10 三角形的中位线-【暑假提优集训40天】2025年八年级数学期末暑假提优集训（苏科版）

誉假提优集训40大 10 三角形的中位线 型础儿国 1.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点.若DE=2,则BC的长是 A.3 B.4 C.5 D.6 B (第1题) (第3题) 2.小区的一角有一块四边形的空地，为了美化小区，社区居委会计划在空地上建一个四边 形的水池，使水池的四个顶点恰好在四边形各边的中点上，则水池的形状一定是() A,平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 3.如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF=2BF,连接EF并延长，交CB的延长 线于点M.若BC=6,则线段CM的长为 () A号 B.7 c. D.8 能力提优 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是边AB、AC的中点，延长BC到点F,使 CF=2BC.若AB=1O,则EF的长是 (第4题) (第5题) 5.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD= BC,∠PEF=18°，则∠PFE的度数为 6.如图，在△ABC中，D、E、F分别是边BC、AB、AC的中点. (1)EF是△ABC的 线，AD是△ABC的 线 (2)求证：EF与AD互相平分. 西 ◆八年级1数学 7.如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O,F、G分别是BO、CO的中点.试说明EF与DG 平行且相等， 8.如图，已知AD是△ABC的高∠B=2∠C,M是BC的中点.求证：MD=)AB, 9.【图形定义】 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.类似地，我们把连接四边形对边中点 的线段叫作四边形的中位线.例如：如图1，在四边形ABCD中，M是边AB的中点，N是 边CD的中点，则MN是四边形ABCD的中位线， 【方法探究】 如图2，已知MN是△ABC的中位线，以点N为中心将△ABC旋转180°得到△CB'A,可 证MN=2BC 【方法应用】 (1)如图3，MN是梯形ABCD的中位线.若AD=3,BC=5,则MN= :若AD= a,BC=b,且b>a,则MN= (2)如图4，MN是四边形ABCD的中位线.若AD=3,BC=5,则MN的取值范围是 :若AD=a,BC=b,且b>a,则MN的取值范围是 图 图2 图3 图 普假提优集训40大 10.如图1，在等腰三角形ABC中，∠A=120°，AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上， AD=AE,连接BE,M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，连接MN、NP 图1 图2 (1)观察猜想：图1中，线段MN、NP的数量关系是 ,∠MNP的大小为 (2)探究证明：把△ADE绕点A顺时针旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE,判 断△MNP的形状，并说明理由。 (3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=1,AB=3,请求出△MNP 面积的最大值. 面击中考 11.如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，则下列说法错误的是 () A.△BDE和△DCF的面积相等 B.四边形AEDF是平行四边形 C,若AB=BC,则四边形AEDF是菱形 D.若∠A=90°，则四边形AEDF是矩形 D C 第一次折叠 第二次折叠 (第11题) (第12题) 12.“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验.如图，已知三角形纸片ABC,第一次折叠使 点B落在边BC上的点B处，折痕AD交BC于点D:第二次折叠使点A落在点D处， 折痕MN交AB'于点P.若BC=12,则MP+MN= 20潜假提优集训40大 立∠ADC.“四边形ABCD是平行四边形，∠ABC 9正方形 ∠ADC,CB=AD,CB∥AD,·∠CBE=∠ADG,∠BCE= 1.B2.D3.14.(3,10)5.B6.65°7.(1)证明： ∠DAG,·△BCE2△DAG(ASA),.BE=DG,∠BEC :∠AEF=90°，.∠FEC+∠AEB=90°，在Rt△ABE中， ∠AEB+∠BAE=90°，·∠BAE=∠FEC,(2)证明：，G、 ∠DGA.,·∠BEDG=∠DGE,.BE∥DG.(2)过点E作EHL BC于点H.:BE平分∠ABC,EH⊥BC,EF⊥AB,.EH E分别是正方形ABCD的边AB、BC的中点，，AG=GB= EF=6.:口ABCD的周长为56，.AB+BC=28,∴Sae BE=EC,∠AGE=180°-45°=135°.，CF是∠DCH的平分 线，'∠ECF=90°+45"=135"=∠AGE.又，∠GAE=∠FEC. SaAr+Sam=2AB·EF+号BC·EH=号EF·(AB+ △AGE2△BCF(ASA,(3)号&（不变，罪由如下：在 BC)=专×6X28=8斜.、元.：国边形ABCD是平行国边形。 R△ABE和R△AHE中，AB=AH,AE=AE,∴，R1△ABE☑ .CD=AB.AD=CB,∠DAB=∠BCD.又：△ADE和 R△AHE(Hl),∴BE=HE,∠HAE=∠BAE.同理，DF= △BCF都是等边三角形，.DE=BF,CF=AE,∠DAE HE,∠DAF=∠HAF,∠EAF=号∠BAD=45,(2)不 ∠BCF=6O°.，∠DCF=∠BCD-∠BCF,∠BAE=∠DAB 变.理由如下：，△CF的周长=EF+CE十CF=BC+DC, ∠DAE,.∠DCF=∠BAE,.△DCF≌△BAE(SAS), ,,△ECF的周长等于正方形边长的2倍，9.(1)证明：连接 .DF=BE又DE=BF,,四边形BEDF是平行四边形 AD.:△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点，，ADL 8.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC,OB= BC,AD=BD=DC,∠DAQ=∠DBP.又BP=AQ. OD."BE=FD.OB一BE=OD-FD,即OE=OF.又.'OA= ∴.△BPD≌△AQD(SAS),.PD=QD.∠ADQ=∠BDP OC,.四边形AECF是平行四边形.(2)Se=2,BE= :∠BDP+∠ADP=90°，∴.∠ADP+∠ALDQ=90°，即∠PDQ= EF,S四=SAwE=2.:四边形AECF是平行四边形， 90.∴△PDQ为等腰直角三角形.(2)当点P运动到AB的中 Sm=号5a四=之5g=专X2=1.9互相平分.星 点时，四边形APDQ是正方形，理由略，10.C11,D12,B 由如下：在□ABCD中，AB∥CD且AB=CD.,点E、F分别在 10三角形的中位线 AB,CD上，，DF∥BE.又DF=BE,.四边形BEDF为平 1.B2.A3.C4.55.18°6.(1)中位中(2)证 行四边形，.DE∥BF,同理，四边形AECF为平行四边形， 明：连接DE,DF.:D,E,F分别是边BC,AB,AC的中点， .CE∥AF,.四边形ENFM为平行四边形，.EF与MN互 .DE∥AC,DF∥AB,.四边形AEDF是平行四边形，.EF 相平分.10.D 与AD互相平分.7.连接AO.:E,F分别是AB,OB的中 8矩形、菱形 点EF∥AO,EF=号AO,同理，DG∥A0.DG=号AO, 1,A2.C3.A+.2F5.亭6.(D证明AF/BC, ,EF与DG平行且相等，8.证明：如 图，取AC的中点N,连接MN.DN.M ∠AFE=∠DCE.:E是AD的中点，AE=DE.在△AEF 是BC的中点，N是AC的中点，.MN∥ ∠AFE=∠DCE, 和△DEC中， ∠AEF=∠DEC,.△AEF≌△DEC(AAS), AB.MN=号AB.∠B=∠NMC.:AD AE-DE. 是△ABC的高，N是AC的中点，.DV=CN,.∠C=∠NDC .AF=CD.AF=BD,.BD=CD.(2)四边形AFBD是矩 :∠NMC=∠NC+∠MND.∠B=2∠C.∴.∠MDN= 形.证明如下：：AB=AC,D是C的中点，∴AD⊥BC ∠MND=∠C,MD=MN,MD-专AB.9.(1)4 .∠ADB=90°.AF=BD,AF∥BD,∴.四边形AFBD是平行 四边形.又，∠ADB=90,.四边形AFBD是矩形.7.(1)连 a十b 2 (21<MN<2≤MN<空 10.(1)相等 接AC,证明△ABE2△ACF(ASA),得AE=AF.又：∠EAF= 60°(2)△MNP是等边三角形.理由如下：由旋转可得 60.△AEF为等边三角形，(2)20°8.(1)证明：：四边 ∠BAD=∠CAE.又'AB=AC,AD=AE..△ABD≌ 形ABCD是平行四边形，，，AD∥BC,即AF∥BE,.∠AFB △ACE(SAS),.BD=CE,∠ABD=∠ACE.M、N分别为 ∠EBF,∠FAE=∠BEA.又，O为BF的中点，，BO=FO, ∴，△AOF△EOB(AAS),∴，BE=FA.又，AF∥BE,∴.四边 DE,BE的中点.一MN是△EBD的中位线MN=之BD, 形ABEF是平行四边形.又AB=AF,∴.四边形ABEF是 且MN/BD.同理可证PN-CE,且PN/CE,MN=PN 菱形.(2)，AD=BC,AF=BE,.AD一AF=BC一BE,即 DF=CE=1.,□ABCD的周长为22，.菱形ABEF的周长 ∠MNE=∠DBE,∠NPB=∠ECB,∴∠MNE=∠DBE ∠ABD+∠ABE=∠ACE+∠ABE,∠ENP=∠EBP+ 为22-2=20，.AB=20÷4=5.,四边形ABEF是菱形. ∠NPB=∠EBP+∠ECB.:∠MNP=∠MNE+∠ENP= AB=BE,∠BAE=专∠BAD=专×120=60.△ABE ∠ACE+∠ABE+∠EBP+∠ECB=∠ABC+∠ACB=6O°， 是等边三角形，，AE=AB=5.9.BE⊥AD,BF⊥CD, ∴△MNP是等边三角形.(3)根据题意，得BD≤AB+AD, ∴，∠BEA=∠BFC=90,又四边形ABCD是平行四边形， 即BD<,MN≤2，△MNP的面积-之MN·MN ∴.∠BAE=∠BCF,∴.∠ABE=∠CBF.:BG=BH, ∴.∠BGH=∠BHG,∴·∠BGA=∠BHC,∴.△BGA≌△BHC 区MN,△MNP面积的最大值为5，山.CI2.6 (ASA),.AB=BC,.四边形ABCD为菱形.10.10 11矩形、菱形、正方形 11.24 1,D2.B3.90+.205.B6.不会7.118.(2,4) 2