第09讲 正多边形与圆（知识清单+易错+4必考题型）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（苏科版）

第09讲 正多边形与圆 题型梳理 易错分析 易错点一 忽视分类讨论致错 题型方法 题型一 正多边形的概念 题型二 正多边形的计算 题型三 正多边形的对称性 题型四 正多边形的画法 知识清单 知识点1正多边形及其相关概念 　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点诠释： 　　判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 知识点2正多边形的有关计算（重点） 　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 知识点3正多边形的性质（重点） 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 知识点4 正n边形的画法（难点） 1.用量角器等分圆 　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　　　①正四、八边形。 　　 　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 　　②正六、三、十二边形的作法。 　　 　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 易错分析 【易错点一】忽视分类讨论致错 【例1】（九年级上·江苏无锡·期中）在⊙O中，弦AB所对的圆心角的度数为80°，则弦AB所对的圆周角的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【举一反三】【变式1】（21-22九年级·江苏·假期作业）线段AB是圆内接正十边形的一条边，则AB所对的圆周角的度数是 度． 【变式2】（21-22九年级上·江苏无锡·期中）在正五边形的外接圆中，任一边所对的圆周角的度数为 ． 【变式3】（21-22九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知正方形ABCD内接于⊙O，则边AB所对的圆周角的度数为 ． 题型方法 【题型一】正多边形的概念 【例1】下列图形是正多边形的是（   ） A．直角三角形 B．正方形 C．长方形 D．圆 【举一反三】【变式1】．下列说法正确的是（   ） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．以上说法都对 【变式2】（24-25七年级上·江苏连云港·期末）下列说法正确的是（   ） A．各角都相等的多边形是正多边形 B．各边都相等的多边形是正多边形 C．多边形的内角与相邻的外角互为补角 D．五边形一共有两条对角线 【变式3】（20-21九年级上·江苏南通·期中）下列命题正确的是（    ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．各内角分别相等的多边形是正多边形 C．既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形 D．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形 【题型二】正多边形的计算 【例2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）半径为2的圆的内接正六边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，是正九边形两条对角线的夹角，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在正五边形中，连接，以E为圆心，长为半径画弧，与交于点F，连接，则的度数是 ． 【变式3】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）正六边形的边长为4，求对角线的长和正六边形的面积． 【题型三】正多边形的对称性 【例3】如图所示的正五边形的一条对称轴与其边所夹锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】给出下列图形：①等边三角形，②平行四边形，③正五角星边形，④正六边形，⑤圆．其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（　　） A．①③ B．②④ C．④⑤ D．②④⑤ 【变式2】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）利用圆的等分，在半径为的圆中作出六芒星图案，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式3】（1）如图所示的正多边形的对称轴有几条？把答案写在图下方的横线上：    正三角形有______条对称轴，正四边形有______条对称轴， 正五边形有______条对称轴，正六边形有______条对称轴， 正七边形有______条对称轴，正八边形有______条对称轴； （2）一个正n边形有______条对称轴； （3）在图①中画出正六边形的一条对称轴l；    在图②中，只能用无刻度的直尺，准确画出正五边形的一条对称轴m．（不写画法，保留画图痕迹）    【题型四】正多边形的画法 【例4】（22-23九年级上·江苏盐城·期中）尺规作图：作圆的内接正方形．（写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知．    (1)用尺规作图作的内接正六边形（不写作法、保留作图痕迹）； (2)若的半径为2，求所作正六边形的面积． 【变式2】（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，已知． (1)求作的内接正方形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若的半径为，求它的内接正方形的边长． 【变式3】尺规作图： (1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； (2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．相等的圆周角所对的弧相等 C．各边都相等的多边形是正多边形 D．三角形的内心到三角形三边的距离相等 2．（24-25九年级上·江苏南京·期中）正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 3．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 4．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则n的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在正边形中，的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法中，正确的有 ． ①各角相等的圆内接多边形一定是正多边形； ②各边相等的圆内接多边形是正多边形； ③每一个角是，且各边都相等的多边形是正五边形； ④正多边形都是轴对称图形，也是中心对称图形． 7．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，正六边形内接于，，则的长为 ． 8．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元，某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形，若的半径为3，则这个圆内接正十二边形的面积为 ． 9．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，点是边长为6的正六边形和边长为的正方形的中心，将正方形绕点旋转一周．若在旋转过程中，正方形始终在正六边形的内部（即正方形边上的所有点都在正六边形内），则的取值范围是 ． 10．（24-25九年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，正十边形，连接，，则的度数为 度． 三、解答题 11．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）正六边形的半径为4．求这个正六边形的周长和面积． 12．（22-23九年级上·江苏镇江·期末）如图，是的直径，，是的弦，，延长到，连接，． (1)求证：是的切线； (2)以为边的圆内接正多边形的周长等于 　　　　． 13．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在的内接正八边形中，，连接．    (1)求证； (2)的长为 　 　． 14．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，等腰内接于，． (1)如图1，若，连接并延长交于点D，交于点H． ①弧的度数为：______；与的数量关系是：______． ②请你仅使用无刻度的直尺在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）； (2)如图2，若，E是的中点，请你仅使用无刻度的直尺在图2中，作一个的内接正五边形（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 正多边形与圆 题型梳理 易错分析 易错点一 忽视分类讨论致错 题型方法 题型一 正多边形的概念 题型二 正多边形的计算 题型三 正多边形的对称性 题型四 正多边形的画法 知识清单 知识点1正多边形及其相关概念 　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点诠释： 　　判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 知识点2正多边形的有关计算（重点） 　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 知识点3正多边形的性质（重点） 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 知识点4 正n边形的画法（难点） 1.用量角器等分圆 　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　　　①正四、八边形。 　　 　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 　　②正六、三、十二边形的作法。 　　 　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 易错分析 【易错点一】忽视分类讨论致错 【例1】（九年级上·江苏无锡·期中）在⊙O中，弦AB所对的圆心角的度数为80°，则弦AB所对的圆周角的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据题意画出图形，分类讨论,根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：当点C在优弧AB上时， 由圆周角定理得，∠ACB=∠AOB=40°， 当点C在劣弧AB上时， ∵四边形ACBC′是⊙O的内接四边形， ∴∠AC′B=180°-∠ACB=140°， ∴弦AB所对的圆周角的度数为40°或140°， 故选D． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 【举一反三】【变式1】（21-22九年级·江苏·假期作业）线段AB是圆内接正十边形的一条边，则AB所对的圆周角的度数是 度． 【答案】或/162或18 【分析】作出图形，求出一条边所对的圆心角的度数，再根据圆周角和圆心角的关系解答． 【详解】解：如下图， 圆内接正十边形的边AB所对的圆心角， 则， 根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半， AB所对的圆周角的度数是或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了正多边形的中心角、圆周角定理等知识，解题关键是熟练掌握圆周角和圆心角的关系，并要注意分两种情况讨论． 【变式2】（21-22九年级上·江苏无锡·期中）在正五边形的外接圆中，任一边所对的圆周角的度数为 ． 【答案】36°或144°/144°或36° 【分析】画出图形，连接OA、OB、BD、AD，在上取点F，连接AF、BF，由正五边形的性质得出AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∠AOB＝72°，由圆周角定理得出∠ADB＝∠AOB＝36°，由圆内接四边形的性质得出∠AFB＝180°−∠ADB＝144°，即可得出结论． 【详解】解：连接OA、OB、BD、AD，在上取点F，连接AF、BF，如图所示： ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∠AOB＝ ， ∴∠ADB＝∠AOB＝36°， ∴∠AFB＝180°−∠ADB＝144°， 即在正五边形的外接圆中，任一边所对的圆周角的度数为36°或144°； 故答案为：36°或144°． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理、圆内接四边形的性质；熟练掌握正五边形的性质和圆周角定理是解题的关键 【变式3】（21-22九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知正方形ABCD内接于⊙O，则边AB所对的圆周角的度数为 ． 【答案】45°或135°/135°或45° 【分析】根据正方形的性质可得对角线互相垂直，正方形的中心是圆心，进而根据圆周角定理就可 边所对的一个圆周角，根据院内接四边形对角互补即可求得AB所对的另一个圆周角的度数． 【详解】如图，正方形ABCD内接于⊙O， 四边形是圆的内接四边形 故答案为：45°或135°． 【点睛】本题考查了正方形的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键． 题型方法 【题型一】正多边形的概念 【例1】下列图形是正多边形的是（   ） A．直角三角形 B．正方形 C．长方形 D．圆 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的定义，熟知每条边都相等、每个角都相等的多边形是正多边形是解决问题的关键． 根据正多边形的定义依次判定各项后即可解答． 【详解】解：直角三角形，长方形，圆不是正多边形，正方形是正多边形． 故选：B． 【举一反三】【变式1】．下列说法正确的是（   ） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．以上说法都对 【答案】C 【分析】本题主要考查正多边形的定义，熟练掌握正多边形的定义是解题的关键．根据正多边形的定义进行判断即可． 【详解】解：每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·江苏连云港·期末）下列说法正确的是（   ） A．各角都相等的多边形是正多边形 B．各边都相等的多边形是正多边形 C．多边形的内角与相邻的外角互为补角 D．五边形一共有两条对角线 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的定义和性质，熟练掌握多边形的定义和性质是解题关键．根据各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，可判断A、B选项；根据多边形内角和外角的关系，可判断C选项；根据边形有条对角线，可判断D选项． 【详解】解：A、各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，原说法错误，不符合题意； B、各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，原说法错误，不符合题意； C、多边形的内角与相邻的外角互为补角，原说法正确，符合题意； D、五边形一共有条对角线，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式3】（20-21九年级上·江苏南通·期中）下列命题正确的是（    ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．各内角分别相等的多边形是正多边形 C．既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形 D．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形 【答案】D 【分析】正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，据此即可逐一判断. 【详解】解：A、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项错误； B、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项错误； C、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项错误； D、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查正多边形的定义，解题的关键是掌握正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形. 【题型二】正多边形的计算 【例2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）半径为2的圆的内接正六边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形和圆，正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，画出图形，如图，连接、，作于，利用半径求得即可求得面积．解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形． 【详解】解：如图： 连接、，作于， 根据题意，， 为等边三角形， ， ， ， 根据勾股定理可得， 等边三角形的面积为， 正六边形由6个等边三角形组成， 正六边形的面积为． 故选：A． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，是正九边形两条对角线的夹角，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正九边形的外接圆圆心为点，如图所示，根据正九边形的性质，圆的弦，弧，圆周角之间的关系，解答即可． 本题考查了正九边形的性质，内角计算，圆的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设正九边形的外接圆圆心为点，如图所示， 根据题意，得，正九边形的内角为， ∴， ∴ ∴． 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在正五边形中，连接，以E为圆心，长为半径画弧，与交于点F，连接，则的度数是 ． 【答案】54 【分析】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，根据正五边形的内角和得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：在正五边形中，， ， ， ， ， ， 故答案为：54． 【变式3】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）正六边形的边长为4，求对角线的长和正六边形的面积． 【答案】；正六边形的面积为 【分析】本题考查的是正多边形与圆、三角函数、三角形面积的计算，连接，根据正六边形的性质推出，，再利用直角三角形的性质求得，由三角函数求出边心距，即可求出正六边形的周长和面积． 【详解】解：如图，设圆心为O，连接，作于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∴正六边形的面积． 【题型三】正多边形的对称性 【例3】如图所示的正五边形的一条对称轴与其边所夹锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正五边形的性质与轴对称的性质，列式求解即可． 【详解】解：∵正五边形的内角为， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，根据正五边形的性质得到正五边形的内角度数是解题的关键． 【举一反三】【变式1】给出下列图形：①等边三角形，②平行四边形，③正五角星边形，④正六边形，⑤圆．其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（　　） A．①③ B．②④ C．④⑤ D．②④⑤ 【答案】C 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：①等边三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形； ②平行四边形，不是轴对称图形，是中心对称图形； ③正五角星边形，是轴对称图形，不是中心对称图形； ④正六边形，既是轴对称图形，又是中心对称图形； ⑤圆，既是轴对称图形，也是中心对称图形； 因此，既是轴对称图形又是中心对称图形的有④⑤． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 【变式2】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）利用圆的等分，在半径为的圆中作出六芒星图案，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形与圆，根据对称性得到阴影部分的面积和等于正六边形的面积，再根据正六边形的面积估算进行计算即可． 【详解】解：如图，由题意可知，阴影部分的面积和等于正六边形的面积， 由对称性可知，， 在中，，， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为： 【变式3】（1）如图所示的正多边形的对称轴有几条？把答案写在图下方的横线上：    正三角形有______条对称轴，正四边形有______条对称轴， 正五边形有______条对称轴，正六边形有______条对称轴， 正七边形有______条对称轴，正八边形有______条对称轴； （2）一个正n边形有______条对称轴； （3）在图①中画出正六边形的一条对称轴l；    在图②中，只能用无刻度的直尺，准确画出正五边形的一条对称轴m．（不写画法，保留画图痕迹）    【答案】（1）3， 4，5， 6，7， 8；（2）n；（3）见解析 【分析】（1）由正多边形有几个顶点，就有几条对称轴，从而可得答案； （2）由正多边形有几个顶点，就有几条对称轴，从而可得答案； （3）利用正六边形有偶数条边，画出正六边形的对称轴即可，利用全等三角形的性质或等腰三角形的性质画正五边形的对称轴即可． 【详解】解：（1）正三角形有3条对称轴，正四边形有4条对称轴， 正五边形有5条对称轴，正六边形有6条对称轴， 正七边形有7条对称轴，正八边形有8条对称轴； （2）一个正n边形有条对称轴； （3）如图所示，在图①中直线l即为所求；在图②中直线m即为所求．    图②也可以如下作法．    【点睛】本题考查的是正多边形的性质，理解正多边形是轴对称图形，正多边形有几个顶点就有几条对称轴是解本题的关键． 【题型四】正多边形的画法 【例4】（22-23九年级上·江苏盐城·期中）尺规作图：作圆的内接正方形．（写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） 【答案】见解析． 【分析】根据正方形的判定和圆的性质可知，作两条互相垂直的直径即可得到圆内接正方形． 【详解】解：如图，正方形即为所求： 【点睛】本题考查了尺规作图、正方形的判定、圆的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，注意尺规作图的规范性． 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知．    (1)用尺规作图作的内接正六边形（不写作法、保留作图痕迹）； (2)若的半径为2，求所作正六边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）在上任取一点A，然后过点A画的直径，以点A为圆心，圆的半径为半径依次在圆上画出交点，则六边形满足条件； （2）连接、，过O点作于G点，则，利用正六边形的性质得到，则可判断为等边三角形，接着计算出的面积，然后把的面积乘以6得到正六边形的面积． 【详解】（1）解：正六边形如图所示：    （2）连接，过点作，垂足为， 则， ． 正六边形的面积． 【点睛】本题主要考查了圆和内接多边形，首先确定六边形的度数或边长关系，再结合圆的度数作图，利用内接六边形的小三角形为正三角形是解题的关键． 【变式2】（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，已知． (1)求作的内接正方形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若的半径为，求它的内接正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作出直径，再过点作的垂线，进而得出答案； （2）利用正方形的性质结合勾股定理得出正方形的边长． 【详解】（1）解：如图所示，正方形即为所求作图形． （2）因为的半径为，四边形是正方形， 所以，， 所以． 故的内接正方形的边长为． 【点睛】此题主要考查了复杂作图、正多边形和圆、勾股定理；正确掌握正方形的性质是解题关键． 【变式3】尺规作图： (1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； (2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）结合菱形的判定，以点D为圆心，的长为半径画弧，交为点E，再分别以点E、点A为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点F，连接、、即可； （2）作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得，以点O为圆心，的长为半径画弧，在的上方交于点E，再作，作直线，分别交于点、，即可求解． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所求， （2）解：如图，点、即为所求， 【点睛】本题考查作图−复杂作图、菱形的判定、矩形的性质、垂直平分线的性质，理解题意、灵活运用相关知识是解题的关键． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．相等的圆周角所对的弧相等 C．各边都相等的多边形是正多边形 D．三角形的内心到三角形三边的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内心和外心、垂径定理、确定圆的条件，根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如果三个点在同一条直线上，则没有同时过这三个点的圆，可以判断A；根据垂径定理可以判断B；根据正多边形的定义，可以判断C；根据三角形的内心到三角形三边的矩离相等，三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等，可以判断D． 【详解】解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如果三个点在同一条直线上，则没有同时过这三个点的圆，故选项A错误，不符合题意； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故选项B错误，不符合题意； 各边都相等各角都相等的多边形是正多边形，故选项C错误，不符合题意； 三角形的内心到三角形三边的矩离相等，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏南京·期中）正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理．连接，，根据圆周角定理得到，即可得到结论． 【详解】解：连接，， 、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， 点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ， ， 这个正多边形的边数． 故选：B． 3．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角，已知正多边形的中心角求边数等知识点，熟练掌握正边形的每个中心角都等于是解题的关键． 连接，由正六边形与正方形可得，，进而可得，再由“正边形的每个中心角都等于”即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 正六边形与正方形， ，， ， 是正n边形的一个中心角， ， 故选：． 4．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则n的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法以及圆周角定理是正确解答的关键．由圆周角定理可得的度数，再根据正多边形中心角的计算方法进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 故选：D 5．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在正边形中，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的外接圆和正多边形圆心角，圆周角定理等知识点，解决此题的关键是要画出正多边形的外接圆． 根据正多边的性质画出外接圆，根据圆心角定义求出，根据圆周角定理可以求出答案． 【详解】解：如图，作正边形的外接圆， 根据正多边形的圆心角定义可知， ∴， 故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意； 故选：C． 二、填空题 6．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法中，正确的有 ． ①各角相等的圆内接多边形一定是正多边形； ②各边相等的圆内接多边形是正多边形； ③每一个角是，且各边都相等的多边形是正五边形； ④正多边形都是轴对称图形，也是中心对称图形． 【答案】②③ 【分析】此题考查了正多边形与圆的知识．此题难度不大，注意熟记定理是解此题的关键； 根据圆的外接圆与内切圆的性质求解即可求得答案；注意正多边形的定义：各角都相等，各边都相等的多边形是正多边形； 【详解】解：①各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形，各角相等，但不是正多边形，故错误； ②各边相等的圆内接多边形是正多边形；故正确； ③每一个角是，且各边都相等的多边形是正五边形；正确； ④正多边形都是轴对称图形，不一定是中心对称图形；错误； 故答案为：②③． 7．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，正六边形内接于，，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了圆与正多边形的综合，弦与圆心角的关系，等边三角形的判定和性质，圆心角的计算，掌握圆与正多边形的性质是解题的关键．根据圆、正多边形的性质可得，是等边三角形，由此即可求解． 【详解】解：∵正六边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：1 ． 8．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元，某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形，若的半径为3，则这个圆内接正十二边形的面积为 ． 【答案】27 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，直角三角形的性质．如图，过A作于C，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过A作于C， ∵圆的内接正十二边形的圆心角为，， ∴， ∴， ∴这个圆的内接正十二边形的面积为， 故答案为：27． 9．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，点是边长为6的正六边形和边长为的正方形的中心，将正方形绕点旋转一周．若在旋转过程中，正方形始终在正六边形的内部（即正方形边上的所有点都在正六边形内），则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握正多边形的性质，是解题的关键．连接，，过点O作，证明为等边三角形，根据勾股定理得出，根据垂线段最短，正方形的边长不能超过为，从而得出的取值范围是． 【详解】解：连接，，过点O作，如图所示： ∵六边形为正六边形， ∴， ∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴正方形对角线不能超过， ∴正方形的边长不能超过， ∴的取值范围是， 故答案为：． 10．（24-25九年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，正十边形，连接，，则的度数为 度． 【答案】54 【分析】该题以正多边形和其外接圆为载体，以正多边形及其外接圆的性质为考查的核心构造而成；解题的关键是灵活运用有关定理来分析，判断，推理或解答． 如图，作辅助线，首先证明：的周长，进而求得，运用圆周角定理问题即可解决． 【详解】解：如图，设正十边形外接圆的圆心为， 连接， 由题意知：的周长， ， ∴的度数， 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）正六边形的半径为4．求这个正六边形的周长和面积． 【答案】这个正六边形的周长为24，面积为． 【分析】先由正多边形的性质求出，然后证明出是等边三角形，过点O作交于点M，利用垂径定理得到，根据勾股定理得到，从而求出的面积，然后根据正六边形的面积等于的面积的6倍可求出正六边形的面积，根据正六边形的周长即可求出正六边形的周长． 【详解】如图， 由题意得：， 又∵， ∴是等边三角形， 过点O作交于点M， ∴， ∴， ∴， ∴正六边形的面积， ∴正六边形的周长． 【点睛】本题考查正多边形和圆及垂径定理，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是证明出是等边三角形． 12．（22-23九年级上·江苏镇江·期末）如图，是的直径，，是的弦，，延长到，连接，． (1)求证：是的切线； (2)以为边的圆内接正多边形的周长等于 　　　　． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，，根据三角形的内角和定理求得，即可证明； （2）根据，推得以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，根据直角三角形中，所对的边是斜边的一半求得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形， ∵，，， ∴， ∴以为边的圆内接正六边形的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边对等角，三角形的内角和定理，圆内接正六边形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题的关键． 13．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在的内接正八边形中，，连接．    (1)求证； (2)的长为 　 　． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，先证明，可得，从而可得结论； （2）作，，证明，，四边形是矩形，从而可得答案． 【详解】（1）证明：连接，正八边形， ∴，   ，， ， ∴． （2）∵，同理可证：，， ∴四边形为等腰梯形， ， 作，，    ∵， ， 在中，，， ， 同理可得， ∵，，， ∴四边形是矩形， ， ． 【点睛】本题考查的是圆与正多边形的知识，圆周角定理的应用，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握正多边形的性质是解本题的关键． 14．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，等腰内接于，． (1)如图1，若，连接并延长交于点D，交于点H． ①弧的度数为：______；与的数量关系是：______． ②请你仅使用无刻度的直尺在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）； (2)如图2，若，E是的中点，请你仅使用无刻度的直尺在图2中，作一个的内接正五边形（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． 【答案】(1)①；②见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，正多边形和圆以及复杂作图等知识． （1）①连接根据垂径定理逆定理证明，再证明是等边三角形可得可得 从而可得结论；②连接延长交于点根据等边三角形的性质得可得，故可得正六边形； （2）根据圆周角的定理及同弧所对的圆周角相等得到，再根据是中点得到，得根据三线合一性得到弧相等，弦相等，最后即可得到五边形即为所求． 【详解】（1）①连接    ∵ ∵过圆心 ∴ ∵ 是等边三角形， ∴ ∴ ∴． 故答案为：； ②如图，正六边形即为所作；    （2）如图，正五边形即为所求作．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$