精品解析：辽宁省朝阳市建平县实验中学2024-2025学年高一下学期第三次月考数学试题

2024-2025学年度下学期高一年级数学第三次月考试卷 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接由复数的乘法运算把给出的复数化简为的形式，则复数的虚部可求． 【详解】因为，虚部为. 故选：B. 2. 在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊角的正余弦值及三角函数的定义即可求解． 【详解】，则， 故选：B． 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式和三角函数的基本关系，以及正弦的倍角公式，准确化简、计算，即可求解. 【详解】由 故选：D. 4. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知，，，则（ ） A. B. 13 C. D. 37 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用余弦定理计算可得； 【详解】解：由余弦定理可得，则． 故选：A 5. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的投影向量公式直接求得. 【详解】依题意在上的投影向量为 . 故选：A. 6. 在中，若，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理及大边对大角，结合余弦定理的推论即可求解. 【详解】因为的三个角满足， 所以由正弦定理化简得， 设，为最大边， 由余弦定理得， 所以为钝角， 所以是钝角三角形. 故选：C. 7. 已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cos 〈a－c，b－c〉＝（　　） A. － B. － C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：作出图形，根据几何意义求解． 详解：因为a＋b＋c＝0，所以a＋b＝－c，即a2＋b2＋2a·b＝c2，即1＋1＋2a·b＝2，所以a·b＝0. 如图，设＝a，＝b，＝c.由题知，OA＝OB＝1，OC＝，△OAB是等腰直角三角形，边AB上的高OD＝，AD＝，所以CD＝CO＋OD＝＋＝，tan ∠ACD＝＝，cos ∠ACD＝，cos 〈a－c，b－c〉＝cos ∠ACB＝cos 2∠ACD＝2cos2∠ACD－1＝2×（）2－1＝.故选D. 【考查意图】向量的数量积的应用． 8. 已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后再向右平移个单位长度，所得的图象关于y轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角恒等变换公式化简与三角函数图象变换得解析式，再根据三角函数性质求解 【详解】由诱导公式可得， 故， ， 函数变换后得到， 图象关于y轴对称，故，得 而，故最小值为， 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分 9. 已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 复数的模为 C. 若，则复平面内对应的点位于第二象限 D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的运算可直接判断A；计算复数的模可判断B；先化简复数，求出共轭复数，利用复数的几何意义可判断C；根据复数模的几何意义可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：，故选项A正确； 对于B：复数的模为，故选项B不正确； 对于C：，所以，对应的点位于第三象限，故选项C不正确； 对于D：复数满足，表示复数对应的点到点和点两点的距离相等，所以在复平面内对应的点的轨迹为线段的垂直平分线，故选项D正确； 故选：AD. 10. 给出下列命题，其中正确的选项有（ ） A. 非零向量，，满足且与同向，则 B. 若单位向量，的夹角为60°，则当取最小值时， C. 在中，若，则为等腰三角形 D. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量的定义，可判定A错误；根据向量数量积求得，可判定B正确；由表示与的平分线共线的向量，结合三角形的性质，可判定C正确；当时，得到向量与向量的夹角为，可判定D项错误. 【详解】对于A中，向量的既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，所以A错误； 对于B中，因为单位向量，的夹角为，可得， 则， 当且仅当时，取得最小值，最小值为，所以B正确； 对于C中，因为表示与的平分线共线的向量， 又因为，可得的平分线与垂直，所以为等腰三角形，所以C正确； 对于D中，当时，此时向量与向量的夹角为，所以D项错误. 故选：BC 11. 在中，，点D为边上一动点，则（ ） A. B. 当为边上的高线时， C. 当为边上的中线时， D. 当为角A的角平分线时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据余弦定理求出判断A，根据等积法求出上的高判断B，取的中点，连接，则由余弦定理可求，故可判断C，根据等积法可求出角平分线长后判断D. 【详解】对于A，由余弦定理，可得， 所以，所以A正确； 对于B，由正弦定理，可得， 而，故，所以B错误； 对于C，如图所示，取的中点，连接，则， 可得， 在中，由余弦定理，可得 ，可得，所以C正确； 对于D，因为为角平分线，设， 由，可得， 可得，所以D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的相邻两个零点之间的距离是，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据给定信息，结合正切函数的性质求出，代入函数式计算作答. 【详解】函数的相邻两个零点之间的距离是，则有的周期，解得， 于是得，所以. 故答案为：1 13. 如图，某山的高度BC＝300m，一架无人机在Q处观测到山顶C的仰角为15°，地面上A处的俯角为45°，若∠BAC＝60°，则此无人机距离地面的高度PQ为__________m． 【答案】200 【解析】 【分析】在直角三角形中求出，在△ACQ中利用正弦定理求出，在Rt△APQ中求PQ即可. 【详解】根据题意，在RtABC中，∠BAC＝60°，BC＝300m， 所以m， 在ACQ中，∠AQC＝45°＋15°＝60°，∠QAC＝180°－45°－60°＝75°， 所以∠QCA＝180°－∠AQC－∠QAC＝45°， 由正弦定理，得，即m， 在RtAPQ中，PQ＝AQsin45°＝m． 故答案为：200 14. 在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示________.若，则余弦值的最小值为________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据向量的加法和数乘的几何意义即可求出；同理可求出，根据可得，从而得出，然后根据，结合基本不等式即可求解. 【详解】 由已知可得 ； ， 因为， 所以， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以余弦值的最小值为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求的值； （2）若，求的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出； （2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积． 【小问1详解】 由于， ，则．因为， 由正弦定理知，则． 【小问2详解】 因为，由余弦定理，得， 即，解得，而，， 所以的面积． 16. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若，且，求的值． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）通过二倍角公式以及辅助角公式将函数化简为，再结合正弦函数的性质即可得解； （2）代入得，由两角差的正弦公式即可得结果. 【小问1详解】 令，，则，， 所以的单调递增区间为，. 【小问2详解】 因为，所以． 因，所以， 所以， 所以 . 17. 在△ABC中，（2a﹣c，cosC），（b，cosB），且． （1）求角B的大小； （2）若b＝1，当△ABC面积取最大时，求△ABC内切圆的半径． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由可得（2a﹣c）cosB＝bcosC，由正弦定理化简可得2sinAcosB＝sinA，利用A，B为三角形内角，即可解得B的值； （2）由余弦定理，基本不等式及已知B，b＝1可解得ac≤1，利用三角形面积公式可得当且仅当a＝c＝1时S△ABC最大值为，此时三角形为等边三角形，即可求得其内切圆的半径． 【详解】解：（1）∵由已知可得（2a﹣c）cosB＝bcosC， ∴由正弦定理可得（2sinA﹣sinC）cosB＝sinBcosC，即2sinAcosB＝sin（B+C）, ∴cosB，因为B为三角形内角，∴B． （2）由（1）得B，又b＝1，△ABC中b2＝a2+c2﹣2accosB得b2＝a2+c2﹣ac即1+3ac＝（a+c）2， 又因为（a+c）2≥4ac．得1+3ac≥4ac即ac≤1． 所以S△ABCacsinBac，当且仅当a＝c＝1时S△ABC最大值为． 此时由S△ABC（a+b+c）r得 r． 所以当△ABC面积取最大时，△ABC内切圆的半径为 18. 已知顶点在单位圆上的，角所对的边分别是，，，且． （1）求的值； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，化为三角函数，利用两角和正弦定理求解； （2）根据正弦定理化为三角函数，利用辅助角公式化简三角函数求求其值域即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，， 所以． 因为，且，所以． 【小问2详解】 由，,得， 由，得，， 所以 ． 因，所以，即， 所以． 19. 已知△ABC中，角A，B,C的对边分别为a，b，c， （1）求角C： （2）若，求的值. （3）若，求 【答案】（1）； （2）4； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理转化为三角函数，再由同角三角函数的平方关系转化为的方程求解，即可得解； （2）由三角形面积公式求出，再利用余弦定理转化为关于的方程求解即可; （3）由正弦定理可求出, 再由同角三角函数关系求出，利用二倍角公式及两角和的正弦公式求解即可. 【小问1详解】 , 由正弦定理可得, ， ，即， 解得或（舍去）, , . 【小问2详解】 , , , 即， , 【小问3详解】 由可得， , , , , , . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度下学期高一年级数学第三次月考试卷 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 2. 在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边经过点，则（ ） A B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知，，，则（ ） A. B. 13 C. D. 37 5. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，若，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 7. 已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cos 〈a－c，b－c〉＝（　　） A － B. － C. D. 8. 已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后再向右平移个单位长度，所得的图象关于y轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分 9. 已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A B. 复数的模为 C. 若，则复平面内对应的点位于第二象限 D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线 10. 给出下列命题，其中正确的选项有（ ） A. 非零向量，，满足且与同向，则 B. 若单位向量，的夹角为60°，则当取最小值时， C. 在中，若，则为等腰三角形 D. 已知，，且与夹角为锐角，则实数的取值范围是 11. 在中，，点D为边上一动点，则（ ） A. B. 当为边上的高线时， C. 当为边上的中线时， D. 当为角A的角平分线时， 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的相邻两个零点之间的距离是，则______． 13. 如图，某山的高度BC＝300m，一架无人机在Q处观测到山顶C的仰角为15°，地面上A处的俯角为45°，若∠BAC＝60°，则此无人机距离地面的高度PQ为__________m． 14. 在梯形中，，且，，分别为线段和中点，若，，用，表示________.若，则余弦值的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求的值； （2）若，求的面积． 16. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若，且，求的值． 17. 在△ABC中，（2a﹣c，cosC），（b，cosB），且． （1）求角B的大小； （2）若b＝1，当△ABC面积取最大时，求△ABC内切圆的半径． 18. 已知顶点在单位圆上的，角所对的边分别是，，，且． （1）求的值； （2）若，求的取值范围． 19. 已知△ABC中，角A，B,C的对边分别为a，b，c， （1）求角C： （2）若，求的值. （3）若，求 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$