5.2二次函数的图像和性质 同步提升2025-2026学年苏科版九年级数学下册

苏科版九年级下 5.2 二次函数的图像和性质 同步提升 一、选择题 1.将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是  (    ) A. B. C. D. 2.已知二次函数，下列说法正确的是(    ) A. 对称轴为直线B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值是 D. 函数的最小值是 3.二次函数的图像上有三点，，，则，，的大小关系为  (    ) A. B. C. D. 4.在平面直角坐标系中，二次函数的图像可能是(    ) A. B. C. D. 5.如图，正方形与抛物线相交于点，则正方形面积为(    ) A. B. C. D. 第5题 第6题 第7题 6.在同一平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图像如图所示，若两个函数图像上有三个不同的点、、，其中为常数，令，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.在同一平面直角坐标系中，函数和的图像大致如图所示，则函数的图像大致为(    ) A. B. C. D. 8.已知点，是二次函数图像上的两个点，若当时，随的增大而减小，则的取值范围是  (    ) A. B. C. D. 9.已知点，，在同一个函数的图像上，这个函数可能是  (    ) A. B. C. D. 10.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点关于直线的对称点为，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 第10题 第18题 二、填空题 11.函数的图像开口向          ，顶点坐标为          ，对称轴是过点          且与轴平行的直线，其图像可以由函数的图像沿轴向          平移          个单位长度得到． 12.将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标为          ． 13.二次函数的与的部分对应值如表，则当时，的值为______． 14.在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，若，则的取值范围是          ． 15.二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表： 当时，的取值范围是          ． 16.若二次函数的最小值为，则的值是          ． 17.已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的范围是______． 18.如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点，都在轴上，平行于轴的直线与两条抛物线相交于，，，四点，若，，，，，则的长度为          ． 三、解答题 19.已知二次函数． 求此函数图象的对称轴和顶点坐标； 画出此函数的图象描个点即可； 当时，我用图象直接写出的取值范围：______； 当时，利用图象直接写出的取值范围：______． 20.如图，二次函数的图像经过点． 求的值和图像的顶点坐标； 点在该二次函数的图像上． 当时，求的值； 若点到轴的距离小于，请根据图像直接写出的取值范围． 21.抛物线经过和两点． 求的值及，满足的关系式 抛物线同时经过两个不同的点和，求的值 若抛物线在和两点间随的增大而减少，求的取值范围． 22.在平面直角坐标系中，为抛物线上任意两点，其中． 若且，求的值． 已知且，若对于，都有，求的取值范围． 23.已知，，，，五个点，抛物线经过其中的三个点． 求证：，两点不可能同时在抛物线上； 点在抛物线上吗？为什么？ 求和的值． 24.在平面直角坐标系中，，是抛物线上不同的两点． 求该抛物线的对称轴； 若一次函数的图象恰好过点，，且，求的值； 若函数的图象恰好过点，，且，求的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 4页 苏科版九年级下 5.2 二次函数的图像和性质 同步提升 一、选择题 1.将抛物线� = �2先向右平移 3 个单位，再向上平移 4 个单位，得到的抛物线是 ( ) A. � = (� − 3)2 + 4 B. � = (� + 3)2 + 4 C. � = (� − 3)2 − 4 D. � = (� + 3)2 − 4 2.已知二次函数� =− 3 � − 2 2 − 3，下列说法正确的是( ) A.对称轴为直线� =− 2 B.顶点坐标为 2,3 C.函数的最大值是−3 D.函数的最小值是−3 3.二次函数� = 3(� − 1)2 + �的图像上有三点�(3, �1)，�(2, �2)，�( − 2, �3)，则�1，�2，�3的大小关系为 ( ) A. �1 > �2 > �3 B. �3 > �1 > �2 C. �3 > �2 > �1 D. �2 > �1 > �3 4.在平面直角坐标系中，二次函数� = �(� − ℎ)2(� ≠ 0)的图像可能是( ) A. B. C. D. 5.如图，正方形����与抛物线� =− 14 � 2相交于点� �, − 1 ，则正方形����面积为( ) A. 1 B. 32 C. 5 2 D. 3 第 5题 第 6题 第 7题 6.在同一平面直角坐标系中，二次函数� = �2与反比例函数� = 1� � > 0 的图像如图所示，若两个函数图像 上有三个不同的点� �1, � 、� �2, � 、� �3, � ，其中�为常数，令� = �1 + �2 + �3，则�的值为( ) A. 1 B. � C. �2 D. 1� 7.在同一平面直角坐标系中，函数� = �� − � � ≠ 0 和� = −�� � ≠ 0 的图像大致如图所示，则函数� = ��2 + �� + � � ≠ 0 的图像大致为( ) A. B. C. D. 第 2页，共 4页 8.已知点�(�, �)，�(� + 1, �)是二次函数� = �2 + �� + �图像上的两个点，若当� ≤ 2 时，�随�的增大而减 小，则�的取值范围是 ( ) A. � > 32 B. � ≥ 3 2 C. � < 3 2 D.� ≤ 3 2 9.已知点�( − 1,�)，�(1, �)，�(2, � − 3)在同一个函数的图像上，这个函数可能是 ( ) A. � = � B. � =− 2� C. � = � 2 D. � =− �2 10.如图，在平面直角坐标系���中，点�的坐标是 6,4 ，点�关于直线� = 2 的对称点为�，若抛物线� = ��2 与线段��恰有一个公共点，则�的取值范围是( ) A. 19 < � < 1 B. 1 9 ≤ � ≤ 1 C. 1 9 < � ≤ 1 D. 1 9 ≤ � < 1 第 10 题 第 18 题 二、填空题 11.函数� =− 2 � − 3 2的图像开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴是过点 且与�轴平行的直线， 其图像可以由函数� =− 2�2的图像沿�轴向 平移 个单位长度得到． 12.将抛物线� = �2 − 2� + 2 先向右平移 2 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度，得到的抛物线的顶点坐 标为 ． 13.二次函数� = ��2 + �� + �(� ≠ 0)的�与�的部分对应值如表，则当� = 5 时，�的值为______． �…−10 123… �…15 10767… 14.在平面直角坐标系���中，点� �, �1 ，� 3, �2 在抛物线� =− �2 + 2�上，若�1 < �2，则�的取值范围 是 ． 15.二次函数� = ��2 + 2� + � � ≠ 0 的自变量�与函数值�的部分对应值如下表： �…−2−1 0 12… �…−1−2−127… 第 3页，共 4页 当−2 < � < 2 时，�的取值范围是 ． 16.若二次函数� = ��2 + 4� + � − 1 的最小值为 2，则�的值是 ． 17.已知二次函数� = �2 −�� + 3，当� ≤ 2 时，�随�的增大而减小，则�的范围是______． 18.如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点�，�都在�轴上，平行于�轴的直线与两条抛物线相 交于�，�，�，�四点，若�� = 10，，�� = 5，，�� = 6，则��的长度为 ． 三、解答题 19.已知二次函数� = �2 − 4� + 3． (1)求此函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)画出此函数的图象(描 5 个点即可)； (3)当−1 ≤ � ≤ 3 时，我用图象直接写出�的取值范围：______； (4)当� > 3 时，利用图象直接写出�的取值范围：______． 20.如图，二次函数� = �2 + �� + 3 的图像经过点� −2,3 ． (1)求�的值和图像的顶点坐标； (2)点� �, � 在该二次函数的图像上． ①当� = 2 时，求�的值； ②若点�到�轴的距离小于 2，请根据图像直接写出�的取值范围． 21.抛物线� = ��2 + �� + �经过�(0,4)和�(2,0)两点． (1)求�的值及�，�满足的关系式; (2)抛物线同时经过两个不同的点�(�,�)和�( − 2 − �,�)，求�的值; (3)若抛物线在�和�两点间�随�的增大而减少，求�的取值范围． 第 4页，共 4页 22.在平面直角坐标系���中，� �1, �1 , � �2, �2 为抛物线� = �(� − �)2 + 2(� ≠ 0)上任意两点，其中�1 < �2． (1)若� = 1 且�1 = �2，求�1 + �2的值． (2)已知� = 1 且� > 0，若对于� < �1 < �2 < 2�，都有�2 < 2�1，求�的取值范围． 23.已知� 1,0 ，� 0, − 1 ，� −1,2 ，� 2, − 1 ，� 4,2 五个点，抛物线� = � � − 1 2 + � � > 0 经过其中 的三个点． (1)求证：�，�两点不可能同时在抛物线� = � � − 1 2 + � � > 0 上； (2)点�在抛物线� = � � − 1 2 + � � > 0 上吗？为什么？ (3)求�和�的值． 24.在平面直角坐标系���中，�(�1, �1)，�(�2, �2)是抛物线� = ��2 + 7��(� < 0)上不同的两点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若一次函数� =− �� + 9�的图象恰好过点�，�，且∠��� = 90°，求�的值； (3)若函数� = �−7� (� < 0)的图象恰好过点�，�，且�1 = 2�2，求 2025� + �1·�2的值． 答案和解析 1.  2. 3.  4.  5. 6. 7. 8. 9. 10.  11.下 右 12.  13.   14.或  15.   16.   17.   18.   解：通过点、分别作出两条抛物线的对称轴，，交于点，，如图所示， 四边形是矩形， ， ， ， ， ． 故答案为：． 19.解：由二次函数解析式， 此函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为； 列表： 函数图象如图， 根据图象可知：的取值范围； 根据图象可知：的取值范围是或， 20.（1）解：把点代入，得， 解得，，图像的顶点坐标为． （2）当时，． 点到轴的距离小于，，，．   21.抛物线经过， 则， 则，； 抛物线同时经过两个不同的点和， 点和点关于抛物线的对称轴对称， 抛物线的对称轴， 即， ， 解得； 当时，， ， 则。 ； 当时，， ， 则， ； 综上所述，且  22.解：若，则抛物线为， 故抛物线的对称轴为直线． ，， 故两点关于直线对称， ． 若，则抛物线为， 抛物线的对称轴为直线，且． 抛物线开口向上，故当时，随的增大而增大， 在直线右侧，且在的左侧， 若对于，都有，则， ， ， 解得：， ．   23.（1）证明：抛物线的对称轴为直线， 而，两点的纵坐标相等，假设，两点同时在抛物线上， 由抛物线的对称性可知，点，关于直线对称． 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，与题意矛盾， ，两点不可能同时在抛物线上． （2）解：点不在抛物线上理由：假设点在抛物线上， 则，解得抛物线经过五个点中的三个点， 将，，，代入， 得出的值分别为，，，， 抛物线经过的点是，又与矛盾， 假设不成立，点不在抛物线上． （3）解：由于点不在抛物线上，且，两点不可能同时在抛物线上， 故抛物线经过，，三点或经过，，三点． 将，两点的坐标代入中，得解得 将，两点的坐标代入中，得解得 综上所述，或   24.解：抛物线， 抛物线的对称轴为， 该抛物线的对称轴为； 由题意可知，，为一次函数与二次函数图象的交点， ， ， 整理得，， 解得，， ，， ，，， ， 根据勾股定理得，， ， 整理得，， 解得，舍，， ， 的值为． 由题意可知，，为函数与二次函数图象的交点， ，， ， ，即， ， 整理得，， ，，解得， ， 将代入得，， ， 解得，， ， 的值为．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$