第2讲 解不等式-2025年暑假初升高数学衔接知识自学讲义

2025年新高一暑假衔接讲义 授课主题 解不等式 教学目标 1、理解不等式的基本性质； 2、掌握一元二次不等式的解法和简单的分式不等式的解法。 教学重难点 重点：根据“三个二次”之间的关系解决简单问题以及三个“二次”之间的关系； 难点：不等式恒成立问题与含参不等式。 教学内容 解不等式 1．一元二次不等式的一般形式 （1）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）；（2）ax2＋bx＋c≥0（a≠0）；（3）ax2＋bx＋c＜0（a≠0）；（4）ax2＋bx＋c≤0（a≠0） 2．三个“二次”的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象 ax2＋bx＋c＝0（a>0）的根 ax2＋bx＋c>0（a>0）的解集 ax2＋bx＋c<0（a>0）的解集 3．分式不等式的解法（主导思想：化分式不等式为一元二次不等式） 类型 同解不等式 ＞0（＜0）（其中a，b，c，d为常数） （ax＋b）（cx＋d）＞0（＜0） ≥0（≤0） ＞k（其中k为非零实数） 先移项通分转化为上述两种形式 4．解绝对值不等式（口诀：“小于取中间，大于取两边”） 5．不等式恒成立问题 不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0 a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0 a≠0 考点一：解一元二次不等式 【例1】解下列一元二次不等式： （1）2x2＋7x＋3>0 【解答】因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为 （2） 【解析】不等式可化为，即，解得或，∴原不等式的解集为或 （3） 【解析】不等式可化为，解得，∴不等式的解集为 （4） 【解析】 （5） 【解析】无解 （6）－2x2＋3x－2<0. 【解析】原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为全体实数 【变式1-1】解下列不等式 （1） 【详解】根据题意，方程整理得，此方程的解为，所以不等式的解集是. （2） 【详解】因为，所以或，故不等式的解集为或. （3） 【详解】由得或，因为的图象开口向上，所以不等式的解集为. （4） 【答案】 （5）4x2＋4x＋1＞0 【解答】因为4x2＋4x＋1＝（2x＋1）2＞0，所以原不等式的解集为 （6）x2＋25≤10x 【解答】原不等式可化为x2－10x＋25≤0，即（x－5）2≤0，故原不等式的解集为{x|x＝5} （7） 【答案】 【详解】原不等式等价于，由于恒成立，因此原不等式的解集为．故答案为： 考点二：解分式不等式 【例2】解下列分式不等式 （1）<0； （2）≤1 （3）≥0； （4）<3 【解答】（1）<0⇔（x－3）（x＋2）<0⇔－2<x<3，∴原不等式的解集为{x|－2<x<3}． （2）∵≤1，∴－1≤0，∴≤0，即≥0. 此不等式等价于（x－4）≥0且x－≠0，解得x<或x≥4， ∴原不等式的解集为 （3）根据商的符号法则，不等式≥0可转化成不等式组 解这个不等式组，可得x≤－1或x>3.即知原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}． （4）不等式<3可改写为－3<0， 即<0.可将这个不等式转化成2（x－1）（x＋1）<0，解得－1<x<1.所以，原不等式的解集为{x|－1<x<1} 【变式2-1】解不等式 （1）不等式的解集是　 　． 【解答】解：根据题意，⇒（2x﹣1）（x+3）≥0且（x+3）≠0， 解可得x＜﹣3或x≥， 即原不等式的解集为{x|x＜﹣3或x≥}； 故答案为：{x|x＜﹣3或x≥}． （2）不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】因为，等价于，等价于，解得，所以不等式的解集是.故答案为：. （3）不等式的解集为 . 【答案】 【详解】因为，即，解得，所以不等式的解集为. （4）不等式的解集为 . 【详解】原不等式即为即，故，故. 考点三：解绝对值 【例3】（1）不等式的解集为 . 【详解】因为，则，解得：，所以不等式的解集为：. （2）不等式的解集是 . 【详解】因为，所以或，解得或，所以不等式的解集是或． 【变式3-1】解不等式 （1）不等式的解集是 . 【详解】由可得，解得，故原不等式的解集为. （2）不等式>3的解集是 . 【详解】或,即或. （3）不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由不等式，得，即，解得， 所以原不等式的解集为.故答案为： 考点四：含参数的一元二次不等式的解法 【例4】已知不等式ax2+bx+c＞0解集为，下列结论正确的是（　　） A．a+b+c＞0 B．a＞0 C．b＜0 D．c＜0 【解答】解：由于不等式ax2+bx+c＞0解集为， 所以a＜0； 故﹣和2为ax2+bx+c＝0的两根； 所以，整理得：3a+2b＝0，故； 由于a＜0，所以b＞0； 故a+c＝0，整理得c＝﹣a，所以c＞0；故B、C、D错误． 所以当x＝1时，a+b+c＞0，故A正确； 故选：A． 【变式4-1】若关于x的不等式ax2+3x﹣1＞0的解集是， （1）求a的值； （2）求不等式ax2﹣3x+a2+1＞0的解集． 【解答】解：（1）依题意，可知方程ax2+3x﹣1＝0的两个实数根为和1， ∴+1＝﹣且×1＝，解得a＝﹣2， ∴a的值为﹣2； （2）由（1）可知，不等式为﹣2x2﹣3x+5＞，即2x2+3x﹣5＜0， ∵方程2x2+3x﹣5＝0的两根为x1＝1，x2＝﹣， ∴不等式ax2﹣3x+a2+1＞0的解集为{x|﹣＜x＜1} 【变式4-2】（多选）已知不等式的解集为，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意知，和是方程的两个实数根，则，故且，解得，，故选：AC. 考点五：解含参数的一元二次不等式 【例5】解关于的不等式. 由， ∴当时，解集为； 当时，无解； 当时，解集为 【变式5-1】解关于的不等式：． ∵方程的两根为 ①当时，有； ②当时，； ③当时，有. 综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为． 【变式5-2】解关于的不等式． 解析：， 则当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 考点六：不等式恒成立问题 【例6】若关于的不等式的解集为全体实数，则的取值范围是______. 【答案】 当得：，满足题意；当时，要想保证关于的不等式的解集为R，则要满足：，解得：，综上：的取值范围为 故答案为： 【变式6-1】已知关于x的不等式（m－1）x2－x＋1＞0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】 【解析】（1）当m－1＝0，即m＝1时，－x＋1＞0，显然不符合题意； 当m－1≠0，即m≠1时，对应抛物线开口向上，即m－1＞0， 且对于方程（m－1）x2－x＋1＝0，Δ＝（－1）2－4（m－1）＜0，即． 故当时，不等式（m－1）x2－x＋1＞0对一切实数x恒成立，实数m的取值范围为． 【变式6-2】若不等式的解集为全体实数，求实数的取值范围． 【解析】可化为， 当时，不等式为4＞0，恒成立； 当时，不等式的解集为R，则 解得．综上，． 1、解下列不等式． （1） 【详解】解不等式，得，所以所求的解集为. （2） 【详解】，解得：. （3） 【详解】原不等式即为，即，解得，故原不等式的解集为. （4）解不等式： 【答案】 原不等式，∴， ∴该不等式解集为； （5）解不等式： 【答案】. 原不等式可化为，则原不等式的解集为． （6）求不等式的解集： 【答案】 不等式等价于，解得或. ∴不等式的解集为. （7）不等式 的解集是_______. 【答案】 ，解得，所以解集为． 故答案为： （8）不等式的解集为___________. 【答案】 由，得，解得， 所以不等式的解集为， 故答案为： （9）不等式的解集是___________. 【答案】 由不等式， 首先去绝对值可得到，或； 解之得：或 故答案为：或． 2、若不等式的解集是，则的值为（       ） A．-10 B．-14 C．10 D．14 【答案】B 由题意，和是方程的两个根， 由韦达定理得：且，解得：，， 所以.故选：B 3、若关于的不等式的解集为，则（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 由于不等式的解集为， 所以，且. 故选：C 4、不等式的解集为，则的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 由题意可知，关于的方程的两根分别为、，则，可得， 故所求不等式为，即，解得. 故选：A. 5、已知不等式的解集为，则不等式的解集为（       ） A． B．{或} C． D．或 【答案】A 解：因为不等式的解集为， 的两根为，2，且，即，，解得，， 则不等式可化为，解得，则不等式的解集为． 故选：A. 6、已知关于的不等式. （1）若，求不等式的解集； （2）解关于的不等式. 【详解】（1）由， 当时，可得解集为. （2）对应方程的两个根为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为或， 一、本次课我学到了什么？ 二、本次课我需要更努力的地方？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新高一暑假衔接讲义 授课主题 解不等式 教学目标 1、理解不等式的基本性质； 2、掌握一元二次不等式的解法和简单的分式不等式的解法。 教学重难点 重点：根据“三个二次”之间的关系解决简单问题以及三个“二次”之间的关系； 难点：不等式恒成立问题与含参不等式。 教学内容 解不等式 1．一元二次不等式的一般形式 （1）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）；（2）ax2＋bx＋c≥0（a≠0）；（3）ax2＋bx＋c＜0（a≠0）；（4）ax2＋bx＋c≤0（a≠0） 2．三个“二次”的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象 ax2＋bx＋c＝0（a>0）的根 ax2＋bx＋c>0（a>0）的解集 ax2＋bx＋c<0（a>0）的解集 3．分式不等式的解法（主导思想：化分式不等式为一元二次不等式） 类型 同解不等式 ＞0（＜0）（其中a，b，c，d为常数） （ax＋b）（cx＋d）＞0（＜0） ≥0（≤0） ＞k（其中k为非零实数） 先移项通分转化为上述两种形式 4．解绝对值不等式（口诀：“小于取中间，大于取两边”） 5．不等式恒成立问题 不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0 a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0 a≠0 考点一：解一元二次不等式 【例1】解下列一元二次不等式： （1）2x2＋7x＋3>0 （2） （3） （4） （5） （6）－2x2＋3x－2<0 【变式1-1】解下列不等式 （1） （2） （3） （4） （5）4x2＋4x＋1＞0 （6）x2＋25≤10x （7） 考点二：解分式不等式 【例2】解下列分式不等式 （1）<0； （2）≤1 （3）≥0； （4）<3 【变式2-1】解不等式 （1）不等式的解集是　 　． （2）不等式的解集是 ． （3）不等式的解集为 . （4）不等式的解集为 . 考点三：解绝对值 【例3】（1）不等式的解集为 . （2）不等式的解集是 . 【变式3-1】解不等式 （1）不等式的解集是 . （2）不等式>3的解集是 . （3）不等式的解集为 . 考点四：含参数的一元二次不等式的解法 【例4】已知不等式ax2+bx+c＞0解集为，下列结论正确的是（　　） A．a+b+c＞0 B．a＞0 C．b＜0 D．c＜0 【变式4-1】若关于x的不等式ax2+3x﹣1＞0的解集是， （1）求a的值； （2）求不等式ax2﹣3x+a2+1＞0的解集． 【变式4-2】（多选）已知不等式的解集为，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 考点五：解含参数的一元二次不等式 【例5】解关于的不等式. 【变式5-1】解关于的不等式：． 【变式5-2】解关于的不等式． 考点六：不等式恒成立问题 【例6】若关于的不等式的解集为全体实数，则的取值范围是______. 【变式6-1】已知关于x的不等式（m－1）x2－x＋1＞0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围． 【变式6-2】若不等式的解集为全体实数，求实数的取值范围． 1、解下列不等式． （1） （2） （3） （4）解不等式： （5）解不等式： （6）求不等式的解集： （7）不等式 的解集是_______. （8）不等式的解集为___________. （9）不等式的解集是___________. 2、若不等式的解集是，则的值为（       ） A．-10 B．-14 C．10 D．14 3、若关于的不等式的解集为，则（     ） A． B． C． D．或 4、不等式的解集为，则的解集为（     ） A． B． C． D． 5、已知不等式的解集为，则不等式的解集为（       ） A． B．{或} C． D．或 6、已知关于的不等式. （1）若，求不等式的解集； （2）解关于的不等式. 一、本次课我学到了什么？ 二、本次课我需要更努力的地方？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$