第3讲 集合的概念及集合间的基本关系-2025年暑假初升高数学衔接知识自学讲义

2025年新高一暑假衔接讲义 授课主题 集合的概念及集合间的基本关系 教学目标 1、了解集合的概念和基本性质； 2、集合的三种表示方法，它们之间的区分优缺点； 3、掌握集合间的基本关系。 教学重难点 重点：集合中元素的性质，集合间的基本关系； 难点：集合间的基本关系中的含参问题。 教学内容 集合及基本关系 知识点一：集合的相关概念 一、集合的含义与表示 1、集合的含义 （1）集合：一般的，我们把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合，通常用大写字母表示。 （2）元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素，通常用小写字母表示。 2、集合中的元素及元素与集合的关系 构成集合的每个对象叫做这个集合的元素. 集合常用英语大写字母A，B，C......表示，它们的元素常用英语小写字母a，b，c......表示. 元素与集合的关系如下： 关系 概念 记法 读法 元素与集合的关系 属于 如果a是集合A的元素，就说a属于A a属于A 不属于 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A a不属于A 3、集合中元素的性质 性质 特征 确定性 对于一个给定的集合，任何一个对象或是这个集合的元素或不是这个集合的元素，两者必居其一.也就是说，某个对象是不是该集合中的元素，必须有一个明确的判断标准，这是集合最基本的特征 互异性 集合中元素的互异性是说对任意一个集合而言，在这一集合中表示出来的元素都是互不相同的个体，无论是从其表现形式来看，还是从其本质特征来看，都是强调不同的元素只能出现一次，相同的对象归入任何一个集合时，都只能算作是这个集合的一个元素 无序性 集合中的元素是没有顺序的.这个性质主要是从集合表示方法的角度来强调的.如｛1，2｝，｛2，1｝都可以表示“方程（x-1）（x-2）=0的解集”，就是说｛1，2｝，｛2，1｝表示同一个集合 4、集合的分类 集合可根据它含有的元素的个数分为两类： 有限集：含有有限个元素的集合. 无限集：含有无限个元素的集合. 特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作. 5、常用的数集及其记法 数集 定义 记法 自然数集 非负整数全体构成的集合 正整数集 在自然数集内排除0的集合 整数集 整数全体构成的集合 有理数集 有理数全体构成的集合 实数集 实数全体构成的集合 6、集合的表示方法： （1）把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法称为列举法． （2）把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法称为描述法．常用形式是：{x|p}，竖线前面的x叫做集合的代表元素，p表示元素x所具有的公共属性． （3）用平面上一段封闭的曲线的内部表示集合，这种图形称为Venn图．用Venn图、数轴上的区间及直角坐标平面中的图形等表示集合的方法称为图示法． 考点一：集合概念的理解 【例1】考察下列每组对象，能组成一个集合的是（　　） ①某高中高一年级聪明的学生      ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点 ③不小于3的正整数            ④的近似值． A． B． C． D． 【变式训练】 1. 下列四组对象中能构成集合的是（ ） A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点 C．很小的实数 D．倒数等于本身的数 2．下列各组对象中能构成集合的是（ ） A．充分接近的实数的全体 B．数学成绩比较好的同学 C．小于20的所有自然数 D．未来世界的高科技产品 考点二：元素与集合的关系 【例2】用符号“”或“”填空： （1）0______；（2）_______； （3）_______；（4）2017_______. 【变式训练】 1．用符号“∈”或“∉”填空： 1____N， －3____N， ___Q， ___N， 1__Z， －3___Q， 0___Z， ___R， 0___N*， π___R， ___Q， ___Z． 2．（多选）若集合，则（ ） A． B． C． D． 考点三：集合的表示方法 【例3】（1）集合，用列举法可以表示为（ ） A． B． C． D． （2）方程组的解构成的集合是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（1）把集合用列举法表示为（ ） A． B． C． D． （2）方程组的解集可表示为（ ） A． B． C． D． 考点四：元素特性中的求参问题 【例4】已知集合，且，则实数的值为________． 【变式训练】 1．若，则a =（ ） A．2 B．1或－1 C．1 D．－1 2. 已知，若，则实数构成的集合的元素个数是（ ） A． B． C． D． 知识点二：集合间的基本关系 1、子集（例如：A＝{0，1，2}，B＝{0，1，2，3}，则A、B的关系是A⊆B或B⊇A） 自然语言 如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，就是说这两个集合有包含关系， 称集合A为集合B的子集 符号语言 A⊆B（或B⊇A） 图形语言 2、真子集（例如：A＝{1，2}， B＝{1，2，3}，则A、B的关系是AB（或BA） 自然语言 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，则称集合A是集合B的真子集 符号语言 AB（或BA） 图形语言 3、相等（例如：若A＝{0，1，2}，B＝{x，1，2}，且A＝B，则x＝0.） 若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B. 4、空集 （1）定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为. （2）规定：空集是任何集合的子集． 5、集合中元素的个数 若集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有 个； （2）A的非空子集的个数有 个； （3）A的真子集的个数有 个； （4）A的非空真子集的个数有 个． 考点五：集合之间关系的判断 【例5】已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知集合，或，则（       ） A． B． C． D． 2．能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是（ ） A． B． C． D． 考点六：集合的子集、真子集问题 【例6】设集合，则集合的真子集个数为（   ） A．16 B．15 C．8 D．7 【变式训练】 1．已知集合，则的非空子集的个数为（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则满足条件的集合的个数为_________个 考点七：由集合间的关系求参数的范围 【例7】已知集合，，若，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．设集合，，若，则实数a的取值范围是（       ）． A． B． C． D． 2．已知集合, ,若，则实数a的取值范围为______． 3．已知集合，集合，若，则实数a的取值范围是______. 【题组一：集合的相关概念】 1．下列说法中正确的有（ ）个： ①很小的数的全体组成一个集合： ②全体等边三角形组成一个集合； ③表示实数集； ④不大于3的所有自然数组成一个集合. A．1 B．2 C．3 D．4 2．用符号“”或“”填空：（1）2_____N；（2）______Q；（3）______Z；（4）3.14______R； （5）______N；（6）_____Q. 3. 已知集合，，则集合中所有元素之和是（ ） A．10 B．13 C．14 D．15 4. 若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是________． 5. 已知集合，且，则实数的值为 （　　） A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3 6. 已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为（ ） A．－2 B．2 C．4 D．2或4 7.已知集合，若且则为__________. 【题组二：集合间的基本关系】 1. （多选）下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 2. 设集合，则集合的真子集的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.已知为给定的实数，那么，集合的子集的个数为（ ） A．1 B．2 C．4 D．不确定 4. 给出以下5组集合： （1），； （2），； （3），； （4），； （5），． 其中是相等集合的有（ ）． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 5.已知集合，，若，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D． 6. 设集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7. 若且，则（ ）． A． B．或0 C．或1或0 D．或或0 8. 已知集合，若，则实数的取值范围是__________． 一、本次课我学到了什么？ 二、本次课我需要更努力的地方？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新高一暑假衔接讲义 授课主题 集合的概念及集合间的基本关系 教学目标 1、了解集合的概念和基本性质； 2、集合的三种表示方法，它们之间的区分优缺点； 3、掌握集合间的基本关系。 教学重难点 重点：集合中元素的性质，集合间的基本关系； 难点：集合间的基本关系中的含参问题。 教学内容 集合及基本关系 知识点一：集合的相关概念 一、集合的含义与表示 1、集合的含义 （1）集合：一般的，我们把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合，通常用大写字母表示。 （2）元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素，通常用小写字母表示。 2、集合中的元素及元素与集合的关系 构成集合的每个对象叫做这个集合的元素. 集合常用英语大写字母A，B，C......表示，它们的元素常用英语小写字母a，b，c......表示. 元素与集合的关系如下： 关系 概念 记法 读法 元素与集合的关系 属于 如果a是集合A的元素，就说a属于A a属于A 不属于 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A a不属于A 3、集合中元素的性质 性质 特征 确定性 对于一个给定的集合，任何一个对象或是这个集合的元素或不是这个集合的元素，两者必居其一.也就是说，某个对象是不是该集合中的元素，必须有一个明确的判断标准，这是集合最基本的特征 互异性 集合中元素的互异性是说对任意一个集合而言，在这一集合中表示出来的元素都是互不相同的个体，无论是从其表现形式来看，还是从其本质特征来看，都是强调不同的元素只能出现一次，相同的对象归入任何一个集合时，都只能算作是这个集合的一个元素 无序性 集合中的元素是没有顺序的.这个性质主要是从集合表示方法的角度来强调的.如｛1，2｝，｛2，1｝都可以表示“方程（x-1）（x-2）=0的解集”，就是说｛1，2｝，｛2，1｝表示同一个集合 4、集合的分类 集合可根据它含有的元素的个数分为两类： 有限集：含有有限个元素的集合. 无限集：含有无限个元素的集合. 特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作. 5、常用的数集及其记法 数集 定义 记法 自然数集 非负整数全体构成的集合 正整数集 在自然数集内排除0的集合 整数集 整数全体构成的集合 有理数集 有理数全体构成的集合 实数集 实数全体构成的集合 6、集合的表示方法： （1）把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法称为列举法． （2）把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法称为描述法．常用形式是：{x|p}，竖线前面的x叫做集合的代表元素，p表示元素x所具有的公共属性． （3）用平面上一段封闭的曲线的内部表示集合，这种图形称为Venn图．用Venn图、数轴上的区间及直角坐标平面中的图形等表示集合的方法称为图示法． 考点一：集合概念的理解 【例1】考察下列每组对象，能组成一个集合的是（　　） ①某高中高一年级聪明的学生      ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点 ③不小于3的正整数            ④的近似值． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】①④不符合集合中元素的确定性.选C. 【变式训练】 1. 下列四组对象中能构成集合的是（ ）. A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点 C．很小的实数 D．倒数等于本身的数 【答案】D 【解析】集合中的元素具有确定性，对于，学习好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标准，不符合确定性；对于，符合集合的定义，正确.故选：. 2．下列各组对象中能构成集合的是（ ） A．充分接近的实数的全体 B．数学成绩比较好的同学 C．小于20的所有自然数 D．未来世界的高科技产品 【答案】C 【解析】选项A、B、D中集合的元素均不满足确定性，只有C中的元素是确定的，满足集合的定义，故选：C. 考点二：元素与集合的关系 【例2】用符号“”或“”填空： （1）0______；（2）_______； （3）_______；（4）2017_______. 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】（1）为不含有任何元素的集合，所以； （2） ，； （3） （4）因为2017不能被表示为的形式，所以； 【变式训练】 1．用符号“∈”或“∉”填空： 1____N， －3____N， ___Q， ___N， 1__Z， －3___Q， 0___Z， ___R， 0___N*， π___R， ___Q， ___Z． 【答案】     ∈     ∉     ∈     ∉     ∈     ∈     ∈     ∈     ∉     ∈     ∈     ∉ 表示自然数集；表示正整数集； 表示整数集；表示有理数集；表示实数集. 故答案为：；；；；；；；；；；；. 2．（多选）若集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于选项A：，存在或使得其成立，故选项A正确； 对于选项B：，存在，使得其成立，故选项B正确； 对于选项C：由，可得，， 若则可得， ，不成立； 若则可得， ，不成立； 若，可得，此时， ，不成立； 同理交换与，也不成立，所以不存在为整数使得成立，故选项C不正确； 对于选项D：，此时存在或使得其成立，故选项D正确， 故选：ABD. 考点三：集合的表示方法 【例3】（1）集合，用列举法可以表示为（ ） A． B． C． D． （2）方程组的解构成的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】（1）B （2）C 【解析】（1）因为且，所以的可取值有：， 所以列举法表示集合为：，故选：B. （2）∵∴ ∴方程组的解构成的集合是{（1，1）}故选C． 【变式训练】 1．（1）把集合用列举法表示为（ ） A． B． C． D． （2）方程组的解集可表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】（1）D（2）C 【解析】（1）解方程得或，因此集合用列举法表示为.故选：D. （2）方程组的解为， 根据集合的表示方法可知方程组的解集可表示为或. 所以C选项正确.故选：C 考点四：元素特性中的求参问题 【例4】已知集合，且，则实数的值为________． 【答案】或0 【解析】若则或 当时，，符合元素的互异性； 当时，，不符合元素的互异性，舍去 若则或 当时，，符合元素的互异性； 当时，，不符合元素的互异性，舍去；故答案为：或0. 【变式训练】 1．若，则a =（ ） A．2 B．1或－1 C．1 D．－1 【答案】D 【解析】当时，，当时，集合为不满足互异性，舍去，当时，集合为，满足；当时，，不满足互异性，舍去.故选：. 2. 已知，若，则实数构成的集合的元素个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】①，∴，，则，不可以， ②，∴，，则，可以， 或，∴，，则，不可以， ③，，，则，不可以， 或，∴，，则，不可以， ∴，故选：B． 知识点二：集合间的基本关系 1、子集（例如：A＝{0，1，2}，B＝{0，1，2，3}，则A、B的关系是A⊆B或B⊇A） 自然语言 如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，就是说这两个集合有包含关系， 称集合A为集合B的子集 符号语言 A⊆B（或B⊇A） 图形语言 2、真子集（例如：A＝{1，2}， B＝{1，2，3}，则A、B的关系是AB（或BA） 自然语言 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，则称集合A是集合B的真子集 符号语言 AB（或BA） 图形语言 3、相等（例如：若A＝{0，1，2}，B＝{x，1，2}，且A＝B，则x＝0.） 若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B. 4、空集 （1）定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为. （2）规定：空集是任何集合的子集． 5、集合中元素的个数 若集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有 个； （2）A的非空子集的个数有 个； （3）A的真子集的个数有 个； （4）A的非空真子集的个数有 个． 考点五：集合之间关系的判断 【例5】已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D⊂A，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B⊂A，C⊂A，正方形是矩形，所以C⊆B．故选B． 【变式训练】 1．已知集合，或，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 因为或，则，，，故选：A. 2．能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故选B. 考点六：集合的子集、真子集问题 【例6】设集合，则集合的真子集个数为（   ） A．16 B．15 C．8 D．7 【答案】D 由题意， 因此其真子集个数为． 故选：D． 【变式训练】 1．已知集合，则的非空子集的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B ， 即集合含有个元素，则的非空子集有（个）. 故选：B. 2．已知集合，，则满足条件的集合的个数为_________个 【答案】7 因为， , 因为，所以1，2都是集合C的元素， 集合C中的元素还可以有3，4，5，且至少有一个， 所以集合C为：，，，，，， ，共7个. 故答案为：7 考点七：由集合间的关系求参数的范围 【例7】已知集合，，若，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 当时，即当时，，合乎题意； 当时，即当时，由可得，解得，此时. 综上所述，. 故选：A. 【变式训练】 1．设集合，，若，则实数a的取值范围是（       ）． A． B． C． D． 【答案】D 或. 因为集合，，所以. 故选：D 2．已知集合, ,若，则实数a的取值范围为______． 【答案】 依题意，，当，即时，， 当，即时，，当，即时，， 又，，于是得，解得，或，解得， 而，则，综上得：， 所以实数a的取值范围为． 故答案为： 3．已知集合，集合，若，则实数a的取值范围是______. 【答案】或 由题可得，集合，当时，，满足； 当时，，若，则，且，即 综上可得，实数a的取值范围是或，故答案为：或. 【题组一：集合的相关概念】 1．下列说法中正确的有（ ）个： ①很小的数的全体组成一个集合： ②全体等边三角形组成一个集合； ③表示实数集； ④不大于3的所有自然数组成一个集合. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】①很小的数不确定，不能组成一个集合，故错误： ②全体等边三角形组成一个集合，故正确； ③表示以实数集为元素的集合，不表示实数集，故错误； ④不大于3的所有自然数是0，1，2，3，组成一个集合，故正确.故选：B 2．用符号“”或“”填空：（1）2_____N；（2）______Q；（3）______Z；（4）3.14______R； （5）______N；（6）_____Q. 【答案】 【解析】（1）N为自然数集，2是自然数，所以；（2）Q表示有理数，为无理数，所以；（3）Z为整数集，是分数，所以；（4）R表示实数集，所以；（5） N为自然数集，-3不是自然数，所以；（6） Q表示有理数，是有理数，所以. 3. 已知集合，，则集合中所有元素之和是（ ） A．10 B．13 C．14 D．15 【答案】A 【解析】集合， ，集合中所有元素之和为．故选：A． 4. 若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是________． 【答案】或 【解析】因为集合中至多有一个元素 所以方程至多有一个根， 当时解得，满足题意 当时，，解得综上：或 5. 已知集合，且，则实数的值为 （　　） A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3 【答案】A 【解析】由题意，知，可得 （1）当时，，不满足集合元素的互异性，舍去； （2）当，解得或， ①当是不满足元素的互异性，舍去， ②当时，此时集合，符合题意. 故选A. 6. 已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为（ ） A．－2 B．2 C．4 D．2或4 【答案】A 【解析】依题意，若，则，不满足集合元素的互异性，所以； 若，则或（舍去），此时，符合题意； 若，则，而，不满足集合元素的互异性，所以.综上所述，的值为. 故选：A 7.已知集合，若且则为__________. 【答案】 【解析】由，可得．故为，故答案为：． 【题组二：集合间的基本关系】 1. （多选）下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】A．是无理数，无理数属于实数，所以，故正确； B．因为都是集合，所以不能用表示两者关系，故错误； C．因为不包含任何元素，所以，故错误； D．因为空集是任何集合的子集，所以，故正确；故选：AD. 2. 设集合，则集合的真子集的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.已知为给定的实数，那么，集合的子集的个数为（ ） A．1 B．2 C．4 D．不确定 【答案】（1）C（2）C 【解析】（1）由题可解集合，则集合A的真子集有、、.故选：C. （2）由方程的根的判别式，知方程有两个不相等的实数根，则M有2个元素，得集合M有个子集.选C. 4. 给出以下5组集合： （1），； （2），； （3），； （4），； （5），． 其中是相等集合的有（ ）． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】A 【解析】对于（1），中只有一个元素，中有两个元素，3，故、不是相等的集合； 对于（2），，，集合和集合中的元素不同，故、不是相等的集合； 对于（3），，，是空集，中有一个元素0，故、不是相等的集合； 对于（4），，，和中各有一个元素，但元素不相同，故、不是相等的集合； 对于（5），，，和都只有两个元素1，2，所以和是相等的集合 综上，只有第（5）组是相等集合故选：A． 5.已知集合，，若，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【解析】根据集合中元素的互异性可知， 因为，所以或， 当时，，此时； 当时，则，因为，所以，此时.故选：B 6. 设集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在数轴上表示和的关系，如下图所示： 可知：，故选：． 7. 若且，则（ ）． A． B．或0 C．或1或0 D．或或0 【答案】B 【解析】因为，所以或，所以、1或0． 根据集合中元素的互异性得或0.故选：B 8. 已知集合，若，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】由，得 又，且，故，故答案为：. 一、本次课我学到了什么？ 二、本次课我需要更努力的地方？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$