专题03 与二次函数有关的存在性问题（压轴题专项训练）数学沪科版九年级上册

专题03 与二次函数有关的存在性问题 目录 1 类型一、二次函数角度存在性问题（已知特殊角求解） 1 类型二、二次函数角度存在性问题（已知角度关系求解） 3 类型三、三角形存在性问题（等腰三角形存在性问题） 5 类型四、三角形存在性问题（直角三角形存在性问题） 7 类型五、三角形存在性问题（等腰直角三角形存在性问题） 9 类型六、三角形存在性问题（相似三角形存在性问题） 10 类型七、特殊平行四边形存在性问题（平行四边形问题） 12 类型八、特殊平行四边形存在性问题（矩形存在性问题） 14 类型九、特殊平行四边形存在性问题（菱形存在性问题） 16 类型十、特殊平行四边形存在性问题（正方形存在性问题） 18 类型十一、其它存在性问题 19 21 类型一、二次函数角度存在性问题（已知特殊角求解） 角度存在性问题的解题步骤 已知特殊角度求解 已知角度关系求解 第一步 读题、画图、理解题意 第二步 分析动点、定点，找不变特征 第三步 确定分类特征，进行分类讨论 第四步 已知特殊角度，构造一线三垂直、一线三等角、直角三角形，再利用直角三角形、相似三角形边的比例关系去计算求解. 将角度进行转化:利用锐角三角函数、相似三角形或等腰三角形的性质、外角的性质等转化为常见的类型，再利用直角三角形、相似三角形边的比例关系去计算求解. 【温馨提示】 1）角相等：若无明显条件，首选利用锐角三角函数值构造相等角( 先求已知角); 2）角度和差：可通过外角的性质、相似三角形的性质转化为相等角; 3）倍角：可通过外角的性质、等腰三角形的性质转化为相等角: 1．（2024·安徽蚌埠·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)点P是第三象限抛物线上的点，过点P作，求的最大值及此时点P的坐标； (3)抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024·安徽芜湖·二模）如图1，抛物线与轴交于点和点（点在原点的左侧，点在原点的右侧），且．在轴上有一动点，过点作直线轴，交抛物线于点． (1)求点的坐标及抛物线的解析式； (2)如图2，连接，若，求此时点的坐标； (3)如图3，连接并延长交轴于点，连接，记的面积为的面积为，若，求此时点的坐标． 3．（22-23九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别相交于、两点，与轴相交于点，下表给出了这条抛物线上部分点的坐标值： (1)求出这条抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)点在抛物线上，且，求点的坐标． 类型二、二次函数角度存在性问题（已知角度关系求解） 4．（2023·山东烟台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，并且，连接． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点，使得的面积等于面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)过点C作轴交抛物线于点，在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2024·山西临汾·一模）综合与探究 如图，抛物线的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，作直线． (1)求抛物线表达式及所在直线的函数表达式； (2)若点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)若点M是抛物线上的点，且，请直接写出点M的坐标． 6．（22-23九年级上·安徽滁州·期末）如图，抛物线交轴正半轴于点，交轴分别于点点，连接．    (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线上第一象限内的一点，过点作轴的垂线，交于点，设点的横坐标为． 求为何值时，四边形是平行四边形； 连接，当时，求点的坐标； 7．（2023·辽宁铁岭·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点D的坐标为，并与x轴交于点A，点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一点（不与点D重合），直线将的面积分成两部分，求点P的坐标； (3)点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度在y轴运动，运动时间为t秒，当时，求t的值． 8．（2021·江苏宿迁·一模）如图，已知抛物线经过点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为该抛物线上一点，且点P的横坐标为m． ①当点P在直线下方时，过点P作轴，交直线于点E，作轴．交直线于点F，求的最大值； ②若，求m的值． 类型三、三角形存在性问题（等腰三角形存在性问题） 解题方法： 几何法：1）“两圆一线”作出点； 2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长； 3)分类讨论，求出点P的坐标. 代数法：1）表示出三个点坐标A、B、P； 2）由点坐标表示出三条线段：AB、AP、BP； 3）根据题意要求（看题目有没有指定腰），取①AB=AP、②AB=BP、③AP=BP； 4）列出方程求解． 9．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点 (1)求抛物线解析式； (2)若点为抛物线部分上一动点（可与，两点重合），过点作轴交直线于点，交轴于点．连接，当为等腰三角形时，直接写出的值． 10．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2024·山东青岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由． 类型四、三角形存在性问题（直角三角形存在性问题） 解题方法：如有两定点，在其他特定的“线”上求第三点，形成直角三角形时： 1）当动点在直线上运动时，常用的方法是①，②三角形相似，③勾股定理； 2）当动点在曲线上运动时，情况分类如下， 第一当已知点处作直角的方法：①，②三角形相似，③勾股定理； 第二是当动点处作直角的方法：寻找特殊角. 12．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图像经过点A、B． (1)求a、b满足的关系式及c的值； (2)如果，点P是直线AB下方抛物线上的一点，过点P作PD垂直于x轴，垂足为点D，交直线AB于点E，使． ①求点P的坐标； ②直线PD上是否存在点Q，使△ABQ是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（2023·贵州贵阳·二模）如图，二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点．    (1)求点和点的坐标； (2)求线段的最大值及此时点的坐标； (3)当最大时，在二次函数的图象上是否存在点，使以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由． 14．（22-23九年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，已知抛物线交轴于、两点，交轴于，且．    (1)求点A、、C的坐标及二次函数解析式； (2)假设在直线上方的抛物线上有动点，作轴交轴于点，交于点，作于点若点的横坐标为，求线段的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点使得为以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．   类型五、三角形存在性问题（等腰直角三角形存在性问题） 解题大招：确定等腰直角三角形后构造一线三垂直，对应上下两个三角形全等，得到对应线段相等的关系，进而设出点的坐标，根据线段相等列出等式建立方程求解参数. 15．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，已知抛物线与直线相交于． (1)抛物线及直线的函数关系式； (2)如图1，若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积最大值； (3)如图2，若是抛物线上的一个动点，轴交于点，若是等腰直角三角形，则点的坐标为______． 16．（22-23九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点作轴交直线于点，求的最大值； (3)若点为抛物线对称轴上的点，问在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点，使为等腰直角三角形，且？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（21-22九年级上·浙江绍兴·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点 ，且，直线与抛物线交于、两点，与轴交于点 ，点是抛物线的顶点，设直线上方抛物线上的动点的横坐标为. (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接、，当为何值时，； (3)在直线上是否存在一点使为等腰直角三角形，若存在请直接写出点的坐标，不存在请说明理由. 类型六、三角形存在性问题（相似三角形存在性问题） 解题大招：“相似三角形存在性问题”是中考压轴题中一类常见的问题.为了避免讨论分支太过繁杂,一般会给出部分对应关系,最常见的就是给出一组同角(或等角),则同角(或等角)所对边为对应边.所以这类问题一般从确定一组等角(或同角)人手如果两个三角形中夹同角(或等角)的边易于列代数式表示,则建议通过解方程解决;反之,则需根据具体题意转化等角关系为特殊图形或特殊图形关系,进而求解若出现无法确定等角(或同角)的情况,也可以列表分析. 18．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)该抛物线与轴交于点A，（点A在点的左侧），与轴交于点， （ⅰ）如图1，求证：是直角三角形； （ⅱ）如图2，该抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一动点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 19．（2024·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（点在点左侧），与y轴交于点，连接． (1)如图1，求的值及直线的解析式； (2)如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接，设直线交线段于点．当时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，且点的横坐标小于2，在坐标轴上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 20．（2024·安徽亳州·一模）已知抛物线经过点和． (1)试确定该抛物线的函数表达式； (2)如图，设该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），其顶点为C，对称轴为l，l与x轴交于点D． ①求证：是直角三角形； ②在l上是否存在点P，使得以A，D，P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 类型七、特殊平行四边形存在性问题（平行四边形问题） 型一三定一动 类型二：两定一动 【总结】平行四边形存在性问题经常呈现为:一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴(y轴)或对称轴或某一定直线上.设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式;若在y轴上，坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式.动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式. 另外，把在定直线上的动点看成一个定点，这样就转化为三定一动了，分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论.这种题型，关键是合理有序分类:无论是三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为定点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程(组).这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广.其本质是用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、数形结合思想. 21．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）抛物线（，，是常数，）与轴交于A，B两点，与轴交于点，三个交点的坐标分别为，，． (1)求抛物线对应的函数解析式及顶点的坐标． (2)如图，若为线段上的一个动点（不与点B，D重合），过点P作轴于点，连接，，求四边形的最大面积和此时点的坐标． (3)若是抛物线在第一象限上的一个动点，过点作，交轴于点．当点的坐标为 时，四边形是平行四边形． 22．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图1，抛物线的顶点C在x轴正半轴上，直线与抛物线交于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上一点，若，求点P的坐标； (3)如图2，若点M是位于直线下方抛物线上一动点，以为邻边作平行四边形，当平行四边形的面积最大时，请直接写出平行四边形的面积S及点M的坐标． 23．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，抛物线与轴交于、，与轴交于点，其顶点为点． (1)求点坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)连接、，动点的坐标为．为抛物线上的一点，是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 类型八、特殊平行四边形存在性问题（矩形存在性问题） 1）先直角，再矩形.在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形（方法：“两线一圆”），再确定第4个点．对“2定+1半动+1全动”尤其适用． 【小结】这种解决矩形存在性问题的方法相当于在直角三角形存在性问题上再加一步求D点坐标，也是因为这两个图形之间的密切关系方能如此. 2）先平四，再矩形.当AC为对角线时，A、B、C、D满足以下3个等式，则为矩形：，其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形．表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可．无论是“2定1半1全”还是“1定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元一次方程组． 【小结】这个方法是在平行四边形基础上多加一个等式，剩下的都是计算的事. 3）构造“三垂直”直角得矩形 24．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，二次函数的图象与x轴的交点分别为和，与y轴交于点C，Q是直线上方二次函数图象上一动点． (1)求二次函数的解析式． (2)如图1，过点Q作x轴的平行线交于点E，过点Q作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及点Q的坐标． (3)如图2，设M为抛物线对称轴上一动点，当点Q，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标． 25．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，当时，求点坐标； (3)点是轴上的一个动点，点是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点、，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出的坐标；若不存在说明理由． 26．（2023·辽宁辽阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，且．    (1)试求抛物线的解析式； (2)直线与y轴交于点D，与抛物线在第一象限交于点P，与直线交于点M，记，试求m的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，m取最大值时，是否存在x轴上的点Q及坐标平面内的点N，使得P，D，Q，N四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有满足条件的Q点和N点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型九、特殊平行四边形存在性问题（菱形存在性问题） 解题思路： 1）先等腰，再菱形.在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法（两圆一线）可先确定第3个点，再确定第4个点． 2）先平四，再菱形.当AC为对角线时，A、B、C、D满足以下3个等式，则为菱形：，其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为菱形，表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可． 【总结】 菱形作为特殊的平行四边形其存在性问题亦是分类讨论中的一大难点.题目一般会给出两个定点，第三个点在某个可求的函数图像上，在另一个函数的图像上或直角坐标平面内，求能与之前的三个点构成菱形的第四个点的坐标.此类题目的一大难度在于如何合理分类的问题，若题目中已知两定点的话，可以把这两定点连成的线段作为菱形的一边或者对角线进行分类讨论，再利用菱形的性质确定出其他的顶点的位置. 27．（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴的负半轴交于点，且，点是直线下方抛物线上的一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，并将沿轴对折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在点运动过程中，当四边形的面积最大时，求出此时点的坐标和四边形的最大面积． 28．（23-24九年级上·江苏苏州·期末）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 29．（2023·安徽淮北·二模）已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，设该抛物线与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C．若直线与抛物线交于点E，与直线交于点F． ①求长度的最大值，并求出此时m的值； ②若点P在y轴上，则是否存在以点E，F，C，P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 类型十、特殊平行四边形存在性问题（正方形存在性问题） 解题思路： 1）从判定出发，若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直. 2）构造三垂直全等.若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等/等腰直角三角形来求得第3个点，再求第4个点.若出现三或四动点，则通常四边形具有一定的特殊性，从已知条件出发，分折还需满足的其他条件，通常列关于边或对角线方程得解. 解题方法：正方形是菱形和矩形特征的集结，因此同时采取菱形或矩形存在性问题解决的方法去求点的坐标. 30．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，以为直角边，在第二象限作等腰直角三角形，抛物线经过点． (1)求抛物线的解析式． (2)设抛物线的顶点为，连接，求的面积． (3)在抛物线上是否还存在两点，使四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 31．（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)连接，若点是抛物线上的动点，当时，求点的坐标； (3)若点是抛物线上的动点，过点作轴与抛物线交于点，点在轴上，点在坐标平面内，以线段为对角线作正方形，请求出点的坐标． 32．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，两点，与轴交于点．点在线段上，动点在直线下方的二次函数图象上． (1)求二次函数的解析式； (2)求面积的最大值； (3)若点是平面直角坐标系中的一点，以，，，为顶点的四边形是正方形，求点的坐标． 类型十一、其它存在性问题 33．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知二次函数经过点，，与轴交于另一点，抛物线的顶点为． (1)求此二次函数解析式； (2)抛物线与关于坐标原点对称，则在上是否存在点，使得？若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 34．（2025·安徽蚌埠·三模）在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，抛物线经过点，，． (1)求a，b，c的值． (2)若P 是第一象限内抛物线上的一点． ①如图1，是否存在点 P，使得以C，P，B为顶点的三角形的面积为？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． ②如图2，连接，相交于点M，连接，当的值最大时，求直线 的函数解析式． 35．（2025·安徽滁州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是直线下方抛物线上一点，过点P作轴于点D，交于点E，作于点F． （i）是否存点P，使得．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （ii）求周长的最大值及此时点P的坐标． 36．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 1．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图1，抛物线与轴交于点和点（点位于点左侧），与轴交于点． (1)求点B的坐标； (2)连接，点位于线段上方且是该抛物线上的一点．连接与交于点，如图2，连接，，分别设，的面积为，． ①若，求点的横坐标； ②如图3，过点作交于点，连接，分别设，的面积为，，判断是否存在最大值．若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 2．（22-23九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，抛物线与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若在直线上方的抛物线上有一动点P，连接交直线于点D，若，求点P的坐标； (3)若在直线上方的抛物线上存在点Q，使，求点Q的坐标． 3．（22-23九年级上·安徽安庆·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和点和点的坐标； (2)在轴下方的抛物线上是否存在一点，使四边形的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在抛物线上求点，使是以为直角边的直角三角形． 4．（21-22九年级上·安徽马鞍山·期中）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，且对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式和顶点D的坐标； （2）若点是y轴上的一个动点，是否存在以P、A、D三点为顶点的三角形与相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 5．（24-25九年级上·广东阳江·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求、两点的坐标； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线在第二象限内是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由． 6．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图1，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点P为直线上方抛物线上的一点，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)如图2，若点M为该抛物线的顶点，直线轴于点D，在直线上是否存在点N，使点N到直线的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）如图，抛物线与直线相交于两点，且抛物线经过点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的一个动点（不与点A点B重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E，当时，求P点坐标； (3)如图2所示，设抛物线与y轴交于点F，在抛物线的第一象限内，是否存在一点Q，使得四边形的面积最大？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，说明理由． 8．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)求证：平分； (3)抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 9．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线与y轴交于，与x轴交于B、C两点（C在B的右侧），顶点坐标为． (1)求抛物线解析式； (2)点是抛物线上一动点，且位于直线的上方，过点作的垂线交于点，求长度的最大值； (3)在直线上是否存在点G，使得？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 与二次函数有关的存在性问题 目录 1 类型一、二次函数角度存在性问题（已知特殊角求解） 1 类型二、二次函数角度存在性问题（已知角度关系求解） 10 类型三、三角形存在性问题（等腰三角形存在性问题） 26 类型四、三角形存在性问题（直角三角形存在性问题） 32 类型五、三角形存在性问题（等腰直角三角形存在性问题） 42 类型六、三角形存在性问题（相似三角形存在性问题） 50 类型七、特殊平行四边形存在性问题（平行四边形问题） 57 类型八、特殊平行四边形存在性问题（矩形存在性问题） 64 类型九、特殊平行四边形存在性问题（菱形存在性问题） 77 类型十、特殊平行四边形存在性问题（正方形存在性问题） 85 类型十一、其它存在性问题 96 105 类型一、二次函数角度存在性问题（已知特殊角求解） 角度存在性问题的解题步骤 已知特殊角度求解 已知角度关系求解 第一步 读题、画图、理解题意 第二步 分析动点、定点，找不变特征 第三步 确定分类特征，进行分类讨论 第四步 已知特殊角度，构造一线三垂直、一线三等角、直角三角形，再利用直角三角形、相似三角形边的比例关系去计算求解. 将角度进行转化:利用锐角三角函数、相似三角形或等腰三角形的性质、外角的性质等转化为常见的类型，再利用直角三角形、相似三角形边的比例关系去计算求解. 【温馨提示】 1）角相等：若无明显条件，首选利用锐角三角函数值构造相等角( 先求已知角); 2）角度和差：可通过外角的性质、相似三角形的性质转化为相等角; 3）倍角：可通过外角的性质、等腰三角形的性质转化为相等角: 1．（2024·安徽蚌埠·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)点P是第三象限抛物线上的点，过点P作，求的最大值及此时点P的坐标； (3)抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)． (2)有最大值，最大值为．点P的坐标为 (3)存在， 【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的函数表达式，再求出，根据待定系数法即可求出直线的函数表达式； （2）过点P作轴，交x轴于点E，交于点F．设点，得出，，表示出，在中，求出，在中，表示出，从而表示出，，根据二次函数最值求法即可求出有最大值时，点P的坐标． （3）过点A作交的延长线于点G，取的中点H，连接．求出，根据，，得出点O，A，G，C在上，再根据，得出点G在直线上，设，证出是等腰直角三角形，根据直角三角形性质得出，再根据勾股定理列方程解出，求出直线的函数表达式，即可求解； 【详解】（1）解：将点和点代入抛物线中， 得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． 当时，， ∴， 设直线的函数表达式为，代入点和点， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）过点P作轴，交x轴于点E，交于点F． 设点， ∴，，， 在中，， ∴， 在中，， 在中，，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 此时点P的坐标为． （3）存在．过点A作交的延长线于点G，取的中点H，连接． ∵H是的中点， ∴， ∵，， ∴点O，G在以为直径的圆上， ∴点O，A，G，C在上， ∵， ∴， ∴点G在直线上， ∴设， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵H是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 代入点和， 得， 解得：， ∴直线的函数表达式为， ∵， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的平移，二次函数与线段综合，二次函数与特殊的角度综合，解直角三角形，圆相关知识点，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质并数形结合是解题的关键． 2．（2024·安徽芜湖·二模）如图1，抛物线与轴交于点和点（点在原点的左侧，点在原点的右侧），且．在轴上有一动点，过点作直线轴，交抛物线于点． (1)求点的坐标及抛物线的解析式； (2)如图2，连接，若，求此时点的坐标； (3)如图3，连接并延长交轴于点，连接，记的面积为的面积为，若，求此时点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，解直角三角形： （1）先求出，接着利用待定系数法求出对应的函数解析式，再根据对称性求出点A的坐标即可； （2）点坐标为，则，求出，解直角三角形得到，则，解方程即可得到答案； （3）设直线的表达式为，则，解得，则直线的表达式为，即可得到点坐标为，则，据此分别求出，再由建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线对称轴为直线， ∴； （2）解：由题意得点坐标为， ∴ ， ∴， ， ∴， ∴， ， （舍去）或， ； （3）解：由题意得点坐标为 设直线的表达式为， 则，解得 ∴直线的表达式为，当时，， ∴点坐标为， ∴ ， ， ， ∴或， 解得（舍去）或（负值舍去） ． 3．（22-23九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别相交于、两点，与轴相交于点，下表给出了这条抛物线上部分点的坐标值： (1)求出这条抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1)该抛物线解析式为，顶点坐标为 (2)点的坐标为 【分析】（1）运用待定系数法即可求出抛物线解析式，再运用配方法求出顶点坐标； （2）设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点D作轴于点E，设，根据相似三角形的判定和性质即可求得答案． 【详解】（1）解：根据表格可得出，，， 设抛物线解析式为， 将代入，得：， 解得：， ∴， ∴该抛物线解析式为，顶点坐标为； （2）解：设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点D作轴于点E， 设， ∴，， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得或3（舍去）， ∴D点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的判定和性质等知识点，灵活运用所学知识点解题是关键． 类型二、二次函数角度存在性问题（已知角度关系求解） 4．（2023·山东烟台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，并且，连接． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点，使得的面积等于面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)过点C作轴交抛物线于点，在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为 (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的几何应用、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）先求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先求出点的坐标，先分别求出和的面积，再建立方程，解方程即可得； （3）分两种情况：①点在轴上方，②点在轴下方，再利用等腰三角形的判定与性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵，，点位于轴的正半轴， ∴， 将点代入得：， 解得， 则抛物线对应的函数表达式为． （2）解：由（1）可知，， ∵，， ∴， 设点的坐标为， ∴的面积为，的面积为， ∵的面积等于面积的， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 所以存在点，使得的面积等于面积的，此时点的坐标为． （3）解：①如图，在轴上方作，交直线于点，交轴于点，则， ∵轴， ， ， ∴， 当时，， 解得或， ∴， 设点的坐标为， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为， ∴点的坐标为； ②如图，在轴下方作，交轴于点， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴点与点关于轴对称， ∴点的坐标为， 综上，存在点，使得，此时点的坐标为或． 5．（2024·山西临汾·一模）综合与探究 如图，抛物线的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，作直线． (1)求抛物线表达式及所在直线的函数表达式； (2)若点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)若点M是抛物线上的点，且，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为，直线的解析式为， (2)面积的最大值为4，此时点P的坐标为 (3)或 【分析】（1）设出直线解析式，分别把，代入抛物线解析式中和直线解析式中，利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴交于D，设，则，可得；再由，得到，利用二次函数的性质即可求出答案； （3）如图所示，取点，连接，利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，得到，则点M即为为抛物线的交点，同理可得直线解析式为，联立，解得或，则点M的坐标为；求出直线与y轴的交点坐标为；取，则直线解析式为，由对称性可得，则射线与抛物线的交点即为点M，同理可得点M的坐标为． 【详解】（1）解：把，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； 设直线的解析式为， 把，代入中得：， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：如图所示，过点P作轴交于D， 设，则， ∴； ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为4， ∴此时点P的坐标为 （3）解：如图所示，取点，连接， ∵，， ∴，， ， ∴，， ∴是直角三角形，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴点M即为为抛物线的交点， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或， ∴点M的坐标为； 在中，当时，， ∴直线与y轴的交点坐标为； 取，则直线解析式为， 由对称性可得， ∴射线与抛物线的交点即为点M， 联立，解得或， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于利用线段的长表示出对应三角形的面积，解（3）的关键在于取出H点证明等腰直角三角形得到45度的角． 6．（22-23九年级上·安徽滁州·期末）如图，抛物线交轴正半轴于点，交轴分别于点点，连接．    (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线上第一象限内的一点，过点作轴的垂线，交于点，设点的横坐标为． 求为何值时，四边形是平行四边形； 连接，当时，求点的坐标； 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出，进而求出直线的解析式为，求出，根据平行四边形的性质建立方程，解方程即可得到答案；②证明，得到，由此建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：将点、点代入中得 ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：①令，则， ， 设直线的解析式为， ∴， ∴ ∴直线的解析式为， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ； 如图，设直线与x轴交于T，    ，， ， ， ∵， ∴， ∴， ， 经检验，是原方程的解， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质，解直角三角形等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 7．（2023·辽宁铁岭·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点D的坐标为，并与x轴交于点A，点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一点（不与点D重合），直线将的面积分成两部分，求点P的坐标； (3)点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度在y轴运动，运动时间为t秒，当时，求t的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据题意可设抛物线的表达式为：，再把点B的坐标代入，求a，即可； （2）先求出，然后分两种情况讨论：当点P在点D的右侧时；当点P在点D的左侧时，分别求出对应的直线的表达式，即可求解； （3）在线段上取点N，使，连接，可得，从而得到，过点N作于点H，先求出，在中，可得 ，从而得到， 进而得到，然后分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵顶点D的坐标为， ∴可设抛物线的表达式为：， 将点B的坐标代入上式得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：令，， 解得：， ∴点， ∴， 当点P在点D的右侧时，设直线交x轴于点T，如图， ∵直线将的面积分成两部分， ∴将的面积分成两部分， 即点T将分为两部分， ∴， ∴， 即点， 设直线的表达式为：， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为：， 联立： 解得：或， ∴此时点P的坐标为； 当点P在点D的左侧时，同理得，直线的表达式为：， 联立，解得：或， ∴点P的坐标为， 综上，点P的坐标为或； （3）解：如图，在线段上取点N，使，连接， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点N作于点H， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 当点Q在x轴下方时， ∴， ∴点Q的坐标为， ∴， ∵点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度在y轴运动， ∴； 当点Q在x轴上方时， 同理得，点Q的坐标为， ∴， ∵点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度在y轴运动， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，三角形的面积问题，解直角三角形，利用分类讨论思想和数形结合思想解答是解题的关键． 8．（2021·江苏宿迁·一模）如图，已知抛物线经过点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为该抛物线上一点，且点P的横坐标为m． ①当点P在直线下方时，过点P作轴，交直线于点E，作轴．交直线于点F，求的最大值； ②若，求m的值． 【答案】(1) (2)①当时，的最大值；② 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）①先求出直线解析式，根据题意可得再由轴，轴，可得，，从而得到，再由二次函数的性质，即可求解；②作点B关于y轴的对称点，连接，过点作交于D，过点D作轴于E，根据，可得，从而得到，即，再证得，再由锐角三家函数可得，从而得到，再求出直线解析式，然后联立，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①如图， 在中，令，得， ∴， 设直线解析式为， ∵， ∴，解得：， ∴直线解析式， ∵， ∴， ∴， ∵点P为该抛物线上一点，且点P的横坐标为m， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为； ②作点B关于y轴的对称点，连接，过点作交于D，过点D作轴于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线CD解析式为， 联立方程组：， 解得：（舍去），， ∴． 【点睛】本题是一道二次函数的综合运用的试题，考查了运用待定系数法求函数的解析式．直角三角形的性质，锐角三角函数的应用，函数的最值，二次函数顶点式的运用，解题关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 类型三、三角形存在性问题（等腰三角形存在性问题） 解题方法： 几何法：1）“两圆一线”作出点； 2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长； 3)分类讨论，求出点P的坐标. 代数法：1）表示出三个点坐标A、B、P； 2）由点坐标表示出三条线段：AB、AP、BP； 3）根据题意要求（看题目有没有指定腰），取①AB=AP、②AB=BP、③AP=BP； 4）列出方程求解． 9．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点 (1)求抛物线解析式； (2)若点为抛物线部分上一动点（可与，两点重合），过点作轴交直线于点，交轴于点．连接，当为等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为，，由两点之间距离公式求得、、，然后分情况讨论等腰三角形的腰相等并分别计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴将点代入，得，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． ∵点M在直线上，且点， ∴点M的坐标为． 将代入，则， ∴， ∴， ∴， ． 当为等腰三角形时， （ⅰ）若，则， 即，解得． （ⅱ）若，则， 即，解得或（舍去）． （ⅲ）若，则， 即，解得或（舍去）． 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、两点之间距离公式、等腰三角形的性质、解一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用相关知识综合解决问题． 10．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，点的坐标为或或 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数，二次函数与特殊三角形的综合运用， （1）待定系数法求解析式即可； （2）根据根据两点之间距离的计算方法可得的值，根据等腰三角形的定义和性质分类讨论：当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形；由此列式求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点和点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：存在，理由如下， 由（1）可得，， ∴，抛物线对称轴为， 当时，， ∴，且， ∴ ∴， ∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点， ∴设， 当时，是等腰三角形， ∴， 解得，， ∴或； 当时，是等腰三角形， 同理可得，或； 当时，是等腰三角形， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，点的坐标为或或． 11．（2024·山东青岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)面积的最大值为，此时D点坐标为 (3)存在，点P的坐标为 【分析】此题考查二次函数的图象与性质，用待定系数法求函数表达式，等腰三角形的判定等知识，数形结合与分类讨论数学思想是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解即可； （2）可求得直线的表达式为过点D作 轴于点G， 交于点F， 设则所以，则 ，即可求得面积的最大值是； （3）先求得抛物线的对称轴为直线设，再根据为等腰三角形，且以为底边，利用坐标两点距离公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ， ， 解得 ∴二次函数的表达式为． （2）解：设直线的表达式为则 解得 ∴直线的表达式为 如图1，过点D作轴于点G，交于点F， 设则 ， ， ， ∴当时， ， 此时，， 面积的最大值是，此时D点坐标为； （3）解：存在，理由如下： ， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， 为等腰三角形，且以为底边， ， ，， 解得， ． 类型四、三角形存在性问题（直角三角形存在性问题） 解题方法：如有两定点，在其他特定的“线”上求第三点，形成直角三角形时： 1）当动点在直线上运动时，常用的方法是①，②三角形相似，③勾股定理； 2）当动点在曲线上运动时，情况分类如下， 第一当已知点处作直角的方法：①，②三角形相似，③勾股定理； 第二是当动点处作直角的方法：寻找特殊角. 12．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图像经过点A、B． (1)求a、b满足的关系式及c的值； (2)如果，点P是直线AB下方抛物线上的一点，过点P作PD垂直于x轴，垂足为点D，交直线AB于点E，使． ①求点P的坐标； ②直线PD上是否存在点Q，使△ABQ是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②存在，点Q坐标为或． 【分析】（1）根据一次函数解析式可得出A、B两点坐标，再代入二次函数解析式中，即可得出c的值和a与b的关系式； （2）①当a=1时，可得出该二次函数解析式，设点P坐标为，根据（1）可推出，则，再根据题意即可证为等腰直角三角形，得出，结合点E为DP中点，即可列出关于a的一元二次方程，解出a即可求出P点坐标； ②以AB为斜边的直角三角形，即点Q为直角顶点时，根据圆周角定理可以以线段AB的中点E为圆心，AE为半径作交PD于点，，由得，即得出，从而可求出和的长，由此即得出Q点坐标． 【详解】（1）解：∵对于一次函数，当x=0时，；y=0时，x=2， ∴点A坐标为(2，0)，点B坐标为(0，-2)． 则在二次函数中， 将，代入中得： ， 即； （2）当时，，则二次函数表达式为． ①设点P横坐标为a，则点P坐标为 由（1）可知，在中，， ∴． 根据作图可知， ∴在中，，即 ∵点E为DP中点， ∴ ∴ 解得，（舍去）． 即点P坐标为，即为． ②是以为斜边的直角三角形，则以线段的中点为圆心，为半径作交于点，，如图： ∵点A坐标为(2，0)，点B坐标为(0，-2)． ∴， 线段AB的中点E坐标为，在直线PD上， ∴， ∴， ∴ ∴点坐标为； ∴， ∴ ∴点坐标为． 综上可知，若是以为斜边的直角三角形，则点Q坐标为或． 【点睛】本题为一次函数和二次函数综合题．考查一次函数，二次函数函数与x轴的交点坐标，利用待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识．综合性强，属于压轴题，困难题型．在解决（2）②时正确的作出辅助线是解题的关键． 13．（2023·贵州贵阳·二模）如图，二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点．    (1)求点和点的坐标； (2)求线段的最大值及此时点的坐标； (3)当最大时，在二次函数的图象上是否存在点，使以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，线段的最大值为4，此时点的坐标为 (3)存在，或或 【分析】（1）令时，求解即可； （2）求出C点坐标，进而直线的解析式，设出P点，表示出，利用配方法即可求解； （3）设出点Q，分三种情况讨论，作出辅助线①如图1，当点A为直角顶点时，即，②如图2，当点P为直角顶点时，即，③如图3，当点Q为直角顶点时，即，构造相似三角形进行求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于和两点， 当时，即， 解得：， ； （2）解：当时，， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的表达式为， 设，则， ， ， 当时，线段的最大值为4，此时点的坐标为； （3）解：存在． 设， 如图①，当点为直角顶点时，即， 此时，点在第二象限，， 过点作轴于点，过点作轴于点，   ， ，则， ， ， ， 又， ， ，即， 解得：（舍去） ； 如图②，当点为直角顶点时，即，此时，点在第四象限，，    过点作轴于点，过点作轴于点，过点作垂足为点， ， ， 由图②可知， ， ， ， ， ， 又， ， 即， 解得：（舍去） ； 如图③当点为直角顶点时，即，过点作轴于点，过点作于点，   ，由图③可知， ， ， ， ， ， 又， ， 即， 解得：， 即点与点重合； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性质，二次函是与线段的综合应用，特殊三角形的存问题，三角形相似的判定与性质解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题． 14．（22-23九年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，已知抛物线交轴于、两点，交轴于，且．    (1)求点A、、C的坐标及二次函数解析式； (2)假设在直线上方的抛物线上有动点，作轴交轴于点，交于点，作于点若点的横坐标为，求线段的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点使得为以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）令，求出x的值，即可得出点A和点C的坐标，根据，得出，把点代入，求出a的值，即可得出二次函数解析式； （2）用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，证明，得出，得出，即可解答； （3）根据题意进行分类讨论：当时，点在的下方，如图，当时，点在的上方，过作轴于，即可解答． 【详解】（1）解：对于抛物线， 令，得到， 解得或， ， ， ， ， 把代入中得：， ， 二次函数解析式为； （2）解：设直线的解析式为：， 把代入得： ，解得， 直线的解析式为：， 由题意可设， 则， 在中，根据勾股定理，得， ，， ， ∵， ∴， ∴，即， ， 当时，有最大值是； （3）解：， ， 由对称得：抛物线的对称轴是：， ， 设抛物线的对称轴与轴相交于点，当为直角三角形时，存在以下三种情况： 如图，当时，点在的下方，   ， ， ， ∴， ，即， ， ； 如图，当时，点在的上方，过作轴于，    同理得：， ，即， ， ， ； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，相似三角形的判定和性质，求二次函数最值的方法． 类型五、三角形存在性问题（等腰直角三角形存在性问题） 解题大招：确定等腰直角三角形后构造一线三垂直，对应上下两个三角形全等，得到对应线段相等的关系，进而设出点的坐标，根据线段相等列出等式建立方程求解参数. 15．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，已知抛物线与直线相交于． (1)抛物线及直线的函数关系式； (2)如图1，若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积最大值； (3)如图2，若是抛物线上的一个动点，轴交于点，若是等腰直角三角形，则点的坐标为______． 【答案】(1)抛物线为，直线为 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）分当时，当时，两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线过点及得， 解得， 故抛物线为； 又设直线为过点及， 则， 解得， 故直线为； （2）解：如图，过点作轴交于点，交轴于点，过点作轴于点， 设，则， ， 又， ∴面积的最大值为； （3）解：设，则， 当时， 如图，则， 解得：或（舍去）， 故点的坐标为； 当时， 如图，则， ， 则， 解得：（舍去）或， 故点的坐标为； 故若是等腰直角三角形，则点的坐标为或． 【点睛】此题主要考查利用待定系数法求函数解析式和利用二次函数的顶点式求最值，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确理解待定系数法和熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 16．（22-23九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点作轴交直线于点，求的最大值； (3)若点为抛物线对称轴上的点，问在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点，使为等腰直角三角形，且？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，还考查了线段的最值，要注意分类讨论；还要注意求最大值可以借助于二次函数． （1）运用待定系数法求解即可； （2）求出直线的函数表达式为，设，求出，得到，再根据二次函数的性质求解即可； （3）分点位于轴上方和点位于轴下方两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，把，代入抛物线， 得 解得 ∴该抛物线的函数表达式为． （2）解：设直线的函数表达式为． 把，代入，得 解得 ∴直线的函数表达式为． 设． ∵轴， ∴， ∴． ∵， ∴当时，有最大值． （3）解：①当点位于轴上方时． 如图1，过点作垂直对称轴于点，设抛物线的对称轴交轴于点， 则． ∵为等腰直角三角形，且， ∴，． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴，． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． 设点的坐标为，此时，则， ∴． ∵点在抛物线上， ∴， 解得，（舍去）， ∴点的坐标为； ②当点位于轴下方时． 如图2，设点的坐标为，此时， 同理得，则有， 解得，（舍去）， ∴点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 17．（21-22九年级上·浙江绍兴·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点 ，且，直线与抛物线交于、两点，与轴交于点 ，点是抛物线的顶点，设直线上方抛物线上的动点的横坐标为. (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接、，当为何值时，； (3)在直线上是否存在一点使为等腰直角三角形，若存在请直接写出点的坐标，不存在请说明理由. 【答案】(1)；顶点Q坐标为 (2)或1 (3)存在；或 【分析】（1）分别求出点A，B的坐标，设抛物线的解析式为交点式，代入点C的坐标，求出抛物线的解析式即可； （2）根据题意将的面积和的面积表示出来，令，即可解出m的值； （3）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴点的坐标为，点A的坐标为， 设抛物线的表达式为，将点的坐标代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∵， ∴抛物线的顶点Q坐标为：． （2）解：联立， 解得：，， ∴点的坐标为， 如图1，过点作轴的平行线，交于点，设点，则点， ∴， 解得：或1． （3）解：存在； 设点，点，，而点， ①当时，如图2，过点作轴的平行线，过点，点作轴的平行线，交过点且平行于轴的直线于点，， ∵，， ∴， ∵，， ∴(AAS)， ∴，， 即，， 解得：或， 当时，，解得，（舍去） ∴点； ②当时，如图3所示， 此时，则点P、H关于抛物线对称轴对称，即垂直抛物线的对称轴，而对称轴与x轴垂直，故轴，则， 同理可得，（舍去）， 故点坐标为． ③当时， （Ⅰ）当点P在抛物线对称轴右侧时，如图所示： 点P在AD下方，与题意不符，故舍去； （Ⅱ）当点P在抛物线对称轴左侧时，同理可得， 解得：（舍去），， 点； 综上可得，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，难度较大，涉及到一次函数、二次函数、三角形全等、图形的面积计算等，要注意分类求解，避免遗漏，熟练掌握这些性质、判定，二次函数的图像和性质是解决本题的关键． 类型六、三角形存在性问题（相似三角形存在性问题） 解题大招：“相似三角形存在性问题”是中考压轴题中一类常见的问题.为了避免讨论分支太过繁杂,一般会给出部分对应关系,最常见的就是给出一组同角(或等角),则同角(或等角)所对边为对应边.所以这类问题一般从确定一组等角(或同角)人手如果两个三角形中夹同角(或等角)的边易于列代数式表示,则建议通过解方程解决;反之,则需根据具体题意转化等角关系为特殊图形或特殊图形关系,进而求解若出现无法确定等角(或同角)的情况,也可以列表分析. 18．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)该抛物线与轴交于点A，（点A在点的左侧），与轴交于点， （ⅰ）如图1，求证：是直角三角形； （ⅱ）如图2，该抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一动点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）或或或 【分析】（1）运用待定系数法解方程组即可； （2）①利用勾股定理的逆定理证明即可； ②分两种情况：当以及，列出比例式，求出，再求点P坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ， 解得 抛物线的函数表达式为； （2）解：（ⅰ）， 当时，， 点坐标为， 当时，， 解得或， 点A在点的左侧， 点A坐标为，点坐标为， ，，， ，， ， 是直角三角形；     （ⅱ）， 抛物线的对称轴是直线， 点坐标为，设点坐标为， 分两种情况：①当时，， 即， 解得， 此时点的坐标为或； ②当时，，即， 解得， 此时点的坐标为或； 综上，点坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理．解答本题注意分类讨论的思想以及数形结合的思想的应用． 19．（2024·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（点在点左侧），与y轴交于点，连接． (1)如图1，求的值及直线的解析式； (2)如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接，设直线交线段于点．当时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，且点的横坐标小于2，在坐标轴上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，直线的解析式为 (2)点坐标为或 (3)存在，理由见解析 【分析】（1）由待定系数法求解即可得到答案； （2）证明，得到，即可求解； （3）当点在轴时，以、、为顶点的三角形与相似，存在、两种情况，利用解直角三角形的方法即可求解；当点在轴上时，同理可解． 【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点， 把代入得，即抛物线的解析式为； 抛物线与轴交于点（点在点左侧），， 当时，，解得或 ， 直线过、， 设直线， 将、代入得：，解得：， 直线的解析式为； （2）解：分别过点、点作轴的平行线，交直线于点和点，如图所示： 设点，，则， 当时，， ，， ， ， ， ，则， ，解得，， 点坐标为或； （3）解：存在， 理由如下： 由题意得，点；由点、、的坐标得，，， ∴ 则，则，，， 当点在轴时，如图所示： 以、、为顶点的三角形与相似， 当时，则，得，则点； 当时，此时，点、重合且符合题意，故点； 当点在轴上时，只有，则，则点， 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、三角形相似的判定与性质、解直角三角形、面积的计算等知识，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合题型解法，尤其注意分类求解是解题的关键． 20．（2024·安徽亳州·一模）已知抛物线经过点和． (1)试确定该抛物线的函数表达式； (2)如图，设该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），其顶点为C，对称轴为l，l与x轴交于点D． ①求证：是直角三角形； ②在l上是否存在点P，使得以A，D，P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为： (2)①见详解 ②存在，点P坐标为或或或 【分析】（1）运用待定系数法解方程组即可； （2）①利用勾股定理的逆定理证明垂直； ②分两种情况：当以及，列出比例式，求出长，再求点P坐标． 【详解】（1）（1）抛物线经过点和， 解得 抛物线的函数表达式为； （2）（2）①时，，整理得，解得或， 点A在点左侧， 点A坐标为，点坐标为． 点C坐标为， ，，， ， 是直角三角形，且；     ②存在以A，D，P为顶点的三角形与相似． 分两种情况： i）当时，， ，解得， 此时点坐标为或； ii）当时，， ，解得， 此时点P坐标为或； 综上，点P坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理。解答本题注意分类讨论的思想以及数形结合的思想的应用． 类型七、特殊平行四边形存在性问题（平行四边形问题） 型一三定一动 类型二：两定一动 【总结】平行四边形存在性问题经常呈现为:一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴(y轴)或对称轴或某一定直线上.设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式;若在y轴上，坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式.动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式. 另外，把在定直线上的动点看成一个定点，这样就转化为三定一动了，分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论.这种题型，关键是合理有序分类:无论是三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为定点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程(组).这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广.其本质是用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、数形结合思想. 21．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）抛物线（，，是常数，）与轴交于A，B两点，与轴交于点，三个交点的坐标分别为，，． (1)求抛物线对应的函数解析式及顶点的坐标． (2)如图，若为线段上的一个动点（不与点B，D重合），过点P作轴于点，连接，，求四边形的最大面积和此时点的坐标． (3)若是抛物线在第一象限上的一个动点，过点作，交轴于点．当点的坐标为 时，四边形是平行四边形． 【答案】(1)， (2)，； (3) 【分析】（1）把，，代入，再建立方程组求解解析式，再化为顶点式解题即可； （2）先求解直线的解析式为，求出点C坐标，利用直角梯形的面积公式可得四边形的面积加上的面积可得函数关系式，求得面积的最大值； （3）要使四边形是平行四边形只要即可，利用二次函数的对称性可得答案． 【详解】（1）解：把，，代入，得 ， 解得， ∴； ∴抛物线的顶点； （2）解：设直线的解析式为，将点、点的坐标代入得 ，解得， 所以直线的解析式为 设，而，． 由题意可知： ∴，，． ∴ ． ∵， ∴当时，； ∴； 故四边形的最大值为，点P的坐标为． （3）解：如图，过点作， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴关于抛物线对称轴直线对称， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的解析式及顶点、一次函数的解析式、二次函数在三角形和平行四边形中的应用，将二次函数的解析式与几何图形相结合是解题的关键． 22．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图1，抛物线的顶点C在x轴正半轴上，直线与抛物线交于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上一点，若，求点P的坐标； (3)如图2，若点M是位于直线下方抛物线上一动点，以为邻边作平行四边形，当平行四边形的面积最大时，请直接写出平行四边形的面积S及点M的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3)， 【分析】（1）由题意得出，，求解即可； （2）求出，联立，可得，从而得出，，求出，过点作轴交于，则，，求出，得出，作轴交于，设，则，，再根据，建立方程，求出的值即可得解； （3），作轴交于，设，则，从而可得，由二次函数的性质可得，当时，最大，为，由（2）可得，即可求出的面积的最大值，由题意可得当的面积的最大时，平行四边形的面积最大，最大为，即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点C在x轴正半轴上， ∴，， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵， ∴， 联立，可得， ∴，， ∴， ∴， 如图，过点作轴交于， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 作轴交于， 设，则， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：如图，作轴交于， 设，则， ∴， ∴当时，最大，为， 由（2）可得， ∴的面积的最大值为， ∵以为邻边作平行四边形， ∴当的面积的最大时，平行四边形的面积最大，最大为， ∴当时，平行四边形的面积最大，为，此时． 【点睛】本题考查了二次函数的图形与性质、二次函数综合—面积问题、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 23．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，抛物线与轴交于、，与轴交于点，其顶点为点． (1)求点坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)连接、，动点的坐标为．为抛物线上的一点，是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；，或，或，或， 【分析】（1）将带入抛物线的解析式里求出点的纵坐标，即可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）求得顶点，分两种情况讨论，当为对角线时，当为对角线时，根据平行四边形以及平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入得：， 点的坐标为； （2）抛物线与轴交于、， ，解得：， 抛物线的解析式为； （3）解：， ， 当为对角线时，根据平行四边形的性质，相当于向上平移个单位， ，，点向上平移个单位为点， 点向上平移个单位为点，则点的纵坐标为，解方程，得或， 当时，，即点向上平移个单位，向左平移个单位， 点向上平移个单位，向左平移个单位，得到点， 当时，同理，， 即，或，； 当为对角线时，根据平行四边形的性质，相当于向上平移个单位， ， 点的纵坐标为，解方程，得，或； 同理得，或，； 综上，，或，或，或，． 【点睛】本题考查了求抛物线与坐标轴交点的坐标、利用待定系数法求抛物线的解析式、抛物线的顶点式、平行四边形的性质、平移的性质以及解一元二次方程等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 类型八、特殊平行四边形存在性问题（矩形存在性问题） 1）先直角，再矩形.在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形（方法：“两线一圆”），再确定第4个点．对“2定+1半动+1全动”尤其适用． 【小结】这种解决矩形存在性问题的方法相当于在直角三角形存在性问题上再加一步求D点坐标，也是因为这两个图形之间的密切关系方能如此. 2）先平四，再矩形.当AC为对角线时，A、B、C、D满足以下3个等式，则为矩形：，其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形．表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可．无论是“2定1半1全”还是“1定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元一次方程组． 【小结】这个方法是在平行四边形基础上多加一个等式，剩下的都是计算的事. 3）构造“三垂直”直角得矩形 24．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，二次函数的图象与x轴的交点分别为和，与y轴交于点C，Q是直线上方二次函数图象上一动点． (1)求二次函数的解析式． (2)如图1，过点Q作x轴的平行线交于点E，过点Q作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及点Q的坐标． (3)如图2，设M为抛物线对称轴上一动点，当点Q，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为， (3)点N的坐标为或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是方程思想的应用． （1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的解析式，设，则，．得到，利用二次函数的性质求解即可； （3）设，，根据矩形的性质，表示出，分当N点在y轴上和点N在x轴负半轴上时，两种情况讨论，列式计算求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， 设． 又∵， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线与y轴交于点C， ∴点C的坐标为． ∵，在直线上 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 设，则，． ∴． ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时的 （3）设，， 设的中点为． ∵四边形是矩形， ∴的中点为K， ∴． ∵点N在坐标轴上， ∴或， 当时，，轴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴；    当时，点N在x轴上，如图， 过点Q作轴于点H． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得或， ∴点Q在直线上方， ∴， ∴， ∴， 综上所述，点N的坐标为或． 25．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，当时，求点坐标； (3)点是轴上的一个动点，点是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点、，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出的坐标；若不存在说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或，或，或，，使得以为顶点的四边形是矩形． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，可证，得到，，即可得，过点作的垂线交于点，交抛物线于点，可知，，利用中点坐标公式可得，再利用待定系数法求出直线的函数解析式，最后联立两函数解析式解方程组即可求解； （）先求出顶点的坐标，设，，分为矩形的对角线、为矩形的对角线和为矩形的对角线三种情况，画出图形，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，则，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 过点作的垂线交于点，交抛物线于点， ∵，， ∴，， 即点为的中点， ∴， 即， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 由，解得，， ∴； （3）解：存在． ∵， ∴， 设，， ①当为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴， 整理得，， 解得， ∴ ∴对角线交点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴； ②当为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴， 整理得，， ∴， ∴， ∴对角线交点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴； ③当为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴， 整理得，， 解得，， ∴或， ∵对角线交点的坐标为， ∴当时，，， ∴，， ∴； 当时，，， ∴，， ∴； 综上，存在，或，或，或，，使得以为顶点的四边形是矩形． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，二次函数与一次函数的交点问题，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 26．（2023·辽宁辽阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，且．    (1)试求抛物线的解析式； (2)直线与y轴交于点D，与抛物线在第一象限交于点P，与直线交于点M，记，试求m的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，m取最大值时，是否存在x轴上的点Q及坐标平面内的点N，使得P，D，Q，N四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有满足条件的Q点和N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，m取得最大值，此时点P的坐标为 (3)存在，或 【分析】（1）先求出点，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点P作轴交直线于E，连接，先求出直线的解析式为，设，则，，由得出，因此，最后根据二次函数的性质即可求出m最大值及此时点P的坐标； （3）分两类进行讨论：①当是矩形的边时，有两种情形，当四边形为矩形时，如图2，连接，过点作轴于M，证明，，求出，，，从而得出满足条件的Q点和N点的坐标；当四边形是矩形时，如图2，过点作轴交的延长线于，过点作轴于T，证明，，求出，，，从而得出满足条件的Q点和N点的坐标；②当是对角线时，设，由Q是直角顶点，根据勾股定理得出方程，此方程无解，此种情形不存在． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线经过点，，， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）如图1，过点P作轴交直线于E，连接，    设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵直线与y轴交于点D， ∴， ∴， ∵轴，即， ∴， ∴， ∵，   ∴， ∵， ∴当时，m取得最大值，此时点P的坐标为； （3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形． 由（2）知：， ①当是矩形的边时，有两种情形，    当四边形为矩形时，如图2，连接，过点作轴于M， 则， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，   ∴， ∴， ∴； 当四边形是矩形时，如图2，过点作轴交的延长线于，过点作轴于T， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴，   ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当是对角线时，设，则，，， ∵Q是直角顶点， ∴， ∴，   整理得，此方程无解，此种情形不存在； 综上所述， 或． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象与性质，待定系数法，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质等知识，综合性较强，熟练掌握二次函数的图象与性质，根据题意正确作出图形，进行分类讨论是解题的关键． 类型九、特殊平行四边形存在性问题（菱形存在性问题） 解题思路： 1）先等腰，再菱形.在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法（两圆一线）可先确定第3个点，再确定第4个点． 2）先平四，再菱形.当AC为对角线时，A、B、C、D满足以下3个等式，则为菱形：，其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为菱形，表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可． 【总结】 菱形作为特殊的平行四边形其存在性问题亦是分类讨论中的一大难点.题目一般会给出两个定点，第三个点在某个可求的函数图像上，在另一个函数的图像上或直角坐标平面内，求能与之前的三个点构成菱形的第四个点的坐标.此类题目的一大难度在于如何合理分类的问题，若题目中已知两定点的话，可以把这两定点连成的线段作为菱形的一边或者对角线进行分类讨论，再利用菱形的性质确定出其他的顶点的位置. 27．（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴的负半轴交于点，且，点是直线下方抛物线上的一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，并将沿轴对折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在点运动过程中，当四边形的面积最大时，求出此时点的坐标和四边形的最大面积． 【答案】(1)该抛物线的函数表达式为 (2)存在这样的点，此时点的坐标为 (3)当点运动到时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为32 【分析】本题主要考查二次函数的性质、特殊四边形的性质以及函数与坐标轴的交点问题， （1）根据题意可知点坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式； （2）连接交于点，结合菱形的性质可得，且，进一步求得点的纵坐标为，代入函数解析式有，即可求得点的坐标； （3）连接，作轴于点，轴于点，设点的坐标为．则，，，，结合，化解后利用二次函数的性质求得最大值即可． 【详解】（1）解： 抛物线与轴的负半轴交于点，且， ． 把，，代入中， 得解得 该抛物线的函数表达式为． （2）解：假设抛物线上存在点，使四边形为菱形，连接交于点．如图， 四边形为菱形，， ，且， ，即点的纵坐标为． 由，得，（不合题意，舍去）， 故存在这样的点，此时点的坐标为． （3）解：连接，作轴于点，轴于点，如图， 设点的坐标为． ，，， ，，，， ， 当时，， 此时点的坐标为， 即当点运动到时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为32． 28．（23-24九年级上·江苏苏州·期末）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，； 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数，二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质． （1）先求得两点的坐标，再根据对称轴是直线，列方程组求解即可； （2）作于，交于，根据点和点坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出的函数关系式，进一步求得结果； （3）设点P的坐标为：，根据勾股定理求出，根据菱形性质可得，进而求得点的坐标，根据菱形性质，进一步求得点坐标． 【详解】（1）解：对于，当时，，当时，， ∴点A的坐标为，点C的坐标为， 又∵对称轴是直线：， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：对于，当时，， 解得：，， ∴点B的坐标为， 又∵点，点， ∴，，， 过D作轴于E，交于E， ∵点D在第二象限内的抛物线上，且横坐标为m， ， ， ， ， ， ， 当时，S有最大值，， 当时， ； （3）存在点P和点Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形，理由如下： ∵点P在抛物线的对称轴上， ∴可设点P的坐标为：， ∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ∴，与互相垂直平分， 设直线与x轴交于点F，过点P作轴，与交于点K， ∵点， ∴，，，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为， 设点K的坐标为， ∵点K为的中点， ∴，， 设点Q的坐标为， ∵点K为的中点， ∴，， 解得：，， ∴点Q的坐标为． 29．（2023·安徽淮北·二模）已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，设该抛物线与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C．若直线与抛物线交于点E，与直线交于点F． ①求长度的最大值，并求出此时m的值； ②若点P在y轴上，则是否存在以点E，F，C，P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①时，长度最大，最大为  ②点P的坐标为或 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图像和性质，菱形的性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）①先求出直线的解析式，根据点E的坐标为，点F的坐标为，表示，计算解题即可； ②根据题意过点作轴于点，则，则，根据菱形的性质得到，求出m的值，然后得到点P的坐标即可． 【详解】（1）解：和代入得： ，解得， ∴函数关系式为：； （2）①令，则，解得，， ∴点B的坐标为，点A的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，代入得： ，解得， ∴， ∵点E的坐标为，点F的坐标为， ∴， ∴当时，长度最大，最大为； ②解：∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， 过点作轴于点，则， ∴， ∵E，F，C，P为顶点的四边形是菱形，且， ∴， 即， 解得：（舍），， 点P的纵坐标为：，或， ∴点P的坐标为或． 类型十、特殊平行四边形存在性问题（正方形存在性问题） 解题思路： 1）从判定出发，若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直. 2）构造三垂直全等.若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等/等腰直角三角形来求得第3个点，再求第4个点.若出现三或四动点，则通常四边形具有一定的特殊性，从已知条件出发，分折还需满足的其他条件，通常列关于边或对角线方程得解. 解题方法：正方形是菱形和矩形特征的集结，因此同时采取菱形或矩形存在性问题解决的方法去求点的坐标. 30．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，以为直角边，在第二象限作等腰直角三角形，抛物线经过点． (1)求抛物线的解析式． (2)设抛物线的顶点为，连接，求的面积． (3)在抛物线上是否还存在两点，使四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）过点作轴于点，则．证明，则，则，得到点．把点代入，解得，即可求出答案； （2）求出抛物线的顶点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式为．设直线和轴的交点为，得到点的坐标为，则，即可求出答案； （3）延长至点，使，过点作轴于点，证明进一步得到点．过点作为垂足，且使，连接，则四边形为正方形．过点作轴于点，证明，进一步得到点．验证两点都在抛物线上，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，则． ∴ ∵， ∴ ． 在和中， ∵， ， ， ， 点． 把点代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）由， 点的坐标为． 设直线的解析式为． 将点代入， 得， 解得， 直线的解析式为． 设直线和轴的交点为， 当时，，解得 ∴点的坐标为， ， ． （3）存在．如图，延长至点，使，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 点． 过点作为垂足，且使，连接，则四边形为正方形． 过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， 点． 当时，， 当时，， ∴两点都在抛物线上， 在抛物线上存在两点，使四边形为正方形． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、二次函数的图象和性质、正方形的判定和性质、一次函数的图象和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 31．（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)连接，若点是抛物线上的动点，当时，求点的坐标； (3)若点是抛物线上的动点，过点作轴与抛物线交于点，点在轴上，点在坐标平面内，以线段为对角线作正方形，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)满足条件的点有两个，其坐标分别为或 【分析】（1）由，得到，运用待定系数法即可求出抛物线解析式，将其化为顶点式，即可得到顶点D的坐标； （2）过作轴于点，设，则．证明，得到，即，分两种情况求解即可； （3）设对角线交于点，由点关于抛物线对称轴对称，且四边形为正方形，得到设，则坐标为．将点M代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵抛物线过点， ， 解得：， 抛物线解析式为， ∴顶点D的坐标为； （2）解：如图，在抛物线上任取一点，过作轴于点， 设， 则． ， ． ， ， ， ， ， 当点在轴上方时，有， 解得：或（舍去）， 此时点的坐标为， 当点在轴下方时，有， 解得：或（舍去）， 此时点的坐标为， 综上可知点的坐标为或； （3）解：如图，设对角线交于点， 点关于抛物线对称轴对称，且四边形为正方形， 点为抛物线对称轴与轴的交点，点在抛物线的对称轴上， 设，则坐标为． 点在抛物线的图象上， ， 解得：或， 满足条件的点有两个，其坐标分别为或． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，相似三角形的判定及性质，正方形的性质，综合运用相关知识是解题的关键． 32．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，两点，与轴交于点．点在线段上，动点在直线下方的二次函数图象上． (1)求二次函数的解析式； (2)求面积的最大值； (3)若点是平面直角坐标系中的一点，以，，，为顶点的四边形是正方形，求点的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式； (2)面积的最大值为； (3)点的坐标为或． 【分析】（）利用待定系数法求函数解析式即可； （）过点作轴，交于点，设，求出直线解析式为，则，然后求出，再通过面积为，最后二次函数的性质即可求解； （）分以，，，为顶点的四边形是正方形，当时和以，，，为顶点的四边形是正方形，当时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式； （2）解：如图，过点作轴，交于点， 设， ∴点的横坐标为， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∴， ∵点在线段上，动点在直线下方的二次函数图象上， ∴， ∴面积为 ， ∴当时，面积有最大值为； （3）解：如图，以，，，为顶点的四边形是正方形，当时， ∴，， 过作轴于点，过作轴于点，过作，交延长线于点，交延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 设， ∴，， ∴点， ∵点在直线：上， ∴， 解得：（舍去），， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 如图，以，，，为顶点的四边形是正方形，当时， ∴，， 过作轴于点，过作轴于点，过作，交延长线于点，交延长线于点， 同上理得：，，， ∴，， 设，， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 综上可知：点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数的性质，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 类型十一、其它存在性问题 33．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知二次函数经过点，，与轴交于另一点，抛物线的顶点为． (1)求此二次函数解析式； (2)抛物线与关于坐标原点对称，则在上是否存在点，使得？若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，得到，由题意可得抛物线的解析式为，设，结合，得出，计算即可得解． 【详解】（1）解：把点，代入二次函数中得：， 解得， ∴此二次函数解析式为； （2）解：存在， 如图：作轴于，连接， 在中，当时，， 解得：或， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，，，，， ∵抛物线与L关于坐标原点对称， ∴抛物线的解析式为， 设， ∵， ∴ ； ∴ 当时，，即 解得， 当时，；当时，； 当时，即， 此方程无实数解； 综上所述：符合条件的点的坐标为：或． 34．（2025·安徽蚌埠·三模）在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，抛物线经过点，，． (1)求a，b，c的值． (2)若P 是第一象限内抛物线上的一点． ①如图1，是否存在点 P，使得以C，P，B为顶点的三角形的面积为？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． ②如图2，连接，相交于点M，连接，当的值最大时，求直线 的函数解析式． 【答案】(1)，， (2)①存在，点的坐标为，点的坐标为；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①如图，连接，过点P向x轴作垂线交于点Q．求出直线的函数解析式为；设点P的坐标为，则点 Q 的坐标为，表示出，然后利用得到，进而求解即可； ②根据题意得到当最大时，的值最大，求出，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）∵抛物线经过点，， ∴设抛物线的解析式为 将代入抛物线的解析式中，得， 解得 ∴ ∴，，； （2）①存在点P，使得以 C，P，B为顶点的三角形的面积为 理由如下：如图，连接，过点P向x轴作垂线交于点Q． 设直线的函数解析式为 把，代入得 解得 ∴直线的函数解析式为； 由（1）可知， 设点P的坐标为，则点 Q 的坐标为 解得， ∵ ， ∴存在两点都在第一象限，且满足以 C，P，B为顶点的三角形的面积为， 此时点的坐标为 ，点的坐标为 ； ②∵ ∵的面积是定值 ∴当最大时，的值最大 ∴当点P为抛物线的顶点时，最大 ∴ 设直线的函数解析式为 把，代入，得 解得 ∴直线的函数解析式为． 【点睛】本题考查二次函数的综合运用、解一元二次方程、二次函数的最值问题，面积问题和利用待定系数法求一次函数的解析式，把二次函数解析式化为顶点式求最值，确定点P的坐标是解题的关键． 35．（2025·安徽滁州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是直线下方抛物线上一点，过点P作轴于点D，交于点E，作于点F． （i）是否存点P，使得．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （ii）求周长的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1) (2)（i）不存在，理由见解析；（ii）周长的最大值为，． 【分析】（1）根据题意设抛物线为，可得，再进一步求解即可； （2）（i）如图，求解，证明，，结合，可得，求解直线为，设，则，可得，，再建立方程求解即可； （ii）由（i）得：，，可得周长，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点， ∴设抛物线为， ∴， 解得：， ∴抛物线为：． （2）解：（i）如图， ∵抛物线为：， ∴当，则，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 设，则， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 此时重合，不符合题意； ∴不存点P，使得． （ii）由（i）得：，， ∴周长， ∵， ∴当时，周长最大， 最大值为， 此时， ∴． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，二次函数的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 36．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）通过长度先得到点坐标，再将两点代入函数解析式，解方程即可； （2）先求出直线的函数表达式，设出点坐标为，进而得到两点坐标，再通过列出方程，解方程即可； （3）取取，连接，，先证得，得到，进而可得到，再通过两点坐标求得长度． 【详解】（1）解：， 点坐标为， 将，代入， 得， 解得， （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可知抛物线的表达式为， 故点坐标为， 直线的表达式为 设点坐标为， 则， ， ， 若， 则， 解得， ， 故，此时点坐标为； （3）如图，取，连接， ，，， 又， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，能够熟练掌握二次函数的基本性质以及相似三角形的应用是解题关键． 1．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图1，抛物线与轴交于点和点（点位于点左侧），与轴交于点． (1)求点B的坐标； (2)连接，点位于线段上方且是该抛物线上的一点．连接与交于点，如图2，连接，，分别设，的面积为，． ①若，求点的横坐标； ②如图3，过点作交于点，连接，分别设，的面积为，，判断是否存在最大值．若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，令，计算即可得解； （2）①由已知可得，则根据三角形面积公式可求出，代入，即可求出点P的横坐标； ②先求出，直线解析式为，设点A到的距离为，点D到的距离为，证明，得出，根据三角形面积公式可求出，则当最大时，最大，设过点P平行的直线为，则该直线与抛物线只有一个公共点时，最大，然后可得方程组，可得，求出h的值，代入方程求出x即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点（点位于点左侧），与轴交于点， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， 令，则， 解得：，， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， 则 ∴， ∴， 解得， 把代入，得， 解得，（舍去） ∴点P的横坐标为； ②存在最大值，此时点P的横坐标为，理由如下： ∵， ， ∴，， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 设点A到的距离为，点D到的距离为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当最大时，最大， 设过点P平行的直线为， 该直线与抛物线只有一个公共点时，最大， 可得方程组， 化简，得， ∴， 解得， 代入，得， 解得， ∴点P的横坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法，二次函数与一元二次方程，根的判别式，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 2．（22-23九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，抛物线与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若在直线上方的抛物线上有一动点P，连接交直线于点D，若，求点P的坐标； (3)若在直线上方的抛物线上存在点Q，使，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，过点D作轴于E，过点P作轴于F，由，得到，进而推出；求出直线解析式为，设，则，，，证明，得到，则，解方程即可得到答案； （3）过点作轴交抛物线与点，过点作与于点，证明，即可证明，得到，设，则，可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把，代入抛物线解析式中得 ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图所示，过点D作轴于E，过点P作轴于F， ∵， ∴， ∴， ∴； 在中，当时，解得或， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或； （3）解：如图，过点作轴交抛物线与点，过点作与于点， 轴， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， 解得：或（舍） ， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求出抛物线的解析式，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的应用等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 3．（22-23九年级上·安徽安庆·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和点和点的坐标； (2)在轴下方的抛物线上是否存在一点，使四边形的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在抛物线上求点，使是以为直角边的直角三角形． 【答案】(1)；， (2)存在点，使四边形的面积最大为 (3)存在，点、，使、是以为直角边的直角三角形 【分析】（1）把点的坐标代入函数解析式求出的值，再求出图象与坐标轴的交点坐标即可； （2）设，连接，把四边形的面积分成，，的面积和，求表达式的最大值； （3）有两种可能：为直角顶点；为直角顶点；要充分认识的特殊性，是等腰直角三角形，可以通过等腰直角三角形的性质求出相关线段的长度． 【详解】（1）解：∵ 抛物线与轴交于，两点，与轴交于， ， 则该抛物线的解析式为：， 当，则， 解得：，， ，； （2）如图1，设，连接． 则，， 且的面积，的面积， 的面积， ． 当时，面积有最大值，此时， 存在点，使四边形的面积最大为； （3）如图2，过点作，交抛物线于点、交轴于点，连接C． ∵， ∴， ，． 点的坐标为． 设的解析式为：， ∴，解得：， 直线的解析式为． 则， 解得：，， 点的坐标为 如图2，过点作，交抛物线于点、交轴于点，连接． ， ，． 点的坐标为． 同理可得：直线的解析式为． 由， 解得：，， 点的坐标为． 综上，在抛物线上存在点、，使、是以为直角边的直角三角形． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征以及不规则图形面积的求法等二次函数综合题型，二次函数与直角三角形的综合，熟练的将几何问题转化为求解函数的交点坐标是解本题的关键． 4．（21-22九年级上·安徽马鞍山·期中）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，且对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式和顶点D的坐标； （2）若点是y轴上的一个动点，是否存在以P、A、D三点为顶点的三角形与相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2），理由见解析 【分析】（1）由抛物线的对称轴求出a，就得到抛物线的表达式了； （2）先求解的坐标，再可以分三种情况： ①当∠P1DA=90°时，利用两边对应成比例且夹角相等进行解题即可；②当∠P2AD=90°时，利用两边对应成比例且夹角相等进行解题即可；③当AP3D=90°时，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2-x+3（a≠0）的对称轴为直线x=-2． ∴， ∴，经检验符合题意， ∴． 当时， ∴D（-2，4）． （2）存在．分三种情况： ， 令 则 解得： 令 则 ①当∠P1DA=90°时，作DE⊥x轴于E，作轴于 则OE=2，DE=4，∠DEA=90°， ∴AE=OA-OE=6-2=4=DE． ∴∠DAE=∠ADE=45°，， ∴∠P1DE=∠P1DA-∠ADE=90°-45°=． ∵DM⊥y轴，OA⊥y轴， ∴， ∴∠MDE=∠DEA=90°， ∴∠MDP1=∠MDE-∠P1DE=90°-45°=． ∴P1M=DM=2，． 此时又因为∠AOC=∠P1DA=90°， ∴Rt△ADP1∽Rt△AOC， ∴OP1=OM-P1M=4-2=2， ∴P1（0，2）． ∴当∠P1DA=90°时，存在点P1，使Rt△ADP1∽Rt△AOC， 此时P1点的坐标为（0，2） ②当∠P2AD=90°时，则∠P2AO=45°， ∴， ∴ ∴ ∴△P2AD与△AOC不相似，此时点P2不存在． ③当∠AP3D=90°时， 因为： 整理得： 此时 所以方程无解，故不存在， ∴综上所述，只存在一点P（0，2）使Rt△ADP与Rt△AOC相似． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，由清晰的分类讨论思想是解题的关键. 5．（24-25九年级上·广东阳江·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求、两点的坐标； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线在第二象限内是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，点 (3),的面积最大，最大值为 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点，二次函数的性质，面积问题； （1）令，求得的坐标，令，求得的坐标 （2）根据对称性可得，是对称点，确定直线的解析式，计算当时的函数值即可确定坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． 当时，，则， 当时，， 解得： ∴，； （2）存在，点．理由如下： ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴，；是对称点，且，对称轴为直线 如图所示，当是与的交点时，的周长最小， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，故点． （3）如图，设，过点作交于点，则 ∴ ∴ ∴当时，的面积最大，最大值为 ∴ ∴ 6．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图1，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点P为直线上方抛物线上的一点，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)如图2，若点M为该抛物线的顶点，直线轴于点D，在直线上是否存在点N，使点N到直线的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用．掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）求出的自变量的值，得到两点的坐标，进一步求解即可； （2）连接，设，根据，将三角形的面积转化为二次函数求最值即可； （3）过点N作于点H，连接，求出点坐标，进而求出的解析式，推出，设，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：令，得， 解得，，即，B（3，0）， ∴． （2）∵，当时，， ∴点C的坐标为， 如图1，连接，设， 则 ∵， ∴当时，， 此时，， ∴当的面积最大时，点P的坐标为． （3）存在满足条件的点N， 如图2，过点N作于点H，连接， ∵， ∴， ∵点C的坐标为， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设直线与轴的交点为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， 设，则，， ∴，解得， ∴点N的坐标为或． 7．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）如图，抛物线与直线相交于两点，且抛物线经过点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的一个动点（不与点A点B重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E，当时，求P点坐标； (3)如图2所示，设抛物线与y轴交于点F，在抛物线的第一象限内，是否存在一点Q，使得四边形的面积最大？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)存在，． 【分析】（1）先由点B在直线上求出点B的坐标，再利用待定系数法求解可得； （2）可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出和的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标； （3）作轴于点P，设，知，根据四边形的面积建立关于n的函数，再利用二次函数的性质求解可得． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ， ， 把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：设，则，则， ， ， 当时，解得或，但当时，P与A重合不合题意，舍去， ； 当时，解得或，但当时，P与A重合不合题意，舍去， ； 综上可知P点坐标为或； （3）解：存在这样的点Q，使得四边形的面积最大． 如图，过点Q作轴于点P，    设，则， 四边形的面积 ， 当时，四边形的面积取得最大值，最大值为，此时点Q的坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及利用割补法列出四边形面积的函数关系式． 8．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)求证：平分； (3)抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)． (2)见解析 (3)当为直角三角形时，M的坐标为或． 【分析】（1）本题用待定系数法求二次函数解析式，将，两点代入求解，即可解题． （2）本题根据抛物线的表达式得到点C的坐标，利用勾股定理求得的长，结合，得到，推出，，以及，推出，最后利用等量代换即可解题． （3）本题利用、求得对称轴，根据是以为直角边的直角三角形，分别过点B作交对称轴于和过点A作交对称轴于，先求出直线解析式，根据垂直得到直线解析式和直线解析式，将代入上述解析式，即可解题． 【详解】（1）解：将，两点代入中， 有，解得， 抛物线的表达式为：． （2）解：令，则， ， ，， ， 又，， ， ， ， 平分． （3）解：存在，理由如下： ，， 对称轴为直线， 过点B作交对称轴于， 设直线解析式为，则得，解得， 直线解析式为， 设直线为， ， ， ． 当时，， ； 过点A作交对称轴于， 设直线为，则得， ， ． 当时，， ； 当为直角三角形时，M的坐标为或． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形性质、平行线的性质、勾股定理、角平分线的判定、二次函数与一次函数综合、一次函数互相垂直，熟练掌握相关知识、正确添加辅助线、运用分类讨论思想与数形结合思想是解题的关键． 9．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线与y轴交于，与x轴交于B、C两点（C在B的右侧），顶点坐标为． (1)求抛物线解析式； (2)点是抛物线上一动点，且位于直线的上方，过点作的垂线交于点，求长度的最大值； (3)在直线上是否存在点G，使得？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)的最大值为； (3)点的坐标为：或． 【分析】本题为二次函数综合题，涉及到二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）根据顶点坐标为，设二次函数的顶点式为，由题意，将代入解析式得，，即可求解； （2）作轴交于点，是等腰直角三角形，当最大时，最大，求得关于m的二次函数，根据二次函数的性质即可求解； （3）当，则，即，进而求解． 【详解】（1）解：顶点坐标为， 设二次函数的顶点式为， 抛物线与轴交于， ， 解得，． 二次函数的解析式为； （2）解：令， ． 或3． 抛物线与轴的交点，． 由，得，直线为． 作轴交于点， 设，则， ∵直线与轴夹角， ∴是等腰直角三角形，当最大时，最大． ， ∵， ∴有最大值，最大值为， ∴的最大值为； （3）解：存在，理由： 如图，当， 则， 即， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设点的坐标为：， 当时， 即， 解得：， 则点； 当点在点的上方时， 则，设点， 则， 解得：（舍去）或， 则点， 综上，点的坐标为：或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$