第10讲 弧长与扇形的面积、圆锥的侧面积（知识清单+2易错+4必考题型）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（苏科版）

第10讲 弧长与扇形的面积、圆锥的侧面积 题型梳理 易错分析 易错点一 忽视过圆上点且小于直径的弦的位置需讨论致错 易错点二 搞不清数量关系致错 题型方法 题型一 与弧长有关的计算 题型二 与扇形面积有关的计算 题型三 圆锥的相关概念 题型四 圆锥的侧面积 知识清单 知识点01.弧长的计算（重点） （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点02.扇形的面积（难点） （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 知识点03.圆锥的相关概念（重点） （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 知识点04.圆锥的侧面积和全面积（重点） 圆锥的侧面积：S侧•2πr•l＝πrl． 圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl 易错分析 【易错点一】忽视过圆上点且小于直径的弦的位置需讨论致错 【例1】在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为、，则∠BAC所对的弧长为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先根据题意画出图形，分别作AC、AB的垂线，连接OA，再根据锐角三角函数的定义求出∠AOD及∠AOE的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：①如图1，两弦在圆心的异侧时，过O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连接OA， ∵AB＝，AC＝， ∴AD＝，AE＝， 根据直角三角形中三角函数的值可知：sin∠AOD＝， ∴∠AOD＝45°， ∵sin∠AOE＝， ∴∠AOE＝60°， ∴∠OAD＝90°﹣∠AOD＝45°，∠OAC＝90°﹣∠AOE＝30°， ∴∠BAC＝∠OAD+∠OAC＝45°+30°＝75°， ∴ 的长＝＝． ②如图2， 当两弦在圆心的同侧时同①可知∠AOD＝45°，∠AOE＝60°， ∴∠AOE＝60°， ∴∠OAC＝90°﹣∠AOE＝90°﹣60°＝30°，∠OAB＝90°﹣∠AOD＝90°﹣45°＝45°． ∴∠BAC＝∠OAB﹣∠OAC＝45°﹣30°＝15°， ∴的长＝＝． 故选：D． 【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，弧长公式，解直角三角形，锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数，解答此题时要注意分类讨论． 【易错点二】搞不清数量关系致错 【例2】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了正方形性质，弧长公式，圆锥展开图特点，解题的关键在于理解圆锥侧面弧长等于底面圆的周长．设的长为，进而得到，根据圆锥侧面弧长等于底面圆的周长建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设的长为， 四边形为正方形， 则，， ， ， 扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面， ， 解得， 故选：C． 【举一反三】【变式1】如图所示，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，若该圆锥的高为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆锥的计算，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．设，，首先证明，再利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】解：设，， 则有， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏镇江·期中）在化学实验室中，可以通过过滤的方法净化溶液或水．如图，滤纸的折叠方法：取一直径为的圆形滤纸，对折两次，形成圆后，然后一边一层另外一边三层从中间拉开成锥形放入漏斗．当滤纸紧贴漏斗内壁时，倒入溶液的高度不能超过 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的相关知识，解题的关键是理解圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长．根据题意可知，圆锥母线长，圆锥底面周长为，结合“圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长”确定的值，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如下图，    由题意，可知，圆锥底面周长为， 则有，解得， 所以， 即倒入溶液的高度不能超过． 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角的扇形．    (1)求阴影部分面积； (2)用所裁剪的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径． 【答案】(1)； (2)该圆锥的底面圆的半径是． 【分析】本题考查了扇形的面积计算，圆锥的底面圆的半径． （1）是圆O的直径，求出求得，进而利用扇形的面积公式可得阴影部分的面积； （2）求出的长度，即圆锥底面圆的周长，继而可得出底面圆的半径． 【详解】（1）解：连接，    ∵， ∴是圆O的直径， ∴点A、O、B三点共线， ∴， 又∵， ∴， ∵圆的直径为2， 则， 故． ∴； （2）解：的长， 则， 解得：． 故该圆锥的底面圆的半径是． 题型方法 【题型一】与弧长有关的计算 【例1】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，点A、B、C是上三点，，的半径为2，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长，根据圆周角定理可得，进而根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴ ∴的长度为， 故选：B． 【举一反三】【变式1】（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，一块含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置．若的长为，那么顶点从开始到结束所经过的路径长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】顶点从开始到结束所经过的路径是一段弧长是以点为圆心，为半径的圆弧，旋转的角度是，所以根据弧长公式可得． 【详解】解：在含有角的直角三角板中，，， ，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是弄准弧长的半径和圆心角的度数． 【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为；当重物上升时，滑轮上点A转过的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了弧长公式的计算，熟练掌握弧长公式是解此题的关键．重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案． 【详解】解：设滑轮上点A转过的度数为， 重物上升， 点A转过的弧长为， 滑轮的半径为， ， 解得， 滑轮上点A转过的度数为， 故答案为：． 【变式3】（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是外接圆，．设的直径为，求的长． 【答案】 【分析】如图所示，连接，可求出半径的长，根据弧长计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵的直径为， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆周角定理，弧长的计算方法是解题的关键． 【题型二】与扇形面积有关的计算 【例2】（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，长的雨刮器扫过汽车挡风玻璃的角度为，则扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形的面积，掌握扇形的面积公式是解题的关键．根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：扫过的面积为 故选：. 【举一反三】【变式1】（23-24九年级下·山东泰安·期中）如图，半径为6的扇形中，，C是上一点，，，垂足分别为D，E，若，则图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形面积的计算、正方形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．先连接，然后根据正方形的性质和图形，可以得到阴影部分的面积等于扇形的面积，然后代入数据计算即可． 【详解】解：连接，如图所示， ，，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ，和全等， ， 故选：A． 【变式2】（22-23九年级上·江苏苏州·期中）如图，四边形的三个顶点A，B，C在上，对角线交于点D，若的半径是，且四边形是菱形，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得，，得出是等边三角形，进而可得阴影部分面积等等于扇形的面积，根据扇形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴阴影部分面积等等于扇形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，求扇形面积，综合运用以上知识是解题的关键． 【变式3】（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，扇形中，，点是上一点，； (1)求扇形 的面积； (2)过点作交弧于点，求 的长， 【答案】(1) (2)为 【分析】此题主要考查了扇形面积，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解决问题的关键； (1)依题意得，，，则是等腰直角三角形，再由勾股定理求出，进而可得扇形的面积； (2)过作于，交的延长线于，证明四边形为矩形，再根据是等腰直角三角形得， ，则，，然后由勾股定理求出，进而可得的长； 【详解】（1）解：， ，， ∴， ，， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∴， ， 扇形的面积为：； （2）解：过点作于，作交的延长线于，连接，如图所示： ， 四边形为矩形， ，， 由（1） 知：是等腰直角三角形，且， ，， ，； ， ， 在中，由勾股定理： ， ； 【题型三】圆锥的相关概念 【例3】（22-23九年级下·江苏无锡·期中）将半径为4，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥底面圆的半径是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】设此圆锥底面圆的半径是，根据弧长公式可得，求解即可获得答案． 【详解】解：设此圆锥底面圆的半径是， 根据题意，可得 ， 解得 ， 即此圆锥底面圆的半径是1． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了计算弧长以及圆锥的相关计算，解题关键是理解圆锥的侧面展开图是一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长． 【举一反三】【变式1】（21-22九年级上·江苏扬州·阶段练习）用一个圆心角为，半径为12的扇形作为一个圆锥的侧面，则该圆锥底面半径为（    ） A． B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据扇形的弧长公式求出弧长，根据圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长求出半径． 【详解】解：设圆锥底面的半径为， 扇形的弧长为：， 圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长， 根据题意得， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，解题的关键是掌握弧长公式、周长公式和圆锥与扇形的对应关系． 【变式2】（24-25九年级上·江苏常州·期末）若将一个半径为，面积为的扇形卷成一个圆锥体，则此圆锥的高为 ． 【答案】 【详解】本题考查了扇形的面积和弧长，圆锥的高，先利用扇形的面积求出圆心角度数，再求出扇形的弧长，进而求出圆锥的底面圆半径，最后根据勾股定理即可求出圆锥的高，掌握扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长是解题的关键． 解：设扇形的圆心角度数为，则， ∴， ∴扇形的弧长为， 设圆锥的底面圆半径为，则， ∴， ∴此圆锥的高， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知一个扇形的圆心角是，半径是． (1)求这个扇形的弧长； (2)若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了弧长公式、圆锥的计算，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活应用是解题关键． （1）根据弧长公式计算即可； （2）设这个圆锥的半径是，根据题意列方程，求出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：扇形的圆心角是，半径是， 这个扇形的弧长为； （2）解：设这个圆锥的半径是， 则， 解得：， 这个圆锥的高是． 【题型四】圆锥的侧面积 【例4】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，圆锥的底面半径为，母线长为，则侧面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握侧面积公式是解题的关键，根据侧面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：圆锥的底面半径为，母线长为，则侧面积为， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·江苏连云港·期中）如图，圆锥的底面半径cm，高cm．则这个圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据底面半径cm，高cm，求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式求出即可． 【详解】解：∵它的底面半径cm，高cm． ∴（cm）， ∴这个圆锥的侧面积是：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了圆锥的侧面积公式求法，正确的记忆圆锥侧面积公式是解决问题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）若一个圆锥的底面半径是，母线长是，则这个圆锥的侧面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的计算，熟练掌握圆锥侧面积的计算方法是解题的关键．根据圆锥侧面公式计算即可． 【详解】解：一个圆锥的底面半径是，母线长是，则这个圆锥的侧面积为 故答案为：． 【变式3】（21-22九年级上·江苏泰州·期中）用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示 ． (1)求圆锥的高； (2)求所需铁皮的面积（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆锥的母线、高和底面圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理即可求解； （2）根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长，圆锥的母线长是扇形的半径进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，设为圆锥的高，为圆锥的母线，为底面圆的半径， ∴，，， ∴有中， ∴圆锥的高为． （2）圆锥的底面周长为：， ∵圆锥的底面周长是侧面展开得到的扇形的弧长， ∴扇形的弧长为， ∴扇形的面积为， ∴所需铁皮的面积为． 【点睛】本题考查圆锥的计算．正确理解圆锥的高、母线与底面圆的半径构成直角三角形，圆锥的侧面与它的侧面展开图扇形之间的关系是解决本题的关键，要正确理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为3，则圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积， 根据（r为圆锥底边圆的半径，l为母线）计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 2．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知扇形的弧长为，该所对圆心角为，则此扇形的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用弧长公式计算扇形半径，扇形的半径为，然后用弧长公式即可求解，熟记弧长公式是解题的关键． 【详解】设扇形的半径为， ∴， 解得：， 故选：． 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，矩形纸片中，，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 设圆锥的底面的半径为，则，，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解方程求出，然后计算即可． 【详解】解：设圆锥的底面的半径为，则，， 根据题意得， 解得， ． 故选：C． 4．（22-23九年级上·江苏淮安·期中）钟面上分针的长为1，从12点到12点20分，分针针尖在钟面上走过的轨迹长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得可知，分针针尖在钟面上走过的轨迹为圆弧，从12点到12点20分走了圆周长的三分之一，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：分针针尖在钟面上走过的轨迹为圆弧，到12点20分走了圆周长的三分之一， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查弧长公式．熟练掌握弧长公式，是解题的关键． 5．（21-22九年级上·江苏泰州·期末）如图，是的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，熟记定理并灵活运用是解题的关键． 连接，根据弧长公式和，可求得，，根据平角的定义求出，再利用圆周角定理求出即可． 【详解】解：连接，如图：    设，则， 则的长为，的长为， ∵， 即， 整理得：， 解得：， 即，， ∵， ∴． 故选：D． 6．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，若滑轮旋转了，则重物上升了（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是解题的关键．根据弧长的计算方法计算半径为，圆心角为的弧长即可． 【详解】解：由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长， 即， 故选：D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）用一个圆心角为，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据题意，扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解． 【详解】解：依题意，， 解得： 故答案为：4． 8．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，圆锥的底面半径，高，则该圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆锥的侧面积的计算，先计算，再利用计算即可． 【详解】解：∵，，， ， 圆锥的侧面积， 故答案为：． 9．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）两个半径相等的半圆按如图所示放置，半圆的圆心落在半圆的圆弧上，半圆的一个直径端点与的圆心重合，若半圆的半径为，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积公式、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键． 连接，，过点作于点，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，再根据求解即可． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点， 由题意可知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 10．（24-25九年级下·江苏南京·期中）如图，在中，以为直径的半圆分别与，交于点，．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 找出半圆圆心，连接，根据三角形的内角和定理得， 又，，则，，求出，则，最后通过弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，找出半圆圆心，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴的长为：， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，在平面直角坐标系中，，． (1)在图中画出经过三点的圆弧所在圆的圆心的位置，则圆心的坐标是______，的半径是______； (2)用扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是______． 【答案】(1)图见解析，， (2) 【分析】（1）连接，作的垂直平分线交于点M，则点M是经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心，设点，根据求出k的值即可得出点M的坐标； （2）先利用勾股定理的逆定理证明，由此可求出扇形的弧长，进而根据扇形围成圆锥的底面圆的周长为，可得出这个圆锥底面圆的半径． 【详解】（1）解：连接，作的垂直平分线交于点M，如图所示： 则点M是经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心，， ∵，， ∴轴， ∴点M的横坐标为， 设点M的纵坐标为k，则， ∵， ∴， 解得：， ∴点； ∴， ∴的半径是． 故答案为：，； （2）解：由（1）知：， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴扇形的弧长为：， ∴将扇形围成圆锥的底面圆的周长为， 设这个圆锥底面圆的半径是R， 则， ∴， 即这个圆锥底面圆的半径是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形，垂径定理，圆锥的侧面展开图，圆锥的计算，理解三角形的外接圆与外心，坐标与图形，垂径定理，圆锥的侧面展开图的扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，熟练掌握弧长公式，圆的周长公式是解决问题的关键． 12．（22-23九年级上·江苏苏州·期末）在半径为的圆形纸片中，剪出一个圆心角为的扇形（图中的阴影部分）． (1)求这个扇形的半径； (2)若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径． 【答案】(1)3 (2) 【分析】(1)连接，，过点O作，垂足为D，得到，，根据垂径定理，求得，判定是等边三角形，计算即可． (2)设圆锥底面圆的半径为r，根据题意，得，计算即可． 【详解】（1）如图，连接，，过点O作，垂足为D， ∵，，， ∴，，是等边三角形， ∴，， ∴这个扇形的半径为3． （2）设圆锥底面圆的半径为r， 根据题意，得， 解得． 故圆锥底面圆的半径为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，弧长公式，圆锥与扇形的关系，熟练掌握弧长公式，垂径定理，勾股定理是解题的关键． 13．（24-25九年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，的直径于点M，且M是半径的中点，． (1)求直径的长； (2)求弓形（阴影部分）的面积． 【答案】(1)直径的长为 (2) 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算、勾股定理及垂径定理，熟知扇形的面积公式及勾股定理和垂径定理是解题的关键． （1）连接，根据垂径定理得出的长，再结合勾股定理即可解决问题； （2）连接，先求出扇形的面积，再求出的面积即可解决问题． 【详解】（1）解：连接， ，， ， 是半径的中点， 令的半径为， 的长为 在中， ， 解得， 直径的长为． （2）解：连接， 在中， ， ， 又， ， ， 又， 14．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，过点D作半圆O的切线，交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，，求得，推出是等边三角形，得到，，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， 为直径， ∴； （2）解：由（1）知， ∴ ∵ ∴，， 是等边三角形， 的长为， 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 弧长与扇形的面积、圆锥的侧面积 题型梳理 易错分析 易错点一 忽视过圆上点且小于直径的弦的位置需讨论致错 易错点二 搞不清数量关系致错 题型方法 题型一 与弧长有关的计算 题型二 与扇形面积有关的计算 题型三 圆锥的相关概念 题型四 圆锥的侧面积 知识清单 知识点01.弧长的计算（重点） （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点02.扇形的面积（难点） （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 知识点03.圆锥的相关概念（重点） （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 知识点04.圆锥的侧面积和全面积（重点） 圆锥的侧面积：S侧•2πr•l＝πrl． 圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl 易错分析 【易错点一】忽视过圆上点且小于直径的弦的位置需讨论致错 【例1】在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为、，则∠BAC所对的弧长为（　　） A． B． C．或 D．或 【易错点二】搞不清数量关系致错 【例2】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【举一反三】【变式1】如图所示，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，若该圆锥的高为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏镇江·期中）在化学实验室中，可以通过过滤的方法净化溶液或水．如图，滤纸的折叠方法：取一直径为的圆形滤纸，对折两次，形成圆后，然后一边一层另外一边三层从中间拉开成锥形放入漏斗．当滤纸紧贴漏斗内壁时，倒入溶液的高度不能超过 ．    【变式3】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角的扇形．    (1)求阴影部分面积； (2)用所裁剪的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径． 题型方法 【题型一】与弧长有关的计算 【例1】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，点A、B、C是上三点，，的半径为2，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，一块含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置．若的长为，那么顶点从开始到结束所经过的路径长为（　　）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为；当重物上升时，滑轮上点A转过的度数为 ． 【变式3】（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是外接圆，．设的直径为，求的长． 【题型二】与扇形面积有关的计算 【例2】（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，长的雨刮器扫过汽车挡风玻璃的角度为，则扫过的面积为（   ） A． B． C． D．. 【举一反三】【变式1】（23-24九年级下·山东泰安·期中）如图，半径为6的扇形中，，C是上一点，，，垂足分别为D，E，若，则图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23九年级上·江苏苏州·期中）如图，四边形的三个顶点A，B，C在上，对角线交于点D，若的半径是，且四边形是菱形，则图中阴影部分的面积是 ． 【变式3】（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，扇形中，，点是上一点，； (1)求扇形 的面积； (2)过点作交弧于点，求 的长， 【题型三】圆锥的相关概念 【例3】（22-23九年级下·江苏无锡·期中）将半径为4，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥底面圆的半径是（    ） A．1 B． C．2 D． 【举一反三】【变式1】（21-22九年级上·江苏扬州·阶段练习）用一个圆心角为，半径为12的扇形作为一个圆锥的侧面，则该圆锥底面半径为（    ） A． B．4 C．6 D．8 【变式2】（24-25九年级上·江苏常州·期末）若将一个半径为，面积为的扇形卷成一个圆锥体，则此圆锥的高为 ． 【变式3】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知一个扇形的圆心角是，半径是． (1)求这个扇形的弧长； (2)若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是多少？ 【题型四】圆锥的侧面积 【例4】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，圆锥的底面半径为，母线长为，则侧面积为（　　） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·江苏连云港·期中）如图，圆锥的底面半径cm，高cm．则这个圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）若一个圆锥的底面半径是，母线长是，则这个圆锥的侧面积为 （结果保留）． 【变式3】（21-22九年级上·江苏泰州·期中）用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示 ． (1)求圆锥的高； (2)求所需铁皮的面积（结果保留）． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为3，则圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知扇形的弧长为，该所对圆心角为，则此扇形的半径为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，矩形纸片中，，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·江苏淮安·期中）钟面上分针的长为1，从12点到12点20分，分针针尖在钟面上走过的轨迹长度是（    ） A． B． C． D． 5．（21-22九年级上·江苏泰州·期末）如图，是的直径，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，若滑轮旋转了，则重物上升了（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）用一个圆心角为，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ． 8．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，圆锥的底面半径，高，则该圆锥的侧面积是 ． 9．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）两个半径相等的半圆按如图所示放置，半圆的圆心落在半圆的圆弧上，半圆的一个直径端点与的圆心重合，若半圆的半径为，则阴影部分的面积是 ． 10．（24-25九年级下·江苏南京·期中）如图，在中，以为直径的半圆分别与，交于点，．若，，则的长为 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，在平面直角坐标系中，，． (1)在图中画出经过三点的圆弧所在圆的圆心的位置，则圆心的坐标是______，的半径是______； (2)用扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是______． 12．（22-23九年级上·江苏苏州·期末）在半径为的圆形纸片中，剪出一个圆心角为的扇形（图中的阴影部分）． (1)求这个扇形的半径； (2)若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径． 13．（24-25九年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，的直径于点M，且M是半径的中点，． (1)求直径的长； (2)求弓形（阴影部分）的面积． 14．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，过点D作半圆O的切线，交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$