山东省平邑第一中学2025届高三下学期适应性考试数学试题

2025年平邑一中高三（下）适应性考试（原卷版） 一．选择题（共8小题，满分40分） 1．已知复数，则正确的是　　 A．的实部为 B．在复平面内对应的点位于第二象限 C．的虚部为 D．的共轭复数为 2．集合，，，，，则　　 A． B．1 C． D．或 3．直线按向量平移后得直线，则直线与之间的距离的最大值为　　 A．1 B．3 C． D．10 4．若圆与圆只有一个交点，则实数的值可以是　　 A． B． C．1 D．2 5．在平行四边形中，，为的中点，为的中点，若，，，则和的值分别为　　 A．， B．， C．， D．， 6．已知，则　　 A．9 B．10 C．18 D．19 7．已知是定义域为的奇函数，则“在上单调递增”是“在上单调递增”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．设数列的前项和为，，且，若存在，使得成立，则的最小值是　　 A． B． C． D．8 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（6分）是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．某地8月1日到10日的日均值（单位：分别为36，32，38，34，32，88，42，36，30，32，则关于这10天中日均值的说法正确的是　　 A．众数为32 B．第80百分位数是38 C．平均数是40 D．前4天的方差比后4天的方差小 10．（6分）在棱长为2的正方体中，点，分别为棱，的中点，点在底面内运动（含边界），且平面，则　　 A．若，则平面 B．点到直线的距离为 C．若，则 D．直线与平面所成角的正弦值为 11．（6分）已知双曲线的左焦点为，直线过点，与双曲线的两支、两条渐近线依次交于点，，，（从左到右），则下列说法正确的是　　 A．当时，其中一条渐近线方程为 B．存在，存在直线，使得点为线段的中点，且 C．任意，存在直线，使得点为线段的中点，且 D．任意，无论直线怎么运动， 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．某市高三年级男生的体重（单位：近似服从正态分布，若，则 　　 ． 13．一个盒子中有4个白球，个红球，从中不放回地每次任取1个，连取2次，已知第二次取到红球的条件下，第一次也取到红球的概率为，则 　　 ． 14．是抛物线准线为上一点，，在抛物线上，，的中点也在抛物线上，直线与交于点，则的最小值为 　　． 四．解答题（共5小题，满分77分） 15．（13分）在实际生活中，为了测量建筑物的高度，可借助的方法有很多． 如图1所示，为了得到建筑物的高，可以在水平面的点处先测量仰角（其中米是测量仪器高度），然后前进米到达点后米，为测量仪器的高度）再测量仰角的大小，最后根据有关数据和直角三角形知识就可得到的高．但是，在这种测量方法中，要保证，，在一条直线上，而且要与垂直（实际生活中直线不一定水平），否则误差会比较大．为了避免这种误差：将以上方法调整为，使，，三点不共线，测得．．，，，米，如图2． （1）若，，三点共线，且，试写出图1中建筑物的高（单位：米）的表达式（用，，，表示）； （2）当，，三点不共线且并不确定平面是否为水平面时，试写出图2中建筑物的高（单位：米）的表达式（结果用，，，，，表示，写出原始表达式即可，不必分母有理化）． 16．（15分）已知函数，，． （Ⅰ）若函数的图象与直线相切，求实数的值； （Ⅱ）若不等式恒成立，求整数的最大值． 17．（15分）京剧被誉为中国文化的瑰宝．每个脸谱都有其独特的象征意义，是京剧中不可或缺的一个组成部分．某商店售卖的京剧脸谱娃娃共有三种款式，有直接购买和盲盒购买两种方式．若直接购买京剧脸谱娃娃，则每个京剧脸谱娃娃售价54元，可选定款式；若盲盒购买京剧脸谱娃娃，则每个盲盒售价27元，盲盒中的一款京剧脸谱娃娃是随机的． （1）甲采用盲盒购买的方式，每次购买一个盲盒并打开，若买到的京剧脸谱娃娃中出现相同款式，则停止购买．用表示甲购买盲盒的个数，求的分布列． （2）乙计划收集一套京剧脸谱娃娃（三种款式各一个），先购买盲盒，每次购买一个盲盒并打开（乙最多购买3个盲盒），若未集齐一套京剧脸谱娃娃，再直接购买没买到的款式，以购买费用的期望值为决策依据，问乙应购买多少个盲盒？ 18．（17分）如图①所示，矩形中，，，点是边的中点，将△沿翻折到△，连接，，得到图②的四棱锥，为中点， （1）若平面平面，求直线与平面所成角的大小； （2）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 19．（17分）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，为坐标原点，△的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线交椭圆于，两点，的中点坐标为，求直线的方程； （3）如图所示，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，．判断点是否为线段的中点，说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年平邑一中高三（下）适应性考试（解析版） 一．选择题（共8小题，满分40分） 1．已知复数，则正确的是　　 A．的实部为 B．在复平面内对应的点位于第二象限 C．的虚部为 D．的共轭复数为 2．集合，，，，，则　　 A． B．1 C． D．或 3．直线按向量平移后得直线，则直线与之间的距离的最大值为　　 A．1 B．3 C． D．10 4．若圆与圆只有一个交点，则实数的值可以是　　 A． B． C．1 D．2 5．在平行四边形中，，为的中点，为的中点，若，，，则和的值分别为　　 A．， B．， C．， D．， 6．已知，则　　 A．9 B．10 C．18 D．19 7．已知是定义域为的奇函数，则“在上单调递增”是“在上单调递增”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．设数列的前项和为，，且，若存在，使得成立，则的最小值是　　 A． B． C． D．8 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（6分）是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．某地8月1日到10日的日均值（单位：分别为36，32，38，34，32，88，42，36，30，32，则关于这10天中日均值的说法正确的是　　 A．众数为32 B．第80百分位数是38 C．平均数是40 D．前4天的方差比后4天的方差小 10．（6分）在棱长为2的正方体中，点，分别为棱，的中点，点在底面内运动（含边界），且平面，则　　 A．若，则平面 B．点到直线的距离为 C．若，则 D．直线与平面所成角的正弦值为 11．（6分）已知双曲线的左焦点为，直线过点，与双曲线的两支、两条渐近线依次交于点，，，（从左到右），则下列说法正确的是　　 A．当时，其中一条渐近线方程为 B．存在，存在直线，使得点为线段的中点，且 C．任意，存在直线，使得点为线段的中点，且 D．任意，无论直线怎么运动， 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．某市高三年级男生的体重（单位：近似服从正态分布，若，则 　　 ． 13．一个盒子中有4个白球，个红球，从中不放回地每次任取1个，连取2次，已知第二次取到红球的条件下，第一次也取到红球的概率为，则 　　 ． 14．是抛物线准线为上一点，，在抛物线上，，的中点也在抛物线上，直线与交于点，则的最小值为 　　． 四．解答题（共5小题，满分77分） 15．（13分）在实际生活中，为了测量建筑物的高度，可借助的方法有很多． 如图1所示，为了得到建筑物的高，可以在水平面的点处先测量仰角（其中米是测量仪器高度），然后前进米到达点后米，为测量仪器的高度）再测量仰角的大小，最后根据有关数据和直角三角形知识就可得到的高．但是，在这种测量方法中，要保证，，在一条直线上，而且要与垂直（实际生活中直线不一定水平），否则误差会比较大．为了避免这种误差：将以上方法调整为，使，，三点不共线，测得．．，，，米，如图2． （1）若，，三点共线，且，试写出图1中建筑物的高（单位：米）的表达式（用，，，表示）； （2）当，，三点不共线且并不确定平面是否为水平面时，试写出图2中建筑物的高（单位：米）的表达式（结果用，，，，，表示，写出原始表达式即可，不必分母有理化）． 16．（15分）已知函数，，． （Ⅰ）若函数的图象与直线相切，求实数的值； （Ⅱ）若不等式恒成立，求整数的最大值． 17．（15分）京剧被誉为中国文化的瑰宝．每个脸谱都有其独特的象征意义，是京剧中不可或缺的一个组成部分．某商店售卖的京剧脸谱娃娃共有三种款式，有直接购买和盲盒购买两种方式．若直接购买京剧脸谱娃娃，则每个京剧脸谱娃娃售价54元，可选定款式；若盲盒购买京剧脸谱娃娃，则每个盲盒售价27元，盲盒中的一款京剧脸谱娃娃是随机的． （1）甲采用盲盒购买的方式，每次购买一个盲盒并打开，若买到的京剧脸谱娃娃中出现相同款式，则停止购买．用表示甲购买盲盒的个数，求的分布列． （2）乙计划收集一套京剧脸谱娃娃（三种款式各一个），先购买盲盒，每次购买一个盲盒并打开（乙最多购买3个盲盒），若未集齐一套京剧脸谱娃娃，再直接购买没买到的款式，以购买费用的期望值为决策依据，问乙应购买多少个盲盒？ 18．（17分）如图①所示，矩形中，，，点是边的中点，将△沿翻折到△，连接，，得到图②的四棱锥，为中点， （1）若平面平面，求直线与平面所成角的大小； （2）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 19．（17分）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，为坐标原点，△的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线交椭圆于，两点，的中点坐标为，求直线的方程； （3）如图所示，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，．判断点是否为线段的中点，说明理由． 2025年平邑一中高三（下）适应性考试（解析版） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C D D D B D 二．多选题（共3小题） 题号 9 10 11 答案 ACD ACD ACD 一．选择题（共8小题，满分40分） 1．已知复数，则正确的是　　 A．的实部为 B．在复平面内对应的点位于第二象限 C．的虚部为 D．的共轭复数为 【答案】 【解答】解：， 的实部为1，虚部为，错误， 对应的点为，位于第四象限，错误， 的共轭复数，正确． 故选：． 2．集合，，，，，则　　 A． B．1 C． D．或 【答案】 【解答】解：因为，所以，则，解得， 当时，，，，，不符合题意， 当时，，，，，符合题意． 故选：． 3．直线按向量平移后得直线，则直线与之间的距离的最大值为　　 A．1 B．3 C． D．10 【答案】 【解答】解：直线按向量平移后得直线， 则当直线的方向向量与垂直时，这时候直线与平行且距离为最大，． 故选：． 4．若圆与圆只有一个交点，则实数的值可以是　　 A． B． C．1 D．2 【答案】 【解答】解：圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径， 圆与圆只有一个交点， 两圆内切或外切， 圆心距， 或， 分别把，，，代入验证，只有成立． 故选：． 5．在平行四边形中，，为的中点，为的中点，若，，，则和的值分别为　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【解答】解：方法一：为的中点，为的中点， ，， 又， ， ，． 方法二：为的中点，为的中点，， ， ，． 故选：． 6．已知，则　　 A．9 B．10 C．18 D．19 【答案】 【解答】解：由于， 所以， 两边取导数，故， 故， 令，故． 故选：． 7．已知是定义域为的奇函数，则“在上单调递增”是“在上单调递增”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 【解答】解：是定义域为的奇函数，则“在上单调递增，但在上单调递增不一定成立， 例如在上单调递增，但在上不是单调递增， 若是定义域为的奇函数，在上单调递增，则在上单调递增成立． 故选：． 8．设数列的前项和为，，且，若存在，使得成立，则的最小值是　　 A． B． C． D．8 【答案】 【解答】解：由， 可得，所以，所以数列是常数列． 又，所以，从而， 所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列， 则， 由存在使得成立可知， 存在使得成立，即． 设，则，从而． 记，由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以（3），（4）， 所以的最小值是8，可得，即的最小值为8． 故选：． 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（6分）是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．某地8月1日到10日的日均值（单位：分别为36，32，38，34，32，88，42，36，30，32，则关于这10天中日均值的说法正确的是　　 A．众数为32 B．第80百分位数是38 C．平均数是40 D．前4天的方差比后4天的方差小 【答案】 【解答】解：这10天日均值从小到大为30，32，32，32，34，36，36，38，42，88， 所以众数为32，故正确； 由，则第80百分位数为，所以错误； 因为平均数为，所以正确； 因为前4天的均值为，所以前4天的方差为， 因为后4天的均值为，所以后4天的方差为，故正确． 故选：． 10．（6分）在棱长为2的正方体中，点，分别为棱，的中点，点在底面内运动（含边界），且平面，则　　 A．若，则平面 B．点到直线的距离为 C．若，则 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】 【解答】解：分别取棱，，，的中点，，，， 根据条件平面，可得平面即为平面， 于是点的轨迹即为线段， 对于，若，则点为棱的中点， 连，则， 又平面，平面， 所以平面，故正确； 对于，因为，所以点到的距离即为与的距离， 其大小为，故错误； 对于，连，与的交点即为点，此时， 于是，故正确； 对于，因为，点到平面的距离等于， 所以直线与平面所成角的正弦值为，故正确． 故选：． 11．已知双曲线的左焦点为，直线过点，与双曲线的两支、两条渐近线依次交于点，，，（从左到右），则下列说法正确的是　　 A．当时，其中一条渐近线方程为 B．存在，存在直线，使得点为线段的中点，且 C．任意，存在直线，使得点为线段的中点，且 D．任意，无论直线怎么运动， 【答案】 【解答】解：双曲线的虚半轴长，实半轴长，那么， 对于选项，当时，的渐近线方程为，所以选项正确； 对于选项，取的右焦点，连接，，分别为，的中点，那么，， ，，所以， 因此，因为，矛盾，所以选项错误； 对于选项，取的右焦点，连接，，分别为，的中点，那么，， 的渐近线方程为，所以，所以， 由于，因此，可得，， ，，，符合要求，所以选项正确； 对于选项，显然直线的斜率存在， 设，，，，，，，，， 联立直线和双曲线方程可得，化简得， 根据韦达定理可得， 化简得，根据韦达定理可得， 因此，线段，有相同的中点，则，正确． 故选：． 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．某市高三年级男生的体重（单位：近似服从正态分布，若，则 　　 ． 【答案】0.3． 【解答】解：由正态分布的对称性，， 故中间区间，的概率为，再根据对称性，， 故答案为：0.3． 13．一个盒子中有4个白球，个红球，从中不放回地每次任取1个，连取2次，已知第二次取到红球的条件下，第一次也取到红球的概率为，则 　　 ． 【答案】6． 【解答】解：根据题意，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到红球”为事件， 则， ，， 第二次取到红球的条件下，第一次也取到红球的概率为， 则，解可得：或（舍． 故答案为：6． 14．是抛物线准线为上一点，，在抛物线上，，的中点也在抛物线上，直线与交于点，则的最小值为 　　． 【答案】6． 【解答】解：设， 则的中点坐标为，的中点坐标为， 因都在抛物线上， 则有， 即， 则，为方程的两个实数根， 则， 直线与交于点，直线的方程为：， 即， 可得， 令， 解得， 则， 所以， 当且仅当时取得最小值，最小值为6． 故答案为：6． 四．解答题（共5小题，满分77分） 15．在实际生活中，为了测量建筑物的高度，可借助的方法有很多． 如图1所示，为了得到建筑物的高，可以在水平面的点处先测量仰角（其中米是测量仪器高度），然后前进米到达点后米，为测量仪器的高度）再测量仰角的大小，最后根据有关数据和直角三角形知识就可得到的高．但是，在这种测量方法中，要保证，，在一条直线上，而且要与垂直（实际生活中直线不一定水平），否则误差会比较大．为了避免这种误差：将以上方法调整为，使，，三点不共线，测得．．，，，米，如图2． （1）若，，三点共线，且，试写出图1中建筑物的高（单位：米）的表达式（用，，，表示）； （2）当，，三点不共线且并不确定平面是否为水平面时，试写出图2中建筑物的高（单位：米）的表达式（结果用，，，，，表示，写出原始表达式即可，不必分母有理化）． 【答案】（1）． （2）． 【解答】解：（1）法一：在中，由正弦定理，，即， 因为，所以， 在中，， 所以的高为． 法二：，，，，， 所以的高为． （2）在中，由正弦定理，， 因为，所以， 在中，由正弦定理，，即， 所以， 在中，由余弦定理可知，， 即． 16．已知函数，，． （Ⅰ）若函数的图象与直线相切，求实数的值； （Ⅱ）若不等式恒成立，求整数的最大值． 【答案】（1）； （2）2． 【解答】解：（Ⅰ）因为函数，， 所以，则， 所以， 因为函数的图象与相切， 所以，解得，则，解得． （Ⅱ）因为不等式恒成立， 所以，恒成立， 令，则， 所以在上递增， 又因为，（1）， 所以存在唯一实数，使得，即， 所以在上递减，在，上递增， 所以，所以整数的最大值是2． 17．京剧被誉为中国文化的瑰宝．每个脸谱都有其独特的象征意义，是京剧中不可或缺的一个组成部分．某商店售卖的京剧脸谱娃娃共有三种款式，有直接购买和盲盒购买两种方式．若直接购买京剧脸谱娃娃，则每个京剧脸谱娃娃售价54元，可选定款式；若盲盒购买京剧脸谱娃娃，则每个盲盒售价27元，盲盒中的一款京剧脸谱娃娃是随机的． （1）甲采用盲盒购买的方式，每次购买一个盲盒并打开，若买到的京剧脸谱娃娃中出现相同款式，则停止购买．用表示甲购买盲盒的个数，求的分布列． （2）乙计划收集一套京剧脸谱娃娃（三种款式各一个），先购买盲盒，每次购买一个盲盒并打开（乙最多购买3个盲盒），若未集齐一套京剧脸谱娃娃，再直接购买没买到的款式，以购买费用的期望值为决策依据，问乙应购买多少个盲盒？ 【解答】解：（1）由题意可知，的取值可能是2，3，4， 则，，， 所以的分布列为： 2 3 4 （2）设乙购买个盲盒，集齐一套京剧脸谱娃娃所需总费用为（单位：元），则的取值可能是1，2，3， 方案一：购买1个盲盒，直接购买另外两款京剧脸谱娃娃，则总费用元， 方案二：购买2个盲盒，当盲盒中的京剧脸谱娃娃的款式相同时，直接购买另外两款京剧脸谱娃娃，总费用元，概率为， 当盲盒中的京剧脸谱娃娃的款式不相同时，直接购买第三款京剧脸谱娃娃，总费用元，概率为， 所以购买2个盲盒的总费用的期望值为元， 方案三：购买3个盲盒，当3个盲盒中的京剧脸谱娃娃款式均相同时，直接购买另外两款京剧脸谱娃娃，总费用元，概率为， 当3个盲盒中的京剧脸谱娃娃恰有两个款式相同时，直接购买第三款京剧脸谱娃娃，总费用元，概率为， 当3个盲盒中的京剧脸谱娃娃款式均不相同时，总费用元，概率为， 所以购买3个盲盒的总费用的期望值为元， 因为方案二购买费用的期望值最小， 所以乙应购买2个盲盒． 18．如图①所示，矩形中，，，点是边的中点，将△沿翻折到△，连接，，得到图②的四棱锥，为中点， （1）若平面平面，求直线与平面所成角的大小； （2）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）取中点，连接，由，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，过作，则平面， 又，平面，于是，， 在矩形中，，，则， 以点为原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的大小为； （2）连接，由，得，而， 则为的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点， ，，所在直线分别为，，轴， 建立空间直角坐标系， 则，0，，，1，，，2，， 显然平面，平面，则平面平面， 在平面内过作于点，则平面， 设，，，而， 则，，， 即，， 所以， 于是，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设平面的一个法向量为， 因为，， 则，令，得， 设平面和平面所成角为， 则 ， 令，，则，即， 则当时，有最小值， 所以平面和平面夹角余弦值的最小值为． 19．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，为坐标原点，△的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线交椭圆于，两点，的中点坐标为，求直线的方程； （3）如图所示，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，．判断点是否为线段的中点，说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）点为线段的中点． 【解答】解：（1）因为椭圆的上顶点为，△的面积为， 所以， 解得， 则椭圆的方程为； （2）设，，，， 因为，两点均在椭圆上， 所以，， 因为的中点坐标为， 所以， 所以， 即， 所以直线的方程为， 即， 联立， 经检验△， 所以直线的方程为； （3）易知直线的斜率存在， 设过点的直线的方程为， 即， 联立，消去并整理得， 此时， 解得， 设，，，， 由韦达定理得，， 直线的方程为， 令， 解得， 同理得， 要证点为线段的中点， 需证， 即证， 因为 ， 即． 故点为线段的中点． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$