椭圆的定义与焦点讲义-2026届高三数学一轮复习

·1 · 学科网（北京）股份有限公司 专题一 ( 椭圆的定义 ) 椭圆的的定义与焦点 ①椭圆的第一定义：平面内与两个定点的 F1 、 F2 的距离的和等于常数 2a(2a 大于 |F1F2 |) 的点的轨迹. ②椭圆的第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数 e(0 < e < 1) 的点的轨迹. 其中定点为焦点, 定直线为准线 证明：设椭圆上的任意一点P(x0, y0) , 由上述定义可得 两边平方化简即可. ③椭圆的第三定义：已知关于原点对称的两个定点, 那么到这两个定点连线的斜率之积 为定值 的点的轨迹是椭圆. 证明：设椭圆上的任意一点P(x0, y0) , 设两个定点为 A1 (x0, y0) , A2 (-x0,-y0) , 则 例 1：已知动点P 在椭圆上, 点P 到定点F(4 ,0( 的距离记为 d1 , 到定直线 的距离记为 d2 , 则 A． B． C． D． 解析：由椭圆的第二定义可知 . 例 2：已知椭圆 的离心率为 , 点 A , B 是椭圆 C 的长轴顶 点, 直线 x = m(-a<m<a( 与椭圆 C 交于P、 Q 两点, 记 k1, k2 分别为直线 AP 和直线 BQ 的斜率, 则 |k1 +4k2| 的最小值为 ( C ) A． B． C． D． 解析：由椭圆的对称性和第三定义可知, 故 当且 仅当 k1 = 4k2 时取等号. ( 焦半径公式 ) 已知椭圆方程为 椭圆上有一点P(x0, y0) , 则有 |PF1 | = a + ex0 , |PF2 | = a - ex0. y P ( x ) ( F 1 )F2 证明：已知F1(-c , 0) 且点P 在椭圆上, 则有 根据点坐标的距离公式可得 又因为 -a ≤ x0 ≤ a , 则 所以 同时 |PF1 | +|PF2 | = 2a , 则 |PF2 | = a - ex0. 推论 1： C△PF1F2 = 2(a + c) , C△ABP = 4a.(可利用其去求内切圆半径) y P ( O ) ( x ) ( F 1 ) ( A )F2 B 推论 2：|PF1 |max = a + c , |PF1 |min = a - c. 推论 例 1：已知椭圆 的左右焦点分别为 F1 , F2 , 若 C 上存在一点 ( O )·2 · 学科网（北京）股份有限公司 P , 使得 则椭圆 C 的离心率的取值范围是( D ) D. [ , 1) 解析：通过条件 又 解得 因此 - c , a + c] , 所以 1. 焦点弦公式 已知椭圆方程为 椭圆上有一点 A 且设 ∠AF1F2 = α , 则有 |AF1 | y A ( x ) ( F 1 ) ( B )F2 证明：设 |AF1 | = m , |BF1 | = n , 则 |AF2 | = 2a -m. 在 △AF1F2 中, 运用余弦定理得到 (2a -m)2 = m2 + 4c2 - 4mccosα . 整理可得 . 同理可在 △BF1F2 中运用余弦定理得到 . 推论 1： 推论 2：通径(垂直于焦点的弦)最短, 为 . 推论 3： 例 1：已知椭圆 的左右焦点分别为 F1 , F2 , 点 A , B 在 C 上, 直线F1A 倾斜角为 , 且 则 C 的离心率为（ D ） A． B． C． D． 解析：通过条件可知F1A ⎳ F2B , 所以直线F2B 倾斜角为 . 由椭圆焦点弦公式得 ( O )·3 · 学科网（北京）股份有限公司 化简得 2a = 3c , 所以 . 焦点三角形 已知椭圆方程为 椭圆上有一点 P 且设 ∠F1PF2 = θ , 则有① y P ( x )θ ( F 1 )F2 证明：① S△点P 的纵坐标) 由上面公式可得当点P 在短轴端点处, S△PF1F2达到最大值. ②在 △PF1F2 中, 由余弦定理可得 F1F22 = PF12 + PF22 - 2|PF1 ||PF2 |cos θ = (|PF1 |+|PF2 |(2 - 2|PF1 ||PF2 |(1 + cosθ) 则 4c2 = 4a2 - 2|PF1 ||PF2 |(1 + cosθ) , 可得 所以 S△ 又因为 θ ∈ (0 , π) , 则 所以 S△ 随着 θ 增大. 由①可知当点P 在短轴端点处, ∠F1PF2 最大. 推论 1：当点P 在短轴端点处, S△PF1F2达到最大值且 ∠F1PF2 最大. 推论 2: 设 ∠PF1F2 = α , ∠PF2F1 = β , 则该椭圆的离心率为 证明：在 △PF1F2 中, 由正弦定理可得 ( O )·4 · 学科网（北京）股份有限公司 例 1：已知椭圆 的左右焦点分别为 F1 , F2 , 若 C上存在一点P 满足 ∠PF1F2 = 120∘ , 则实数n 的取值范围为（ A ） , 1) 解析：由推论 1 可知P 在椭圆左右顶点时 ∠PF1F2 最大, 即 ∠F1PO ≥ 60∘ . 故 则 又 0 < n < 1. 所以 共焦点三角形 已知椭圆方程为 双曲线方程为 它们有公共的焦点 F1 , F3 , P 为它们的一个交点, 且设 ∠F1PF2 = θ , 则有 1. y P ( F 1 )F2 x 证明：由椭圆和双曲线的定义可得, ( O )·5 · 学科网（北京）股份有限公司 ( { ( |PF1 |+|PF2 | |PF1 |-|PF2 | = 2a = 2m 可知 |PF1 | = a + m , |PF2 | = a -m. 在 △PF1F2 中, 由余弦定理可得 F1F22 = PF12 + PF22 - 2|PF1 ||PF2 |cos θ 化简得 a2 (1+ cosθ )+ m2 (1- cosθ )= 2c2 , 最后整理得 强化训练 1. 已知椭圆 的左右焦点分别为F1 , F2 , 点P(n,4( 为椭圆上一 点, 如果 △PF1F2 的内切圆的直径为 3 , 则此椭圆的离心率为 ( C ) A． B． C． D． 解析： △PF1F2 的内切圆的半径为 又由 S△ 故 5c = 3a. 所以 . 2. 已知椭圆 的左右焦点分别为 F1 , F2 , 左右顶点分别为 M, N, 过 F2 的直线 l 交 C 于 A , B 两点 (异于 M、 N) , △AF1B 的周长为且直线 AM 与AN 的斜率之积为，则椭圆 C 的标准方程为 ( C ) A． B． C． D． 解析：由 △AF1B 的周长为 4 3 得到 , 又由椭圆的第三定义可知 得到 3. 已知椭圆 的离心率 , 左焦点为 F , 过 F 作倾斜角 为 30∘ 的直线交椭圆 C 于 M 、 N 两点, 且 |MF| = λ |FN|(其中 λ > 1 ) , 则 λ 的值为 （ D ） A． 2 B． D． 3 解析： 由椭圆的焦点弦公式可得 又由 e = 得到 则 4.(多选( 已知椭圆 的离心率 , F1, F2 分别为它的左、 右焦点, A , B 分别为它的左、右顶点, P 是椭圆 C上的一个动点, 且 |PF1 | -|PF2 | 的最大 值为 2 3 , 则下列选项正确的是（ ABD ） A．当P 不与左、右端点重合时, △PF1F2 的周长为定值 B．当PF1 ⊥ PF2 时, | ·6 · 学科网（北京）股份有限公司 C．有且仅有 4 个点P , 使得 △PF1F2 为直角三角形 D．当直线PA 的斜率为 1 时，直线PB 的斜率为 解析： 因为 |PF1 | -|PF2 | = |PF1 | - (2a-|PF1 |)= 2|PF1 | -2a , 而 |PF1 |max = a + c , 则 |PF1 | -|PF2 |的最大值为 求得 又由离心率 得到 a = 2. 对于选项A.△PF1F2 的周长为 2(a+c)= 4 + 2 3 . 故A 正确. 对于选项B. 当PF1 ⊥ PF2 时, 可通过通径公式知 则 故B 正确. 对于选项 C. 设椭圆的上顶点为 Q , 此时 tan∠F1QO 达到最大值, 则 = . 所以 ∠F1 QO = 60∘ , 可知 ∠F1PF2 的最大值为 120∘ . 所以存在 4 个点, 使得 ∠F1PF2 = 90∘ . 又因为存在 2 个点P , 使 ∠PF1F2 = 90∘ , 存在 2 个点P 使 ∠PF2F1 = 90∘ . 所以存在 8 个 点, 使得 △PF1F2 为直角三角形, 故 C错误. 对于选项 D. 由椭圆的第三定义可知 因为 kPA = 1 可知 . 故D 正确. 5.(多选( 已知椭圆 的左右焦点分别为 F1 , F2 , 上顶点为 A , 且 |AF1| = |F1F2| = 2 , P 为 C上位于第一象限内的点, 且 的内角 平分线交 x 轴于点M, 则下列结论正确的是（ AC ） A．椭圆 C 的离心率 B． C． △PF1F2 的内切圆半径为 D． 解析： 由 |AF1| = |F1F2| = 2 可知a = 2 , c = 1. 故A 正确 对于选项 解得 故B 错误. ·7 · 学科网（北京）股份有限公司 对于选项 C. 因为 解得 . S△ 设 △ 的内切圆半径为 故 C错误. 对于选项D. 由角平分线定理得 故D 错误. 6. 斜率为 的直线 l 过椭圆 的焦点F,交椭圆于 A , B 两点， 若 则该椭圆的离心率为 解析： 由 得 再由椭圆的焦点弦公式 化简得 a = 3csinα . 后由直线斜率为 得到 该椭圆的 离心率为 . 7. 已知椭圆 的左、右焦点分别是 F1 , F2 , 斜率为 的直线 l 经过点 F1 且交 C于 A , B 两点（点 A 在第一象限）, 若 △AF1F2 的面积是 △BF1F2 的面积 5 的 3 倍, 则 C 的离心率为 4 . 解析：由 △AF1F2 的面积是 △BF1F2 的面积的 3 倍得到 |AF1| = 3|F1B|.再由椭圆的焦点弦 公式 化简得 a = 2ccosα . 后由直线斜率为 得 到 该椭圆的离心率为 . 8. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点 F1, F2, P 是它们的一个交点, 且 ∠F1PF2 = 60∘ , 记椭 ( 3 )圆和双曲线的离心率分别为 e1 , e2 , 则 的最大值为 4 3 . 解析： 由共焦点三角形的结论可知 令 当 时 的最大值 为 . ·8 · 学科网（北京）股份有限公司 $$ ·1 · 学科网（北京）股份有限公司 专题一 ( 椭圆的定义 ) 椭圆的的定义与焦点 ①椭圆的第一定义：平面内与两个定点的 F1 、 F2 的距离的和等于常数 2a(2a 大于 |F1F2 |) 的点的轨迹. ②椭圆的第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数 e(0 < e < 1) 的点的轨迹. 其中定点为焦点, 定直线为准线 证明：设椭圆上的任意一点P(x0, y0) , 由上述定义可得 两边平方化简即可. ③椭圆的第三定义：已知关于原点对称的两个定点, 那么到这两个定点连线的斜率之积 为定值 的点的轨迹是椭圆. 证明：设椭圆上的任意一点P(x0, y0) , 设两个定点为 A1 (x0, y0) , A2 (-x0,-y0) , 则 例 1：已知动点P 在椭圆上, 点P 到定点F(4 ,0( 的距离记为 d1 , 到定直线 的距离记为 d2 , 则 A． B． C． D． 解析：由椭圆的第二定义可知 . 例 2：已知椭圆 的离心率为 , 点 A , B 是椭圆 C 的长轴顶 点, 直线 x = m(-a<m<a( 与椭圆 C 交于P、 Q 两点, 记 k1, k2 分别为直线 AP 和直线 BQ 的斜率, 则 |k1 +4k2| 的最小值为 ( C ) A． B． C． D． 解析：由椭圆的对称性和第三定义可知, 故 当且 仅当 k1 = 4k2 时取等号. ( 焦半径公式 ) 已知椭圆方程为 椭圆上有一点P(x0, y0) , 则有 |PF1 | = a + ex0 , |PF2 | = a - ex0. y P ( x ) ( F 1 )F2 证明：已知F1(-c , 0) 且点P 在椭圆上, 则有 根据点坐标的距离公式可得 又因为 -a ≤ x0 ≤ a , 则 所以 同时 |PF1 | +|PF2 | = 2a , 则 |PF2 | = a - ex0. 推论 1： C△PF1F2 = 2(a + c) , C△ABP = 4a.(可利用其去求内切圆半径） y P ( O ) ( x ) ( F 1 ) ( A )F2 B 推论 2：|PF1 |max = a + c , |PF1 |min = a - c. 推论 例 1：已知椭圆 的左右焦点分别为 F1 , F2 , 若 C 上存在一点 ( O )·2 · 学科网（北京）股份有限公司 P , 使得 则椭圆 C 的离心率的取值范围是( D ) D. [ , 1) 解析：通过条件 又 解得 因此 - c , a + c] , 所以 1. 焦点弦公式 已知椭圆方程为 椭圆上有一点 A 且设 ∠AF1F2 = α , 则有 |AF1 | y A ( x ) ( F 1 ) ( B )F2 证明：设 |AF1 | = m , |BF1 | = n , 则 |AF2 | = 2a -m. 在 △AF1F2 中, 运用余弦定理得到 (2a -m)2 = m2 + 4c2 - 4mccosα . 整理可得 . 同理可在 △BF1F2 中运用余弦定理得到 . 推论 1： 推论 2：通径(垂直于焦点的弦)最短, 为 . 推论 3： 例 1：已知椭圆 的左右焦点分别为 F1 , F2 , 点 A , B 在 C 上, 直线F1A 倾斜角为 , 且 则 C 的离心率为（ D ） A． B． C． D． 解析：通过条件可知F1A ⎳ F2B , 所以直线F2B 倾斜角为 . 由椭圆焦点弦公式得 ( O )·3 · 学科网（北京）股份有限公司 化简得 2a = 3c , 所以 . 焦点三角形 已知椭圆方程为 椭圆上有一点 P 且设 ∠F1PF2 = θ , 则有① y P ( x )θ ( F 1 )F2 证明：① S△点P 的纵坐标) 由上面公式可得当点P 在短轴端点处, S△PF1F2达到最大值. ②在 △PF1F2 中, 由余弦定理可得 F1F22 = PF12 + PF22 - 2|PF1 ||PF2 |cos θ = (|PF1 |+|PF2 |(2 - 2|PF1 ||PF2 |(1 + cosθ) 则 4c2 = 4a2 - 2|PF1 ||PF2 |(1 + cosθ) , 可得 所以 S△ 又因为 θ ∈ (0 , π) , 则 所以 S△ 随着 θ 增大. 由①可知当点P 在短轴端点处, ∠F1PF2 最大. 推论 1：当点P 在短轴端点处, S△PF1F2达到最大值且 ∠F1PF2 最大. 推论 2: 设 ∠PF1F2 = α , ∠PF2F1 = β , 则该椭圆的离心率为 证明：在 △PF1F2 中, 由正弦定理可得 ( O )·4 · 学科网（北京）股份有限公司 例 1：已知椭圆 的左右焦点分别为 F1 , F2 , 若 C上存在一点P 满足 ∠PF1F2 = 120∘ , 则实数n 的取值范围为（ A ） , 1) 解析：由推论 1 可知P 在椭圆左右顶点时 ∠PF1F2 最大, 即 ∠F1PO ≥ 60∘ . 故 则 又 0 < n < 1. 所以 共焦点三角形 已知椭圆方程为 双曲线方程为 它们有公共的焦点 F1 , F3 , P 为它们的一个交点, 且设 ∠F1PF2 = θ , 则有 1. y P ( F 1 )F2 x 证明：由椭圆和双曲线的定义可得, ( O )·5 · 学科网（北京）股份有限公司 ( { ( |PF1 |+|PF2 | |PF1 |-|PF2 | = 2a = 2m 可知 |PF1 | = a + m , |PF2 | = a -m. 在 △PF1F2 中, 由余弦定理可得 F1F22 = PF12 + PF22 - 2|PF1 ||PF2 |cos θ 化简得 a2 (1+ cosθ ) + m2 (1- cosθ ) = 2c2 , 最后整理得 强化训练 1. 已知椭圆 的左右焦点分别为F1 , F2 , 点P(n,4( 为椭圆上一 点, 如果 △PF1F2 的内切圆的直径为 3 , 则此椭圆的离心率为 ( ) A． B． C． D． 2. 已知椭圆 的左右焦点分别为 F1 , F2 , 左右顶点分别为 M, N, 过 F2 的直线 l 交 C 于 A , B 两点 (异于 M、 N) , △AF1B 的周长为且直线 AM 与AN 的斜率之积为，则椭圆 C 的标准方程为 ( ) A． B． C． D． 3. 已知椭圆 的离心率 , 左焦点为 F , 过 F 作倾斜角 为 30∘ 的直线交椭圆 C 于 M 、 N 两点, 且 |MF| = λ |FN|(其中 λ > 1 ) , 则 λ 的值为 ( ) A． 2 B． C． D． 3 4.(多选( 已知椭圆 的离心率 , F1, F2 分别为它的左、 右焦点, A , B 分别为它的左、右顶点, P 是椭圆 C上的一个动点, 且 |PF1 | -|PF2 | 的最大 值为 , 则下列选项正确的是( ) A．当P 不与左、右端点重合时, △PF1F2 的周长为定值 B．当PF1 ⊥ PF2 时, | C．有且仅有 4 个点P , 使得 △PF1F2 为直角三角形 D．当直线PA 的斜率为 1 时，直线PB 的斜率为 5.(多选( 已知椭圆 的左右焦点分别为 F1 , F2 , 上顶点为 A , 且 |AF1| = |F1F2| = 2 , P 为 C上位于第一象限内的点, 且 的内角 平分线交 x 轴于点M, 则下列结论正确的是( ) A．椭圆 C 的离心率 B． C． △PF1F2 的内切圆半径为 D． ·6 · 学科网（北京）股份有限公司 6. 斜率为 的直线 l 过椭圆 的焦点F,交椭圆于 A , B 两点， 若 则该椭圆的离心率为 . 7. 已知椭圆 的左、右焦点分别是 F1 , F2 , 斜率为 的直线 l 经过点 F1 且交 C于 A , B 两点（点 A 在第一象限）, 若 △AF1F2 的面积是 △BF1F2 的面积 的 3 倍, 则 C 的离心率为 . 8. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点 F1, F2, P 是它们的一个交点, 且 ∠F1PF2 = 60∘ , 记椭 圆和双曲线的离心率分别为 e1 , e2 , 则 的最大值为 . ·7 · 学科网（北京）股份有限公司 $$