11 矩形、菱形、正方形-【暑假提优集训40天】2025年八年级数学期末暑假提优集训（苏科版）

著假提优巢训40大。 2∠ADC,“四边形ABCD是平行四边形，·∠ABC 9正方形 ∠ADC.CB=AD,CB∥AD,·∠CBE=∠ADG,∠BCE= 1.B2.D3.14.(3,10)5.B6.65°7.(1)证明： ∠DAG,,△BCE2△DAG(ASA),.BE=DG,∠BEC :∠AEF=90°，.∠FEC+∠AEB=0°，在Rt△ABE中. ∠AEB+∠BAE=90°，.∠BAE=∠FEC,(2)证明：，G、 ∠DGA,,,∠BEG=∠IGE,,BE∥DG.(2)过点E作EH BC于点H.BE平分∠ABC,EH⊥BC,EF⊥AB,∴，EH E分别是正方形ABCD的边AB,BC的中点，，AG=GB= EF=6.:口ABCD的周长为56，.AB+BC=28,∴Se BE=EC,∠AGE=180°-45=135°.，CF是∠DCH的平分 线，'∠ECF=90°+45"=135"=∠AGE.又，∠GAE=∠FEC. SaAm+Sax=2AB·EF+号BC·EH=号EF·AB+ △AGE2△BCF(ASA.(8)号&（不变，罪由如下：在 BC)=专×6X28=斜.、7元.：国边形ABCD是平行国边形。 R△ABE和R△AHE中，AB=AH,AE=AE,∴，R1△ABE☑ .CD=AB.AD=CB,∠DAB=∠BCD.又△ADE和 Rt△AHE(Hl),∴.BE=HE,∠HAE=∠BAE.同理，DF= △BCF都是等边三角形，.DE=BF,CF=AE,∠DAE HE,∠DAF=∠HAF,∠EAF=号∠BAD=45,(2)不 ∠BCF=6O°.，∠DCF=∠BCD-∠BCF,∠BAE=∠DAB 变.理由如下：，△CF的周长=EF+E+CF=C+DC, ∠DAE,.∠DCF=∠BAE,.△DCF≌△BAE(SAS), ,,△ECF的周长等于正方形边长的2倍，9.(1)证明：连接 .DF=BE又DE=BF,.四边形BEDF是平行四边形 AD.:△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点，AD 8.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC,OB= BC,AD=BD=DC,∠DAQ=∠DBP.又BP=AQ. OD."BE=FD.∴.OB一BE=OD-FD.即OE=OF.又'OA= ∴.△BPD≌△AQD(SAS),.PD=QD,∠ADQ=∠BDP C,.四边形AECF是平行四边形.(2)，Su=2,BE= :∠BDP+∠ADP=90°，∴.∠ADP+∠ALDQ=90°，即∠PDQ= EF,S=S△wE=2.:四边形AECF是平行四边形， 90.∴△PDQ为等腰直角三角形.(2)当点P运动到AB的中 5m=号5四=之5g=专×2=9互相半分.理 点时，四边形APDQ是正方形.理由略，10.C1山，D12.B 由如下：在□ABCD中，AB∥CD且AB=CD.,点E、F分别在 10三角形的中位线 AB,CD上，，DF∥BE.义，DF=BE,.四边形BEDF为平 1.B2.A3.C4.55.18°6.(1)中位中(2)证 行四边形，.DE∥BF.同理，四边形AECF为平行四边形， 明：连接DE,DF.:D,E、F分别是边BC,AB,AC的中点， .CE∥AF,.四边形ENFM为平行四边形，.EF与MN互 .DE∥AC,DF∥AB,∴.四边形AEDF是平行四边形，.EF 相平分.10.D 与AD互相平分.7.连接AO.,'E,F分别是AB,(OB的中 8矩形、菱形 点EF∥AO,EF=号A0,同理，DG∥A0.DG=号AO. 1.A2C3.A42F5.亭()证明：AF/C EF与DG平行且相等，8.证明：如 图，取AC的中点N,连接MN.DN.M ,∠AFE=∠DCE.:E是AD的中点，AE=DE在△AEF 是BC的中点，N是AC的中点，.MN∥ ∠AFE=∠DCE, 和△DEC中， ∠AEF=∠DEC,'.△AEF≌△DEC(AAS), AB.MN=号AB.∠B=∠NMC:AD AE-DE. 是△ABC的高，N是AC的中点，.DN=CN,∠C=∠NDC ,AF=CD.AF=BD,.BD=CD.(2)四边形AFBD是矩 :∠NMC=∠NC+∠MND.∠B=2∠C,∴.∠MDN= 形.证明如下：：AB=AC,D是C的中点，AD⊥C ∠MND=∠C.MD=MN,∴MD=号AB,9.(1)4 .∠ADB=90°.AF=BD,AF∥BD,∴.四边形AFBD是平行 四边形.又，∠ADB=90,.四边形AFBD是矩形.7.(1)连 a十b 2 (21<MN<≤MN<空 10.(1)相等 接AC,证明△ABE2△ACF(ASA),得AE=AF,又：∠EAF= 60°(2)△MNP是等边三角形.理由如下：由旋转可得 60.△AEF为等边三角形.(2)20°8.(1)证明：：四边 ∠BAD=∠CAE.又'AB=AC,AD=AE..△ABD≌ 形ABCD是平行四边形，，，AD∥BC,即AF∥BE,.∠AFB △ACE(SAS),.BD=CE,∠ABD=∠ACE.M、N分别为 ∠EBF,∠FAE=∠BEA.又：O为BF的中点，，BO=FO, ∴，△AOF2△EOB(AAS),∴，BE=FA.又AF∥BE,.四边 DE,BE的中点.MN是△EBD的中位线.MN=号BD, 形ABEF是平行四边形.又AB=AF,∴.圆边形ABEF是 且MN/BD.同理可证PN-CE,且PN/CE,MN=PN, 菱形.(2)，AD=BC,AF=BE,∴.AD一AF=BC一BE,即 DF=CE=1.,□ABCD的周长为22，∴.菱形ABEF的周长 ∠MNE=∠DBE,∠NPB=∠ECB,∴∠MNE=∠DBE= ∠ABD+∠ABE=∠ACE+∠ABE,∠ENP=∠EBP+ 为22一2=20，∴.AB=20÷4=5.,四边形ABEF是菱形. ∠NPB=∠EBP+∠ECB.:∠MNP=∠MNE+∠ENP AB=BE,∠BAE=之∠BAD=专×120=60.△ABE ∠ACE+∠ABE+∠EBP+∠ECB=∠ABC+∠ACB=6O°， 是等边三角形，，AE=AB=5,9.,BE⊥AD,BF⊥CD ∴△MNP是等边三角形.(3)根据题意，得BD≤AB+AD, ∴，∠BEA=∠BFC=90.又四边形ABCD是平行四边形， 即BD≤，MN≤2，△MP的面积=之MN·号MN ∴.∠BAE=∠BCF,∴.∠ABE=∠CBF.:BG=BH, ·∠BGH=∠BHG,∴∠BGA=∠BHC,∴.△BGA≌△BHC MN△MNP面积的最大值为5，山.CI2.6 (ASA)..AB=BC,.四边形ABCD为菱形.10.10 11矩形、菱形、正方形 11.24 1,D2.B3.90°4.205.B6.不会7.118.(2,4) 2 ◆八年级1数学 或(3,4)或(8,4)9.EF=PD.理由如下：连接BP,BD.在正 13.(1)证月：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC, 方形ABCD中，AC垂直平分BD,.BP=PD.PE⊥AB. AD=BC,DE=AD..DE=BC.:点E在AD的延长线 PF⊥BC,∠ABC=9O,.四边形EBFP是矩形，∴PB=EF, 上..DE∥BC,,四边形DBCE是平行四边形.，BE⊥DC, .EF=PD.I0.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .四边形DCE是菱形.(2)如图，作点 ,CF∥ED,.∠FCG=∠EDG.G是CD的中点，，CG N关于BE对称的点N',过点D作DH⊥ DG.又，∠CGF=∠DGE,,△FCG≌△EDG(ASA),.FG BC于点H.由菱形的对称性知点N在 EG.,CG=DG,.四边形CEDF是平行四边形.(2)①3.5 DE上，.PM+PN=PM+PN',∴.当P ②211.(1)证明：四边形ABCD为正方形..AB=AD, M.N'三点共线时，PM+PN=PM+ ∠ABD=∠ADB..∠ABE=∠ADF.在△ABE和△ADF PN=MN.,DE∥BC..MN的最小值 AB=AD. 为平行线间的距离DH的长，即PM+PN 中，∠ABE=∠ADF,∴.△ABE2△ADF(SAS).(2)圆边 的最小值为DH的长.在R1△DBH中，∠DBH=60,DB BE-DF. 形AECF是菱形.理由如下：连接AC,交BD于点(O.,四边 2DH=2×号-原，∴PM+PN的最小值为3. 形ABCD为正方形，，OA=(OC.OB=OD,AC⊥EF,:BE= DF,(OB+BE=OD+DF,即(E=OF.又，(A=C,四 12分式分式的基本性质 边形AECF是平行四边形.AC⊥E下，.四边形AECF是菱形. 12.(1)DE十CD=AE.理由如下：CD⊥BD,AE⊥BD, 1.B2.C3.D+.C5.D6.37.0+20 20x-3y AB1BC,∴.∠ABC=∠D=∠AEB=90,∴.∠ABE+∠CBD= 1500 ∠C+∠CBD=90°，∠ABE=∠C.又：AB=BC,∴.△ABE≌ 8,2x+35 9.A10.D11.D12.C13.60(答袋不 ABCD(AAS),BE-CD,AE=BD,DE-BD-BE= -)4是15.202.516.0r<号 17.选取①②四 AE-CD..DE+CD=AE.(2)AD=2BE+DF.理由如 下：如图1.过点E作EM⊥AD于点M,EN⊥CD于点N 得二2-。%=写之当a=6=3时，原式= 3-3b 3(4-b) ,四边形ABCD是正方形，.DB平分∠ADC.∠ADC=90°， .BD=2AD=2CD..DE=BD-BE=2 AD-BE. 6=3-1.(答案不唯-)18。一219.2 ,EN⊥CD,EM⊥AD,.EM=EN,又，AE=EF 13分式的加减 ∴.R△AEM≌Rt△FEN(HL),∴.AM=NF.:EM=EN. EN⊥CD,EM⊥AD,∠ADC=90',.四边形EMDN是正方 上c2A点4导&品-0品- 3a3 形MD=ND=号DE,AM=AD-MD=AD-号DM. 3.2=一2a-26 。-2% NP=ND-DF=号E-DEAD-号DE=号E-D. @号己。高之6原 即AD=2DE-DF=2(2AD-BE)-DF,∴.AD=√2BE+ 式=a+h2原式=7.-68原式-号 9.原 DF,(3)AD=√2BE-DF理由如下：如图2，过点A作AH⊥ 3 BD于点H,过点F作FG⊥BD交BD的延长线于点G 式=x+ 10,A=2,B=111,112.(1)A 又，AE⊥EF,.∠AHE=∠G=∠AEF=90,.∠AEH+ (r+1)9 ∠HAE=∠AEH+∠FEG=90,.∠HAE=∠FEG. Gx+1)a-1Dx-1x-1-1x-1 (2)解不等式 又，AE=EF,,△HAE≌△GEF(AAS),.HE=FGa r-1≥0，得≥1，解不等式x-3<0,得x<3.∴.不等式组的 :∠FDG=∠BDC=45,.∠DFG=45°..△DFG是等腰 解集为1≤r<3.又x为数∴=1或2。r≠士1，.r=2. 直角三角形∴FG-号DEHE=FG-号DR.:∠ADB- A==1.B.a10+0(+19）告 45”,AH⊥HD,∴△ADH是等腰直角三角形，六HD= 2tV 号AD.DE-HD-HE-号AD-号DFBD-BE=DE (2)乙14.A15.从第2步开始出现错误.正确的 +y m十1 2 号D-号R,:BD=反AD.dEAD-BE=号AD 化简过程为：原式=(m+)m-一(m十)(m一 2 m+1-2 m一1 1 号DF,AD=EBE-DF (m+1)(m-1D-(m+1)(m-1D二m+1 14分式的乘除 1B2B片2)-融8) ry (4)-m2n 5原式“6A7B&A9号 10原式=名山原式=营当=2时，原式-号 图2 12原式=马，当a=4时，原式=1以原式= 3八年级1数学 1 矩形、菱形、正方形 型础儿国 1.如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.若AE=4,AF=6,且□ABCD的 周长为40，则□ABCD的面积为 () A.24 B.36 C.40 D.48 2.下列命题中，是真命题的有 () ①对角线相等且互相平分的四边形是矩形：②对角线互相垂直的四边形是菱形：③四边 相等的四边形是正方形：④四边相等的四边形是菱形. A.①② B.①④ C.②③ D.③④ 3.将△ABC与口DEFG如图放置，点D,G分别在边AB、AC上，点E,F在边BC上.已知 BE=DE,FC=FG,则∠A= (第3题) (第4题) 4.如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中 点.若AB=8,AD=12,则四边形ENFM的周长为 能力提优 5.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的动点，且满足AE=BF, AF与DE交于点O,M是DF的中点，G是边AB上的一点，AG=2GB,则OM+2FG的 最小值是 () A.4 B.5 C.8 D.10 2立 善假提优集训40大。 6.如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）拉成四边形ABCD,对角 线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂.若∠BAD=60°，则橡皮筋AC 断裂.（填“会”或“不会”，参考数据：3≈1.732） (第6题) (第7题) (第8题) 7.如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3.若E、F、G、H分别是AB、 AC,CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是 8.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10,0)、(0,4)，D是 OA的中点，点P在BC上运动.当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标 为 9.如图，在正方形ABCD中，P是AC上任意一点（不同于点A、C),且PE⊥AB,PF⊥BC, 垂足分别为E、F.请问EF与PD相等吗？为什么？ 10.如图，在□ABCD中，AB=3cm,BC=5cm,∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上 的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE、DF (1)求证：四边形CEDF是平行四边形 (2)①当AE= cm时，四边形CEDF是矩形： ②当AE= cm时，四边形CEDF是菱形. (直接写出答聚，不需要说明理由) 28 ◆八年级1数学 11.如图，在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F,满足BE=DF,连接 AE、AF、CE、CF (1)求证：△ABE≌△ADF, (2)试判断四边形AECF的形状，并说明理由. 宜击中考 12.【模型建立】 (1)如图1，已知△ABE和△BCD,AB⊥BC,AB=BC,CD⊥BD,AE⊥BD.用等式写出 线段AE、DE、CD之间的数量关系，并说明理由. 【模型应用】 (2)如图2，在正方形ABCD中，点E、F分别在对角线BD和边CD上，AE⊥EF,AE= EF.用等式写出线段BE、AD、DF之间的数量关系，并说明理由 【模型迁移】 (3)如图3，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，AE」 EF,AE=EF.用等式写出线段BE、AD,DF之间的数量关系，并说明理由. 图1 图2 图3 13.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E,使DE=AD,且BE⊥DC (1)求证：四边形DBCE为菱形 (2)若△DBC是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC,CE上运动，求 PM+PN的最小值. 29