12.2 一次函数 第4课时 课件 2025--2026学年沪科版八年级数学上册

第12章 函数与一次函数 12.2 一次函数 第4课时 分段函数 沪科版 八年级上册 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.知道分段函数特点，会列分段函数关系式. 2.用分段函数解决实际问题. 会列分段函数关系式. 会用分段函数解决实际问题. 新课导入 例5 为节约用水，某城市制定以下用水收费标准：每户每月用水不超过16m3时，使用费为每立方米1.3元；超过16m3时，超过部分的使用费为每立方米2.0元.污水处理费为每立方米1.2元.设一户每月用水量为x m3，应缴水费y元. （1）给出y关于x的函数关系式； （2）画出上述函数图象； （3）某两户某月用水量分别为10m3和20m3时，求这两户该月应缴的水费； （4）某一户某月缴水费59.2元，求该户这个月用水量. 分析：用水以16m³为界,分成两段,收费标准不一样: 当0≤x≤16时,每立方米收费(1.3+1.2)元; 当x>16时,超过部分每立方米收费(2.0+1.2)元. 解：（1）y关于x的函数关系式为 （2）函数图象如图所示； (1.3+1.2)x =2.5x (0≤x≤16)， (2.0+1.2)(x-16)+1.3×16=3.2x-11.2 (x＞16)； y= （3）当x=10 m3时，y=2.5×10=25（元）； （4）59.2>2.5×16，可知该户这月用水超过16m3, 当x=20m3时，y=3.2×20-11.2=52.8（元）. 即这两户该月应缴的水费分别为25元、52.8元. 因此，3.2x-11.2=59.2， 解方程，得 x=22. 即该户本月用水量为22m3. 新知引入 在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数. (1)分段函数是一个整体，这个整体是一个函数. (2)函数y在x的某个范围内可能是特殊函数，如一次函数. (3)由于问题的不同，分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而是其他形式的函数，在这里我们不予讨论. 定义 为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x(度)与应付电费y(元)的关系如图所示． (1)根据图象，请分别求出当0≤x≤50和x>50时，y与x的函数关系式： 仿例 (2)当每月用电量不超过50度时,收费标准是 元/度； 当每月用电量超过50度时，超过的部分的收费标准是 元/度． 0.5 0.9 归纳小结 注意: （1）分段函数是同一个函数,不是多个函数. （2）求分段函数的关系式时,应在每个关系式的后面注明相应的自变量的取值范围. （3）求分段函数的函数值时,应看自变量的值在哪个取值范围内,然后代入相应的关系式求值. 求分段函数的函数值的方法是:先确定自变量的值在哪一段自变量的取值范围内,然后代入该段的解析式求值. 求分段函数的函数值： 主题情境 数学“智”趣行：分段函数大揭秘 生活宛如一个充满谜题的“数学乐园”！购物时怎么算最 优惠？出行费用是如何随着距离变化的？科学实验数据藏着 什么规律？这些问题都与分段函数息息相关！今天，让我们 化身“数学小侦探”，通过层层任务，探寻分段函数在生活各 场景中的应用，解锁用数学解决实际问题的超能力！ 随堂练习 任务一 分段函数的概念与图象探索 1.［2025年1月南京期末节选］【问题背景】若 一个函数，对于自变量的不同取值范围，该函数 有不同的表达式，则这样的函数称为“分段函数”. 当时， ； 当时， ， 可以记作分段函数 10 【问题探究】当时，画出与 之间 的函数图象，并写出该函数两条不同类型 的性质. 11 解：当 时， 列表如下： 0 1 … 2 3 … 12 作图如图所示. 性质1：当时，随 的增大 而增大； 性质2：当 时，函数有最小值 2.(性质不唯一) 13 任务二 交通场景中分段函数的应用 2.［2025年1月广州期末］某市出租车白天的收费起步价为12 元，即路程不超过 时收费12元，超过部分每千米收费 2.6元.如果乘客白天乘坐出租车的路程为，乘车费为 元，那么与 之间的关系式为_ ______________________. 14 3.［2025年1月武汉期末］共享电动车 是一种新理念下的交通工具，主要面向 的出行市场，图中反映某共 享电动车平台收费 (元)与骑行时间 12 之间的函数关系，根据图中的信息，某天小明从家到 学校一共骑行 ，则需要向平台付费____元. 15 4.随着新能源汽车的普及，充电 站如雨后春笋般出现.某充电站施 行峰谷电价收费制度(高峰时段： 至 ，低谷时段： 至次日 )，已知高峰 时段的充电单价是低谷时段的2倍，且充电总费用 (元)与充 电量 (千瓦时)之间成一次函数关系，下图为一辆新能源汽车 从充电开始直至充电结束的整个计费过程. 16 (1)求出当时，充电总费用 (元)与充电量 (千瓦时)之间的函数表 达式； 解：设充电总费用(元)与充电量 (千瓦时)之间的函数表达式为 ， 将代入，得，解得，所以 . 17 (2)当这辆汽车充电结束时，充电总费用是 多少？ 因为高峰时段的充电单价是低谷时段充电 单价的2倍，所以低谷时段的充电单价为 (元/千瓦时), . 答：当这辆汽车充电结束时，充电总费用是9元. 18 (3)当充电总费用为7.8元时，充电量为___千瓦时. 8 19 任务三 多元生活场景中分段函数的实践 5.［2025年1月绍兴期末］智慧学习 小组成员用 编制了如下数学问题： 小敏从家出发跑步前往体育场，在 体育场锻炼了一小段时间后，步行至文具店购买了一些学习 用品，最后散步走回家.小敏离家的距离 与她所用的时 间 的关系如图所示，解答下列问题： 20 (1)小敏家离体育场的距离为_____ ，小敏跑步的平均速度为__ ； (2)当时，请直接写出关于 的函数表达式: _ ____________________________. 21 6.小李在网上一购物平台购物， 恰逢周年庆，平台推出优惠活动， 活动内容如图所示. 22 (1)请写出小李的实付金额 (元)关 于购物的商品总价 (元)的函数表 达式及自变量的取值范围； 解：根据题意，得当，即 时， ； 当，即时， . 综上， 23 (2)小李和好朋友小于拼单购物， 小李和小于所购商品的总价分别 为60元和40元，那么小李和小于 应分别实付多少元？ 因为(元)元，所以把 代入 ，得 ，所以小李应 实付(元)，小于应实付 (元). 24 任务四 分段函数的拓展——跨学科融合 7. 在生物实验室，科研人员对一种生物标本进 行真空冷却实验，探索低温环境对标本细胞活性的影响.标本 初始温度为，在真空冷却过程中，温度(单位： )与 冷却时间(单位：)之间满足一次函数关系：前 ， 温度每分钟下降； 后，调整冷却设备，温度每分 钟下降.同时，标本的细胞活性与温度 之间也满足一次 25 函数关系，且当时，；当 时， . 根据以上信息，回答下列问题： (1)求在不同阶段标本温度关于冷却时间 的函数表达式； 解：根据题意，得当 时， ， 因为当时， ， 所以当时， ， 即 ， 所以标本温度关于冷却时间 的函数表达式为 (2)当细胞活性降至0.1时，求标本冷却时间. 因为细胞活性与标本温度 之间满足一次函数关系，所以设 ， 将，；， 代入，得 解得 所以 . 对于 ， 28 当时，，解得 . 对于 ， 当时，， ， 所以时， ， 所以把代入，得 ，解得 ， 所以当细胞活性降至0.1时，标本冷却时间是 . $$