专题02 二次函数与几何最值问题（压轴题专项训练）数学沪科版九年级上册

专题02 二次函数与几何最值问题 目录 1 类型一、二次函数中的线段最值问题（铅垂线段的求法-横坐标相同） 1 类型二、二次函数中的线段最值问题（铅垂线段的求法-横坐标相同） 3 类型三、二次函数中的线段最值问题（斜线段的求法-化斜为直） 4 类型四、距离最值问题 5 类型五、线段比最值问题 6 类型六、线段和最小问题 7 类型七、线段差最大问题 9 类型八、二次函数周长最值问题 10 类型九、二次函数面积最值问题 12 类型十、将军饮马问题（单对称） 13 类型十一、将军饮马问题（多对称） 14 类型十二、将军饮马问题（将军遛马） 16 17 类型一、二次函数中的线段最值问题（铅垂线段的求法-横坐标相同） 平行于坐标轴的线段的最值问题，常常用线段两端点的坐标差表示线段长对应的函数表达式，然后运用二次函数的性质求最值.解决这类问题的关键如下： ①确定线段长对应的函数表达式，当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标； 当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标； ②确定函数的最值，注意函数自变量的取值范围. 注意：单线段最值求解时一定要保证线段是非负的. 1．（2025·安徽合肥·二模）如图，点、、在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段长度最大时点的坐标． (3)点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使得以点 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 2．（2025·安徽安庆·一模）平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A． (1)求点A的坐标及抛物线的对称轴； (2)当时，y的最大值为5，求a的值； (3)设抛物线的顶点为B，点M是线段上的动点，过点M作轴，交抛物线于点N．若，试求出的最大值（用含a的式子表示）． 3．（2025·安徽阜阳·三模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接．D是在第一象限内的抛物线上的一个动点，连接，交线段于点E． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点E在该抛物线的对称轴上，求的长； (3)过点D作y轴的平行线，交于点F，求的最大值． 类型二、二次函数中的线段最值问题（铅垂线段的求法-横坐标相同） 4．（2025·安徽滁州·二模）抛物线过点，点，C是抛物线的顶点，D是抛物线与y轴的交点． (1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)点P在抛物线上，且位于直线下方，过点P作平行于x轴交直线于点Q，求的最大值； (3)M为抛物线上一点，N为抛物线对称轴上一点，若，且，求点M和点N的坐标． 5．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点． (1)求二次函数的解析式． (2)若点是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点作轴的垂线与线段交于点，求线段长度的最大值． 6．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，抛物线与直线交于A，B两点，且点的坐标为，点的横坐标为1． (1)求抛物线的函数表达式． (2)为直线上方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点． （ⅰ）当线段取最大值时，求点的坐标； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，过点作交直线于点，若抛物线与线段只有一个交点，直接写出的取值范围． 类型三、二次函数中的线段最值问题（斜线段的求法-化斜为直） 7．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）如图，抛物线和直线都经过点和． (1)试确定抛物线的函数解析式． (2)若P是落在第一象限的抛物线上的一个动点，过点P作于点Q，则点P在什么位置时，的值最大?求出最大值，并求出点P的坐标． 8．（2025·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，点P是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点A，C重合）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过点P作于点Q，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； (3)过点P作x轴的平行线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点N恰好落在y轴上时，请求出此时点M的坐标． 9．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点，连接，点P是第一象限内抛物线上的一动点，过点P作直线，交于点D． (1)求二次函数的表达式； (2)当D点为线段的中点时，求点P的坐标； (3)求线段的最大值． 类型四、距离最值问题 10．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点．    (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标； 11．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线的图像与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)若点是抛物线上位于第一象限的一点，问是否存在这样的点，使得点到的距离最大？若存在，请求出此时点的坐标． 12．（22-23九年级上·安徽芜湖·阶段练习）在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的负半轴上，且满足OA=OC=3，OB=1． (1)求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数表达式； (2)在（1）中所求的函数图象的第三象限部分上是否存在一点D，使得点D到边AC的距离最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 类型五、线段比最值问题 13．（22-23九年级下·安徽宣城·自主招生）已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，点为顶点． (1)直接写出四个点的坐标； (2)如图1，点为抛物线对称轴（直线）上的动点，求当点在什么位置时，取得最值？最值是多少？ (3)如图2，在第一象限内，抛物线上有一动点交于点，求的最大值． 14．（22-23九年级上·安徽·开学考试）抛物线的对称轴为直线，与轴交于和，与轴交于点，将沿直线作对称，得到抛物线． (1)求抛物线的解析式（写出自变量的取值范围）； (2)直线与的另一个交点，，分别为线段，上任意一点（不与，，重合），作轴，轴，分别交，于点，，设的最大值为，的最大值为，求证：． 15．（2023·广东肇庆·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．    (1)求该抛物线的解析式； (2)若点M是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点M的坐标； (3)P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），如图2，若点P在直线上方，连接交于点D，求的最大值； 类型六、线段和最小问题 16．（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 17．（23-24九年级下·安徽六安·阶段练习）如图1，抛物线与轴相交于点、，对称轴是直线，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点是轴上一动点，分别连接，求的最小值； (3)点是直线上方抛物线上一点，连接交于点，若，如图2，求点的坐标． 18．（23-24九年级上·天津北辰·阶段练习）已知抛物线与轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），与轴相交于点C，点，． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)若点是第二象限内抛物线上一动点，过点作线段轴，交直线于点，当线段取得最大值时，求此时点的坐标． (3)若取线段的中点，向右沿轴水平方向平移线段，得到线段，当取得最小值时，求此时点的坐标 类型七、线段差最大问题 19．（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）已知对称轴为的二次函数的图像与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)点是对称轴上的一个动点，连接，，是否存在点使最大，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 20．（2024·安徽合肥·一模）已知抛物线与直线都经过点，直线与抛物线L的对称轴交于点B． (1)求m的值； (2)求证：； (3)当时，将抛物线L向左平移个单位得到抛物线P，抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M，且点M在点B的下方．过点A作x轴的平行线交抛物线P于点N，且点N在点A的右侧，求的最大值，并求出此时n的值．     21．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点，顶点为．    (1)求此抛物线的解析式； (2)如图1，点P为抛物线对称轴（直线l）上的动点，求当取得最小值时点P的坐标； (3)如图2，在第一象限内，抛物线上有一动点M，求面积的最大值． 类型八、二次函数周长最值问题 无论是线段和的最小值或是周长的最小值，还是两条线段差的最大值等，解决该类问题的最基本依据就是“两点之间，线段最短”,基本模型就是最短路径问题，即“将军饮马问题”.解题方法就是通过轴对称作出对称点加以解决，若需要三边和最小，则需过两定点(即已知定长线段的两顶点)分别作出关于x轴与y的对称点，从而将三边转化到同一条直线上. 22．（2024·安徽阜阳·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使的周长最小，求的周长的最小值及此时点P的坐标； (3)若M为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形的面积的最大值及此时点M的坐标. 23．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接，点是上方抛物线上一点．                                               备用图 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴有一点，使的周长最小，求的坐标； (3)过点作于点，求的最大值； 24．（24-25九年级上·四川绵阳·阶段练习）如图1，已知直线与坐标轴相交于、两点，经过点、的抛物线与轴交于点． (1)求抛物线解析式； (2)如图2，轴与抛物线相交于点，点是直线下方抛物线上的动点，过点且与轴平行的直线与交于点，试探究当点运动到何处时，四边形的面积最大，求点的坐标及最大面积； (3)若点为抛物线的顶点，点是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，使四边形的周长最小，求出点的坐标． 类型九、二次函数面积最值问题 解题思路： 1.设动点P的坐标为，过点P做辅助线； 2.利用水平宽铅锤高、割补法等，写出面积表达式(一般为二次函数的形式)； 3.写出表示面积的二次函数的顶点式,求出最值,即可得到三角形面积的最大值. 25．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)结合函数图象，当时，直接写出y的取值范围：_____； (2)若点M是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积的最大值． 26．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，已知抛物线经过点和点，P为第二象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，当时，求出点P的坐标． 27．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为S，求S的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求直线的函数表达式及点的坐标．   类型十、将军饮马问题（单对称） 28．（24-25九年级上·全国·期末）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，动点在抛物线的对称轴上． (1)抛物线的函数表达式为_____； (2)当以，，为顶点的三角形的周长最小时，求点的坐标及周长的最小值． 29．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知二次函数与轴交于点、，与轴交点为． (1)点C的坐标为________（用含m的代数式表示）； (2)点为该二次函数图象对称轴上一点，若最小值为，求的值． (3)在（2）的条件下，连接，点是直线下方二次函数图象上一点，连接，过点作，交于点，当时，求点的坐标． 类型十一、将军饮马问题（多对称） 30．（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）已知二次函数的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，P是直线上方抛物线上一动点，过P作轴交于点Q．点E、F分别是x轴、y轴上的动点，连接．当的长度最大时，求点P坐标以及四边形周长的最小值． (3)如图2，抛物线的顶点为D，连接，把抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线．点M是新抛物线对称轴上的一动点，直线与直线相交于点N，是否存在点M，使，若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由． 31．（23-24九年级上·天津河北·期末）如图，抛物线 过点，矩形的边在线段上（点A 在点B的左侧），点C，D在抛物线上，的平分线交于点M，点N是的中点，已知 ． (1)求抛物线的解析式； (2)分别为轴， 轴上的动点，顺次连接 构成四边形求四边形周长的最小值； (3)在轴下方且在抛物线上是否存在点P，使 中边上的高为 ？若存在， 求出点 P的坐标； 若不存在， 请说明理由． 类型十二、将军饮马问题（将军遛马） 32．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点E是线段上不与点O、A重合的点，过点E作轴，交抛物线于点P，交于点D，点M是线段上一动点，轴，垂足为N，点F为线段的中点，连接，．当线段的长度取得最大值时，请求出的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段的长度取最大值时的点D，且与直线相交于另一点K，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 33．（2024·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点在轴上，抛物线经过点两点，且与直线交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点为顶点的四边形是以或边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． (1)求抛物线顶点C的坐标； (2)现有一条抛物线经过B、C两点，且与x轴的另一个交点D在线段上（不与点O、B重合），若点为该抛物线上的点． ①当点D的坐标为时，求t的值； ②当最大时，求t的值． 2．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，经过两点的抛物线与轴的另一交点为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是该抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，设点的横坐标为，连接，求△的面积与的函数表达式，并求出的最大值． 3．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）已知：如图，抛物线过点，且其对称轴为直线，点为抛物线上第二象限内一点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，求面积的最大值； (3)如图2，若抛物线上点的横坐标为，且的面积为，求点的坐标． 4．（24-25九年级上·北京房山·期中）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧） (1)求A，B两点的坐标； (2)若点P在该抛物线上，且的面积为6，求点P的坐标． 5．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知二次函数的图像经过点和． (1)求图像的顶点坐标和对称轴； (2)若是该抛物线上在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，求四边形周长的最大值． 6．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）抛物线交轴于，两点，交轴子点，直线经过点和点． (1)①求，的值； ②记抛物线的顶点为，则的面积为______； (2)过点作垂直于轴的直线与抛物线相交于点，求线段的最大值． 7．（2024·安徽宣城·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式． (2)是二次函数的图象位于轴上方的两动点，且两点关于对称轴对称，点在点的左侧．过点作轴的垂线，分别交轴于点，当的值最大时，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在点，使的面积等于矩形的面积的？若存在，请求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数与几何最值问题 目录 1 类型一、二次函数中的线段最值问题（铅垂线段的求法-横坐标相同） 1 类型二、二次函数中的线段最值问题（铅垂线段的求法-横坐标相同） 7 类型三、二次函数中的线段最值问题（斜线段的求法-化斜为直） 15 类型四、距离最值问题 23 类型五、线段比最值问题 29 类型六、线段和最小问题 37 类型七、线段差最大问题 45 类型八、二次函数周长最值问题 53 类型九、二次函数面积最值问题 60 类型十、将军饮马问题（单对称） 67 类型十一、将军饮马问题（多对称） 71 类型十二、将军饮马问题（将军遛马） 81 90 类型一、二次函数中的线段最值问题（铅垂线段的求法-横坐标相同） 平行于坐标轴的线段的最值问题，常常用线段两端点的坐标差表示线段长对应的函数表达式，然后运用二次函数的性质求最值.解决这类问题的关键如下： ①确定线段长对应的函数表达式，当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标； 当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标； ②确定函数的最值，注意函数自变量的取值范围. 注意：单线段最值求解时一定要保证线段是非负的. 1．（2025·安徽合肥·二模）如图，点、、在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段长度最大时点的坐标． (3)点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使得以点 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）将、的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；将点横坐标代入抛物线的解析式中. （2）的长实际是直线与抛物线的函数值的差，可设点的横坐标为，用分别表示出、的纵坐标，即可得到关于 的长、的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得的最大值. （3）存在.如图，设抛物线与的交点为，由题意，可知 轴，分图中四种情形，利用平行四边形的性质以及平移变换的性质求解即可. 【详解】（1）解：将代入，得到，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）将点的横坐标代入，得， ∴， 设直线的解析式为， 把分别代入，得，解得：， ∴直线的函数解析式是， 设点的横坐标为，则、的坐标分别为：， ∵点在点的上方， ∴， ∵， ∴当时，最大，最大值为，此时点的坐标为； （3）存在．满足条件的点的坐标为或或或． 理由：如图，设抛物线与轴的交点为，由题意得， ∵， ∴轴，， 当点与点重合时， ①当是平行四边形的边时，即 ，则， 得， ②当是平行四边形的对角线时，即，则得， 当点在轴的上方时，令，解得， ∴， 由平移的性质可知， 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的定义，待定系数法求解二次函数解析式，二次函数与一次函数交点求线段的最值问题，利用平行四边形的性质以及平移变换的性质，解题关键是熟悉各个知识点并综合运用． 2．（2025·安徽安庆·一模）平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A． (1)求点A的坐标及抛物线的对称轴； (2)当时，y的最大值为5，求a的值； (3)设抛物线的顶点为B，点M是线段上的动点，过点M作轴，交抛物线于点N．若，试求出的最大值（用含a的式子表示）． 【答案】(1)，抛物线的对称轴为直线 (2)或 (3)最大值为 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的最值问题，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）求出当自变量的值为0时的函数值即可得到点A的坐标，再把解析式化为顶点式即可得到对称轴； （2）抛物线顶点坐标为，当时，抛物线开口向上，则离对称轴越远，函数值越大，则当时，为最大值，当时，抛物线开口向下，则时，取最大值，据此分别建立方程求解即可； （3）求出线段的函数解析式为．设点的坐标为，则点的坐标为，用含a的式子表示出，并利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：在中，令，则， ∴． ∵抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线． （2）解：由（1）可知抛物线解析式为 抛物线顶点坐标为． ①当时，抛物线开口向上，则离对称轴越远，函数值越大， ， 当时，为最大值， 即，解得． ②当时，抛物线开口向下， 时，取最大值， ，解得． 综上所述，或． （3）解：由（2）可得：抛物线的顶点坐标为， 设线段的函数解析式为， 由题意可知，，解得． 线段的函数解析式为． 设点的坐标为，则点的坐标为，如图， 当时， ． ， ， 当时，有最大值，且最大值为． 3．（2025·安徽阜阳·三模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接．D是在第一象限内的抛物线上的一个动点，连接，交线段于点E． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点E在该抛物线的对称轴上，求的长； (3)过点D作y轴的平行线，交于点F，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）先求出直线的表达式为，抛物线的对称轴是直线，可得点E的坐标是，再由勾股定理得，即可求解； （3）设点D的坐标为，则点F的坐标为，，可得，最后由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：分别将点，，代入， 得解得 ∴该抛物线的表达式为； （2）解：设直线的表达式为． 将点代入，得，解得， ∴直线的表达式为． ∵抛物线的对称轴是直线， ∴点E的坐标是， ∴； （3）解：设点D的坐标为， 则点F的坐标为，， ∴ ， ∵，， ∴当时，DF`有最大值，最大值是． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 类型二、二次函数中的线段最值问题（铅垂线段的求法-横坐标相同） 4．（2025·安徽滁州·二模）抛物线过点，点，C是抛物线的顶点，D是抛物线与y轴的交点． (1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)点P在抛物线上，且位于直线下方，过点P作平行于x轴交直线于点Q，求的最大值； (3)M为抛物线上一点，N为抛物线对称轴上一点，若，且，求点M和点N的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解出解析式，进而出顶点坐标； （2）先求出，再求出直线的解析式为，设，求出，再求出，即可求解； （3）根据题意，当，且，以为对边的四边形是平行四边形，设，求出直线的解析式为，进而求出，分为对角线和为对角线两种情况讨论，根据平行四边形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：，解得：， ∴抛物线的表达式为； ∵， ∴抛物线的顶点C的坐标为； （2）解：如图， 将代入，则， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入，则， ∴， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴点Q的纵坐标为， 则，解得， ∴， ∴， ∴，且， ∴当时，有最大值为； （3）解：∵，且， ∴为对边的四边形是平行四边形， 设，直线的解析式为， 将代入， 则， ∴， ∴直线的解析式为， ∵N为抛物线对称轴上一点，抛物线对称轴为， 将代入， 则， ∴， ∵，， 当为对角线时， 则，解得， 则， ∴； 当为对角线时， 则，解得， 则， ∴； 综上，或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及二次函数解析式，图像与性质，二次函数与线段的问题，一次函数与几何的应用，平行四边形形的性质，灵活应用分类讨论的思想是解题的关键． 5．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点． (1)求二次函数的解析式． (2)若点是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点作轴的垂线与线段交于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求直线解析式，函数最值问题，将线段列出函数关系式利用最值确定线段的最大值的解题思路是关键． （1）将点B坐标代入即可求出解析式； （2）先求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点C的坐标为，列出线段的关系式配方即可得到的最大值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）∵二次函数的解析式为， ∴时，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得， 所以直线的解析式为 设点的坐标为． 则点的坐标为． 因为点在点的右边， 所以 ． 因为点是这个二次函数图象在第二象限内的一点， 所以， 所以当时，线段的长度有最大值，最大值为． 6．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，抛物线与直线交于A，B两点，且点的坐标为，点的横坐标为1． (1)求抛物线的函数表达式． (2)为直线上方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点． （ⅰ）当线段取最大值时，求点的坐标； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，过点作交直线于点，若抛物线与线段只有一个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）先求出直线的表达式为，然后求出点的坐标为，将点代入，求出，即可得出答案； （2）（ⅰ）过点作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，则点的横坐标也为，得出，，求出， 根据二次函数的最值，得出当时，取得最大值，求出结果即可； （ⅱ）先求出当抛物线经过点时，，当抛物线经过点时，，得出答案即可． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 解得， 直线的表达式为， 当时，， 点的坐标为，                                ， ， 将点代入，得， 解得， 抛物线的表达式为． （2）解：（ⅰ）如图，过点作轴于点，交直线于点． 设直线与轴交于点，则点的坐标为． ， ． ，， ， ， 设点的横坐标为，则点的横坐标也为， ，， ，         当时，取得最大值， ， 点的纵坐标也为． 令， 解得， 点的坐标为．                        （ⅱ）由题意，得点的坐标为．                                         如图，当抛物线经过点时， ， 解得， 当时，， 此时抛物线与线段有两个交点， 当抛物线经过点时， ， 解得， 当时，， 此时抛物线与线段有一个交点， 综上所述，若抛物线与线段只有一个交点，则． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数的最值，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的特点． 类型三、二次函数中的线段最值问题（斜线段的求法-化斜为直） 7．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）如图，抛物线和直线都经过点和． (1)试确定抛物线的函数解析式． (2)若P是落在第一象限的抛物线上的一个动点，过点P作于点Q，则点P在什么位置时，的值最大?求出最大值，并求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)当时的值最大，最大值为此时点P的坐标为 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数与一次函数的解析式，同时考查了利用二次函数的性质解决最值问题． （1）把，代入直线，求出，再代入抛物线解析式，可得答案； （2）过点作轴的平行线交直线于，设得出证得出即，即可得当时的值最大，最大值为即可求出此时点P的坐标． 【详解】（1）直线经过，两点， ∴，解得， ∴， ∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式式； （2）过点作轴的平行线交直线于，如图： ∵点是落在第一象限的抛物线上的一个动点， 设 轴，点C在上， ， ， 轴， 又 即 ， 当时的值最大，最大值为 当时，， 此时点P的坐标为． 8．（2025·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，点P是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点A，C重合）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过点P作于点Q，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； (3)过点P作x轴的平行线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点N恰好落在y轴上时，请求出此时点M的坐标． 【答案】(1) (2)当的值最大时，点P的坐标为，的最大值为 (3) 【分析】1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为，作轴交直线于，交轴于点，求出，得到，由平行线的性质可得，解直角三角形可得，即当取得最大值时，也取得最大值，设，则，表示出，再由二次函数的性质求解即可； （3）设交轴于点，由平行线的性质结合折叠的性质可得，即可得出和都是等腰直角三角形，设，则，，求出，得到，代入二次函数解析式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作轴交直线于，交轴于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当取得最大值时，也取得最大值， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，此时有最大值为，也取得最大值为， 当时，，即； 当的值最大时，点P的坐标为，的最大值为； （3）解：如图，设交轴于点， ∵轴， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴和都是等腰直角三角形， 设， ∴，， ∴， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式，二次函数综合—线段问题，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 9．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点，连接，点P是第一象限内抛物线上的一动点，过点P作直线，交于点D．    (1)求二次函数的表达式； (2)当D点为线段的中点时，求点P的坐标； (3)求线段的最大值． 【答案】(1) (2) (3)线段的最大值为 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、三角形相似等，理解当最大时，最大，是解题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）当D点为线段的中点时，求出点坐标，再利用求得直线的解析式，即可解答； （3）过点作轴的平行线，交于点，证明为直角三角形，则可得，则最大时，最大，求得最大值，再利用相似比求得最大值即可。 【详解】（1）解：二次函数的图象交轴于点点，， 设二次函数的表达式为， 将点代入，得， 解得：． 二次函数的表达式为； （2）解：当D点为线段的中点时，可得 直线的一次函数解析式的值为， ， 直线的一次函数解析式的值为， 设直线的一次函数解析式为， 把代入，可得，解得， 直线的一次函数解析式为， 列方程， 解得， 点P是第一象限内抛物线上的一动点， （3）解：如图，过点作轴的平行线，交于点， ， ， 为直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， 当最大时，最大， 设， 设直线的解析式为， 把代入，可得， 直线的解析式为， ， ， 当时，取最大值为2， 此时， 故线段的最大值为．    类型四、距离最值问题 10．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点．    (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，面积问题； （1）由一次函数的解析式可求出点和点坐标．再代入抛物线解析式中即可求出和的值，即得出抛物线解析式； （2）如图，连接，，，设，求解，，，，当时，的面积最大，此时点到直线的距离最大，从而可得答案． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时， ， 解得：， ， 把和代入抛物线中得： ， 解得：， 抛物线的解析式为： ； （2）解：如图，连接，，，    设， ∴，，， ∴， 当时，的面积最大， ∴到的距离最大， ∴． 11．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线的图像与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)若点是抛物线上位于第一象限的一点，问是否存在这样的点，使得点到的距离最大？若存在，请求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把，代入，从而求得m，进而求得抛物线的解析式； （2）先求出点的坐标为得，再求得点的坐标为，得出，最后求得的面积； （3）由题意可得当点到的距离最大时，的面积最大，过点作，垂足为点，交于点，连接，据此求解即可． 【详解】（1）把，代入得，， 抛物线的解析式为． （2）当时，， 点的坐标为 当时，， 所以点的坐标为， 所以； 所以； （3）如图，当点到的距离最大时，的面积最大． 过点作，垂足为点，交于点，连接． 设点的横坐标为，则点的坐标为． 设直线的函数解析式为， 则解得 ∴直线的函数解析式为， ∴点的坐标为； 当时，． 当点到的距离最大时，点的坐标为 【点睛】本题二次函数的几何综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数解析式及二次函数解析式等知识，掌握二次函数的图象与性质，是解答本题的关键． 12．（22-23九年级上·安徽芜湖·阶段练习）在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的负半轴上，且满足OA=OC=3，OB=1． (1)求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数表达式； (2)在（1）中所求的函数图象的第三象限部分上是否存在一点D，使得点D到边AC的距离最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在这样的点D，点D的坐标为． 【分析】（1）点A、B在x轴上，可以用交点式求解析式，方法是待定系数法； （2）要使得点D到AC的距离最大，则过D点且与AC平行的直线与抛物线只有点D一个交点，因此可以根据AC的直线方程中k的值设出过D点且与AC平行的直线解析式，再与抛物线方程联立方程组，代入消去y，再令求解即可． 【详解】（1）解：∵点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的负半轴上，且满足OA=OC=3，OB=1． ∴， 由设抛物线的解析式为： 将点C的坐标代入得：， 解得：， ∴经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数表达式为：，即． （2）存在这样的点D，点D的坐标为 设直线AC的解析式是： 将代入得： ， 解得：， 所以直线AC的解析式是：， 过点D作DEAC交y轴于点E，则直线DE的解析式中k的值是-1， 设直线DE的解析式为， 要使得点D到边AC的距离最大，则直线DE与抛物线只有点D一个交点， 将DE的解析式与抛物线解析式联立得： ∴ 整理得：①， ∵直线DE与抛物线只有点D一个交点， ∴， 解得： 将代入①得： 解得： 将代入得， ∴存在这样的点D，点D的坐标为． 【点睛】本题考查待定系数法和二次函数的几何应用，掌握数形结合的思想得出当过D点且与AC平行的直线与抛物线只有点D一个交点时D到AC的距离最大是解题的关键． 类型五、线段比最值问题 13．（22-23九年级下·安徽宣城·自主招生）已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，点为顶点． (1)直接写出四个点的坐标； (2)如图1，点为抛物线对称轴（直线）上的动点，求当点在什么位置时，取得最值？最值是多少？ (3)如图2，在第一象限内，抛物线上有一动点交于点，求的最大值． 【答案】(1) (2)点的坐标为时，取得最小值0；点的坐标为时，取得最大值 (3) 【分析】(1)用配方法求顶点坐标，用交点法求交点坐标即可； (2)根据题意，当时，的值最小，且为0；根据，得当P，A，C三点共线时，取得最大值，最大值为的长，解答即可． (3)不妨设，过点M作交x轴于点G，设直线的解析式为，确定直线的解析式为，用m表示直线的解析式，利用平行线分线段成比例定理，构造二次函数，利用二次函数的最值解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为； ∵当时，， ∴， ∵当时，， 解得， ∴； 故答案为：． （2）解：根据题意，得当时，的值最小，且为0， 设， 故， 解得， 故点时，的值最小，且为0； ∵P在对称轴上，且点A，点B是对称点， ∴， ∴， ∵， ∴当P，A，C三点共线时，取得最大值，最大值为的长， ∴， 设直线的解析式为， 故， 解得， ∴直线的解析式为， ∴时，， 故点时，的值最大，且为． （3）解：∵抛物线的解析式为，不妨设， 过点M作交x轴于点G， 设直线的解析式为， 故， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 且当时，有最大值，且为． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标，待定系数法求解析式，平行线分线段成比例定理，勾股定理，三角形三边关系定理的应用，构造二次函数求最值，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 14．（22-23九年级上·安徽·开学考试）抛物线的对称轴为直线，与轴交于和，与轴交于点，将沿直线作对称，得到抛物线． (1)求抛物线的解析式（写出自变量的取值范围）； (2)直线与的另一个交点，，分别为线段，上任意一点（不与，，重合），作轴，轴，分别交，于点，，设的最大值为，的最大值为，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先求出，值，可得抛物线的解析式，由轴对称的性质可求抛物线与轴的另一个交点为，即可求解； （2）分别求出，，，的值，即可求解． 【详解】（1）（1）解：抛物线的对称轴为直线，与轴交于， ， 解得：， 抛物线， 令，则， 解得：或， ， 点， 将沿直线作对称，得到抛物线． 抛物线与抛物线的开口大小相同，开口方向相同，抛物线与轴的另一个交点为， 设抛物线的解析式； （2）证明：如图，     与轴交于点， 点， 又， 直线解析式为，， 联立方程组可得：， 或， 点， ， ， 设点，则点， ， 的最大值为， 设点，则点， ， 的最大值为， ， ． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，一次函数的应用，二次函数是应用，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 15．（2023·广东肇庆·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．    (1)求该抛物线的解析式； (2)若点M是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点M的坐标； (3)P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），如图2，若点P在直线上方，连接交于点D，求的最大值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直线与两坐标的交点坐标为，，将A、B代入抛物线，利用待定系数法即可求解； （2）根据抛物线解析式确定与x轴的交点坐标，再由对称的性质及两点之间线段最短即可确定点M的位置，然后代入一次函数解析式求解即可； （3）过点P作交直线于点E，则，所以 ，当取最大值时，有最大值． 【详解】（1）解： 直线与坐标轴交于A、B两点， 当时，，当时，， ，， 将A、B代入抛物线，得 ，解得 ， 抛物线的解析式为：． （2）∵抛物线的解析式为：． ∴当时，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为，    ∵点关于对称，连接交对称轴于点M， ∴，此时取得最小值， ∴当时，， ∴； （3）过点P作交直线于点E，则，    设点 ， ， ， ， 代数式，当时有最大值 ， 的最大值为． 【点睛】本题是二次函数与一次函数的交点问题，考查了用待定系数法求二次函数的解析式，三角形相似的判定和性质，解题的关键是构造辅助线证． 类型六、线段和最小问题 16．（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 【答案】(1) (2)①，②5 【分析】（1）利用两点式求解抛物线解析式； （2）①延长与x轴相交于点G，证明是等腰直角三角形，从而得到点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可；②过点O作，且，连接，，设交轴为点，然后证明四边形是平行四边形，根据，得出时，最小，进一步求出即可． 【详解】（1）解：在二次函数的图象上，设该二次函数为， ， ． （2）解：①把代入， 得， 如图，延长与x轴相交于点G． ， ． ， ． ， ． ， ， ． 设直线的解析式为：，把代入， 得解得， 直线的解析式为：， 点D是直线与二次函数的交点， 联立解析式， 解得或， ． ②如图，过点O作，且，连接，，设交轴为点． ，且， 四边形是平行四边形， ． ， ． 为等腰直角三角形， ， ，， ， ． ， 当时，最小． ， ． 此时D、E、H三点共线且轴， 点F的坐标为与点C重合，满足在线段上． 的最小值为5． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数与一次函数交点问题，二次函数与特殊四边形问题，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是添加适当的辅助线，通过数形结合的思想求解； 17．（23-24九年级下·安徽六安·阶段练习）如图1，抛物线与轴相交于点、，对称轴是直线，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点是轴上一动点，分别连接，求的最小值； (3)点是直线上方抛物线上一点，连接交于点，若，如图2，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的坐标为或 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，轴对称最短路径的计算方法，相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）把点，对称轴为直线，代入解析式，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意分别求出，，在y轴上作点D的对称点，连接交于点N，此时的值最小，根据轴对称最短路径的方法即可求解； （3）根据题意求出直线的解析式，设，则，，根据题意可得，结合相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线AM的解析式为，当时，， ∴． 如图1， 在y轴上作点D的对称点，连接交于点N，此时的值最小． 过点M作轴于点T， ∴， ∴， ∴的值的最小值为； （3）解：抛物线的解析式为， ∴令时，；令时，, 解得，，， ∴，, ∴直线的解析式为．如图2，过点E，P分别作，，垂足分别为F，H． 设，则，， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵点P在抛物线上， ∴， 得，， ∴， ∴P的坐标为或． 18．（23-24九年级上·天津北辰·阶段练习）已知抛物线与轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），与轴相交于点C，点，． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)若点是第二象限内抛物线上一动点，过点作线段轴，交直线于点，当线段取得最大值时，求此时点的坐标． (3)若取线段的中点，向右沿轴水平方向平移线段，得到线段，当取得最小值时，求此时点的坐标 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得顶点坐标； （2）先求出直线的解析式为，设点的坐标为，点的坐标为，可得，根据二次函数的性质可得当时，有最大值，此时点的坐标为； （3）连接，可得四边形是平行四边形，，从而得到，作点关于轴的对称点，取得最小值时，即为点，，三点共线时，有最小值，再求出的解析式，将代入即可得点的坐标． 【详解】（1）解：由题意，抛物线过，， ， 解得， ． 抛物线的顶点坐标为； （2）解：把代入得， ∴点C坐标为． 如图，设经过，两点的直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为，点的坐标为． ， 因为， 当时，有最大值． 此时，点的坐标为； （3）解：连接， 和， 中点， 由平移得与平行且相等， 与平行且相等， 四边形是平行四边形， ． ． 作点关于轴的对称点，则， 取得最小值时，即为点，，三点共线时， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 将代入得，， 此时点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、轴对称的性质、平行四边形的判定和性质，二次函数的性质，解题关键是准确理解题意，正确画出图形，掌握待定系数法求函数的解析式和二次函数的性质． 类型七、线段差最大问题 19．（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）已知对称轴为的二次函数的图像与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)点是对称轴上的一个动点，连接，，是否存在点使最大，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，直线的解析式为 (2)存在点， (3)存在点，使是直角三角形，点的坐标为或或或 【分析】（1）由题意得：，再将代入，求解即可；设直线的解析式为，把，代入，然后解方程组即可； （2）连接，，则，当、、三点共线时，有最大值，延长交对称轴于点，，解方程得到，设直线的解析式为，得到直线解析式为，当时，求出的值即可； （3）根据题意对称轴为直线，设，根据勾股定理，，，分①当时，②当时，③当时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵对称轴为的二次函数的图像与轴交于，， ∴，， 解得：，， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）存在点，连接，，则， 当、、三点共线时，有最大值， 延长交对称轴于点，则， ∵二次函数的图像与轴交于，， 当时，， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； （3）存在点，使是直角三角形， ∵点对称轴上， 设， ∵，， ∴，，， ①当时，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，， ∴， 解得：， ∴； ③当时，， ∴， 解得：或， 点坐标为或； 综上所述：点坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合运用，待定系数法求函数解析式，勾股定理，轴对称的性质，求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 20．（2024·安徽合肥·一模）已知抛物线与直线都经过点，直线与抛物线L的对称轴交于点B． (1)求m的值； (2)求证：； (3)当时，将抛物线L向左平移个单位得到抛物线P，抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M，且点M在点B的下方．过点A作x轴的平行线交抛物线P于点N，且点N在点A的右侧，求的最大值，并求出此时n的值． 【答案】(1) (2)详见解析 (3)当时，值最大，为 【分析】（1）把代入与中，得，，两式相加可得． （2）由得，由，，得，故． （3）由得抛物线L为，得，表示出，，得，再利用利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）把代入与中，得 ，， 得． （2）∵， ∴， ∴， ∴． ∵， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）如图：      ∵， ∴， ∴将抛物线L为，直线为， ∵抛物线L向左平移， ∴抛物线P为， ∵抛物线L的对称轴为直线， ∵抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M， ∴， ∵直线与抛物线L的对称轴交于点B， ∴， ∵点M在点B的下方， ∴． ∵抛物线L的对称轴为直线，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值． 【点睛】本题考查了二次函数、一次函数图象上点的坐标特征，完全平方公式，不等式的性质，二次函数的平移，二次函数的性质，二次函数的平移，以及二次函数与几何综合，掌握二次函数最值的求法是解题关键． 21．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点，顶点为．    (1)求此抛物线的解析式； (2)如图1，点P为抛物线对称轴（直线l）上的动点，求当取得最小值时点P的坐标； (3)如图2，在第一象限内，抛物线上有一动点M，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)点P的坐标为； (3)面积的最大值为． 【分析】（1）设出顶点式，利用待定系数法即可求解； （2）先求得A，B两点的坐标，当时，取得最小值，利用两点之间的距离公式列式求解即可； （3）连接，设，利用列式得，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴，， 设点P的坐标为， 当时，， 当时，， ∴当时，取得最小值， 此时，即， 解得， ∴点P的坐标为； （3）解：连接，如图，    设， ∴ ， ∵， ∴面积的最大值为． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 类型八、二次函数周长最值问题 无论是线段和的最小值或是周长的最小值，还是两条线段差的最大值等，解决该类问题的最基本依据就是“两点之间，线段最短”,基本模型就是最短路径问题，即“将军饮马问题”.解题方法就是通过轴对称作出对称点加以解决，若需要三边和最小，则需过两定点(即已知定长线段的两顶点)分别作出关于x轴与y的对称点，从而将三边转化到同一条直线上. 22．（2024·安徽阜阳·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使的周长最小，求的周长的最小值及此时点P的坐标； (3)若M为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形的面积的最大值及此时点M的坐标. 【答案】(1)； (2)的周长的最小值为，点P的坐标为； (3)的最大值为，此时． 【分析】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，最短周长及最大面积问题，理解题意，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）连接交对称轴于点，此时的周长最小，利用勾股定理以及待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可； （3）连接，设，根据列得二次函数的解析式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 连接交对称轴于点，此时，取得最小值，最小值为的长， 令，则， ∴， ∵，， ∴，， ∴的周长的最小值为， 设直线的解析式为， 则， 解得, ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：连接，设， 依题意得 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，此时． 23．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接，点是上方抛物线上一点．                                               备用图 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴有一点，使的周长最小，求的坐标； (3)过点作于点，求的最大值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用交点式求二次函数的解析式即可； （2）将军饮马模型，得到直线与对称轴的交点，即为点，求解即可； （3）将的长转化为二次函数求最值即可． 本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴抛物线； （2）∵的周长，且为定值， ∴当的长最小时，的周长最小， ∵关于对称轴对称， ∴， ∴当三点共线时，最小； ∵， ∴当时，，对称轴为； ∴， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 当时，， ∴． （3）过点作轴，交与点 设点，则：， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为． 24．（24-25九年级上·四川绵阳·阶段练习）如图1，已知直线与坐标轴相交于、两点，经过点、的抛物线与轴交于点． (1)求抛物线解析式； (2)如图2，轴与抛物线相交于点，点是直线下方抛物线上的动点，过点且与轴平行的直线与交于点，试探究当点运动到何处时，四边形的面积最大，求点的坐标及最大面积； (3)若点为抛物线的顶点，点是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，使四边形的周长最小，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)点，四边形的面积最大为 (3)， 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）由即可求解； （3）作点关于轴的对称点，作点关于于点，则点为所求点，进而求解． 【详解】（1）解：对于，令，解得， 令，则， 故点的坐标分别为， 将点的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故； （2）解：∵轴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，四边形的面积最大为， 此时， 故点； （3）解：作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接分别交轴于点交轴于点，则点为所求点， 理由：四边形的周长为最小， 由可得顶点， ∴关于轴的对称点， ∵在抛物线上， ∴， ∴点关于轴的对称点， 设直线的解析式为， ∴， 解得： ∴直线的解析式为， 令，则， 令，则， ∴． 类型九、二次函数面积最值问题 解题思路： 1.设动点P的坐标为，过点P做辅助线； 2.利用水平宽铅锤高、割补法等，写出面积表达式(一般为二次函数的形式)； 3.写出表示面积的二次函数的顶点式,求出最值,即可得到三角形面积的最大值. 25．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)结合函数图象，当时，直接写出y的取值范围：_____； (2)若点M是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为4． 【分析】（1）根据抛物线解析式求得当和时y的值，再结合函数图象作答即可； （2）过点M作轴于点N，连接，设点，则，，根据构建二次函数，利用二次函数的性质求出最大值即可解决问题． 【详解】（1）解：对于， 令，则，即， 令，则， 由函数图象知，当时，y的取值范围为， 故答案为：． （2）如图，过点M作轴于点N，连接， 令，则， 解得：， ， 设，则，， ， ， ， ， 当时，有最大值为4， 四边形面积的最大值为4． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的图象与性质、二次函数的面积问题、二次函数的最值问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题． 26．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，已知抛物线经过点和点，P为第二象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，当时，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式和三角形面积问题等知识点，正确利用待定系数法求表达式是解答本题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）首先求出，然后根据得到，代数求出，然后代入求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入， 得，解得． ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，， ∴； ∵， ∴，即， ∴； 将代入得，， 解得或； ∵P为第二象限内抛物线上一点， ∴， ∴点P的坐标为． 27．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为S，求S的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求直线的函数表达式及点的坐标． 【答案】(1) (2)S的最大值为 (3)； 【分析】（1）将，代入，即可求解； （2）过点P作PM⊥x轴于点N，P为第四象限内抛物线上一点，设点，则，，根据得，然后根据二次函数的最值求解即可； （3）由题意得到，则，设，由，求出，再由待定系数法求直线的解析式即可；分解直线的解析式和抛物线的解析式，求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：将，代入，得： ， ， ； （2）解：过点P作轴于点N，如图所示，    令，则， ∴， ∴， ∵P为第四象限内抛物线上一点，设点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴当时，S有最大值，． （3）解：设交y轴于点N，如图，    ∵轴，轴， ∴， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 设直线的解析式为，把，代入得： ， ， ， 令， 解得：，， ∴点P的横坐标为， 把代入得：， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，等腰三角形的判定，求一次函数解析式，勾股定理，求二次函数解析式，待定指数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，注意数形结合思想是解题的关键． 类型十、将军饮马问题（单对称） 28．（24-25九年级上·全国·期末）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，动点在抛物线的对称轴上． (1)抛物线的函数表达式为_____； (2)当以，，为顶点的三角形的周长最小时，求点的坐标及周长的最小值． 【答案】(1)； (2)点的坐标为，周长的最小值是． 【分析】（）将，两点代入即可求解； （）连接，由二次函数对称性可知，，得到，当三点共线时，的周长最小，由此求出解析式，将点横坐标代入解析式中即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数对称性求线段最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，两点， ∴，解得， ∴抛物线的函数表达式为， 故答案为：； （2）解： 由中，令，得， ∴， ∵的周长为：，是定值， ∴当最小时，的周长最小， 如图，点关于对称轴对称，连接交对称轴于点，则点为所求的点， ∵， ∴当三点共线时，的周长最小，是， ∵，，， ∴，， ∴的周长最小值是， ∵抛物线对称轴为直线， 设直线的解析式为，将，代入，得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为． 29．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知二次函数与轴交于点、，与轴交点为． (1)点C的坐标为________（用含m的代数式表示）； (2)点为该二次函数图象对称轴上一点，若最小值为，求的值． (3)在（2）的条件下，连接，点是直线下方二次函数图象上一点，连接，过点作，交于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把、代入，解方程组即可得到结论； （2）由（1）知，二次函数的解析式为，得到对称轴为直线，连接交对称轴于，则此时，，根据勾股定理即可得到结论； （3）如图，过作轴交与，过作轴交延长线于，如图：由（2）知，二次函数的解析式为，设，由，得直线解析式为，得到，求得，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：把、代入得， ， 解得， 点的坐标为， 故答案为：； （2）解：由（1）知，二次函数的解析式为， 对称轴为直线， 点与点关于对称轴对称， 连接交对称轴于， 则此时，， ，点， ， （负值舍去）； （3）解：如图， 过作轴交与，过作轴交延长线于，如图： 由（2）知，二次函数的解析式为， 设， 设直线解析式为，由，得 ，解得， 直线解析式为， ， ， 在中，令得， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， 解得或． 或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 类型十一、将军饮马问题（多对称） 30．（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）已知二次函数的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，P是直线上方抛物线上一动点，过P作轴交于点Q．点E、F分别是x轴、y轴上的动点，连接．当的长度最大时，求点P坐标以及四边形周长的最小值． (3)如图2，抛物线的顶点为D，连接，把抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线．点M是新抛物线对称轴上的一动点，直线与直线相交于点N，是否存在点M，使，若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为4；四边形周长的最小值为 (3)存在，或 【分析】（1）先求出，然后用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为设，则，则，证明得，则，利用二次函数的性质可求出的最大值；作点P关于y轴的对称点，作点Q关于x轴的对称点，连接，交x轴于点E，交y轴于点F，则，，，可得四边形周长的最小值，求出，即可求解； （3）分两种情况：①当点M在x轴下方时，先求出把抛物线向右平移3个单位，再向上平移9个单位得到新抛物线，得出，设．过点D作于点E，交的对称轴于点F，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可；②当点M在x轴上方时，过点D作于点E，交的对称轴于点F，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 把，代入，得 ， ∴， ∴； （2）解：解，得 ， ∴． 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴． 设，则， ∴． 作于点H，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，的最大值为4， ∴，则． 作点P关于y轴的对称点，作点Q关于x轴的对称点，连接，交x轴于点E，交y轴于点F，则，，， ∴四边形周长的最小值 ． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴四边形周长的最小值为； （3）解：①当点M在x轴下方时， ∵， ∴． 在射线截取，作于点L， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴把抛物线向右平移3个单位，再向上平移9个单位得到新抛物线， ∴， ∴设． 过点D作于点E，交的对称轴于点F， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当点M在x轴上方时，如图，过点D作于点E，交的对称轴于点F， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 综上可知，点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，轴对称最短问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的平移，难度较大，属中考压轴题． 31．（23-24九年级上·天津河北·期末）如图，抛物线 过点，矩形的边在线段上（点A 在点B的左侧），点C，D在抛物线上，的平分线交于点M，点N是的中点，已知 ． (1)求抛物线的解析式； (2)分别为轴， 轴上的动点，顺次连接 构成四边形求四边形周长的最小值； (3)在轴下方且在抛物线上是否存在点P，使 中边上的高为 ？若存在， 求出点 P的坐标； 若不存在， 请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）由点在轴正半轴且点在线段上得到点在轴正半轴上，所以．由于四边形为矩形，故有，所以点在第四象限，横坐标与的横坐标相同，进而得到点坐标．由抛物线经过点、，用待定系数法即求出其解析式． （2）画出四边形，由于点、分别在轴、轴上运动，故可作点关于轴的对称点点，作点关于轴的对称点点，得、．易得当、、、在同一直线上时最小，故四边形周长最小值等于．根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点、、、坐标，即求得答案． （3）因为可求，且已知中边上的高，故可求的面积．又因为的面积常规求法是过点作平行轴交直线于点，把拆分为与的和或差来计算，故存在等量关系．设点坐标为，用表示的长即列得方程．求得的值要讨论是否满足点在轴下方的条件． 【详解】（1）解：点在线段上，，， ， 四边形是矩形， ， ∵， ， 抛物线经过点、， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）如图1，作点关于轴的对称点点，作点关于轴的对称点点，连接、、， ， 抛物线对称轴为直线， 点、在抛物线上，且轴，， ，即点、关于直线对称， ，即， ，， 平分，， ， ， ， 点、关于轴对称，点在轴上， ，， 为中点， ， 点、关于轴对称，点在轴上， ，， ， 当、、、在同一直线上时，最小， ， 四边形周长最小值为． （3）存在点，使中边上的高为． 过点作轴交直线于点， ， ，直线解析式为， 设点坐标为，，则点， ①如图2， 当时，点在点左侧， ， 中边上的高， ， ， 方程无解， ②如图3， 当时，点在点右侧， ， ， ， 解得：（舍去），， ， 综上所述，点坐标为满足使中边上的高为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径问题，勾股定理，坐标系中求三角形面积，抛物线的平移，解题的关键是对点、、坐标位置的准确说明，及明白点左侧不存在满足的在点左侧的讨论． 类型十二、将军饮马问题（将军遛马） 32．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点E是线段上不与点O、A重合的点，过点E作轴，交抛物线于点P，交于点D，点M是线段上一动点，轴，垂足为N，点F为线段的中点，连接，．当线段的长度取得最大值时，请求出的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段的长度取最大值时的点D，且与直线相交于另一点K，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解； （2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，求得最大，点，再证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可； （3）求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将和代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，最大，此时， ∴，，， ∴，， 连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点，，， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：由（2）得点的横坐标为，代入，得， ∴， ∴新抛物线由向左平移3个单位，向下平移3个单位得到， ∴， 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为，代入得，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 作关于直线的对称线得交抛物线于点， ∴， 设交轴于点， 在上截取， 过点作轴，作轴于点，作于点， 当时，， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 同理直线的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴， 综上，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 33．（2024·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点在轴上，抛物线经过点两点，且与直线交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点为顶点的四边形是以或边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或或 (3)存在，的最小值为， 【分析】（1）由四边形为正方形及点D的坐标，可求得点B的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）由抛物线解析式求出抛物线的对称轴，则可得点E的坐标，从而求得； 分两种情况：①当吋；②当时，设点F坐标为，利用或建立关于a的方程，求出a的值，即可求得点F的坐标； （3）连接，易得四边形BOMP是平行四边形，则，从而有 ，故当的值最小时，则值最小，当点三点共线时，的值为最小，此时与抛物线对称轴的交点为M，且由勾股定理可求得的值，即可求得的最小值；再求出的解析式，即可求得它与对称轴的交点M的坐标，从而求得点P的坐标． 【详解】（1）解:四边形为正方形，， ， ， ； 把点B、D坐标代入得：，解得：， 拋物线的解析式为： （2）解：由（1）得，抛物线解析式为， 则抛物线的对称轴为直线， 点与点关于抛物线的对称轴对称， ， ， 设点，当以点为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：①当吋，如图所示： 由两点距离公式可得，即， 解得:， 点的坐标为或； ②当时，如图所示: 由两点距离公式可得，即， 解得:， 点的坐标为或； 综上所述：点的坐标为或或或； （3）解：由题意可得如图所示： 连接， 由(2)可知点D与点关于抛物线的对称轴对称，， ； 过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 若使的值为最小，即为最小， ∴当点三点共线时，的值为最小，此时与抛物线对称轴的交点为M，如图所示： ， ， 的最小值为，即的最小值为， 设线段的解折式为，代入点的坐标得：， 线段的解析式为， ， ． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，两点间线段最短等知识，综合性强，注意分类讨论及数形结合． 1．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． (1)求抛物线顶点C的坐标； (2)现有一条抛物线经过B、C两点，且与x轴的另一个交点D在线段上（不与点O、B重合），若点为该抛物线上的点． ①当点D的坐标为时，求t的值； ②当最大时，求t的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）将抛物线抛物线化为顶点式，然后求出结果即可； （2）①根据抛物线的解析式求出，得出新抛物线过点，从而求出抛物线的对称轴为直线，根据两点的纵坐标相同，，得出点C，M关于对称轴对称，求出结果即可； ②根据两点的纵坐标相同，，抛物线的对称轴为直线，得出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标为，根据对称性求出，得出，根据点D在线段上，且与端点不重合，得出，根据时，B，M的横坐标相同，此时过点B，C，M三点的抛物线不存在，得出且，再求出最大值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①令， 解得：或， ∵点A在点B的左侧， ∴， 由题意，知新抛物线过点， ∴可设抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵两点的纵坐标相同，， ∴点C，M关于对称轴对称， ∴， ∴； ②∵两点的纵坐标相同，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的对称轴与x轴的交点坐标为， ∵点B，D是新抛物线与x轴的两个交点， ∴点B，D关于对称轴直线对称， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点D在线段上，且与端点不重合， ∴， 解得：， ∵时，B，M的横坐标相同，此时过点B，C，M三点的抛物线不存在， ∴且， ∴当最大时，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求出二次函数解析式，解题的关键是理解题意，熟练掌握二次函数的对称性． 2．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，经过两点的抛物线与轴的另一交点为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是该抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，设点的横坐标为，连接，求△的面积与的函数表达式，并求出的最大值． 【答案】(1) (2)；有最大值 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）先求出点A和C的坐标，设抛物线的函数表达式为，将点代入即可求解； （2）设则，求出长，然后根据，计算即可得到解析式，然后配方找最值即可． 【详解】（1）解：当时，；当时，，解得， ∴直线与轴，轴的交点坐标分别为， ∵抛物线与轴的另一交点为， 设所求抛物线的函数表达式为， 把点代入, 得: 解得 ∴所求抛物线的函数表达式为, 即； （2）解：设则 ， ， ， ∴当 时, 有最大值． 3．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）已知：如图，抛物线过点，且其对称轴为直线，点为抛物线上第二象限内一点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，求面积的最大值； (3)如图2，若抛物线上点的横坐标为，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2)12 (3)点的坐标为 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形，正确求得函数表达式是解答的关键． （1）先求得抛物线与x轴的另一个交点坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式为，过点做轴的垂线分别交抛物线于点，交轴于点．设点，则点，由，结二次函数的性质求解即可； （3）先求得点D坐标，连接，则轴．过点做交轴于点．根据等底等高的三角形面积相等得到，进而求得点N坐标和直线的解析式为．联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：抛物线过点，且其对称轴为直线 抛物线过点 设二次函数的解析式为， 把代入，得：． 二次函数的解析式为； （2）解：设的解析式为，把点代入，得． 的解析式为． 如图，过点做轴的垂线分别交抛物线于点，交轴于点． 设点， 则点 ， ∵， 面积的最大值为12． （3）解：点的横坐标为， ，直线的解析式为． 连接，则轴．过点做交轴于点．则 ． ， ，则点的坐标为， ，直线的解析式为， 直线的解析式为． 点为抛物线与直线的在第二象限内的交点， 解方程组，解得或（舍去） 点的坐标为． 4．（24-25九年级上·北京房山·期中）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧） (1)求A，B两点的坐标； (2)若点P在该抛物线上，且的面积为6，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)点P的坐标为， 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点，二次函数与面积问题，解题的关键是： （1）令，则，解方程即可求解； （2）根据三角形面积公式求出点P的纵坐标，然后把点P的纵坐标代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∵点A在点B的左侧， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∵的面积为6， ∴， ∴， 当时，， 解得，， ∴点P的坐标为，； 当时，，即， ∴， ∴方程无解， ∴不存在， 综上，点P的坐标为，． 5．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知二次函数的图像经过点和． (1)求图像的顶点坐标和对称轴； (2)若是该抛物线上在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，求四边形周长的最大值． 【答案】(1)图像的顶点坐标为，对称轴为直线 (2) 【分析】（1）将和代入得，，可求，则，由，可求图像的顶点坐标以及对称轴； （2）当时，，可求，设，，则，，则四边形周长为，然后求最值即可． 【详解】（1）解：将和代入得，， 解得，， ∴， ∵， ∴图像的顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：当时，，整理得，， 解得，， 设，，则，， ∴四边形周长为， ∵， ∴当时，四边形周长最大，最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的顶点式，二次函数的图像与性质，二次函数与线段周长综合等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的顶点式，二次函数的图像与性质，二次函数与线段周长综合是解题的关键． 6．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）抛物线交轴于，两点，交轴子点，直线经过点和点． (1)①求，的值； ②记抛物线的顶点为，则的面积为______； (2)过点作垂直于轴的直线与抛物线相交于点，求线段的最大值． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】本题考查了待定系数法，一次函数图象与坐标轴的交点坐标，二次函数的性质，三角形面积等，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）①依据题意，对于分别令，可求得A、C，再代入抛物线解析式可以得解； ②依据题意，由①得抛物线为，从而得顶点D，再结合（1）中A、C坐标将转化为进行计算可以得解； （2）由题意得，利用二次函数的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：①由题意，对于分别令，则 ∴， 令，则 ∴， 再将A、C再代入得， ， ∴，； ②由①得抛物线为， ∴顶点D为， ∴， 故答案为：． （2）解：∵，轴， ∴， ∴，， ∴， ∵，且， ∴当时，取得最大值． 7．（2024·安徽宣城·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式． (2)是二次函数的图象位于轴上方的两动点，且两点关于对称轴对称，点在点的左侧．过点作轴的垂线，分别交轴于点，当的值最大时，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在点，使的面积等于矩形的面积的？若存在，请求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的横坐标为1或 【分析】本题考查待定系数法求函数表达式、二次函数的性质、坐标与图形、矩形的性质，熟练掌握二次函数的性质，利用点的坐标表示线段长是解答的关键． （1）利用待定系数法求出该二次函数表达式即可； （2）先求得二次函数图象的对称轴为直线，设，，，利用坐标与图形性质得到，利用二次函数的性质求解即可； （3）由（2）得，，设，根据题意可得，然后解方程求得t值即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点， ∴，解得， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：由得二次函数图象的对称轴为直线， 设，根据题意，得，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为5， 此时点M的坐标为； （3）解：存在， 由（2）知，， ∴，， 设， ∵的面积等于矩形的面积的， ∴， ∴或， 整理得或， 解得，，， 故满足条件的点P的横坐标为1或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$