专题02 曲线运动（3大考点）（北京专用）-【好题汇编】2025年高考物理二模试题分类汇编

专题02 曲线运动 平抛运动和斜抛运动 一、单选题 1．（2024·北京海淀·二模）如图所示，一个沙漏沿水平方向以速度v做匀速直线运动，沿途连续漏出沙子，单位时间内漏出的沙子质量恒定为Q，出沙口距水平地面的高度为H。忽略沙子漏出瞬间相对沙漏的初速度，沙子落到地面后立即停止，不计空气阻力，已知重力加速度为g，在已有沙子落地后的任意时刻，下列说法正确的是（　　） A．每粒沙子在空中的轨迹是一条抛物线 B．若将沙漏以速度v水平抛出，漏出的沙子在空中形成的几何图形是一条竖直直线 C．每粒沙子从漏出开始计时，t时刻与地面间的高度 D．若沙漏内的沙子在t时间内落完，则地面上沙子的长度大于 【答案】A 【详解】A．由于惯性，每粒沙子漏出的瞬间，存在一个水平向右的初速度v，沙子开始做平抛运动，其在空中的轨迹为一条抛物线，故A正确； B．若将沙漏以速度v水平抛出，沙漏处于完全失重状态，沙漏中的沙子将不会漏出沙漏，沙子在空中始终随沙漏一起做平抛运动，故B错误； C．每粒沙子从漏出开始计时，t时刻沙子下落的高度 此时其与地面间的高度为 故C错误； D．沙子漏出后做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，地面上沙子的长度等于初始时刻漏出的沙子与末时刻漏出沙子在地面上落地之间的间距，即等于t时间内沙漏的位移大小，即若沙漏内的沙子在t时间内落完，则地面上沙子的长度等于，故D错误。 故选A。 2．（2025·北京朝阳·二模）如图所示，某同学以大小为的初速度将铅球从P点斜向上抛出，到达Q点时铅球速度沿水平方向。已知P、Q连线与水平方向的夹角为，P、Q间的距离为。不计空气阻力，铅球可视为质点，质量为m，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．铅球从P点运动到Q点所用的时间为 B．铅球从P点运动到Q点重力做的功为 C．铅球从P点运动到Q点动量的变化为 D．铅球到达Q点的速度大小为 【答案】D 【详解】A．铅球从P点运动到Q点的逆过程为平抛运动，竖直方向是自由落体运动，由运动学公式有 解得铅球从P点运动到Q点所用的时间为，A错误； B．由重力做功有铅球从P点运动到Q点重力做的功为 B错误； C．由上述分析可知，从P点运动到Q点所用的时间为，由动量定理有 代入数据有铅球从P点运动到Q点动量的变化为 C错误； D．铅球从P点运动到Q点由动能定理有 解得铅球到达Q点的速度大小为，D正确。 故选D。 二、解答题 3．（2025·北京东城·二模）如图所示，长为的细线，一端系有质量为的小球，另一端通过光滑的轻质小圆环套在点的钉子上，小球在高为的光滑水平桌面上做匀速圆周运动。若小球的速度缓慢增大，当细线的拉力达到时，细线断裂，小球垂直桌面边缘抛出。重力加速度为，不计空气阻力。 (1)小球从水平桌面上抛出时的速度大小； (2)小球落地点到桌面边缘的水平距离； (3)小球落地时的动能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）细绳拉力为F时，根据牛顿第二定律可知 解得 细绳拉断后小球将以速度 从水平桌面上抛出。 （2）根据平抛运动的规律， 解得 （3）由机械能守恒定律可知，小球落地时的动能 圆周运动 一、单选题 1．（2025·北京海淀·二模）如图1所示，“冰坑挑战”需要挑战者先进入一个坡面与水平面夹角为、半径为R的倒圆锥型冰坑，然后尝试从其中离开。方式甲——挑战者沿着如图2甲所示坡面向上走或爬的方式，很难离开冰坑，通常还是会滑回坑底。方式乙——挑战者沿着如图2乙所示的螺旋线方式跑动多圈后，最终可以成功离开冰坑。已知挑战者的质量为m，其与冰面的动摩擦因数为，重力加速度为g。为了讨论方便，假定滑动摩擦力与最大静摩擦力大小相等；方式乙中人的跑动半径r缓慢增大，每一圈的轨迹都可近似为与水平地面平行的圆。下列说法正确的是（    ） A．在方式甲中，一定满足关系式 B．在方式甲和方式乙中，挑战者受到的最大静摩擦力大小不同 C．在方式乙中，可利用求得每圈的最小速度 D．在方式乙中，挑战者离开冰坑做的功至少为 【答案】B 【详解】A．由于在方式甲中，挑战者很难离开冰坑，通常还是会滑回坑底。说明挑战者受到的摩擦力小于重力的下滑分力，即有 A错误； B．在甲图方式在，其最大摩擦力 在乙图方式中，对挑战者受力分析如下 在水平方向上，根据牛顿第二定律则有 其中为挑战者圆周运动的线速度，为挑战者在该平面圆周运动的半径； 在竖直方向上，根据平衡条件可得 联立解得 显然，B正确； C．在乙方式中，由上述分析可知，支持力与摩擦力在水平方向的合力提供挑战者圆周运动的向心力，因此不能利用求每圈的最小速度，C错误； D．由题可知，冰坑的深度为 整个过程中，挑战者克服重力做的功 除此之外，挑战者还有克服摩擦力做一部分功，故在方式乙中，挑战者离开冰坑做的功至少大于，D错误。 故选B。 2．（2025·北京海淀·二模）某同学用如图所示的实验装置测量当地的重力加速度。不可伸长的轻绳一端固定于A点，另一端系一小球，使其在水平面内绕O点做匀速圆周运动，已测出小球转过n圈所用的时间t。下列说法正确的是（    ） A．为达成实验目的，仅需再测量小球做圆周运动的半径 B．为达成实验目的，仅需再测量轻绳的绳长 C．为达成实验目的，仅需再测量A点到O点的竖直高度 D．若误将圈记作n圈，则重力加速度的测量值偏小 【答案】C 【详解】ABC．测出小球转过n圈所用的时间t，则小球运动的周期为 设小球做圆周运动的半径为，轻绳的绳长为，A点到O点的竖直高度为，轻绳与竖直方向的夹角为，根据牛顿第二定律可得 可得重力加速度为 可知为达成实验目的，仅需再测量A点到O点的竖直高度，故AB错误，C正确； D．若误将圈记作n圈，则周期测量值偏小，根据 可知重力加速度的测量值偏大，故D错误。 故选C。 3．（2025·北京西城·二模）如图所示，长为l的细绳上端悬于P点，下端拴一个质量为m的小球。小球在水平面内做匀速圆周运动，细绳与竖直方向的夹角为，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．细绳的拉力大小等于 B．小球的向心加速度等于 C．小球转动一周，绳拉力的冲量等于0 D．小球转动一周，重力的冲量等于 【答案】D 【详解】A．小球竖直方向有 解得细绳的拉力大小 故A错误； B．对小球，由牛顿第二定律有 解得小球的向心加速度 故B错误； CD．小球转动一周，速度变化量为0，动量变化量为0，根据动量定理，可知拉力冲量与重力冲量等大反向，根据 联立解得，小球圆周运动周期 则小球转动一周，重力的冲量 故拉力冲量也为，故C错误，D正确。 故选D。 二、解答题 4．（2025·北京丰台·二模）如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的粗糙半圆形导轨BC在B点相接，导轨半径为R。一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧时速度为，沿半圆形导轨到达C点时速度为，此后平抛落地（落地点未画出）。不计空气阻力，重力加速度为g。求： (1)弹簧压缩至A点时的弹性势能； (2)物体在C点时受到的导轨给它的弹力； (3)物体从C点平抛落地过程中重力的冲量大小I。 【答案】(1) (2)，方向竖直向下 (3) 【详解】（1）根据能量守恒可得弹簧压缩至A点时的弹性势能为 （2）在C处以物体为研究对象，根据牛顿第二定律可得 解得 方向竖直向下。 （3）物体从C点平抛落地过程中，竖直方向有 解得 该过程重力的冲量大小为 万有引力定律 一、单选题 1．（2025·北京东城·二模）质量为的物块静止放置于地球赤道某处的水平桌面上。已知地球质量为，半径为，自转周期为，引力常量为。若考虑地球自转，将地球视为质量均匀分布的球体，则物块对桌面的压力大小等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对物块，由牛顿第二定律有 解得物块受到的支持力 根据牛顿第三定律，可知物块对桌面的压力F大小为。 故选C。 2．（2025·北京昌平·二模）2025年3月26日，我国在西昌卫星发射中心成功将“天链二号04星”发射升空，该星是地球同步轨道数据中继卫星。已知“天链二号04星”的轨道半径约为地球半径的6倍，某卫星在近地圆轨道运行时周期为。则“天链二号04星”的周期约为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设地球半径为R，根据开普勒第三定律有 联立解得“天链二号04星”的周期 故选C。 二、解答题 3．（2025·北京昌平·二模）随着航空航天科技的发展，人类有能力开展深空探测，逐渐揭开宇宙的奥秘。 (1)探测器绕某星球沿圆轨道匀速率运行时，测得轨道半径的三次方与周期的二次方的比值为k。已知引力常量为G。求该星球的质量M。 (2)太空中的探测器通过小型等离子推进器获得推力。在推进器中，从电极发射出的电子撞击氙原子使之电离，氙离子在加速电场的作用下，从探测器尾部高速喷出，产生推力。已知探测器（含推进器和氙离子）的初始质量为，每个氙离子的质量为m，电荷量为q，加速电压为U，等离子体推进器单位时间内喷出的离子数为n。不计其它星球对探测器的作用力和离子间的相互作用。取刚向外喷出离子的时刻为初始时刻（），求探测器的加速度大小a随时间t的变化规律。 (3)深空探测器常借助行星的“引力弹弓效应”实现加速。设质量为的探测器以相对太阳的速率飞向质量为的行星，行星相对太阳的轨道速率为，方向与相反。探测器从行星旁绕过（如图所示），忽略太阳引力及行星自转的影响，探测器远离行星后相对太阳的速率为，方向与相反；行星运动方向不变。已知，各速度在极远处可视为平行；探测器与行星间的相互作用可视为短暂弹性碰撞。 ①推导的表达式（用表示）； ②简要说明“引力弹弓效应”能使探测器明显加速的原因。 【答案】(1) (2) (3)①；②见解析 【详解】（1）探测器绕星球沿圆轨道匀速率运行时，万有引力提供向心力 即 可得 （2）氙离子经加速电压U加速后，相对探测器的速度大小为v，根据动能定理得 在t时间内喷出氙离子质量为 根据动量定理得 联立解得 根据牛顿第三定律知：探测器获得的反冲作用力大小为 探测器质量随时间的变化规律为 探测器加速度随时间的变化规律为 （3）①设探测器绕过行星后，行星速率为，以行星运动方向为正方向，根据动量守恒定律得 根据机械能守恒定律得 联立解得 由于 得。 ②行星与探测器相互作用时，发生动量和能量的转化。由于行星与探测器相对运动，行星具有较大的轨道速率，且，行星动能（或动量）损失很小，探测器却获得了较大的速率。 4．（2025·北京朝阳·二模）开普勒行星运动定律内容如下： ①所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上； ②对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等； ③所有行星轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。 科研人员设想一种在太空中发射太空探测器的方案：卫星携带一探测器在半径为的圆轨道上绕地球做匀速圆周运动，运动周期为。在轨道上某点启动辅助动力装置短暂工作（工作时消耗的气体质量忽略不计），将探测器沿运动方向射出，探测器恰好能完全脱离地球引力的束缚，而卫星沿原方向绕地球做椭圆运动。已知质量分别为、的两个质点相距为r时的引力势能为，其中G为引力常量。不计其他天体的作用。 (1)求卫星和探测器绕圆轨道运动的线速度大小； (2)求发射后瞬间探测器的速度大小； (3)小华认为，若给定卫星与探测器的质量之比，则可求得发射探测器后卫星沿椭圆轨道运动的周期。请你分析说明她的观点是否正确，写出关键方程。 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）由匀速圆周运动线速度与周期的关系，可得 （2）设地球质量为M，探测器质量为，卫星质量为，探测器从被发射到无穷远的过程，由能量守恒定律得 发射前，由牛顿第二定律得 联立解得 （3）小华的观点正确。 设发射后卫星的速度为，发射过程由动量守恒得 发射后卫星绕地球做椭圆运动，设近地点速度为，近地点到地心距离为，由开普勒第二定律得 由能量守恒定律得 设发射后卫星绕地球运动的周期为，由开普勒第三定律得 联立以上方程，若给定卫星与探测器的质量之比，可求得发射后卫星的运行周期。 5．（2025·北京海淀·二模）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。如图1所示，以某一点O为观测点，以质量为m的星系P为观测对象，以P到O点的距离r为半径建立球面。已知星系P受到的万有引力相当于球内质量集中于O点对P的引力，质量均匀分布的球壳对壳内质点万有引力的合力为零，引力常量为G。 (1)设星系P到O点的距离为时，宇宙的密度为。 a．求此时星系P受到的引力大小。 b．请推导宇宙膨胀过程中星系P受到的引力大小随距离r变化的关系式。 (2)根据最新天文观测，科学家推测星系不仅受引力作用，而且受到斥力影响，斥力作用来源于“暗能量”。我们将其简化如下：科学家所说的“暗能量”是一种均匀分布在整个宇宙空间中的能量，它具有恒定的能量密度（单位体积内所含的能量），且不随宇宙的膨胀而变化，暗能量会产生等效的“排斥力”。某同学对此“排斥力”做了如下猜想：其作用效果可视为球面内某种密度均匀且恒为的“未知物质”产生与万有引力方向相反的排斥力，排斥力的大小与万有引力大小的规律相似，“排斥力常量”为。请基于上述简化模型和猜想，推导宇宙膨胀过程星系P受到的斥力大小随距离r变化的关系式。 (3)根据（1）（2）中的简化模型和猜想，星系P同时受到引力与斥力的作用。 a．以星系P受到斥力的方向为正方向，在图2中定性画出合力F随距离r变化的图线。 b．若某时测得星系P在做远离O点的加速度减小的减速运动，推测此后P可能的运动情况。 【答案】(1)a．，b． (2) (3)见解析 【详解】（1）a．由题可知，球体内包含的质量大小为 根据万有引力定律可得，星系P受到引力的大小为 b．宇宙膨胀过程中星系P受到的引力大小 结合 解得随距离r变化的关系式 （2）当P到O的距离为r时，球体内包含的“未知物质”的质量为 星系P受到的斥力为 （3）a．根据上述分析可知，， 故其大致图像如下 b．此后P的运动情况可能为：P做远离O点的加速度增加的加速运动；P做靠近O点的加速度增加的加速运动；P处于静止状态。 6．（2025·北京西城·二模）物理模型对于研究有重要意义，研究中要根据解决问题的需要对模型进行改进和优化，以提高其可靠性和实用性。已知地球质量为M，可视为质量均匀分布的半径为R的球体，引力常量为G，不考虑地球自转。 (1)在地球表面将物体以初速度竖直上抛 a．若忽略万有引力的变化，物体上升过程的图像如图1所示。求重力加速度的大小g及物体上升到最高点所用的时间。 b．若考虑万有引力的变化，在图1中定性画出物体上升阶段的图像，标出物体上升到最高点的时间， (2)在地球赤道表面向北极发射洲际导弹 a．若忽略万有引力大小的变化，某同学提出将导弹的运动分解为绕地心的匀速圆周运动与垂直地球表面的匀变速直线运动。若导弹发射速度的大小为，方向与地面的夹角为，如图2所示。推导导弹距地面的高度h随运动时间t变化的关系式。 b．若考虑万有引力的变化，导弹仅在地球引力作用下的运动轨迹是椭圆，地心O为椭圆的一个焦点，如图3所示。已知取无穷远处的引力势能为0，质量为m的物体在距地心为处的引力势能，该物体在地球引力作用下做椭圆运动时，其机械能E（动能与引力势能之和）与椭圆半长轴a的关系为，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为2a。求发射导弹到北极的最小速度。 【答案】(1), (2), 【详解】（1）a．设物体的质量为m由 解得 物体上升到最高点所用的时间 b．若考虑万有引力的变化，随着高度的增加，万有引力逐渐减小，故物体的加速度逐渐减小，反映在图像中，图像的斜率逐渐减小，上升到最高点的时间增大，其图像如下 （2）a．导弹绕地心的做匀速圆周运动的线速度为 则圆周运动的向心加速度 设导弹垂直地球表面做匀变速直线运动的加速度大小为，则有     解得 导弹垂直于地球表面做匀变速直线运动初速度为，由匀变速直线运动公式得 b．导弹发射速度最小时，导弹的机械能最小，由题意可知，椭圆轨道的半长轴a最小，则另一焦点的位置如图所示。 根据几何关系 导弹的机械能为 联立解得 7．（2025·北京东城·二模）开普勒三定律是描述行星运动的基本规律。 开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。 开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。 这三条规律也适用于卫星绕行星的运动。 (1)一个质量为的探测器绕某行星做匀速圆周运动，轨道半径为，如图甲所示。行星的质量为，引力常量为。行星和探测器均视为质点。 a.设探测器做匀速圆周运动的周期为，求的表达式； b.探测器在极短的时间内沿运动方向喷射高温气体减速制动，其运动轨迹变为椭圆，如图乙中的轨道I所示；若制动后的速度越小，则椭圆越扁，椭圆轨道的长轴越短，如图乙中的轨道II所示。假设探测器在极短的时间内减速到v，v趋近于零。请结合开普勒第二定律，分析并计算探测器的“近点”到行星的距离； c.假设探测器在极短的时间内制动减速至零，其在万有引力的作用下向行星做变加速直线运动，如图丙所示。请结合开普勒第三定律，求探测器到达行星所用的时间。 (2)真空中固定着一带正电的点电荷，所带电荷量为，距离为处有一质量为、带电量为的点电荷，该电荷由静止释放，如图丁所示。静电力常量为。库仑力与万有引力都与距离的平方成反比，结合运动与相互作用观，类比（1），求带电量为的点电荷仅在静电力的作用下到达所用的时间。不计带电量为的点电荷运动过程中的电磁辐射。 【答案】(1)a.   b.   c. (2) 【详解】（1）a.万有引力提供向心力，有 解得 b.设近P点的速度为，根据开普勒第二定律 由于v趋于零，探测器从远P点到近P点的过程中，万有引力对探测器做正功，所以d趋于零。 c.因制动后探测器做更扁的椭圆轨道，若减速至零时，可认为做长轴为r、短轴为零的无限扁椭圆轨道，其周期为。由开普勒第三定律，得 因为 联立解得 （2）万有引力、库仑力均与距离r的平方成反比，结合运动与相互作用观，图丙中的m与图丁中的-q两者的运动也具有相似性，设电荷-q在距离Q为处做匀速圆周运动时，周期为，则有 荷-q由静止释放可认为做无限扁的椭圆运动，长轴，设其周期为。 类比天体运动中的开普勒第三定律，有 且 综上可得 8．（2025·北京丰台·二模）太空电梯是人类设想的一种通向太空的设备，如图所示，在地球赤道上利用超轻超高强度材料建设直通高空的电梯，可以将卫星从地面运送到太空。已知地球质量为M，半径为R，自转角速度为ω，引力常量为G，质量为与的两个质点若相距无穷远时势能为零，则相距为r时的引力势能为。 (1)求地球同步卫星的轨道半径； (2)利用太空电梯将一质量为m、静止在地球表面的卫星运送到同步卫星轨道，使其成为一颗同步卫星。写出上述过程卫星机械能变化量的表达式（同步卫星的轨道半径可直接用表示，结果不用化简）； (3)已知在距离地心约为处，将卫星相对电梯静止释放，卫星恰好不能撞击到地面。若在距离地心至高度范围内，将卫星从不同位置处相对电梯静止释放，请写出释放后卫星与地心间距离如何变化。 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）同步卫星的角速度与地球自转角速度相等，则有 解得 （2）动能的变化量 势能的变化量 机械能的变化量 结合上述有 即有 解得 上述表达式也可为， （3）情况1：从到释放，卫星与地心的距离先减小后增大； 情况2：在释放，卫星与地心的距离保持不变； 情况3：从到释放，卫星与地心的距离先增大后减小； 情况4：从到释放，卫星与地心的距离一直增大。 其中，当时，卫星脱离地球束缚，联立同步卫星的动力学方程： 解得 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 曲线运动 平抛运动和斜抛运动 一、单选题 1．（2024·北京海淀·二模）如图所示，一个沙漏沿水平方向以速度v做匀速直线运动，沿途连续漏出沙子，单位时间内漏出的沙子质量恒定为Q，出沙口距水平地面的高度为H。忽略沙子漏出瞬间相对沙漏的初速度，沙子落到地面后立即停止，不计空气阻力，已知重力加速度为g，在已有沙子落地后的任意时刻，下列说法正确的是（　　） A．每粒沙子在空中的轨迹是一条抛物线 B．若将沙漏以速度v水平抛出，漏出的沙子在空中形成的几何图形是一条竖直直线 C．每粒沙子从漏出开始计时，t时刻与地面间的高度 D．若沙漏内的沙子在t时间内落完，则地面上沙子的长度大于 2．（2025·北京朝阳·二模）如图所示，某同学以大小为的初速度将铅球从P点斜向上抛出，到达Q点时铅球速度沿水平方向。已知P、Q连线与水平方向的夹角为，P、Q间的距离为。不计空气阻力，铅球可视为质点，质量为m，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．铅球从P点运动到Q点所用的时间为 B．铅球从P点运动到Q点重力做的功为 C．铅球从P点运动到Q点动量的变化为 D．铅球到达Q点的速度大小为 二、解答题 3．（2025·北京东城·二模）如图所示，长为的细线，一端系有质量为的小球，另一端通过光滑的轻质小圆环套在点的钉子上，小球在高为的光滑水平桌面上做匀速圆周运动。若小球的速度缓慢增大，当细线的拉力达到时，细线断裂，小球垂直桌面边缘抛出。重力加速度为，不计空气阻力。 (1)小球从水平桌面上抛出时的速度大小； (2)小球落地点到桌面边缘的水平距离； (3)小球落地时的动能。 圆周运动 一、单选题 1．（2025·北京海淀·二模）如图1所示，“冰坑挑战”需要挑战者先进入一个坡面与水平面夹角为、半径为R的倒圆锥型冰坑，然后尝试从其中离开。方式甲——挑战者沿着如图2甲所示坡面向上走或爬的方式，很难离开冰坑，通常还是会滑回坑底。方式乙——挑战者沿着如图2乙所示的螺旋线方式跑动多圈后，最终可以成功离开冰坑。已知挑战者的质量为m，其与冰面的动摩擦因数为，重力加速度为g。为了讨论方便，假定滑动摩擦力与最大静摩擦力大小相等；方式乙中人的跑动半径r缓慢增大，每一圈的轨迹都可近似为与水平地面平行的圆。下列说法正确的是（    ） A．在方式甲中，一定满足关系式 B．在方式甲和方式乙中，挑战者受到的最大静摩擦力大小不同 C．在方式乙中，可利用求得每圈的最小速度 D．在方式乙中，挑战者离开冰坑做的功至少为 2．（2025·北京海淀·二模）某同学用如图所示的实验装置测量当地的重力加速度。不可伸长的轻绳一端固定于A点，另一端系一小球，使其在水平面内绕O点做匀速圆周运动，已测出小球转过n圈所用的时间t。下列说法正确的是（    ） A．为达成实验目的，仅需再测量小球做圆周运动的半径 B．为达成实验目的，仅需再测量轻绳的绳长 C．为达成实验目的，仅需再测量A点到O点的竖直高度 D．若误将圈记作n圈，则重力加速度的测量值偏小 3．（2025·北京西城·二模）如图所示，长为l的细绳上端悬于P点，下端拴一个质量为m的小球。小球在水平面内做匀速圆周运动，细绳与竖直方向的夹角为，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．细绳的拉力大小等于 B．小球的向心加速度等于 C．小球转动一周，绳拉力的冲量等于0 D．小球转动一周，重力的冲量等于 二、解答题 4．（2025·北京丰台·二模）如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的粗糙半圆形导轨BC在B点相接，导轨半径为R。一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧时速度为，沿半圆形导轨到达C点时速度为，此后平抛落地（落地点未画出）。不计空气阻力，重力加速度为g。求： (1)弹簧压缩至A点时的弹性势能； (2)物体在C点时受到的导轨给它的弹力； (3)物体从C点平抛落地过程中重力的冲量大小I。 万有引力定律 一、单选题 1．（2025·北京东城·二模）质量为的物块静止放置于地球赤道某处的水平桌面上。已知地球质量为，半径为，自转周期为，引力常量为。若考虑地球自转，将地球视为质量均匀分布的球体，则物块对桌面的压力大小等于（　　） A． B． C． D． 2．（2025·北京昌平·二模）2025年3月26日，我国在西昌卫星发射中心成功将“天链二号04星”发射升空，该星是地球同步轨道数据中继卫星。已知“天链二号04星”的轨道半径约为地球半径的6倍，某卫星在近地圆轨道运行时周期为。则“天链二号04星”的周期约为（　　） A． B． C． D． 二、解答题 3．（2025·北京昌平·二模）随着航空航天科技的发展，人类有能力开展深空探测，逐渐揭开宇宙的奥秘。 (1)探测器绕某星球沿圆轨道匀速率运行时，测得轨道半径的三次方与周期的二次方的比值为k。已知引力常量为G。求该星球的质量M。 (2)太空中的探测器通过小型等离子推进器获得推力。在推进器中，从电极发射出的电子撞击氙原子使之电离，氙离子在加速电场的作用下，从探测器尾部高速喷出，产生推力。已知探测器（含推进器和氙离子）的初始质量为，每个氙离子的质量为m，电荷量为q，加速电压为U，等离子体推进器单位时间内喷出的离子数为n。不计其它星球对探测器的作用力和离子间的相互作用。取刚向外喷出离子的时刻为初始时刻（），求探测器的加速度大小a随时间t的变化规律。 (3)深空探测器常借助行星的“引力弹弓效应”实现加速。设质量为的探测器以相对太阳的速率飞向质量为的行星，行星相对太阳的轨道速率为，方向与相反。探测器从行星旁绕过（如图所示），忽略太阳引力及行星自转的影响，探测器远离行星后相对太阳的速率为，方向与相反；行星运动方向不变。已知，各速度在极远处可视为平行；探测器与行星间的相互作用可视为短暂弹性碰撞。 ①推导的表达式（用表示）； ②简要说明“引力弹弓效应”能使探测器明显加速的原因。 4．（2025·北京朝阳·二模）开普勒行星运动定律内容如下： ①所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上； ②对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等； ③所有行星轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。 科研人员设想一种在太空中发射太空探测器的方案：卫星携带一探测器在半径为的圆轨道上绕地球做匀速圆周运动，运动周期为。在轨道上某点启动辅助动力装置短暂工作（工作时消耗的气体质量忽略不计），将探测器沿运动方向射出，探测器恰好能完全脱离地球引力的束缚，而卫星沿原方向绕地球做椭圆运动。已知质量分别为、的两个质点相距为r时的引力势能为，其中G为引力常量。不计其他天体的作用。 (1)求卫星和探测器绕圆轨道运动的线速度大小； (2)求发射后瞬间探测器的速度大小； (3)小华认为，若给定卫星与探测器的质量之比，则可求得发射探测器后卫星沿椭圆轨道运动的周期。请你分析说明她的观点是否正确，写出关键方程。 5．（2025·北京海淀·二模）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。如图1所示，以某一点O为观测点，以质量为m的星系P为观测对象，以P到O点的距离r为半径建立球面。已知星系P受到的万有引力相当于球内质量集中于O点对P的引力，质量均匀分布的球壳对壳内质点万有引力的合力为零，引力常量为G。 (1)设星系P到O点的距离为时，宇宙的密度为。 a．求此时星系P受到的引力大小。 b．请推导宇宙膨胀过程中星系P受到的引力大小随距离r变化的关系式。 (2)根据最新天文观测，科学家推测星系不仅受引力作用，而且受到斥力影响，斥力作用来源于“暗能量”。我们将其简化如下：科学家所说的“暗能量”是一种均匀分布在整个宇宙空间中的能量，它具有恒定的能量密度（单位体积内所含的能量），且不随宇宙的膨胀而变化，暗能量会产生等效的“排斥力”。某同学对此“排斥力”做了如下猜想：其作用效果可视为球面内某种密度均匀且恒为的“未知物质”产生与万有引力方向相反的排斥力，排斥力的大小与万有引力大小的规律相似，“排斥力常量”为。请基于上述简化模型和猜想，推导宇宙膨胀过程星系P受到的斥力大小随距离r变化的关系式。 (3)根据（1）（2）中的简化模型和猜想，星系P同时受到引力与斥力的作用。 a．以星系P受到斥力的方向为正方向，在图2中定性画出合力F随距离r变化的图线。 b．若某时测得星系P在做远离O点的加速度减小的减速运动，推测此后P可能的运动情况。 6．（2025·北京西城·二模）物理模型对于研究有重要意义，研究中要根据解决问题的需要对模型进行改进和优化，以提高其可靠性和实用性。已知地球质量为M，可视为质量均匀分布的半径为R的球体，引力常量为G，不考虑地球自转。 (1)在地球表面将物体以初速度竖直上抛 a．若忽略万有引力的变化，物体上升过程的图像如图1所示。求重力加速度的大小g及物体上升到最高点所用的时间。 b．若考虑万有引力的变化，在图1中定性画出物体上升阶段的图像，标出物体上升到最高点的时间， (2)在地球赤道表面向北极发射洲际导弹 a．若忽略万有引力大小的变化，某同学提出将导弹的运动分解为绕地心的匀速圆周运动与垂直地球表面的匀变速直线运动。若导弹发射速度的大小为，方向与地面的夹角为，如图2所示。推导导弹距地面的高度h随运动时间t变化的关系式。 b．若考虑万有引力的变化，导弹仅在地球引力作用下的运动轨迹是椭圆，地心O为椭圆的一个焦点，如图3所示。已知取无穷远处的引力势能为0，质量为m的物体在距地心为处的引力势能，该物体在地球引力作用下做椭圆运动时，其机械能E（动能与引力势能之和）与椭圆半长轴a的关系为，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为2a。求发射导弹到北极的最小速度。 7．（2025·北京东城·二模）开普勒三定律是描述行星运动的基本规律。 开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。 开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。 这三条规律也适用于卫星绕行星的运动。 (1)一个质量为的探测器绕某行星做匀速圆周运动，轨道半径为，如图甲所示。行星的质量为，引力常量为。行星和探测器均视为质点。 a.设探测器做匀速圆周运动的周期为，求的表达式； b.探测器在极短的时间内沿运动方向喷射高温气体减速制动，其运动轨迹变为椭圆，如图乙中的轨道I所示；若制动后的速度越小，则椭圆越扁，椭圆轨道的长轴越短，如图乙中的轨道II所示。假设探测器在极短的时间内减速到v，v趋近于零。请结合开普勒第二定律，分析并计算探测器的“近点”到行星的距离； c.假设探测器在极短的时间内制动减速至零，其在万有引力的作用下向行星做变加速直线运动，如图丙所示。请结合开普勒第三定律，求探测器到达行星所用的时间。 (2)真空中固定着一带正电的点电荷，所带电荷量为，距离为处有一质量为、带电量为的点电荷，该电荷由静止释放，如图丁所示。静电力常量为。库仑力与万有引力都与距离的平方成反比，结合运动与相互作用观，类比（1），求带电量为的点电荷仅在静电力的作用下到达所用的时间。不计带电量为的点电荷运动过程中的电磁辐射。 8．（2025·北京丰台·二模）太空电梯是人类设想的一种通向太空的设备，如图所示，在地球赤道上利用超轻超高强度材料建设直通高空的电梯，可以将卫星从地面运送到太空。已知地球质量为M，半径为R，自转角速度为ω，引力常量为G，质量为与的两个质点若相距无穷远时势能为零，则相距为r时的引力势能为。 (1)求地球同步卫星的轨道半径； (2)利用太空电梯将一质量为m、静止在地球表面的卫星运送到同步卫星轨道，使其成为一颗同步卫星。写出上述过程卫星机械能变化量的表达式（同步卫星的轨道半径可直接用表示，结果不用化简）； (3)已知在距离地心约为处，将卫星相对电梯静止释放，卫星恰好不能撞击到地面。若在距离地心至高度范围内，将卫星从不同位置处相对电梯静止释放，请写出释放后卫星与地心间距离如何变化。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$