第07讲 垂径定理（知识清单+易错+4必考题型）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（浙教版）

第07讲 垂径定理 题型梳理 易错分析 易错点一 忽略分类讨论而漏解 题型方法 题型一 垂径定理 题型二 垂径定理的应用 题型三 垂径定理的逆定理 题型四 垂径定理逆定理的应用 知识清单 知识点1.圆的轴对称性(重点) 圆是轴对称图形:任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说,经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴. 要点诠释: ①圆有无数条对称轴; ②因为直径是弦,弦又是线段,而对称轴是直线,所以不能说“圆的对称轴是直径”,而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”. 知识点2.垂径定理(重点) 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 知识点3.垂径定理的逆定理(重点) 垂径定理的逆定理1 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的逆定理2 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。 要点诠释: 在垂径定理及其推论中:过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧,在这五个条件中,知道任意两个,就能推出其他三个结论.(注意:“过圆心、平分弦”作为题设时,平分的弦不能是直径) 易错分析 【易错点一】忽略分类讨论而漏解 【例1】(21-22九年级上 浙江金华 期末)在圆柱形油槽内装有一些油,截面如图所示,已知截面⊙O半径为5cm,油面宽AB为6cm,如果再注入一些油后,油面宽变为8cm,则油面AB上升了( )cm A.1 B.3 C.3或4 D.1或7 【答案】D 【分析】分两种情况求解:①如图1,宽度为8cm的油面,作与的交点为,可知,,,在中,由勾股定理得,解得的值,在中,由勾股定理得,解得的值,计算即可;②如图2,宽度为8cm的油面,作与的交点为,连接,由题意知,,,在中,由勾股定理得,在中,由勾股定理得,计算即可. 【详解】解:分两种情况求解:①如图1,宽度为8cm的油面,作与的交点为 由题意知,, 在中,由勾股定理得 在中,由勾股定理得 ∴ ②如图2,宽度为8cm的油面,作与的交点为,连接 由题意知,, 在中,由勾股定理得 在中,由勾股定理得 ∴ ∴油面AB上升到CD,上升了1cm,油面AB上升到EF,上升了7cm; 故选D. 【点睛】本题考查了圆的垂径定理,勾股定理.解题的关键在于对两种情况全面考虑. 【举一反三】【变式1】(23-24九年级上 浙江杭州 期中)已知的半径为5,弦,且,,则弦和之间的距离为( ) A.7或1 B.7 C.1 D.7或3 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理,解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算.分两种情况进行讨论:①当圆心O在和之间时,②当圆心O不在和之间时,作出半径和弦心距,利用勾股定理和垂径定理求解即可. 【详解】解:①当圆心O不在和之间时,如图1,过点作交于点,交于点, ∵,,,, , , ; ②圆心O在和之间时,如图2,过点作于点,交于点, ∵,,,, , , ; 综上,弦和之间的距离为7或1, 故选:A. 【变式2】(24-25九年级上 浙江宁波 期中)已知是圆内接等腰三角形,它的底边长是,若圆的半径是,则的面积是 . 【答案】或 【分析】本题主要考查了垂径定理,等腰三角形的性质,勾股定理;分情况讨论,当在优弧上时,当在劣弧上时,由等腰三角形的外心在三角形的底边的高上,根据勾股定理求出的长,进一步求出的长,根据三角形的面积公式即可求出答案. 【详解】解:连接交于,连接, 圆是等腰三角形的外接圆,是外心, ,, 有两种情况: ①当在优弧上时,,在中,, ②当在劣弧上时, 故答案为:或. 【变式3】(23-24九年级上 浙江绍兴 阶段练习)已知的直径,是的弦,,垂足为点P,且,则的长为 . 【答案】2或8 【分析】分两种情况①当点P在点O左侧;②当点P在点O右侧;由勾股定理求出,即可得出的长. 【详解】解:①当点P在点O左侧,连接, ∵, ∴, ∵,, ∴, ∴, ∴. ②当点P在点O右侧,连接, ∵, ∴, ∵,, ∴, ∴, ∴. ∴的长为2或8, 故答案为:2或8. 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理,熟练掌握垂径定理,由勾股定理求出是解决问题的关键. 题型方法 【题型一】垂径定理 【例1】(24-25九年级上 浙江杭州 期末)如图,在中,弦,半径于点,,则的半径为( ) A. B. C. D.5 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理,由垂径定理可得,再由勾股定理计算即可得解. 【详解】解:∵在中,弦,半径于点, ∴, ∴, 故选:D. 【举一反三】【变式1】(24-25九年级上 浙江绍兴 期末)如图,的半径为5,点C是弦上一点,若,设,则x的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理,以及勾股定理,当C与A或B重合时,最长,当直于时,最短,即可求出x的范围. 【详解】解:当C与重合时,; 当垂直于时,可得出C为的中点,连接, 在中,, 根据勾股定理得: , 则x的范围为. 故选:A. 【变式2】(24-25九年级上 浙江嘉兴 期中)如图所示,已知的半径为10,,,则线段的长为 . 【答案】6 【分析】本题考查的是垂径定理,勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.连接,根据勾股定理即可求得的长. 【详解】解:连接,如图 ∵,, ∴, ∵的半径为10, ∴ , ∴线段的长为6, 故答案为:6. 【变式3】(22-23九年级上 浙江嘉兴 期中)如图,为的直径,弦于点E,若,求弦的长. 【答案】24 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理,连接,根据垂径定理得到,根据求出的长,根据求出的长,利用勾股定理求出,即可得到的长. 【详解】解:连接,如图所示: ∵为的直径,,, ∴, ∴, 在中,由勾股定理得:, ∴. 【题型二】垂径定理的应用 【例2】(21-22九年级上 浙江衢州 期末)如图,已知圆心在水面上方,且 被水面截得弦长为米.半径长为米, 若点 为运行轨道的最低点.则点到弦 所在直线的距离是( ) A.1米 B.2米 C.米 D.米 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用,熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键.连接,交于D,由垂径定理得(米),再由勾股定理得(米),然后求出的长即可. 【详解】连接,交于D, 由题意得:米,, 米,, 在中 米, 米, 即点C到弦所在直线的距离是米, 故选:C. 【举一反三】【变式1】(22-23九年级下 浙江温州 期中)泰顺县南浦溪大桥是浙江省高速公路跨径最大的上承式拱桥,如图所示,主拱桥呈圆弧形.跨度约为260米,拱高约为70米,则大桥的桥拱半径约为( ) A.146米 B.156米 C.166米 D.176米 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用,熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键.由题意得,根据垂径定理可得,设桥拱半径为米,在中利用勾股定理建立方程,解出的值即可得出答案. 【详解】解:, 米, 设桥拱半径为米,则米, 在中,, , 解得:, 大桥的桥拱半径约为156米. 故选:B. 【变式2】(24-25九年级上 浙江绍兴 期末)如图①是小聪帮妈妈做的一个锅盖架,图②是它的截面图,垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为, ,锅盖直径为,则锅盖最低点到的距离是 cm. 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理,勾股定理,添加辅助线构造直角三角形是解题的关键. 设圆的圆心为,连接,交于点,根据垂径定理得到,根据勾股定理求出,即可得到答案. 【详解】解:如图,设圆的圆心为,连接,交于点, 根据题意得,, , , , , 锅盖最低点到的距离是, 故答案为:. 【变式3】(24-25九年级上 浙江湖州 阶段练习)唐代李皋发明了“桨轮船”(如图),该桨轮船的轮子被水面截得线段为,轮子的吃水深度为,求该桨轮船的轮子的直径. 【答案】该桨轮船的轮子的直径为 【分析】本题主要考查垂径定理与勾股定理,掌握垂径定理是解题的关键. 根据题意,连接,则是圆的半径,,该桨轮船的轮子的直径为,由图形可得,由垂径定理可得,设,由勾股定理可得,由此可得半径,从而得到直径. 【详解】解:如图所示,连接,则是圆的半径,, ∴该桨轮船的轮子的直径为, 根据图示可得,,即, ∴, 设, ∴, 在中,, ∴, 解得,, ∴, ∴该桨轮船的轮子的直径为. 【题型三】垂径定理的逆定理 【例3】(24-25九年级上 浙江宁波 阶段练习)下列说法: ①三点可以确定一个圆;②平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧; ③长度相等的弧是等弧;④经过圆内的一个定点可以作无数条弦; ⑤三角形的外心到三角形三条边的距离相等.其中不正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【分析】本题考查等弧的定义,确定圆的条件、弦的定义,三角形外形的性质,垂径定理等知识,掌握相关知识是解题关键.根据等弧的定义,确定圆的条件,弦的定义,三角形外形的性质,垂径定理一一判断即可. 【详解】解:①不在同一条直线上的三点确定一个圆,故①错误,符合题意; ②平分弦(不能是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧,故②错误,符合题意; ③长度相等的弧是等弧,错误,长度相等的弧不一定相等,等弧的长度相等,故③错误,符合题意; ④经过圆内的一个定点可以作无数条弦,正确,故④不符合题意; ⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等,故⑤错误,符合题意; 故不正确的有①②③⑤, 故选:D. 【举一反三】【变式1】(22-23九年级上 浙江湖州 期中)如图,在中,为直径,,点为弦的中点,点为上任意一点(点不与点重合),则的大小可能是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质等知识点,正确作出辅助线、构造等腰三角形是解题的关键.连接,先求出,,设,则,,然后运用等腰三角形的性质分别求得和的值,然后即可解答. 【详解】解:连接,如下图, ∵,, ∴, ∴, ∴, ∵点为弦的中点, ∴, ∴, 设,则,, ∵,, ∴, ∵, ∴, ∴, 又∵, ∴,即可能是. 故选:C. 【变式2】(2022九年级 浙江 专题练习)如图,在⊙O中,半径r=10,弦AB=16,P是弦AB上的动点,则线段OP长的最小值是 . 【答案】6 【分析】过O点作OH⊥AB于H,连接OB,如图,根据垂径定理得到AH=BH=8,再利用勾股定理计算出OH,然后根据垂线段最短求解. 【详解】解:如图,过O点作OH⊥AB于H,连接OB, ∴AH=BH=AB= 16=8,, 在Rt BOH中,由勾股定理可得: , ∴线段OP长的最小值为6. 故答案为:6. 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理以及最短线段问题,熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键. 【变式3】(22-23九年级上 浙江杭州 阶段练习)如图,D是⊙O弦BC的中点,A是⊙O上的一点,OA与BC交于点E,已知AO=8,BC=12. (1)求线段OD的长; (2)当时,求DE的长. 【答案】(1); (2). 【分析】(1)连接,先根据垂径定理得出,,在中,根据勾股定理即可得出结论; (2)在中,设,则,,再根据勾股定理即可得出结论. 【详解】(1)解:连接OB. ∵过圆心,且D是弦中点, ∴, 在中,. ∵. ∴; (2)解:在中,. 设,则, ∴, 解得(舍),. 则. 【点睛】本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键. 【题型四】垂径定理逆定理的应用 【例4】(22-23九年级上 浙江绍兴 期末)如图为一座拱形桥示意图,桥身AB(弦AB)长度为8,半径OC垂直AB于点D,,则桥拱高CD为( ) A.3 B.2.5 C.2 D.1.5 【答案】C 【分析】连接,先根据垂径定理求出,,再由勾股定理求出的长,进而可得出结论. 【详解】解:连接, 半径弦于点,, , , . 故选:C. 【点睛】本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键. 【举一反三】【变式1】(23-24九年级上 浙江宁波 期末)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,如图1,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆,如图2,已知圆心在水面上方,且被水面截得弦长为4米,半径为2.5米.若点为运行轨道的最低点,则点到弦所在直线的距离是 米. 【答案】1 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理,连接交于点,得到,推出,利用勾股定理算出,最后根据即可解题. 【详解】解:连接交于点, 点为运行轨道的最低点, , , 由题知米,米, 米, 米, 米. 故答案为:. 【变式2】(24-25九年级上 浙江杭州 阶段练习)圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断,既美观又实用,彰显出中国元素的韵味.如图是一款拱门的示意图,其中拱门最下端分米,为中点,为拱门最高点,圆心在线段上,分米,求拱门所在圆的半径. 【答案】拱门所在圆的半径是13分米. 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用,勾股定理.连接,根据垂径定理求得分米,设圆的半径为分米,则分米,米,根据勾股定理即可求得,进而可得答案. 【详解】解:连接, ∵过圆心,为的中点, ∴, ∵分米,C为的中点, ∴分米, 设圆的半径为x分米,则分米, ∵分米, ∴分米, 在中,由勾股定理, ∴, ∴, 即拱门所在圆的半径是13分米. 【变式3】如图,某地欲搭建圆弧形拱桥,设计要求跨度米,拱高米. (1)求该圆弧所在圆的半径; (2)在距离桥的一端点B的4米处欲立一桥墩支撑,求桥墩高度. 【答案】(1)米 (2) 【分析】(1)设该圆弧所在圆的半径为r,圆心为O,连接,求出,,利用勾股定理建立方程,解方程即可得到答案; (2)如图所示,连接,过作交延长线于Q,求出,由(1)得,证明四边形是矩形,得到,在中,由勾股定理得,则. 【详解】(1)解:设该圆弧所在圆的半径为r,圆心为O,连接, 由题意得,三点共线,且 ∵,, ∴,, 在中,由勾股定理得, ∴, 解得:, ∴该圆弧所在圆的半径为米; (2)解:如图所示,连接,过作交延长线于Q, 由题意可得,, ∴, 由(1)得, ∵ ∴四边形是矩形, ∴,, 在中,由勾股定理得, ∴, ∴桥墩高度为. 【点睛】本题主要考查了垂径定理,勾股定理,矩形的性质与判定,正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键. 好题必刷 一、单选题 1.(23-24九年级上 浙江宁波 期中)下列说法中,正确的是( ) A.长度相等的弧是等弧 B.平分弦的直径垂直于弦 C.三角形外心到三边距离相等 D.不在同一条直线上的三个点确定一个圆 【答案】D 【分析】根据圆的认识,垂径定理,三角形的内心与外心,确定圆的条件逐项判断即可. 【详解】解:A、在同圆或等圆中,能够完全重合的弧是等弧,故本选项说法错误,不符合题意; B、平分不是直径的弦的直径垂直于弦,故本选项说法错误,不符合题意; C、三角形外心到三个顶点的距离相等,故本选项说法错误,不符合题意; D、不在同一条直线上的三个点确定一个圆,故本选项说法正确,符合题意. 故选:D. 【点睛】本题考查圆的认识,垂径定理,三角形的内心与外心,确定圆的条件.熟练掌握这些数学概念的解题的关键. 2.(23-24九年级上 浙江杭州 阶段练习)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆,已知圆心在水面上方,且圆被水面截得的弦长为6米,半径长为4米.若点为运行轨道的最低点,则点到的距离等于( ) A.1米 B.米 C.2米 D.米 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用垂径定理和勾股定理求值,连接,连接交于点,由题意得:,米,由垂径定理可得米,由勾股定理得出米,最后由即可得出答案. 【详解】解:如图,连接,连接交于点, 由题意得:,米, ∴(米, (米, (米, 故选:B. 3.(22-23九年级上 浙江台州 期末)如图,是的直径,弦垂直于点E,连接,则下列结论不一定的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查的是垂径定理,垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可. 【详解】解:∵是的直径,弦垂直于点E, ∴ ∴, 而不一定成立, 故选:B. 4.(24-25九年级下 浙江杭州 阶段练习)如图,点A,B,C在上,垂直平分于点.现测得,则圆的半径为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理和垂径定理,关键是利用垂径定理解答. 连接,利用垂径定理解答即可. 【详解】连结,如图,设半径为, ∵垂直平分于点, ∴,, ∴, ∴点O,D,C三点共线, , , 在中, ,即 解得:, 则圆的半径为. 故答案为:A. 5.(24-25九年级上 浙江宁波 期末)如图,残破的轮子上,弓形的弦为,高为,则这个轮子的半径长为( ). A. B.5 C. D.17 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理,勾股定理,方程的应用等知识,熟练掌握垂径定理是解题关键.由垂径定理可得,设这个轮子的半径长为,利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】解:,, , 设这个轮子的半径长为,则, , , 在中,, , 解得:, 即这个轮子的半径长为, 故选:B. 6.(24-25九年级下 浙江杭州 阶段练习)如图是一把伞面呈圆弧形的雨伞的简易图,,伞面的圆心为,若的度数为,伞柄,则伞面的展开距离为( ) A.45cm B. C.60cm D. 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理的应用,掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键. 连接.可以证明是等腰直角三角形,,在中利用勾股定理将用含的代数式表示出来,再由列关于的方程并求解,从而根据垂径定理求出的长即可. 【详解】解:如图,连接. , , , , . 设, 在中利用勾股定理,得, , , , , , . 故选:D. 二、填空题 7.(24-25九年级上 浙江 期中)如图,一个纵截面为半圆的容器水平放置,然后向其中倒入部分液体,测得数据如图(单位:),则液面宽度 . 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理,勾股定理,掌握以上知识是解题的关键.过圆心,作,根据垂径定理得出,根据图示得出,勾股定理即可求解. 【详解】解:如图,过圆心,作,则, 在中,, , ∴, ∴, 故答案为:. 8.(24-25九年级上 浙江 期末)一根排水管的截面如图所示,已知排水管的直径为,截面圆的圆心到水面的距离为,则水面宽为 . 【答案】16 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理,正确作出垂线是解题的关键. 根据垂径定理得,对运用勾股定理求出,即可求解. 【详解】解:过点作于点,如图: ∴, ∵排水管的直径为, ∴, ∴, ∴, 故答案为:16. 9.(24-25九年级上 浙江宁波 期末)已知与轴交于点,与轴交于点,则圆心的坐标是 . 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形性质,根据点的坐标,画出图形,利用垂径定理及中点坐标公式求出点的坐标即可.画出图形是解答本题的关键. 【详解】解:如图,的垂直平分线为直线,的垂直平分线为直线, 由垂径定理可知点的横坐标为,纵坐标为, . 故答案为:. 10.(24-25九年级上 浙江温州 期末)一根排水管的截面如图所示.已知排水管的半径,水面宽,则截面圆心到水面的距离为 . 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用,由垂径定理求出的长是解答本题的关键. 先根据垂径定理求出,再根据勾股定理求出即可. 【详解】解:,, , 在中,由勾股定理得:, 故答案为:. 三、解答题 11.(2022九年级 浙江 专题练习)如图,为的直径,于E,,求的长. 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理.连接,如图,先计算出,再利用垂径定理得到,然后利用勾股定理计算出,从而得到的长. 【详解】解:连接,如图, ∵, ∴, ∴, ∵,为的直径, ∴, 在中,, ∴. 12.(24-25九年级上 浙江杭州 期中)已知一根排水管的截面圆直径为. (1)如图1所示,当水面宽时,求水面的最大深度; (2)在图1的情况下,如果排水量增大,当水面上升到宽度时,求水面上升了多少厘米? 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查的是垂径定理的应用,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键. (1)连接,过点作垂足为,交于.由垂径定理可得出的长,由即可得出结论; (2)分水面在水面平行的直径下方和水面在水面平行的直径上方,两种情况结合垂径定理和勾股定理求解即可. 【详解】(1)解:连接,过点作垂足为,交于. ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, 答:水面的最大深度是. (2)解:①当水面在与水面平行的直径下方. 过点作于点, 且与交于点, ∵,, ∴,, 在中,, ∴; 在中, , 上升的距离为; ②当水面在水面平行的直径上方,过点作于点,过点作于点, 同理可得:,, ∴上升的距离为:. 答:排水管水面上升了或. 13.(22-23九年级上 浙江杭州 期中)如图,的直径垂直于弦,垂足为E,,. (1)求的半径长; (2)连接,作于点F,求的长. 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理.熟练掌握垂径定理,勾股定理求线段是解题的关键. (1)连接,如图,设的半径长为r,先根据垂径定理得到,再利用勾股定理得到,然后解方程即可; (2)先利用勾股定理计算出,再根据垂径定理得到,然后利用勾股定理可计算出的长. 【详解】(1)解:连接,如图,设的半径长为r, ∵, ∴,, 在中, ∵,,, ∴, 解得, 即的半径长为5; (2)解:在中, ∵,, ∴, ∵, ∴,, 在中,, 即的长为. 1 学科网(北京)股份有限公司 $$ 第07讲 垂径定理 题型梳理 易错分析 易错点一 忽略分类讨论而漏解 题型方法 题型一 垂径定理 题型二 垂径定理的应用 题型三 垂径定理的逆定理 题型四 垂径定理逆定理的应用 知识清单 知识点1.圆的轴对称性（重点） 圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴. 要点诠释： 　　①圆有无数条对称轴； 　 ②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”. 知识点2.垂径定理（重点） 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 知识点3.垂径定理的逆定理（重点） 垂径定理的逆定理1 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 垂径定理的逆定理2 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。 要点诠释： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 易错分析 【易错点一】忽略分类讨论而漏解 【例1】（21-22九年级上·浙江金华·期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知的半径为5，弦，且，，则弦和之间的距离为（    ） A．7或1 B．7 C．1 D．7或3 【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知是圆内接等腰三角形，它的底边长是，若圆的半径是，则的面积是 ． 【变式3】（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知的直径，是的弦，，垂足为点P，且，则的长为 ． 题型方法 【题型一】垂径定理 【例1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，弦，半径于点，，则的半径为（    ）    A． B． C． D．5 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，的半径为5，点C是弦上一点，若，设，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图所示，已知的半径为10，，，则线段的长为 ． 【变式3】（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，为的直径，弦于点E，若，求弦的长． 【题型二】垂径定理的应用 【例2】（21-22九年级上·浙江衢州·期末）如图，已知圆心在水面上方，且 被水面截得弦长为米．半径长为米， 若点 为运行轨道的最低点．则点到弦 所在直线的距离是（   ） A．1米 B．2米 C．米 D．米 【举一反三】【变式1】（22-23九年级下·浙江温州·期中）泰顺县南浦溪大桥是浙江省高速公路跨径最大的上承式拱桥，如图所示，主拱桥呈圆弧形．跨度约为260米，拱高约为70米，则大桥的桥拱半径约为（    ） A．146米 B．156米 C．166米 D．176米 【变式2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图①是小聪帮妈妈做的一个锅盖架，图②是它的截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为， ，锅盖直径为，则锅盖最低点到的距离是 cm． 【变式3】（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）唐代李皋发明了“桨轮船”（如图），该桨轮船的轮子被水面截得线段为，轮子的吃水深度为，求该桨轮船的轮子的直径． 【题型三】垂径定理的逆定理 【例3】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）下列说法： ①三点可以确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧； ③长度相等的弧是等弧；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦； ⑤三角形的外心到三角形三条边的距离相等．其中不正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，为直径，，点为弦的中点，点为上任意一点（点不与点重合），则的大小可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2022九年级·浙江·专题练习）如图，在⊙O中，半径r＝10，弦AB＝16，P是弦AB上的动点，则线段OP长的最小值是 ． 【变式3】（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，D是⊙O弦BC的中点，A是⊙O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO=8，BC=12． (1)求线段OD的长； (2)当时，求DE的长． 【题型四】垂径定理逆定理的应用 【例4】（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）如图为一座拱形桥示意图，桥身AB（弦AB）长度为8，半径OC垂直AB于点D，，则桥拱高CD为（    ） A．3 B．2.5 C．2 D．1.5 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径为2.5米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是 米． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．如图是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，求拱门所在圆的半径． 【变式3】如图，某地欲搭建圆弧形拱桥，设计要求跨度米，拱高米．    (1)求该圆弧所在圆的半径； (2)在距离桥的一端点B的4米处欲立一桥墩支撑，求桥墩高度． 好题必刷 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．三角形外心到三边距离相等 D．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到的距离等于（  ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 3．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，是的直径，弦垂直于点E，连接，则下列结论不一定的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，点A，B，C在上，垂直平分于点．现测得，则圆的半径为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，残破的轮子上，弓形的弦为，高为，则这个轮子的半径长为（   ）． A． B．5 C． D．17 6．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图是一把伞面呈圆弧形的雨伞的简易图，，伞面的圆心为，若的度数为，伞柄，则伞面的展开距离为（   ） A．45cm B． C．60cm D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图（单位：），则液面宽度 ． 8．（24-25九年级上·浙江·期末）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的直径为，截面圆的圆心到水面的距离为，则水面宽为 ． 9．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知与轴交于点，与轴交于点，则圆心的坐标是 ． 10．（24-25九年级上·浙江温州·期末）一根排水管的截面如图所示．已知排水管的半径，水面宽，则截面圆心到水面的距离为 ． 三、解答题 11．（2022九年级·浙江·专题练习）如图，为的直径，于E，，求的长． 12．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知一根排水管的截面圆直径为． (1)如图1所示，当水面宽时，求水面的最大深度； (2)在图1的情况下，如果排水量增大，当水面上升到宽度时，求水面上升了多少厘米？ 13．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，．    (1)求的半径长； (2)连接，作于点F，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$