第二十三讲：弧、弦、圆心角（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+3大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第二十三讲：弧、弦、圆心角 （知识总结梳理+3大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：圆心角、弧、弦之间的关系 弧、弦与圆心角的关系定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 同样，我们可得： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. 在同圆或等圆中：知一得二 考点1：利用圆心角、弧、弦之间的关系求解 【典型例题】 如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则的长为（   ） A． B．3 C． D．4 【变式训练1】 在中，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，点A，B，C在上，C是的中点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 考点2：圆心角的概念及简单运算 【典型例题】 如图所示，表示圆心角的是（   ） A．B． C． D． 【变式训练1】 图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，的半径等于4，如果弦所对的圆心角等于，那么圆心到弦的距离为（　　） A． B．2 C．2 D．3 考点3：求圆弧的度数 【典型例题】 如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．下列图形中的角是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   2．如图，是的直径．、是的三等分点，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．已知是的弦，若，，则所对的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，弦平行于直径，连接，，则弧所对的圆心角的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，是弦的中点，是过点的直径，则下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 6．如图A、、是上的三点，是劣弧的中点，，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 7．如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 8．如图，是的直径， ，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 9．如图，为的直径，点C是弧的中点．过点C作于点G，交于点D，若，则的半径长是（    ） A．5 B．6.5 C．7.5 D．8 二、填空题 10．如图，经过五边形的四个顶点，若，所对的圆心角的度数为 ． 11．将按照如图所示的方式分成面积相等的8个部分，若阴影部分的面积为2，则的面积为 ． 12．如图，在中，是两条直径，弦，若所对圆心角的度数是，则 ． 13．如图所示，是的直径，为半圆上靠近点的三等分点，于点，则的度数为 ． 14．如图，是的直径，，，则的大小为 ． 15．如图，在中， 弧与弧相等，，则 °． 16．如图，为的直径，点是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，，则的直径长为 ．    17．如图，在⊙O中，直径，则弦AC所对圆周角为 ． 三、解答题 18．如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：． 19．如图，在中，，，求的度数． 20．已知是的弦，点在上，连接，． (1)如图①，当时，___________°； (2)如图②，当时，___________°； (3)如图③，当时，___________°． 21．如图，是的直径，是的弦，于点． (1)下列结论正确的是___________；（填序号） ；；． (2)若，，则的长为___________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第二十三讲：弧、弦、圆心角 （知识总结梳理+3大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：圆心角、弧、弦之间的关系 弧、弦与圆心角的关系定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 同样，我们可得： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. 在同圆或等圆中：知一得二 考点1：利用圆心角、弧、弦之间的关系求解 【典型例题】 如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则的长为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】通过连接，利用垂径定理、平行线性质和等腰三角形性质，推导出与的关系来求解． 【详解】解：连接， ， ∴， ．， ， ． 又， ． ∴是等边三角形， ∴ ，是等边三角形， ． 故选： ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、平行线的性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定及性质，熟练掌握垂径定理和利用角度、边的关系推导线段间的数量关系是解题的关键． 【变式训练1】 在中，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的基本性质（等弧对等弦）、等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等弧对等弦和三角形内角和定理是解题的关键．本题根据同圆中弧相等则对应的弦相等，得出，从而判定为等腰三角形，再利用等腰三角形两底角相等以及三角形内角和为来计算的度数． 【详解】解： （同圆中，等弧所对的弦相等） 是等腰三角形，（等腰三角形两底角相等） ，且（三角形内角和定理） 故选： ． 【变式训练2】 如图，点A，B，C在上，C是的中点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆心角与弧的关系，圆心角与圆周角的关系．连接，由点是劣弧的中点得，故，再由得到即可． 【详解】解：如图，连接， 点是劣弧的中点， ， ， ， ， ∵， ∴． 故选：C． 考点2：圆心角的概念及简单运算 【典型例题】 如图所示，表示圆心角的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆心角的判断，根据定义解答即可.顶点在圆心，角的两边与圆周相交的角，叫作圆心角． 【详解】解：图D中是圆心角． 故选：D． 【变式训练1】 图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本概念、等边对等角，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键．利用等边对等角得到，由得到，利用三角形的外角的性质得到，结合即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 故选：B． 【变式训练2】 如图，的半径等于4，如果弦所对的圆心角等于，那么圆心到弦的距离为（　　） A． B．2 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，勾股定理，圆心角的相关知识，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．过作于，则，对运用勾股定理即可求解． 【详解】解：过作于，由题意得， ， ∴， ∵， ， ， ∴， 故选：C． 考点3：求圆弧的度数 【典型例题】 如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 由为的直径，得到，再根据，即可得到结论． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的， ∴， ∴． ∴所对的圆心角度数为． 故选：C． 【变式训练1】 如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对顶角相等得，由得到，由得到，即可求出，得到的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B 【点睛】此题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、圆心角和弧的度数的关系等知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键． 【变式训练2】 如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形性质，求圆弧度数，等腰三角形性质，解题的关键在于恰当的作出辅助线解决问题．连接，利用直角三角形性质得到，结合圆的特点和等腰三角形性质得到，进而即可求得的度数． 【详解】解：连接， 在中，， ， ， ， ， 即的度数为， 故选：A． 一、单选题 1．下列图形中的角是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，能熟记圆心角的定义（顶点在圆心上，并且两边与圆相交的角，叫圆心角）是解此题的关键．根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意； B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．如图，是的直径．、是的三等分点，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了邻补角的概念，弧、弦、圆心角的关系定理等知识点，先求出，再运用“等弧所对的圆心角相等”即可得解，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系定理并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵C、D是上的三等分点， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．已知是的弦，若，，则所对的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆的有关性质及勾股定理，由题意得，，根据勾股定理求得，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， ， 所对的圆心角的度数为 故选：D 4．如图，弦平行于直径，连接，，则弧所对的圆心角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的相关性质，平行线的基本性质，根据平行得出（内错角相等）即可求出答案． 【详解】连接， ∵弦平行于直径， ∴， 又∵，则， ∴， ∵ ∴． 故选：A． 5．如图，在中，是弦的中点，是过点的直径，则下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，弧、弦、圆心角的关系等知识，理解并掌握垂径定理及其推论是解题关键．平分弦的直径垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧；同弧或等弧所对的弦相等，所对的圆心角也相等，据此即可获得答案． 【详解】解：∵是弦的中点，是过点的直径， ∴，，，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴，，故选项B，C正确，不符合题意； 已知条件无法确定，故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 6．如图A、、是上的三点，是劣弧的中点，，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的性质等知识，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再由圆心角、弧、弦的关系求出，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ∵点B是劣弧的中点， ， ， ， 故选：C． 7．如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由可得，再由可得出． 【详解】解：∵在中， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 8．如图，是的直径， ，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等弧所对的圆心角相等得出∠BOC=∠COD=∠DOE=34°，进而根据角的和差就可算出答案． 【详解】解：∵ ， ， ∴， ∴． 故答案为：D． 【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，相等的弧所对圆心角相等是解题的关键． 9．如图，为的直径，点C是弧的中点．过点C作于点G，交于点D，若，则的半径长是（    ） A．5 B．6.5 C．7.5 D．8 【答案】A 【分析】先根据垂径定理和点C是弧的中点得出，从而得出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】连接，如图，设的半径为r， ∵， ∴，， ∵点C是弧BE的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴，解得， 即的半径为5． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理，弧、圆心角、弦之间的关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 二、填空题 10．如图，经过五边形的四个顶点，若，所对的圆心角的度数为 ． 【答案】40 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．连接，如图，利用等腰三角形的性质得，则根据三角形内角和定理得到，则，于是得到的度数为． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 即所对的圆心角的度数为， 故答案为：40． 11．将按照如图所示的方式分成面积相等的8个部分，若阴影部分的面积为2，则的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查图形的面积，由图形可知按照如图所示的方式分成面积相等的8个部分，阴影部分占其中一份，即的面积是阴影部分的面积的八倍，据此数量关系计算即可． 【详解】解：按照如图所示的方式分成面积相等的8个部分，且阴影部分的面积为2， 的面积为， 故答案为：． 12．如图，在中，是两条直径，弦，若所对圆心角的度数是，则 ． 【答案】/110度 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，平行线的性质，等边对等角，连接，则，根据等边对等角和平行线的性质推出，则由平角的定义可得． 【详解】解：如图所示，连接， ∵所对圆心角的度数是 ∴， ∵， ∵， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图所示，是的直径，为半圆上靠近点的三等分点，于点，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】连接，先根据弧和圆心角的关系求得，再证明是等边三角形，根据等边三角形的性质可求解． 【详解】解：连接，    ∵为半圆上靠近点的三等分点， ∴，又， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧和圆心角的关系、等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，求得是解答的关键． 14．如图，是的直径，，，则的大小为 ． 【答案】/76度 【分析】根据同弧（或等弧）所对的圆心角相等，得。即可求出的度数． 【详解】解：在中， ∵，， ∴； ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查圆心角的计算，属于基础题，理解同弧（或等弧）所对的圆心角相等是解题的关键． 15．如图，在中， 弧与弧相等，，则 °． 【答案】30 【分析】由弧与弧相等推得弧和弧相等，再根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等，从而求出的度数． 【详解】解：∵弧与弧相等， ∴弧和弧相等， ∴； 故答案为：30． 【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握等弧所对的圆周角相等是解题的关键． 16．如图，为的直径，点是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，，则的直径长为 ．    【答案】15 【分析】根据点是弧的中点，得到；根据为的直径，，得到，从而得到，得到，得到，得到，设圆的半径为R，连接，根据勾股定理，得到，计算2R的值即可． 【详解】如图，因为点是弧的中点， 所以； 因为为的直径，   ， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 设圆的半径为R，连接，根据勾股定理，得到， 解得． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 17．如图，在⊙O中，直径，则弦AC所对圆周角为 ． 【答案】 【分析】连接，根据等腰三角形的性质，可求出的度数，再根据同弦所对的圆周角是圆心角的一半即可进行解答． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，同弦所对的圆周角是圆心角的一半，解题的关键是连接构建等腰三角形． 三、解答题 18．如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质．连接，构建全等三角形和；然后利用全等三角形的对应边相等证得． 【详解】证明：连接． 在中，， ， ，、分别是半径和的中点， ， ， ， ． 19．如图，在中，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．根据，得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．已知是的弦，点在上，连接，． (1)如图①，当时，___________°； (2)如图②，当时，___________°； (3)如图③，当时，___________°． 【答案】(1)70 (2)100 (3)100 【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理． （1）根据等弧所对圆心角相等，求得，再利用等边对等角即可求解； （2）利用平行线的性质求得，再利用等腰三角形的性质即可求解； （3）先证明是等边三角形，求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：70； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：100； （3）解：∵，又， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：100． 21．如图，是的直径，是的弦，于点． (1)下列结论正确的是___________；（填序号） ；；． (2)若，，则的长为___________． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据垂径定理进行求解； （）根据垂径定理得到，，，再根据勾股定理可求出，进而即可解答； 本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角之间的关系，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵是的直径，， ∴，，故正确， ∴，故正确， 而②不一定正确， 故选：； （2）∵， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$