第1讲 因式分解、方程、二次函数-2025年暑假初升高数学衔接知识自学讲义

2025年新高一暑假衔接讲义 授课主题 因式分解、方程、二次函数 教学目标 1、熟练掌握提公因式法、公式法、十字相乘、分组分解法进行因式分解； 2、主要讲解方程及方程组，要求掌握一元二次方程解法，根的判别式，根与系数的关系； 3、掌握二次函数的图像和性质，理解二次函数与一元二次方程的联系。 教学重难点 1、 掌握因式分解的不同种方法； 2、 含参问题。 教学内容 因式分解、方程、二次函数 知识点一：因式分解 一、因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式分解。 二、提公因式法：把多项式ma+mb+mc分解成 的形式。 三、公式法因式分解 （1）平方差： ； （2）完全平方： 、 。 四、分组分解法 1、一般针对四项或四项以上多项式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如： ①ax+ay+bx+by=x（a+b）+y（a+b）=（a+b）（x+y） ②2xy﹣x2+1﹣y2=﹣（x2﹣2xy+y2）+1=1﹣（x﹣y）2=（1+x﹣y）（1﹣x+y） 五、十字相乘法（十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数） 六、实数范围内分解因式： 例如：x2﹣2=x2﹣（）2=（x+）（x﹣） 考点一： 因式分解 【例1-1】公式法因式分解 （1）a2﹣4ab+4b2 （2）（a2+4b2）2﹣16a2b2 【例1-2】请完成下列因式分解： （1）__________；（2）__________． 【例1-3】因式分解： （1） （2） 【变式1-1】把下列式子进行因式分解． （1） （2） （3） 【变式1-2】分解因式 （1）x2﹣4x﹣12 （2）x2﹣4x﹣5 （3）﹣2x3﹣6x2y+20xy2 （4） 3x2﹣19x﹣14 【变式1-3】分解因式 （1）x2﹣y2﹣2x﹣2y （2）x2+4y2+4xy﹣1 （3）4﹣m2﹣9n2﹣6mn． 知识点二：一元二次方程 1、解一元二次方程的方法： ． 2、根的判别式：Δ＝ ． （1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 x1，2＝； （2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． 3、韦达定理 如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理。 考点二：解一元二次方程 【例2】用适当的方法解下列方程： （1）2（x﹣1）2＝18； （2）x2﹣2x＝2x+1； （3）（3y﹣1）（y+1）＝4； （4）x（2x+3）＝2x+3． （5）2x2﹣5x+1＝0； （6）5（x﹣2）2＝2（2﹣x）． 【变式2-1】十字相乘法解方程： （1）x2+11x=26 （2）2x2+x﹣6=0 （3）6x2﹣7x-3=0 考点三： 根的判别式 【例3】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【变式3-1】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【变式3-2】若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【变式3-3】关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 考点四：韦达定理 【例4】已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则x1x2﹣x1﹣x2的值等于（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．5 【变式4-1】已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两根α，β （1）求m的取值范围； （2）若α+β+αβ＝0．求m的值． 【变式4-2】求方程的根x1，x2（x1＞x2），并求x12+2x2的值． 知识点三：二次函数 1、二次函数的解析式 ①一般式：（，用于已知三点，求抛物线的解析式. ②顶点式：，用于已知顶点坐标或最值或对称轴，求抛物线的解析式. ③交点式：，其中、是二次函数与x轴的两个交点的横坐标.若已知对称轴和在x轴上的截距，也可用此式. 2、二次函数的性质 开口方向 对称轴 直线 顶点坐标 （） 增减性 当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减少； 最值 当时， = 考点五：二次函数图像与性质 【例5】在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（　　） A．y的最小值为1 B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2 C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小 D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 【变式5-1】在下列函数图象上任取不同两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），一定能使＜0成立的是（　　） A．y＝3x﹣1（x＜0） B．y＝﹣x2+2x﹣1（x＞0） C．y＝﹣（x＞0） D．y＝x2﹣4x﹣1（x＜0） 【变式5-2】将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（　　） A．﹣或﹣12 B．﹣或2 C．﹣12或2 D．﹣或﹣12 考点六：二次函数最值 【例6】已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　） A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3 【变式6-1】已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（　　） A． B． C．或 D．或 【变式6-2】当a≤x≤a+1时，函数y=x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．0或2 D．﹣1或2 【变式6-3】求函数y＝x2＋2ax＋1，在-1≤x≤2上的最大值。 考点七：二次函数与方程的关系 【例7】已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（　　） A．x1＜﹣1＜2＜x2 B．﹣1＜x1＜2＜x2 C．﹣1＜x1＜x2＜2 D．x1＜﹣1＜x2＜2 【变式7-1】抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　） A．2≤t＜11 B．t≥2 C．6＜t＜11 D．2≤t＜6 【变式7-2】已知函数y＝的图象如图所示，若直线y＝x+m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为　 　． 1．如果多项式x2﹣mx﹣35分解因式为（x﹣5）（x+7），则m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．12 D．﹣12 2．若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1 3．若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为　　 ． 4．已知a2﹣a﹣1=0，则a3﹣a2﹣a+2018=　　 ． 5．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣mx﹣3＝0的两个根，下面结论一定正确的是（　　） A．x1+x2＞0 B．x1≠x2 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0 6．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5＝0，此方程可变形为（　　） A．（x+2）2＝9 B．（x﹣2）2＝9 C．（x+2）2＝1 D．（x﹣2）2＝1 7．关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 8．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是　 　． 9．已知x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个实数根，那么直线y＝（）x﹣（x12+x22）不经过 第_____象限 10．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为x1，x2，则代数式2x1x2+3x1﹣x12的值为　　 ． 11．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣k﹣2＝0． （1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根之和等于3，求k的值以及方程的两个根． 12．将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ） A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣2 13．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　） A．2≤t＜11 B．t≥2 C．6＜t＜11 D．2≤t＜6 14．已知二次函数，当时，的取值范围是（  ） A． B． C． D． 15．已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的差为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 16．已知二次函数，当自变量x取值在范围内时，下列说法正确的是（   ） A．有最大值14，最小值－2 B．有最大值14，最小值7 C．有最大值7，最小值－2 D．有最大值14，最小值2 17．当时，二次函数的最小值为－1，则的值为（    ） A．-2 B．±2 C．2或 D．2或 18．已知二次函数，当时有最小值5，则的值为______． 19．若时，二次函数的最大值为31，则的值为_____． 20．若二次函数在时的最小值为6，那么的值是______． 21．已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（　　） A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6 22．若一次函数y=（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y=ax2﹣ax（　　） A．有最大值 B．有最大值﹣ C．有最小值 D．有最小值﹣ 一、本次课我学到了什么？ 二、本次课我需要更努力的地方？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新高一暑假衔接讲义 授课主题 因式分解、方程、二次函数 教学目标 1、熟练掌握提公因式法、公式法、十字相乘、分组分解法进行因式分解； 2、主要讲解方程及方程组，要求掌握一元二次方程解法，根的判别式，根与系数的关系； 3、掌握二次函数的图像和性质，理解二次函数与一元二次方程的联系。 教学重难点 1、 掌握因式分解的不同种方法； 2、 含参问题。 教学内容 因式分解、方程、二次函数 知识点一：因式分解 一、因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式分解。 二、提公因式法：把多项式ma+mb+mc分解成 的形式。 三、公式法因式分解 （1）平方差： ； （2）完全平方： 、 。 四、分组分解法 1、一般针对四项或四项以上多项式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如： ①ax+ay+bx+by=x（a+b）+y（a+b）=（a+b）（x+y） ②2xy﹣x2+1﹣y2=﹣（x2﹣2xy+y2）+1=1﹣（x﹣y）2=（1+x﹣y）（1﹣x+y） 五、十字相乘法（十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数） 六、实数范围内分解因式： 例如：x2﹣2=x2﹣（）2=（x+）（x﹣） 考点一： 因式分解 【例1-1】公式法因式分解 （1）a2﹣4ab+4b2 （2）（a2+4b2）2﹣16a2b2 【解答】解：（1）原式=（a﹣2b）2；（2）原式=（a2+4b2+4ab）（a2+4b2﹣4ab）=（a+2b）2（a﹣2b）2 【例1-2】请完成下列因式分解： （1）__________；（2）__________． 【答案】（1）；（2） 【例1-3】因式分解： （1） （2） 【答案】（1）（2） 【变式1-1】把下列式子进行因式分解． （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【变式1-2】分解因式 （1）x2﹣4x﹣12 （2）x2﹣4x﹣5 （3）﹣2x3﹣6x2y+20xy2 （4） 3x2﹣19x﹣14 【解答】（1）原式＝x2+（﹣6+2）x+（﹣6×2）＝（x﹣6）（x+2）； （2）原式＝（x﹣5）（x+1）． （3）原式＝﹣2x（x2+3xy﹣10y2） ＝﹣2x（x+5y）（x﹣2y）． （4）原式=（x﹣7）（3x+2）． 【变式1-3】分解因式 （1）x2﹣y2﹣2x﹣2y 【解答】解：原式＝（x2﹣y2）﹣（2x+2y） ＝（x+y）（x﹣y）﹣2（x+y） ＝（x+y）（x﹣y﹣2）． （2）x2+4y2+4xy﹣1 【解答】解：原式＝（x2+4y2+4xy）﹣1 ＝（x+2y）2﹣1 ＝（x+2y+1）（x+2y﹣1）． （3）4﹣m2﹣9n2﹣6mn． 【解答】解：原式＝4﹣（m2+9n2+6mn） ＝22﹣（m+3n）2 ＝（2+m+3n）（2﹣m﹣3n）． 知识点二：一元二次方程 1、解一元二次方程的方法： ． 2、根的判别式：Δ＝ ． （1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 x1，2＝； （2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． 3、韦达定理 如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理。 考点二：解一元二次方程 【例2】用适当的方法解下列方程： （1）2（x﹣1）2＝18； （2）x2﹣2x＝2x+1； （3）（3y﹣1）（y+1）＝4； （4）x（2x+3）＝2x+3． （5）2x2﹣5x+1＝0； （6）5（x﹣2）2＝2（2﹣x）． 【答案】解：（1）方程两边除以2，得：（x﹣1）2＝9，则x﹣1＝3或﹣3，则x1＝4，x2＝﹣2； （2）原方程可整理为：x2﹣4x+4＝5， 则（x﹣2）2＝5，则x﹣2＝或﹣，解得：x1＝2+，x2＝2﹣； （3）整理，得：3y2+2y﹣5＝0，分解因式得：（y﹣1）（3y+5）＝0，则y﹣1＝0或3y+5＝0， 解得：y1＝1，y2＝﹣； （4）移项，得：x（2x+3）﹣（2x+3）＝0，分解因式得：（2x+3）（x﹣1）＝0， 则2x+3＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝﹣，x2＝1． （5）2x2﹣5x+1＝0， 2x2﹣5x＝﹣1， x2﹣x＝﹣， x2﹣x+（）2＝﹣+（）2， （x﹣）2＝， x﹣＝±， x1＝，x2＝； （6）5（x﹣2）2＝2（2﹣x）， 5（x﹣2）2+2（x﹣2）＝0， （x﹣2）[5（x﹣2）+2]＝0， x﹣2＝0，5（x﹣2）+2＝0， x1＝2，x2＝． 【变式2-1】十字相乘法解方程： （1）x2+11x=26 （2）2x2+x﹣6=0 （3）6x2﹣7x-3=0 【答案】（1）整理得x2+11x﹣26=0（x+13）（x﹣2）=0解得x1=-13，x2=2 （2） 整理得2x2+x﹣6＝0（2x﹣3）（x+2）=0；解得x1=-，x2=-2 （3） 整理得6x2﹣7x﹣3＝0（3x+1）（2x﹣3）=0；解得x1=-，x2= 考点三： 根的判别式 【例3】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【解析】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且解得：且故选：C． 【变式3-1】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【解析】∵一元二次方程有两个不相等的实数根∴且解得且故选：B． 【变式3-2】若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【解析】的一元二次方程有两个实数根且解得：且故选：B． 【变式3-3】关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【解析】∵∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 考点四：韦达定理 【例4】已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则x1x2﹣x1﹣x2的值等于（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．5 【答案】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两个实数根， ∴x1x2＝1，x1+x2＝4， ∴x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝1﹣4＝﹣3． 故选：A． 【变式4-1】已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两根α，β （1）求m的取值范围； （2）若α+β+αβ＝0．求m的值． 【答案】（1）m≥﹣；（2）m的值为3． 【解析】（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m2≥0，解得：m≥﹣ （2）由根与系数的关系得：α+β＝﹣（2m+3），αβ＝m2， ∵α+β+αβ＝0∴﹣（2m+3）+m2＝0，解得：m1＝﹣1，m1＝3， 由（1）知m≥﹣，所以m1＝﹣1应舍去，m的值为3． 【变式4-2】求方程的根x1，x2（x1＞x2），并求x12+2x2的值． 【答案】6 【解析】方程的根x1，x2，， 知识点三：二次函数 1、二次函数的解析式 ①一般式：（，用于已知三点，求抛物线的解析式. ②顶点式：，用于已知顶点坐标或最值或对称轴，求抛物线的解析式. ③交点式：，其中、是二次函数与x轴的两个交点的横坐标.若已知对称轴和在x轴上的截距，也可用此式. 2、二次函数的性质 开口方向 对称轴 直线 顶点坐标 （） 增减性 当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减少； 最值 当时， = 考点五：二次函数图像与性质 【例5】在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（　　） A．y的最小值为1 B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2 C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小 D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 【答案】C 【解析】解：二次函数y＝（x﹣2）2+1，a＝1＞0， ∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，1），当x＝2时，y有最小值1，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小； 故选项A、B的说法正确，C的说法错误； 根据平移的规律，y＝x2的图象向右平移2个单位长度得到y＝（x﹣2）2，再向上平移1个单位长度得到y＝（x﹣2）2+1；故选项D的说法正确，故选：C． 【变式5-1】在下列函数图象上任取不同两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），一定能使＜0成立的是（　　） A．y＝3x﹣1（x＜0） B．y＝﹣x2+2x﹣1（x＞0） C．y＝﹣（x＞0） D．y＝x2﹣4x﹣1（x＜0） 【答案】D 【解析】解：A、∵k＝3＞0∴y随x的增大而增大，即当x1＞x2时，必有y1＞y2∴当x＜0时，＞0， 故A选项不符合；B、∵对称轴为直线x＝1， ∴当0＜x＜1时y随x的增大而增大，当x＞1时y随x的增大而减小， ∴当0＜x＜1时：当x1＞x2时，必有y1＞y2此时＞0，故B选项不符合； C、当x＞0时，y随x的增大而增大，即当x1＞x2时，必有y1＞y2此时＞0，故C选项不符合； D、∵对称轴为直线x＝2，∴当x＜0时y随x的增大而减小， 即当x1＞x2时，必有y1＜y2此时＜0，故D选项符合； 【变式5-2】将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（　　） A．﹣或﹣12 B．﹣或2 C．﹣12或2 D．﹣或﹣12 【答案】A 【解析】解：如图所示，过点B的直线y＝2x+b与新抛物线有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时与新抛物线也有三个公共点， 令y＝x2﹣5x﹣6＝0，解得：x＝﹣1或6，即点B坐标（6，0）， 将一次函数与二次函数表达式联立得：x2﹣5x﹣6＝2x+b，整理得：x2﹣7x﹣6﹣b＝0， △＝49+4（﹣6﹣b）＝0，解得：b＝﹣， 当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y＝2x+b得：0＝12+b，解得：b＝﹣12， 综上，直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为﹣12或﹣ 考点六：二次函数最值 【例6】已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　） A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3 【答案】B 【解析】解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小， ∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5，可得：（1﹣h）2+1=5，解得：h=﹣1或h=3（舍）； ②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，可得：（3﹣h）2+1=5，解得：h=5或h=1（舍）； ③若1＜h＜3时，当x=h时，y取得最小值为1，不是5，∴此种情况不符合题意，舍去． 综上，h的值为﹣1或5 【变式6-1】已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】解：y=x2﹣2mx=（x﹣m）2﹣m2， ①若m＜﹣1，当x=﹣1时，y=1+2m=﹣2，解得：m=﹣； ②若m＞2，当x=2时，y=4﹣4m=﹣2，解得：m=＜2（舍）； ③若﹣1≤m≤2，当x=m时，y=﹣m2=﹣2，解得：m=或m=﹣＜﹣1（舍）， ∴m的值为﹣或，故选：D 【变式6-2】当a≤x≤a+1时，函数y=x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．0或2 D．﹣1或2 【答案】D 【解析】解：当y=1时，有x2﹣2x+1=1，解得：x1=0，x2=2． ∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a=2或a+1=0，∴a=2或a=﹣1，故选：D 【变式6-3】求函数y＝x2＋2ax＋1，在-1≤x≤2上的最大值。 【解析】y＝（x＋a）2＋1－a2， ∴y的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－a. （1）当－a<即a>－时，ymax＝f（2）＝4a＋5， （2）当－a≥即a≤－时，ymax＝f（－1）＝2－2a，综上，ymax＝ 考点七：二次函数与方程的关系 【例7】已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（　　） A．x1＜﹣1＜2＜x2 B．﹣1＜x1＜2＜x2 C．﹣1＜x1＜x2＜2 D．x1＜﹣1＜x2＜2 【答案】A 【解析】解：关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2，可以看作二次函数m＝（x+1）（x﹣2）与x轴交点的横坐标， ∵二次函数m＝（x+1）（x﹣2）与x轴交点坐标为（﹣1，0），（2，0），如图： 当m＞0时，就是抛物线位于x轴上方的部分，此时x＜﹣1，或x＞2； 又∵x1＜x2∴x1＝﹣1，x2＝2；∴x1＜﹣1＜2＜x2，故选：A． 【变式7-1】抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　） A．2≤t＜11 B．t≥2 C．6＜t＜11 D．2≤t＜6 【答案】A 【解析】解：∵y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1， ∴b＝﹣2，∴y＝x2﹣2x+3， ∴一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看做y＝x2﹣2x+3与函数y＝t的有交点， ∵方程在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，当x＝﹣1时，y＝6；当x＝4时，y＝11； 函数y＝x2﹣2x+3在x＝1时有最小值2；∴2≤t＜11 【变式7-2】已知函数y＝的图象如图所示，若直线y＝x+m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为　 　． 【答案】0＜m＜ 【解析】解：直线y＝x+m与该图象恰有三个不同的交点， 则直线与y＝﹣x有一个交点，∴m＞0， ∵与y＝﹣x2+2x有两个交点，∴x+m＝﹣x2+2x， △＝1﹣4m＞0，∴m＜，∴0＜m＜ 1．如果多项式x2﹣mx﹣35分解因式为（x﹣5）（x+7），则m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．12 D．﹣12 【解答】解：∵（x﹣5）（x+7），=x2+7x﹣5x﹣35=x2+2x﹣35=x2﹣mx﹣35，∴m=﹣2． 2．若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1 【解答】解：∵（x﹣2）（x+b）=x2+bx﹣2x﹣2b=x2+（b﹣2）x﹣2b=x2﹣ax﹣1， ∴b﹣2=﹣a，﹣2b=﹣1，∴b=0.5，a=1.5，∴a+b=2． 3．若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为　　 ． 【解答】解：∵a+b=2，ab=﹣3， ∴a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2），=ab（a+b）2，=﹣3×4，=﹣12． 故答案为：﹣12． 4．已知a2﹣a﹣1=0，则a3﹣a2﹣a+2018=　　 ． 【解答】解：由已知a2﹣a﹣1=0a3﹣a2﹣a+2018=a（a2﹣a﹣1）+2018=2018 故答案为：2018 5．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣mx﹣3＝0的两个根，下面结论一定正确的是（　　） A．x1+x2＞0 B．x1≠x2 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0 【解析】解：∵△＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣3）＝m2+4＞0， ∴方程x2﹣mx﹣3＝0有两个不相等的实数根，∴x1≠x2．故选：B． 6．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5＝0，此方程可变形为（　　） A．（x+2）2＝9 B．（x﹣2）2＝9 C．（x+2）2＝1 D．（x﹣2）2＝1 【解析】解：x2+4x﹣5＝0，x2+4x＝5，x2+4x+22＝5+22，（x+2）2＝9，故选：A． 7．关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【解析】由关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0， 得到a＝1，b＝﹣（m+2），c＝m， △＝（m+2）2﹣4m＝m2+4m+4﹣4m＝m2+4＞0，则方程有两个不相等的实数根，故选A． 8．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是　 　． 【答案】解：根据题意得k﹣1≠0且△＝12﹣4（k﹣1）≥0，解得k≤且k≠1．故答案为k≤且k≠1． 9．已知x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个实数根，那么直线y＝（）x﹣（x12+x22）不经过 第_____象限 【解析】∵x1、x2是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝﹣3，x1•x2＝﹣6，∴， x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣6）＝21， ∴y═，∴该函数经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故答案为：二． 10．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为x1，x2，则代数式2x1x2+3x1﹣x12的值为　　 ． 【答案】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为x1，x2， ∴﹣3x1＝﹣1，x1x2＝1，∴2x1x2+3x1﹣x12＝2×1+1＝3．故答案为3． 11．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣k﹣2＝0． （1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根之和等于3，求k的值以及方程的两个根． 【解析】（1）证明：因为△＝k2﹣4（﹣k﹣2）＝k2+4k+8＝（k+2）2+4＞0，所以方程有两个不相等的实数根． （2）由题意，得﹣k＝3，所以k＝﹣3． 当k＝﹣3时，方程为x2﹣3x+1＝0．所以x1＝，x2＝． 根的判别式，解题的关键：（1）正确掌握判别式公式，（2）正确掌握根与系数的关系公式． 12．将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ） A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣2 【解析】解：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4）， 把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4， ﹣2），所以平移后得到的抛物线解析式为y＝（x﹣4）2﹣2． 故选：D 13．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　） A．2≤t＜11 B．t≥2 C．6＜t＜11 D．2≤t＜6 【解析】解：∵y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，∴b＝﹣2， ∴y＝x2﹣2x+3， ∴一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看做y＝x2﹣2x+3与函数y＝t的有交点， ∵方程在﹣1＜x＜4的范围内有实数根， 当x＝﹣1时，y＝6； 当x＝4时，y＝11； 函数y＝x2﹣2x+3在x＝1时有最小值2； ∴2≤t＜11； 故选：A 14．已知二次函数，当时，的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线x=1， ∵， ∴当时，函数取最大值，且最大值为， ∵在的范围内，时，距离对称轴最远， ∴时，函数取最小值，且最小值为： ， ∴y的取值范围是：，故D正确． 故选：D． 15．已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的差为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 解：∵二次函数， ∴该抛物线的对称轴为，且， ∴当时，二次函数有最大值为1+c；当时，二次函数有最小值为-3+c． ∴函数的最大值与最小值的差为1+c-（-3+c）=4． 故选D． 16．已知二次函数，当自变量x取值在范围内时，下列说法正确的是（   ） A．有最大值14，最小值－2 B．有最大值14，最小值7 C．有最大值7，最小值－2 D．有最大值14，最小值2 【答案】A ∵ ∴这个二次函数的开口向上，对称轴 ∴在的取值范围内，当时，有最小值； 当时，有最大值． 故选：A． 17．当时，二次函数的最小值为－1，则的值为（    ） A．-2 B．±2 C．2或 D．2或 【答案】A 解：y=x2+2ax+3=（x+a）2+3-a2． 抛物线开口向上，对称轴为直线x=-a． ∴当-a≤1时，即a≥-1，当1≤x≤3时，y随x的增大而增大， 当x=1时，y有最小值=1+2a+3=4+2a， ∴4+2a=-1， ∴a=-，不合题意，舍去． 当1<-a<3时，x=-a，y有最小值3-a2． ∴3-a2=-1． ∴a2=4， ∵1<-a<3， ∴a=-2． 当-a≥3时，即a≤-3，当1≤x≤3，y随x的增大而减少． ∴当x=3时，y有最小值=9+6a+3=12+6a． ∴12+6a=-1． ∴a=-． ∵a≤-3． ∴不合题意，舍去． 综上：a=-2． 故选：A． 18．已知二次函数，当时有最小值5，则的值为______． 【答案】或4 解：， 当时，最小值为1，与题意不符； 当时，二次函数在1≤x≤2 上y随x的增大而增大，最小值为当x=1时，即（1-a）2+1=5， 解得a=-1，或a=3（舍去）； 当a≥2时，二次函数在1≤x≤2 上y随x的增大而减小，最小值为当x=2时，即（2-a）2+1=5， 解得a=4，或a=0（舍去）； 所以a的值为-1或4． 故答案为-1或4． 19．若时，二次函数的最大值为31，则的值为_____． 【答案】-5或1 【详解】 解：∵二次函数解析式为y＝2x2+4x+1， ∴该二次函数的对称轴是直线． 当时，且时，即时，y在x=t+2时取得最大值31． ∴． 解得（舍），（舍）． 当时，且时，即时，y在x=t时取得最大值31． ∴． 解得（舍），（舍）． 当时，即时，y在x=t+2时取得最大值31． ∴． 解得（舍），． 当时，即时，y在x=t时取得最大值31． ∴． 解得，（舍）． 故答案为：-5或1． 20．若二次函数在时的最小值为6，那么的值是______． 【答案】或 解：由二次函数可知对称轴为直线， ∴当x=1时，二次函数有最小值，最小值为， ∵二次函数在时的最小值为6， 然后可分①当m+1＜1时，即m＜0，则有y随x的增大而减小， ∴当x=m+1时，函数有最小值，即为， 解得：（正根舍去）， ②当m＞1时，则y随x的增大而增大， ∴当x=m时，函数有最小值，即为， 解得：（负根舍去）， ∴综上所示：m的值是或；故答案为或． 21．已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（　　） A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6 【解析】解：当h＜2时，有﹣（2﹣h）2=﹣1，解得：h1=1，h2=3（舍去）； 当2≤h≤5时，y=﹣（x﹣h）2的最大值为0，不符合题意；当h＞5时，有﹣（5﹣h）2=﹣1， 解得：h3=4（舍去），h4=6．综上所述：h的值为1或6．故选：B 22．若一次函数y=（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y=ax2﹣ax（　　） A．有最大值 B．有最大值﹣ C．有最小值 D．有最小值﹣ 【解析】解：∵一次函数y=（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，∴a+1＞0且a＜0， ∴﹣1＜a＜0，∴二次函数y=ax2﹣ax有最大值﹣，故选：B 一、本次课我学到了什么？ 二、本次课我需要更努力的地方？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$