精品解析：浙江省金华十校2024-2025学年高一下学期期末调研考试数学试题

金华十校2024—2025学年第二学期期末调研考试 高一数学试题卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟． 考生注意： 1．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上． 2．选择题的答案领用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净． 3．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区域内，答案写在本试题卷上无效． 选择题部分（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集的概念可得结果. 详解】由题意可得. 故选：C. 2. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数乘法运算化简，结合复数的几何意义确定在复平面内对应的点的坐标，由此可得结论. 【详解】因为， 所以复数z在复平面内对应的点的坐标为， 故复数z在复平面内对应的点位于第一象限， 故选：A. 3. 某次测量中得到的样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若样本数据恰好是样本数据都加2后所得，则两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】 利用平均值和方差的定义和公式，即得解. 【详解】设样本的平均值为，方差为， 则样本的平均值为， ，样本的方差相同． 故选：D． 【点睛】本题考查了样本的平均数和方差，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题. 4. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由面面平行的性质、线面、面面平行的判定即可判断. 【详解】因为，若，则由线面平行的性质可知，故“”是“”的充分条件， 设，，显然，从而有成立，但此时不平行. 故选：A. 5. 设样本空间含有等可能的样本点，且，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，，利用古典概型概率公式即可求解. 【详解】因为样本空间，， 则，，所以. 故选：B. 6. 以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】举例说明判断AB；利用二倍角的正弦及正弦函数单调性比较判断C；利用辅助角公式，结合求解判断D. 【详解】对于AB，取，，，AB错误； 对于C，，而，，，C错误； 对于D，单位圆交轴正半轴于，点在圆上，且，于， 则，劣弧长为，由，得，因此， ，D正确. 故选：D 7. 如图是某函数的部分图象，则该函数最有可能的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A中函数定义域不符合图象排除；B中函数为增函数不符合图象排除；C中函数的正负不符合图象排除. 【详解】对于A，函数的定义域为，不符合图象，排除A； 对于B，，，在上为增函数，不符合图象，排除B； 对于C，当时，，当时，，不符合图象，排除C. 故选：D 8. 如图，已知正方体的棱长为1，点P是上底面内的一个动点．设平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为，若，则下图中阴影部分表示P点轨迹的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面垂直，结合面面角的定义可得，，进而根据全等，将问题转化为在正方形内考虑，结合对称性以及平面几何的知识即可求解. 【详解】如图，取正方体的上底面的各边中点， 过作于，作于， 则平面，平面， 平面，则， 同理可得. 由于, 因此,故, 同理可得, 因此只需要在正方形内考虑，即 等价于到的距离比到的距离大，所以在如图所示的阴影范围内. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知点，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量是 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出，再求出，即可判断A；求出及，验证是否等于0即可判断B；求出的值，即可判断C；根据公式求出在上的投影向量，即可判断D. 【详解】因为，所以. 因为，故A错误； 因为，， 所以， 所以，故B正确； 因为，故C正确； 因为， 所以在上的投影向量为 . 故D正确. 故选：BCD 10. 已知事件，且，则（ ） A. 事件与事件互为对立事件 B. 若事件与事件互斥，则 C. 若事件与事件互斥，则 D. 若，则事件与事件相互独立 【答案】BD 【解析】 【分析】根据对立事件的定义、互斥事件概率公式、相互独立事件的性质及概率公式计算判断作答. 【详解】由于对立事件的概率和为1，但，A错误； 若事件与事件互斥，则，B正确； 若事件与事件互斥，则不可能同时发生，即，C错误； 因为，所以事件与事件相互独立， 则事件与事件相互独立，D正确． 故选：BD. 11. 若球的半径为2，为直径，中点为P，则下列说法正确的是（ ） A. 球面上任意一点到P距离的最大值为3 B. 过P作球O的截面，则截面面积的最小值是 C. 若某正方体的外接球是球O，则点P到该正方体各面距离的最大值是 D. 若某正四面体的外接球是球O，则点P在该正四面体上的轨迹长度是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，分析出球面上一点到球内一点的最大距离为即可判断；对于B，分析出当垂直于截面时，截面的面积最小即可判断；对于C，设正方体的棱长为，分析出P到该正方体各面距离的最大值为即可判断；先求出正四面体的高即球心到正四面体一个面的距离，再判断出点与正四面体的每个面的交线是一个圆，并求出截面圆的半径，即可求出点P在该正四面体上的轨迹长度，即可判断. 【详解】 对于A，如图所示球的半径，为直径，中点为P，则有. 根据球的性质可知，球面上一点到球内一点的最大距离为球的半径 加上该点到球心的距离，即，故A正确； 对于B，过P作球O的截面，当垂直于截面时，截面圆的半径最小， 由勾股定理可知， 所以截面面积的最小值为，故B错误； 对于C，如图所示： 若正方体的外接球是球O，设正方体的棱长为， 则有，由可知. 已知球心到正方体各面的距离为，又因为， 所以点P到该正方体各面距离的最大值是， 故C正确； 对于D，如图所示 若正四面体的外接球是球O，取的中点为，连接， 设在底面的射影为，则在上，且， 设正四面体的棱长为， 则正四面体的高 又因为外接球半径， 由可知，，. 所以点与正四面体的每个面的交线是一个圆，截面圆的半径，周长为， 所以点P在该正四面体上的轨迹长度是，故D正确. 故选：ACD 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据对数的运算法则及对数的性质计算可得. 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查对数的运算及对数的性质，属于基础题. 13. 已知甲，乙两个投篮命中率分别是，并且他们投篮互不影响，每人投篮1次，则恰好有一个人命中的概率为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】恰好有一个人命中包含以下两种情况①甲投中，乙没投中②甲没投中，乙投中，由此能求出恰好有一个人命中的概率． 【详解】甲、乙两人投篮命中率分别和,并且他们投篮互不影响. 现每人分别投篮1次，恰好有一个人命中包含以下两种情况： 甲投中，乙没投中，概率为：, 甲没投中，乙投中，概率为： , 所以恰好有一个人命中的概率 故答案为： 14. 已知函数在上恰有2个零点，则a的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】令，，讨论在上的零点个数，确定的取值范围，分析在上的零点个数，最终确定在上的零点个数. 【详解】设，，则. 二次函数图象开口向上，对称轴为直线，，. 因为，所以. ①当在上没有零点时，，故， 此时，， 所以在区间和内各有一个零点，故在上恰有2个零点. ②当在上有1个零点时，，故， 此时，， 所以在区间和内各有一个零点，故在上有3个零点，不合题意. ③当在上有2个零点时，，故， 此时，， 所以在区间和内各有一个零点，故在上有4个零点，不合题意. 综上得，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2025年是“全民体重管理年”，健康体重成为社会关注的新焦点．为了提升人们体重管理意识和技能，预防控制超重肥胖，某市开展“体重管理知识”宣传活动．举办了“体重管理”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（成绩均为不低于40分的整数）进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值与该样本数据的第60百分位数； （2）根据该频率分布直方图，估计1000个参赛选手中有多少人能得60分及以上． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，求得，设样本数据的第60百分位数为，根据百分位数的计算方法，列出方程，即可求解； （2）根据题意，求得得分在60分以上的参赛选手所占的比例，进而求得1000个参赛选手中得60分及以上的人数，得到答案. 【小问1详解】 由频率分布直方图，可得， 解得， 可得数据在的频率为0.05，数据在的频率为0.15，数据在的频率为0.35，数据在的频率为0.65，所以第60百分位数在， 设样本数据的第60百分位数为，可得，解得， 所以第60百分位数为； 【小问2详解】 样本数据中，得分在60分及以上的参赛选手所占的比例为， 所以可估计1000个参赛选手中得60分及以上的人数为. 16. 已知二次函数． （1）若，求的解集； （2）若方程在上有解，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）用换元法令，则在上有解，求出方程的根，根据题意列式即可求解. 【小问1详解】 当时，，解得或, 故解集为 【小问2详解】 令，为增函数， 因为，所以， 即在上有解， 解得，或（舍去）， 所以，即. 17. 在三棱锥中，是的中点，且． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证. （2）作于F，结合余弦定理求出，再利用几何法求出线面角的正弦. 【小问1详解】 连接，由为中点，得， 由，得，， 因此，而平面，则平面， 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 在平面内过点D作于F，连接， 由平面平面，平面平面，于是平面， 即为直线与平面所成角，在中，， 则，， 因此，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 如图，在中，，是的角平分线，且． （1）求； （2）若是线段上动点，且，记为． （i）用表示； （ii）求面积的最小值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦定理可得结果. （2）（i）由得，在中，利用正弦定理可得结果. （ii）在中，利用正弦定理用表示，结合三角形面积公式将问题转化为求最大值即可得解. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， ， 所以. 【小问2详解】 （i）由（1）可知， 所以，故，，. 因为，所以， 在中，由正弦定理得，，即， 所以. （ii）因为，，，所以， 又，所以， 在中，由正弦定理得，，即， 所以， 设点到的距离为，则， 所以， 要求三角形面积的最小值，即求的最大值， 由题意得，， 因为，所以，， ，故的最大值为， 所以面积的最小值为. 19. （1）过的重心G作直线l，若l与边平行，与分别交于D，E两点，求与的面积比； （2）在中，若，其中，过O作直线l，与线段分别交于D，E两点，求证：； （3）在等腰直角中，，分别为的中点，将沿折起，得到四棱锥，在二面角处于过程中，作的角平分线交于点M，记与平面的交点为N，过N作直线l，与线段分别交于P，Q两点，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为V，求的最小值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）不妨设过重心的直线l与平行，且与分别交于D，E两点，由重心性质及平行线性质可得，结合面积公式求结论； （2）根据向量线性运算法则可得，结合条件D，O，E三点共线，证明结论； （3）证明为二面角的平面角，过点作所在直线的垂线，垂足为T，求，设，结合（2）证明，结合体积公式证明，再结合基本不等式，二次函数性质求其最小值. 【详解】（1）不妨设过重心直线l与平行，且与分别交于D，E两点，则，所以 （2）证明：由 因为D，O，E三点共线，所以， 即 （3）不妨设等腰直角两条直角边长为2，则， 因为，分别为的中点， 所以，， 所以为二面角的平面角， 记二面角的所成角为．则， 因为，平面，， 所以平面，平面， 所以平面平面，平面平面， 过点作所在直线的垂线，垂足为T，则 因为平面，所以平面，平面， 所以 所以， 由是的平分线，所以， 所以， 设，即 连接和，记，则 连接，则面面 又记与平面的交点为N，即N为面与面的公共点， 所以N在上，设， 由（2）可知：，， 设， 则，即， 因为，所以， 所以，， 因为， 所以点到平面的距离是点到平面的距离的倍， 点到平面的距离是点到平面的距离的倍， 所以， 所以 ， 又，当且仅当时等号成立， 所以 因为，所以， 所以，即， 设，，， 函数在单调递增， 所以当时，函数，取最大值，最大值为， 所以， 当且仅当时，等号成立 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 金华十校2024—2025学年第二学期期末调研考试 高一数学试题卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟． 考生注意： 1．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上． 2．选择题的答案领用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净． 3．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区域内，答案写在本试题卷上无效． 选择题部分（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 某次测量中得到样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若样本数据恰好是样本数据都加2后所得，则两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差 4. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设样本空间含有等可能的样本点，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是某函数的部分图象，则该函数最有可能的解析式是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知正方体的棱长为1，点P是上底面内的一个动点．设平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为，若，则下图中阴影部分表示P点轨迹的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知点，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量是 10. 已知事件，且，则（ ） A. 事件与事件互为对立事件 B. 若事件与事件互斥，则 C. 若事件与事件互斥，则 D. 若，则事件与事件相互独立 11. 若球的半径为2，为直径，中点为P，则下列说法正确的是（ ） A. 球面上任意一点到P距离的最大值为3 B. 过P作球O截面，则截面面积的最小值是 C. 若某正方体的外接球是球O，则点P到该正方体各面距离的最大值是 D. 若某正四面体的外接球是球O，则点P在该正四面体上的轨迹长度是 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12 计算：________． 13. 已知甲，乙两个投篮命中率分别是，并且他们投篮互不影响，每人投篮1次，则恰好有一个人命中概率为___________． 14. 已知函数在上恰有2个零点，则a的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2025年是“全民体重管理年”，健康体重成为社会关注的新焦点．为了提升人们体重管理意识和技能，预防控制超重肥胖，某市开展“体重管理知识”宣传活动．举办了“体重管理”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（成绩均为不低于40分的整数）进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值与该样本数据的第60百分位数； （2）根据该频率分布直方图，估计1000个参赛选手中有多少人能得60分及以上． 16. 已知二次函数． （1）若，求的解集； （2）若方程在上有解，求实数a的取值范围． 17. 在三棱锥中，是的中点，且． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 如图，在中，，是的角平分线，且． （1）求； （2）若是线段上动点，且，记为． （i）用表示； （ii）求面积的最小值． 19. （1）过的重心G作直线l，若l与边平行，与分别交于D，E两点，求与的面积比； （2）在中，若，其中，过O作直线l，与线段分别交于D，E两点，求证：； （3）在等腰直角中，，分别为的中点，将沿折起，得到四棱锥，在二面角处于过程中，作的角平分线交于点M，记与平面的交点为N，过N作直线l，与线段分别交于P，Q两点，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为V，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$