学科网（北京）股份有限公司 $$