第1章 有理数（章节培优复习）知识梳理+22个高频考点讲练+中考真题演练+优选题拔尖练 共86题小升初暑假衔接讲练-2025-2026学年人教版数学七年级上册

第1章 有理数 （知识梳理+22个高频考点讲练+中考真题演练+优选题拔尖练 共86题） 讲义简介 内容分析 2 重点难点 知识梳理 2 知识点梳理01：正数和负数 2 知识点梳理02：有理数的概念及分类 2 知识点梳理03：数轴 3 知识点梳理04：相反数 4 知识点梳理05：绝对值 4 高频易错 考点讲练 5 考点讲练01：正负数的定义 5 考点讲练02：相反意义的量 7 考点讲练03：正负数的实际应用 8 考点讲练04：有理数的定义 11 考点讲练05：0的意义 13 考点讲练06：有理数的分类 15 考点讲练07：带“非”字的有理数 17 考点讲练08：数轴的三要素及其画法 19 考点讲练09：用数轴上的点表示有理数 22 考点讲练10：利用数轴比较有理数的大小 25 考点讲练11：数轴上两点之间的距离 27 考点讲练12：数轴上点的平移(动点问题) 30 考点讲练13：数轴上整点覆盖问题 32 考点讲练14：数轴上的规律探究 33 考点讲练15：相反数的定义 35 考点讲练16：化简多重符号 37 考点讲练17：相反数的应用 39 考点讲练18：绝对值的几何意义 42 考点讲练19：求一个数的绝对值 45 考点讲练20：绝对值非负性 46 考点讲练21：绝对值的其他应用 51 考点讲练22：有理数大小比较 55 中考真题 实战演练 56 优选题型 拔尖训练 58 同学你好！该份讲义用于暑假学习。复习新教材七年级上册第一章核心知识点，讲义内容包含知识汇总梳理；重点难点考点分类讲练；中考真题实战演练5题，优选真题拔高练15题等四大部分。讲义排版精美，难度由浅入深，从生活实际内容学起，提升学习兴趣。考点划分详尽，题目优选近两年各地名校模拟题，真题等常考、易错类题型，解析版思路清晰，解题过程完整，技巧性强。讲义适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，过得愉快！ 知识点梳理01：正数和负数 1．用正负数表示相反意义的量： 我们把一种意义的量规定为正的，把另一种与它具有相反意义的量规定为负的，分别用正数和负数表示，给数字前面加上正号表示正数，加上负号表示负数． 2．正数：像30、+6、、这样的数叫做正数，正数都大于零； 3．负数：在正数前面加上“”号的数叫做负数，比如：、、、． 【注】①表示正数时，“+”号可以省略，但表示负数时，“”号一定不能省略；②数0既不是正数也不是负数． 知识点梳理02：有理数的概念及分类 1．有理数：整数与分数统称为有理数． 2．有理数的分类： （1）有理数按性质分类： （2）有理数按符号分类： （3）小数的分类 【注】注意以下几个概念的区分： 非负数：正数和零；非正数：负数和零； 非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零； 非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零． 知识点梳理03：数轴 1．数轴：数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 【注】原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素； ①原点：表示数0的点； ②正方向：数字从小到大排列的方向，一般规定向右为正方向； ③单位长度：人为规定的代表“1”的线段的长度. 2．数轴的画法 （1）画一条水平直线； （2）在这条直线上取一点作为原点； （3）一般用箭头表示正方向； （4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方． 【例】一个标准的数轴： 【注】画数轴的常见错误： ①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度； ②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样； ③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱． 一些错误的数轴示例： 错误类型 错误示例 三要素缺失 单位长度不统一 方向不统一 3．数轴与有理数的关系 ①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示； 但数轴上的点不一定代表有理数，比如． ②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大； ③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数． 4．数轴与数学思想 ①数形结合思想：数轴形象地反映了数和点之间的对应关系； ②分类讨论思想：数轴表现了有理数的一种分类方法，即分成正数、负数和零． 知识点梳理04：相反数 1．相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．特别地，0的相反数是0． 【例】与互为相反数；是的相反数； 【注】相反数必须成对出现，单独一个数不能说是相反数.“是相反数”是错误的. 2．相反数的性质： （1）代数性质：若a与b互为相反数，则a+b=0；反之，若，则a与b互为相反数． （2）几何性质：一对相反数在数轴上对应的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，即这两点是关于原点对称的． 3．倒数：乘积为的两个有理数互为倒数． 【例】2与，与，与． 4．负倒数：乘积为的两个有理数互为负倒数． 【例】2与，与，与． 【注】①0没有倒数，也没有负倒数；②倒数是它的本身的数1或-1． 知识点梳理05：绝对值 1．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 2．绝对值运算：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 3．绝对值的性质： （1）非负性：； （2）双解性：若，则或． 【注】如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0． 例如，若，则，，． 4．绝对值的拓展 （1）若，则；若，则． （2）． （3）． 考点讲练01：正负数的定义 【典例精讲】（21-22七年级上·河南南阳·期末）聪聪和慧慧为了合理计划自己的开支，每天坚持记录自己当天的收支情况如下表，是她们上周各天收支情况（记收入为正，单位：元） 一 二 三 四 五 六 日 结余 聪聪 10 －5.20 0 －4.80 5 －3 －2 慧慧 8 0 0 －6 －1 0 0 根据上表回答下列问题： (1)分别说出聪聪这一行中10，0，－2各数的实际意义． (2)把上表补充完整． 【答案】(1)见解析 (2)-4，1 【思路引导】（1）10意义是收入10元，0意义是收支平衡，-2意义是支出了2元． （2）先计算聪聪本周日的收支数等于本周的结余数-2减去周一到周六的收支总和，结果为-4，慧慧本周的结余数等于本周一到周日的收支总和，结果为1，然后填入下表． 【规范解答】（1）10是收入10元，0是收支平衡，-2是支出了2元． （2）聪聪周日的收支情况为：-2-（10-5.20+0-4.80+5-3）=-2-2=-4， 慧慧本周的结余情况为：8+0+0-6-1+0+0=1， 根据计算完成下表 一 二 三 四 五 六 日 结余 聪聪 10 －5.20 0 －4.80 5 －3 -4 －2 慧慧 8 0 0 －6 －1 0 0 1 【考点剖析】本题考查了有理数加减的应用，解决问题的关键是清楚知道收支的正负，熟练进行有理数的加减运算．（1）按收入为正，支出为负回答．（2）先计算出聪聪本周日的收支数据，慧慧本周的结余数据，而后填表． 【演练1】（20-21七年级上·河北沧州·期末）如图所示的是图纸上一个零件的标注，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（　　） A．29.8mm B．30.03mm C．30.02mm D．29.98mm 【答案】A 【思路引导】依据正负数的意义求得零件直径的合格范围，然后找出不符要求的选项即可． 【规范解答】解：∵30+0.03=30.03，30-0.02=29.98， ∴零件的直径的合格范围是：29.98mm≤零件的直径≤30.03mm． ∵29.8mm不在该范围之内， ∴不合格的是A． 故选：A． 【考点剖析】本题主要考查的是正数和负数的意义，根据正负数的意义求得零件直径的合格范围是解题的关键． 【演练2】（24-25七年级上·广西防城港·期末）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图，根据刘徽的这种表示法，图①所表示的式子为，则图②所表示的式子为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了正负数的定义，根据图①所表示的式子为，则图②所表示的式子为，即可作答． 【规范解答】解：依题意，图①所表示的式子为， 则图②所表示的式子为， 故选：C 考点讲练02：相反意义的量 【典例精讲】（22-23七年级上·广西钦州·期中）一个物体做左右方向的运动，规定向右运动3米记作米，那么向左运动4米记作（    ） A．米 B．4米 C．米 D．米 【答案】A 【思路引导】根据具有相反意义的量计算即可； 【规范解答】∵规定向右运动3米记作米， ∴向左运动4米记作米； 故选A． 【考点剖析】本题主要考查了具有相反意义的量，准确分析计算是解题的关键． 【演练1】（21-22六年级上·山东东营·期中）下列说法错误的是（    ）． A．0既不是正数，也不是负数 B．零上6摄氏度可以写成＋6℃，也可以写成6℃ C．向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示 【答案】C 【思路引导】根据有理数的概念和性质判断即可． 【规范解答】∵0既不是正数，也不是负数， ∴A正确，不符合题意； ∵零上6摄氏度可以写成＋6℃，也可以写成6℃， ∴B正确，不符合题意； ∵正方向可以自主确定， ∴向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示，是错误的， ∴C不正确，符合题意； 故选C． 【考点剖析】本题考查了有理数的基本概念，熟练掌握有理数的基本概念是解题的关键． 【演练2】（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如果某超市购进大米20袋记作，那售出大米15袋记作（   ） A． B．15 C． D． 【答案】A 【思路引导】根据正负数表示意义相反的量即可求解． 本题考查了正负数的意义，了解正负数是表示意义相反的量即可求解． 【规范解答】解：超市购进大米20袋记作， 售出大米15袋记作， 故选：A 考点讲练03：正负数的实际应用 【典例精讲】（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅度增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“＋”，不足的记为“－”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） (1)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (2)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【答案】(1)小明家的新能源汽车这7天一共行驶了300千米 (2)小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省110.1元 【思路引导】本题主要考查正负数的实际应用及有理数的混合运算， （1）计算出表格中的和再加上7天每天求出总路程即可； （2）利用（1）中的总路程计算总费用即可． 【规范解答】（1）解：（千米）， 答：小明家的新能源汽车这7天一共行驶了300千米． （2）解：（元）， （元）， （元）， 答：小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元． 【演练1】（23-24七年级上·广东湛江·期中）今年杜大伯在自家种植的地里采摘了筐白萝卜，每筐的质量如下表（其中以每筐为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，单位：）．    (1)质量最大的一筐比质量最小的一筐多多少千克？ (2)若每千克白萝卜按元出售，全部卖出一共能卖多少钱？ 【答案】(1)千克； (2)元． 【思路引导】（）分别求出质量最大和最小的一筐的质量，再相减即可； （）利用表格中的数据先计算超出或不足的质量，再加上筐萝卜的标准质量即可求出总质量，再乘以萝卜的单价解答即可； 本题考查了正数与负数，有理数的运算在实际中的应用，理解题意，正确列出算式是解题的关键． 【规范解答】（1）解：最重的一筐超过千克，最轻的差千克， ∴（千克）， 答：最重的一筐比最轻的一筐多重千克； （2）解：（千克） 则筐白萝卜总质量为（千克） ∴全部卖出一共能卖（元）； 答：这筐白萝卜可卖元． 【演练2】（22-23七年级上·河南安阳·阶段练习）每年的4月7日是世界卫生日——（翻译为中文也叫世界健康日），旨在引起世界对卫生、健康工作的关注，提高人们对卫生、健康领域的素质和认识、强调健康对于劳动创造和幸福生活的重要性．为了迎接世界健康日的来临，小明决定以跑步的方式践行“健康人人参与”，小明从家出发，沿着家门口的东西方向道路开始跑步（家到路的距离忽略不计），如果规定向东跑步为正，向西跑步为负，小明七次跑步记录如下（单位：m）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 -400 +700 -900 +800 +600 -500 -200 (1)求跑步结束时小明距离家多远？ (2)在第几次记录时小明距离家最远？ (3)若每千米消耗60千卡的热量，则小明跑步共消耗多少千卡热量? 【答案】(1) (2)第五次 (3)246千卡 【思路引导】（1）将七次跑步记录相加即可； （2）第一次小明距家400米，第一次跑步记录加第二次跑步记录为小明第二次距家的米数，结果加第三次的得数为第三次小明距家的米数，以此类推，然后结果的绝对值作比较即可； （3）将七次跑步记录的绝对值相加，结果变成千米，然后乘60即可． 【规范解答】（1）． 答：跑步结束时小明距离家100米． （2）第一次记录时距离家：（米）； 第二次记录时距离家：（米）； 第三次记录时距离家：（米）； 第四次记录时距离家： （米）； 第五次记录时距离家： （米）； 第六次记录时距离家： （米）； 第七次记录时距离家： （米）． 第五次记录时小明距离家最远． （3）． （千卡）． 答：小明跑步共消耗246千卡热量． 【考点剖析】本题考查正负数和数轴，能够理解正负数的含义解答本题的关键． 考点讲练04：有理数的定义 【典例精讲】（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号里： ，，，7，0，，，，，，，． 正整数集合{    …}， 负整数集合{    …}， 分数集合{    …}， 负有理数数集合{    …}， 正有理数数集合{    …}． 【答案】7；，；，，，，，，； ，，，；，，7，，， 【思路引导】此题考查了有理数分类，根据有理数的概念和分类可完成此题． 【规范解答】解：正整数集合，； 负整数集合，； 分数集合，，，，，，，； 负有理数集合，，，，； 正有理数集合，，7，，，，． 故答案为：7；，；，，，，，，；7，0；，，，；，，7，，，． 【考点剖析】 【演练1】（22-23七年级上·山东德州·期中）把下列各数分别填在相应的横线上： 1，，325，，0，，0.618，． 正数有：__________________________________________________； 负数有：__________________________________________________； 整数有：__________________________________________________； 分数有：__________________________________________________． 【答案】见解析 【思路引导】根据正数，负数，整数，分数的定义逐空解答，正数是大于0的数，负数是正数前带负号的数，正整数、0、负整数统称为整数，正分数与负分数统称为分数． 【规范解答】解：正数：1，，325，0.618； 负数：，，； 整数：1，，325，0，； 分数：，，0.618． 【考点剖析】本题主要考查了正数，负数，整数，分数，解决问题的关键是熟练掌握正数，负数，整数，分数的定义． 【演练2】（21-22七年级上·重庆梁平·期末）把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如： ，我们称之为集合，其中每一个数称为该集合的元素，集合的元素互不相同．如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，2017－x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合．例如，就是一个黄金集合． (1)集合______黄金集合，集合______黄金集合；（填“是”或“不是”） (2)若一个黄金集合中所有元素之和为整数M，且16133＜M＜16137，则该黄金集合中共有多少个元素？请说明你的理由． 【答案】(1)不是，是 (2)该集合共有16个元素．理由见解析 【思路引导】（1）根据定义，有理数2017是集合的元素时，2017－2017＝0也必是这个集合的元素，而0不在集合内，当2017－2018＝−1时可知，-1在集合内，则问题可解； （2）根据题意可知黄金集合都是成对出现的，并且每2个对应元素的和为2017，然后通过估算即可解答本题． 【规范解答】（1）解：根据题意可得，2017−2017=0，而集合{2017}中没有元素0，故{2017}不是黄金集合； ∵2017－2018＝−1， ∴集合是黄金集合． 故答案为：不是，是； （2）解：该集合共有16个元素． 理由：∵在黄金集合中，如果一个元素为a，则另一个元素为2017−a， ∴黄金集合中的元素一定是偶数个． ∵黄金集合中的每2个对应元素的和为：a＋2017－a＝2017，2017×8＝16136，2017×9＝18153， 又∵一个黄金集合所有元素之和为整数M，且16133＜M＜16137， ∴这个黄金集合中的元素个数为：8×2=16(个) ． 【考点剖析】本题在新定义的背景下，考查了有理数、整式的加减以及探究性问题，关键是明确什么是黄金集合，并根据定义解决问题． 考点讲练05：0的意义 【典例精讲】（23-24七年级上·甘肃天水·期中）下列关于0的说法不正确的是（    ） A．0的相反数是0 B．0既不是正数，也不是负数 C．0的绝对值是0 D．0是最小的数 【答案】D 【思路引导】根据相反数的定义可判断A；根据有理数的分类即可判断B．D；根据绝对值的定义即可判断C． 【规范解答】解：A、0的相反数是0，原说法正确，不符合题意； B、0既不是正数，也不是负数，原说法正确，不符合题意； C、0的绝对值是0，原说法正确，不符合题意； D、0不是最小的数，例如负数都比0小，原说法错误，符合题意； 故选D． 【考点剖析】本题主要考查了数字0的意义，熟知数字0的意义是解题的关键． 【演练1】（24-25七年级上·湖南湘西·期中）下列对“0”的说法正确的个数是（    ） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】本题考查了正数和负数，根据0的意义，逐一判断即可解答． 【规范解答】①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正数与负数的分界，故①正确； ②0除了表示 “什么也没有”，还可以表示其他意义，如等，故②错误； ③0可以表示特定的意义，如，故③正确； ④0既不是正数，也不是负数，故④错误， 综上所述：正确的有①③，共2个， 故选：B． 【演练2】（22-23七年级上·青海海东·期中）下列说法正确的是（　　） ①零是整数； ②零是有理数； ③零是自然数； ④零是正数； ⑤零是负数； ⑥零是非负数． A．①②④⑤ B．②③⑤⑥ C．①②③⑥ D．②③④⑤ 【答案】C 【思路引导】根据零既不是正数也不是负数的有理数，即可求解． 【规范解答】解：①零是整数，正确； ②零是有理数，正确； ③零是自然数，正确； ④零不是正数，故原说法错误； ⑤零不是负数，故原说法错误； ⑥零是非负数，正确； 所以正确的有①②③⑥． 故选：C 【考点剖析】本题主要考查了零的意义，熟练掌握零既不是正数也不是负数的有理数是解题的关键． 考点讲练06：有理数的分类 【典例精讲】（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）把下列各数分类： ，，0，，，26． (1)整数：{                                   …}； (2)非负整数：{                                   …}； (3)负数：{                                   …}； (4)分数：{                                   …}； (5)正有理数：{                                   …}． 【答案】(1){0，，26} (2){0，26} (3){，} (4){，，} (5){，，26} 【思路引导】本题考查了有理数的分类及各相关定义．掌握有理数的分类是解决本题的关键． （1）根据整数定义求解即可； （2）根据非负整数定义求解即可； （3）根据负数定义求解即可； （4）根据分数定义求解即可； （5）根据正有理数定义求解即可； 【规范解答】（1）解：整数：{0，，26}； 故答案为：{0，，26}； （2）解：非负整数：{0，26}； 故答案为：{0，26}； （3）解：负数：{，}； 故答案为：{，}； （4）解：分数：{，，}； 故答案为：{，，}； （5）解：正有理数：{，，26}； 故答案为：{，，26}． 【演练1】（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）把下列各数的序号分别填在相应集合中． ①，②，③0，④2024，⑤，⑥，⑦0.03%， ⑧ ， ⑨， ⑩ 负数集合：{______...} 整数集合：{______...} 分数集合：{______...} 非负整数集合：{______...} 【答案】①，⑤，⑥，⑧；①，③，④，⑤，⑥，⑩；②，⑦，⑧；③，④， ⑩ 【思路引导】本题考查了有理数的分类，别根据负数，整数，分数，非负整数的定义进行填空即可． 【规范解答】解：， 负数集合：{①，⑤，⑥，⑧...} 整数集合：{①，③，④，⑤，⑥，⑩...} 分数集合：{②，⑦，⑧...} 非负整数集合：{③，④， ⑩...} 故答案为：①，⑤，⑥，⑧；①，③，④，⑤，⑥，⑩；②，⑦，⑧；③，④， ⑩． 【演练2】（24-25七年级上·贵州毕节·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号里： ，，，，，，（每两个之间增加一个）， （1）正有理数集合：{                    }； （2）整数集合：{                        }； （3）分数集合：{                        }； （4）负数集合：{                        }． 【答案】（），，， ；（），，；（），，， ；（），，（每两个之间增加一个） 【思路引导】本题考查了正有理数、整数、分数、负数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉正有理数、整数、分数、负数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【规范解答】解：（）正有理数集合：{，，， ，}； （）整数集合：{，，，}； （）分数集合：{，，， ，}； （）负数集合：{，，（每两个之间增加一个），}； 故答案为：（），，， ；（），，；（），，， ；（），，（每两个之间增加一个）． 考点讲练07：带“非”字的有理数 【典例精讲】（24-25七年级上·广东潮州·阶段练习）把下列各数填入相应的括号内． ，，，2022，，，0． (1)正分数：｛                  } (2)非负整数：｛                  } (3)负有理数：｛                    } (4)非负数：｛                 } 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的概念是解题关键． （1）根据正分数的定义求解即可得； （2）根据非负整数的定义（包括0和正整数）求解即可得； （3）根据负有理数的定义（小于0的有理数）求解即可得； （4）根据非负数的定义（包括0和正数）求解即可得． 【规范解答】（1）解：正分数：． （2）解：非负整数：． （3）解：负有理数：． （4）解：非负数：． 【演练1】（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）把下列各数填入表示它所在的数集的括号里． ，，0，，，，，， (1)负数集合   (2)正有理数集合 (3)非负整数集合 ． 【答案】(1)，， (2)，， ， (3)0， 【思路引导】此题考查了有理数的分类． （1）根据负数的意义进行解答即可； （2）根据正有理数的意义进行解答即可； （3）非负整数包括正整数和0，据此进行解答即可． 【规范解答】（1）解：，， 负数集合 ，， 故答案为：，，； （2）正有理数集合 ，， ， 故答案为：，， ， （3）非负整数集合0， 故答案为：0， 【演练2】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）把下面的数填入它所属于的集合的大括号内（填序号） ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧． 整数集合：｛__________________________________…｝； 分数集合：｛__________________________________…｝； 非负有理数集合：｛__________________________________…｝． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了整数“包括正整数、负整数和0”、分数“包括正分数和负分数”、有理数的分类，熟练掌握各概念是解题关键．根据整数、分数、非负有理数“包括0和正有理数”的概念即可得． 【规范解答】解：整数集合：； 分数集合：； 非负有理数集合：． 考点讲练08：数轴的三要素及其画法 【典例精讲】（23-24七年级上·广东佛山·期中）一辆货车从货场出发，向东走了千米到达批发部，继续向东走千米到达商场，又向西走了千米到达超市，最后回到货场．    (1)用一个单位长度表示千米，以东为正方向，以货场为原点，画出数轴并在数轴上标明货场，批发部，商场，超市的位置； (2)超市在货场什么方向？距货场多远？ (3)若货车行驶一千米耗油升，那么货车在整个行驶过程中共耗油多少升？ 【答案】(1)数轴见解析 (2)超市在货场西边，距货场有千米的距离． (3)货车在整个行驶过程中共耗油升． 【思路引导】本题考查了数轴的定义，用正数负数表示相反意义的量，有理数的混合运算；理解数轴的意义，根据题意画出数轴是解答本题的关键． （1）画出数轴，取货场为原点，然后根据题意标出批发部，商场，超市的位置； （2）通过观察（1）的数轴，得出超市在货场西边，距货场有千米的距离； （3）先计算货车总共行驶了千米，从而得到总共油耗升． 【规范解答】（1）解：根据题意，画出数轴，取货场为原点，然后根据题意标出批发部为千米，商场为千米，超市为千米的位置，如图所示，规定向右为东． （2）根据观察（1）的数轴， ， 故超市在货场西边，距货场有千米的距离． （3）货车行驶的路程： （千米） 共耗油：（升）． 货车在整个行驶过程中共耗油升． 【演练1】（21-22七年级上·山东菏泽·期中）已知数轴的原点为，如图，点表示，点表示．    (1)该图中数轴是什么图形？________，用字母表示为_________；（提示：图形指的是直线、射线和线段） (2)该图中数轴在原点右边的部分（包括原点）是什么图形？________．用字母表示为_______． (3)该图中数轴上表示不小于且不大于的部分是什么图形？_______用字母表示为_______． (4)到点距离等于的点所表示的数是多少？ 【答案】(1)直线， 或； (2)射线， ； (3)线段，或； (4)或． 【思路引导】（）根据直线概念：是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹.向两个方向无限延伸； （）根据射线概念：直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线，可向一方无限延伸； （）根据线段概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点； （）根据绝对值的概念即可求解． 【规范解答】（1）解：根据概念可知：规定了原点，正方向，单位长度的直线，直线或 故答案为：规定了原点，正方向，单位长度的直线， 或； （2）根据概念可知：射线，， 故答案为：射线， ； （3）根据概念可知：线段，或， 故答案为：线段，或； （4）设这个数为， 由题意得：， 或， 解得：或， ∴到点距离等于的点所表示的数是或． 【考点剖析】此题考查了直线、射线、数轴，解题的关键是要熟知直线、射线、数轴的概念． 【演练2】（21-22七年级上·江苏扬州·期末）已知在数轴上A，B两点对应数分别为﹣2，6． (1)请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B； (2)若同一时间点M从点A出发以1个单位长度/秒的速度在数轴上向右运动，点N从点B出发以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左运动，点P从原点出发以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动． ①若点P向右运动，几秒后点P到点M、点N的距离相等？ ②若点P到A的距离是点P到B的距离的三倍，我们就称点P是【A，B】的三倍点．当点P是【B，A】的三倍点时，求此时P对应的数． 【答案】(1)见解析； (2)①秒或2秒后点P到点M、点N的距离相等，②P对应数-6或0． 【思路引导】（1）画出数轴，找出A、B所对应的点即可； （2）①根据两点间距离表示出MP=2t+2－t=t+2．当点P在点N左侧时，NP=6－5t；当点P在点N左右侧时，NP=5t－6，计算即可； ②根据点P是【B，A】的三倍点，可得PB=3PA．分情况讨论：当点P在A点左侧时，求出点P对应数-6；当点P在A、B之间时，求出点P对应数0，综上可知点P对应数-6或0． 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）解：①MP=2t+2－t=t+2．当点P在点N左侧时，NP=6－5t；当点P在点N左右侧时， NP=5t－6 ∴t+2 =6－5t，得：t=； 或t+2 =5t－6，得：t=2． 即秒或2秒后点P到点M、点N的距离相等， ②∵点P是【B，A】的三倍点， ∴PB=3PA． 当点P在A点左侧时，AB=2PA=8， ∴PA=4，点P对应数-6； 当点P在A、B之间时，AB=4PA=8， ∴PA=2，点P对应数0， 综上可知点P对应数-6或0． 【考点剖析】本题考查数轴，解题的关键是掌握数轴的三要素及画法，数轴上两点之间的距离，注意对于动点问题需要进行分情况讨论． 考点讲练09：用数轴上的点表示有理数 【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）现已知数轴上的点、、、、、分别表示，，，，，，运用数轴解决下面问题．． (1)把各点画在数轴上，并按照从小到大的顺序，用“”号把各数连接起来； (2)直接写出、和、两点之间的距离． 【答案】(1) 见解析， ； (2)、两点之间的距离为，、两点之间的距离为． 【思路引导】本题主要考查了用数轴上的点表示数、利用数轴比较数的大小．解决本题的关键是根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数来比较数轴上各点表示的数的大小． 根据数轴上各点表示的数把点、、、、、分别表示在数轴上； 根据左边的点表示的数小于右边的点表示的数把各数用连接起来即可． 【规范解答】（1）解：把各点表示在数轴上如下图所示， 根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数，可知：； （2）解：， ． 【演练1】（24-25七年级上·浙江湖州·期中）一条数轴上有点、、，点在、之间，其中点、表示的数分别是，12，现在以点为折点，将数轴向右对折，当数轴的左右两侧重合，且（表示点和点的距离，表示点对折后的对应点）时，点表示的数是 ． 【答案】4或0 【思路引导】本题考查了数轴，先根据两点间的距离公式求出点对应点所表示的数，再利用中点公式求出点表示的数． 【规范解答】解：∵， ∴点和点的距离为4， ∴点表示的数为或， 由折叠的性质可知，，即点为线段的中点， 当表示的数为16时，点表示的数为：， 当表示的数为8时，点表示的数为：， 故答案为：4或0． 【演练2】（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 （2）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______． 在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【答案】（）；（）当时，的中点所对应的数为； （） ；当时，存在定值，为． 【思路引导】（）先由非负数的性质求出，进而可得的中点所对应的数； （）求出点表示的数为，点表示的数为，然后根据的中点所对应的数为，得即可； （）依题意可得出对应的数； 由（）可知：点所表示的数为，点表示的数为，再求出点所表示的数为，点所表示的数为，进而求出，，从而得，然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案； 此题主要考查了数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解题的关键． 【规范解答】解：（）， ∴，， ∴，， ∴点对应的数为，点对应的数为 ∴的中点所对应的数为， 故答案为：； （）由题意可得，点表示的数为，点表示的数为， ∴， 解得， 当时，的中点所对应的数为； （）根据题意：五等分点公式点对应的数为， 故答案为：； 由题意，得点表示的数为，点所表示的数为， ∴，， ∴， ∴当时，，不是定值； 当时，，是定值； 当时，，不是定值， ∴当时，存在定值，为． 考点讲练10：利用数轴比较有理数的大小 【典例精讲】（24-25七年级上·吉林长春·期末）先把下列各数在数轴上表示出来，再用“”把它们连接起来． ． 【答案】数轴见解析， 【思路引导】本题考查了数轴和有理数的大小比较，掌握以上知识点是解答本题的关键． 先在数轴上表示出来，再按数轴上表示的数，左边的数总比右边的数小比较即可． 【规范解答】解：，如图所示： ． 【演练1】（24-25七年级上·福建福州·期中）每一条数轴并在数轴上画出表示下列各数的点：把这些数按从小到大用“<”号连接． 【答案】数轴见解析； 【思路引导】本题考查了有理数的大小比较，利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可，掌握有理数大小比较方法是解题的关键． 【规范解答】解：，，， 在数轴上表示为： ． 【演练2】（24-25七年级上·海南海口·期中）有理数：、、3.2、0、2、． (1)在下图所示的数轴上画出表示这6个数的点； (2)把这6个数按从小到大的顺序排列，用“＜”号连接起来； (3)把这6个数分别填入表示它所在的数集的圈里： (4)这6个数中，绝对值等于它的相反数的数有_____． (5)由（1）可知在数轴上表示这6个数的点中，其中两点之间最大距离是多少？（列式计算） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4)、、0、 (5) 【思路引导】此题考查数轴，绝对值，和有理数的分类及比较大小，解题的关键是熟练掌握有理数的相关概念． （1）先在数轴上表示出各个数即可； （2）由（1）的数轴即可得出答案； （3）根据正数、整数及负数的概念进行解答即可； （2）根据相反数的定义和绝对值的定义得出即可； （3）由（1）的数轴上距离最远的两点作差进行计算即可． 【规范解答】（1）解：， 如图所示． （2）由（1）数轴可得：； （3）如图所示． （4）负数和0的绝对值等于它的相反数， 这6个数中，绝对值等于它的相反数的数有、、0、， 故答案为：、、0、； （5）由（1）可知在数轴上表示这6个数的点中，其中两点之间最大距离是， 考点讲练11：数轴上两点之间的距离 【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，数轴上点A、B分别对应数a、b，其中． (1)当时，线段AB的中点对应的数是______；（直接写出结果） (2)若该数轴上另有一点M对应着数m． ①当，且时，求代数式的值； ②当，且时，学生小朋通过演算发现代数式是一个定值． 老师点评：小朋同学的演算发现还不完整！ 请你通过演算解释为什么小朋的演算发现是不完整的． 【答案】(1)3 (2)①；②见解析 【思路引导】本题考查的是数轴上两点间的距离． （1）根据中点公式计算即可得出答案； （2）①先根据“和”得出含a和b的式子并进行整理，将整理后的式子代入后面的代数式计算即可得出答案； ②分两种情况进行讨论，情况1：当时，情况2：当时，分别计算即可得出答案． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：3； （2）解：①由，且， 可得，整理，得， 所以； ②当，且时，需要分两种情形． Ⅰ．当时，， 整理，得； Ⅱ．当时，， 整理，得，此时不是一个定值． 综上，小朋的演算发现并不完整． 【演练1】（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）点、、在数轴上的位置如图所示． (1)点B表示的数是______，点C表示的数是______； (2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点与表示数______的点重合； (3)有理数、在数轴上对应点之间的距离可表示为，如5与2在数轴上所对应的点之间的距离为． ①求的最小值； ②若、两点之间的距离为2024（点在点的左侧），将数轴折叠，使得1对应的点与对应的点重合，此时、两点也重合，求、两点分别表示的数； 【答案】(1)，6 (2)9 (3)①3，①所以点M表示的数为，点N表示的数为1011 【思路引导】本题考查数轴，绝对值，关键是理解数轴上两点距离公式的几何意义． （1）由数轴上点的位置即可得到答案； （2）由题意知数轴在2对应的点处折叠，得到点A与数9表示的点重合； （3）①当x对应的点在3和6对应的点之间，的值最小； ②由题意知数轴在对应的点处折叠，即可得到M和N表示的数． 【规范解答】（1）解∶点表示的数是，点表示的数是6， 故答案为∶； （2）解∶折叠数轴，使数轴上的点和点重合，则数轴在2对应的点处折叠，因此点与数9表示的点重合， 故答案为∶9； （3）解∶①当的值最小值时，对应的点在3和6对应的点之间， 当时，的值最小， 此时， 因此的最小值是3； ②对应的点与对应的点重合， 数轴在对应的点处折叠， 两点之间的距离为2024， 与对应的点的距离是1012， 表示的数是表示的数是． 【演练2】（2024七年级上·全国·专题练习）在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图． 操作一： (1)折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 ___________的点重合． 操作二： (2)折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，解答以下问题： ①表示5的点与在数轴上表示的点重合，求点表示的数． ②若数轴上，两点之间的距离为9（点在点的左侧），且，两点折叠后重合，求，两点表示的数． 【答案】(1)2 (2)①，② 【思路引导】本题考查了数轴的简单应用，解决数轴中的折叠问题，关键是找到折痕经过的数轴上表示的点． （1）根据表示1的点与表示的点重合，可得其中点为原点，则与2重合； （2）根据表示的点与表示3的点重合，可得其中点为表示1的点，再根据互相重合的两个点到中点的距离相等即可求解． 【规范解答】（1）解：表示1的点与表示的点重合， 折痕经过原点， 表示的点与表示2的点重合． 故答案为：2； （2）解：表示的点与表示3的点重合， ， 折痕经过表示1的点， ①， 点表示的数为； ②， ． ，两点表示的数分别为，5.5． 考点讲练12：数轴上点的平移(动点问题) 【典例精讲】（24-25七年级上·广东广州·阶段练习），分别是数轴上两个不同点，所表示的有理数，且，，，两点在数轴上的位置如图所示： (1)试确定数，； (2)若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数； (3)点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，依次操作次后，求点表示的数． 【答案】(1)，； (2)点表示的数为或 (3) 【思路引导】本题主要考查数轴上两点间的距离公式及点的平移性质，根据题意运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据绝对值的定义结合由数轴得出a，b的符号即可得； （2）分以下两种情况：点C在A，B之间、点C在点B右侧，利用两点间距离公式列方程求解； （3）根据平移的性质可知，P点表示的数为，计算即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∵由数轴可知，， ∴；. （2）解：①若C点在B点的右侧，则， ∴， ∴点C表示的数为：， ②若C点在A，B点之间，则， ∴， ∴点C表示的数为：． 综上，C点表示的数为或； （3）解： ． 表示的数为． 【演练1】（24-25七年级上·河南安阳·期中）在数轴上点如图所示，将点在数轴上右移7个单位到达点，则点所表示的数为（   ） A．7 B．2 C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查数轴上点的平移，以及利用数轴表示有理数，根据图像得到点表示的数，再结合题意得到点所表示的数，即可解题． 【规范解答】解：由图知点表示的数为， 将点在数轴上右移7个单位到达点，则点所表示的数为， 故选：B． 【演练2】（24-25七年级上·云南曲靖·期中）数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 【答案】D 【思路引导】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，先得出点B表示的数，再得出点A表示的数即可． 【规范解答】解：由条件可知：点B表示的数是：和1， ∵点A向左移动5个单位后到达点B， ∴点A表示的数是4或6， 故选：D． 考点讲练13：数轴上整点覆盖问题 【典例精讲】（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）若在单位长度的数轴上随意画出一条长的线段，则线段盖住的整数点至少有(    ) A．9个 B．10个 C．100个 D．101个 【答案】C 【思路引导】分类讨论：线段的两端点是整数点，线段的两端点不是整数点，根据线段的长度，可得答案． 【规范解答】解：当线段的两端点是整数点时，一条长的线段，则被线段盖住的整数有个， 当线段的两端点不是整数点时，一条长的线段，则被线段盖住的整数有个， 线段盖住的整数点至少有个 故选：C． 【考点剖析】本题考查了数轴上两点的距离，熟练掌握数轴的定义是解题的关键． 【演练1】（21-22七年级上·湖北武汉·阶段练习）若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 【答案】C 【思路引导】分线段的端点在整点上和不在整点上两种情况讨论，据此得出规律即可解答本题． 【规范解答】解：依题意得：①当线段的端点在整点上时，覆盖11个数； ②当线段的端点不在整点，即在两个整点之间时覆盖10个数． 故选：C． 【考点剖析】本题主要考查了分类讨论思想和数形结合思想的应用，取一个较小的整数，然后画出图形得出规律是解决此题的关键． 【演练2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 【答案】9个，它们对应的数是 【思路引导】本题考查了数轴，是基础题，知道数轴上的点是连续的是解题的关键．根据数轴上的点是连续的特点，写出被墨水盖住的整数即可． 【规范解答】解：根据数轴的特点，到之间的整数有、、、、共5个， 0到之间的整数有1、2、3、4共4个， 所以被墨迹盖住的整数有（个）． 它们对应的数是． 考点讲练14：数轴上的规律探究 【典例精讲】（24-25七年级上·四川泸州·期中）在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”，已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，这样依次得到点、、、，…，．若点在数轴表示的数是，则点在数轴上表示的数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了数轴上的点表示有理数的规律探索，计算出、、、，，这六个点表示的数，找到规律是，2，依次循环，由此即可求解． 【规范解答】解：点在数轴表示的数是，则点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是2，点在数轴表示的数是，……，由此得：三个数，2，依次循环； 而，则点在数轴上表示的数是2； 故答案为：2． 【演练1】（24-25七年级上·广西柳州·期中）如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为，点A落在1的位置．如果将圆在数轴上沿负方向连续滚动，那么落在数轴上的点是点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查数轴上的规律探究，找出圆运动的周期与数轴上的数字的对应关系是解答此题的关键．圆的周长为6个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以6，看余数是几，再确定和谁重合即可解答． 【规范解答】解：由图可知，旋转1周，点B对应的数是0，点C对应的数是，点D对应的数是，点E对应的数是，点F对应的点为，点A对应的点为，继续旋转，点B对应的点为，点C对应的点为，……． ∵ 又∵， ∴数轴上表示的点与圆周上点D重合． 故选C． 【演练2】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2025所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了数字变化规律，有理数与数轴等知识点，由正方形旋转一周后，A、B、C、D分别对应的点为1、2、3、4，可知四次一循环，由此可以确定所对应的点，发现各个顶点在翻转过程中所对应的数字的规律是解此题的关键． 【规范解答】当正方形在转动第一周过程中，即正方形连续翻转了4次， 第一次翻转A对应1， 第二次翻转B对应2， 第三次翻转C对应3， 第四次翻转D对应4， …， ∴四次一个循环， ∵， ∴2025所对应的点是A， 故答案为：A． 考点讲练15：相反数的定义 【典例精讲】（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知关于x的方程与方程的解互为相反数，求k的值． 【答案】 【思路引导】此题主要考查了一元一次方程的解，利用同解方程，可先求出一个方程的解，得出另一个方程的解，再代入第二个含有的方程，从而求出即可． 先将的解求出，然后将的相反数求出后代入另一个方程求出的值． 【规范解答】解：解，得， ∵关于x的方程与方程的解互为相反数， 是方程的解， ∴， 解得：， 答：的值为． 【演练1】（23-24七年级上·陕西渭南·期末）如图，把展开图沿虚线折叠成一个正方体后，相对面上的两数之和都相等，则的相反数是（   ） A．6 B． C． D．8 【答案】B 【思路引导】本题考查正方体展开图的相对面，代数式求值，根据正方体展开图的相对面必定相隔一个小正方形，确定的相对面进而，求出的值，再根据只有符号不同的两个数互为相反数，求值即可． 【规范解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知， “a”与“b”，“6”与“c”，“”与“3”是相对面， ， 即，， ， 的相反数是 故选：B． 【演练2】（23-24七年级上·陕西西安·期末）数轴是解决数学问题的有利工具，利用如图所示的数轴解决下面的问题： (1)点在数轴上表示的数为和中较小的那一个，点表示的数为表示的数的相反数，点对应的数是最小的正整数，请直接在数轴上画标点，点点和点； (2)若点以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度也沿数轴向右运动，设运动时间为秒，则当，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【思路引导】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，一元一次方程的应用，相反数的定义和有理数比较大小： （1）根据，可得点A表示的数为，再由相反数的定义得到点B表示的数为3，再根据最小的正整数为1得到点C表示的数，再在数轴上表示出A、B、C即可； （2）由题意得运动t秒后点A表示的数为，点B表示的数为，根据数轴上两点距离计算公式得到，进而得到方程，解方程即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴点A表示的数为， ∵点表示的数为表示的数的相反数， ∴点B表示的数为3， ∵点对应的数是最小的正整数， ∴点C表示的数为1， 数轴表示如下： （2）解：由题意得运动t秒后点A表示的数为，点B表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得或． 考点讲练16：化简多重符号 【典例精讲】（24-25七年级上·山东菏泽·期中）把下列各数填入相应的括号内： ，，，，，，， 正整数｛ ｝ 负整数｛ ｝ 正分数｛ ｝； 负分数｛ ｝； 非负有理数｛ ｝． 【答案】，；；，；，；，，，， 【思路引导】本题考查了有理数的分类，根据正整数、负整数、正分数、负分数和非负有理数的定义解答即可，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：， 正整数{， }； 负整数{ }； 正分数{， }； 负分数{， }； 非负有理数{，，，，+ }； 故答案为：，；；，；，；，，，，． 【演练1】（24-25七年级上·四川攀枝花·期中）把下列各数填入它所属的集合内： 5.2，0，，，，，， ，，… (1)正数集合：{ …} (2)分数集合：{ …} (3)非负整数集合：{ …} (4)有理数集合：{ …}． 【答案】(1)5.2，，，，， (2)5.2，，， ， (3)0， (4)5.2，0，，，，， ， 【思路引导】本题考查了有理数，关键是掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 利用有理数的定义及分类解答即可． 【规范解答】（1）解：，， 正数集合：{ 5.2，，，，，，…}． （2）分数集合：{ 5.2，，， ，，…}； （3）非负整数集合：{ 0，，…}； （4）有理数集合：{ 5.2，0，，，，， ，， …}； 【演练2】（22-23七年级上·河北保定·期中）已知，b与互为倒数． （1）的值为 ； （2）整式的值为 ． 【答案】 【思路引导】（1）根据多重符号化简，以及互为倒数的两数之积为1，求出的值，再求出的值即可； （2）先合并同类项，再代入的值，进行计算即可． 【规范解答】解：（1）∵， b与互为倒数， ∴， ∴； 故答案为：； （2）原式， 由（1）知：， ∴原式； 故答案为：． 【考点剖析】本题考查代数式求值，以及整式加减中的化简求值．熟练掌握多重符号化简和互为倒数的两数之积为1，是解题的关键． 考点讲练17：相反数的应用 【典例精讲】（22-23七年级上·河北保定·期末）如图是一个无盖的正方体纸盒的平面展开图，已知纸盒中相对两个面上的数互为相反数． (1)填空：______，______； (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)化简结果为：值为 【思路引导】（1）由展开图与纸盒中相对两个面上的数互为相反数可得，计算求解即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可的化简结果，然后将（1）中结果代入求值即可． 【规范解答】（1）解：由题意知，， 解得， ∴； （2）解： 将代入得， ∴化简结果为，值为． 【考点剖析】本题考查了几何图形的平面展开图，相反数，代数式的化简求值等知识．解题的关键在于根据题意得出正确的数量关系式． 【演练1】（22-23七年级上·四川绵阳·期中）已知关于x的方程的解与的解互为相反数，求k的值． 【答案】 【思路引导】分别解出两个方程的解用含k的字母表示，再根据互为相反数列式即可得到答案． 【规范解答】解：由题意得， 解方程得， ， 解方程得， ， ∵两个方程的解互为相反数， ∴ ， 解得． 【考点剖析】本题考查方程的解得问题及参数的求解，解题的关键是分别求出两个方程的解，根据互为相反两个数和为0，列新方程求解． 【演练2】（21-22七年级下·河南南阳·期中）（1）取何值时，代数式与的值互为相反数？ （2）取何值时，关于的方程和的解相同？ 【答案】（1）；（2） 【思路引导】（1）根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值； （2）根据题意列出方程，求出方程的解即可得到k的值． 【规范解答】解：（1）由题意，得， 解得， 答：当时，代数式与的值互为相反数； （2） ， ， ， 解得， 方程和的解相同， 把代入得， 解得， 答：当时，关于的方程和的解相同． 【考点剖析】此题考查解一元一次方程，涉及到相反数的性质，同解方程的概念等知识点，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键． 考点讲练18：绝对值的几何意义 【典例精讲】（24-25七年级上·河南南阳·期中）已知a，b是有理数，若a在数轴上的对应点的位置如图所示，且，下列结论不正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查数轴以及绝对值，熟练掌握数轴是解题的关键．根据题意得到在数轴的位置判断即可． 【规范解答】解： a在数轴上的对应点的位置如图所示，且， 故在数轴上的对应点的位置如图所示， ， ，选项A正确，不符合题意； ，选项B错误，符合题意； ，选项C正确，不符合题意； ，选项D正确，不符合题意；    故选B． 【演练1】（24-25七年级上·北京·期中）已知一组整数，共有n个．从中任意选取两个整数，将这两个整数作差后取绝对值，记为第1次运算．接下来，再从这组整数中选取一个整数，将这个整数与第1次运算的结果作差后取绝对值，记为第2次运算．此后，每次从这组整数中选取的整数都与前次的运算结果作差后取绝对值（其中每个整数都要被选取，且只被选取一次），我们把第次运算的结果称为这组整数的一个“绝对d值”． (1)已知一组整数：5，6，7． ①若第1次运算选取的整数是5，6，则可以得到这组整数的一个“绝对d值”为 ； ②若第1次运算选取的整数是6，7，则可以得到这组整数的一个“绝对d值”为 ； (2)已知一组整数：，2，3，4，则这组整数的最大“绝对d值”为 ，最小“绝对d值”为 ； (3)已知一组三个互不相等的正整数：2，a，b．这组整数的最大“绝对d值”为10，求这组整数的最小“绝对d值”． 【答案】(1)①6，②4 (2)4，0 (3)6 【思路引导】此题考查了绝对值的意义，解题的关键正确理解“绝对d值”的概念． （1）①根据“绝对d值”的定义求解即可； ②根据“绝对d值”的定义求解即可； （2）根据“绝对d值”的定义求解即可； （3）设b为最大正整数，根据题意分情况列出方程求解即可． 【规范解答】（1）①根据题意得，∵第1次运算选取的整数是5，6， ∴， ∴， ∴这组整数的一个“绝对d值”为6； ②根据题意得，∵第1次运算选取的整数是6，7， ∴， ∴， ∴这组整数的一个“绝对d值”为4； （2）∵一组整数：，2，3，4， ∴设选取的数为a，b，c ∴小于等于a，b中最大的一个， ∴小于等于a，b，c中最大的一个， ∴“绝对d值”小于等于，2，3，4中最大的一个 ∴这组整数的最大“绝对d值”为4， ∵“绝对d值”大于等于0 ∴最小“绝对d值”为0； （3）设b为最大正整数， 当时， ， 解得（负数舍去）， 因此，得到最小“绝对d值”为， 当，且a为整数时，， 则，即，则， 因此，得到最小“绝对d值”为． 综上所述， 这组整数的最小“绝对d值”为6． 【演练2】（2024七年级上·全国·专题练习）阅读材料：由绝对值的意义可知：当时，__________；当时，__________．利用这一特性，可以帮助我们解含有绝对值的方程．比如：方程，当时，原方程可化为3，解得；当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． (1)请补全题目中横线上的结论； (2)仿照上面的例题，解方程：； (3)若方程有解，则应满足的条件是__________． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【思路引导】本题考查了含绝对值号的一元一次方程． （1）根据绝对值的定义即可得到结论； （2）仿照例题，根据绝对值的定义解方程即可得到结论； （3）仿照例题，根据绝对值的意义即可得到结论． 【规范解答】（1）解：当时，； 当时，； 故答案为：，； （2）解：原方程化为， 当时，方程可化为， 解得：， 当时，方程可化为， 解得：， 所以原方程的解是或； （3）解：∵方程有解， ∴， 故答案为：． 考点讲练19：求一个数的绝对值 【典例精讲】（24-25七年级上·贵州六盘水·期中）已知一组数据：，0，，，， (1)在数轴上表示出这组数据； (2)用“<”号将这些数连接起来． 【答案】(1)见详解 (2) 【思路引导】本题考查了在数轴上表示有理数，绝对值和相反数，利用数轴比较有理数的大小，熟练掌握基础知识点是解本题的关键． （1）化简后在数轴上确定表示各数的点的位置即可； （2）根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大将这些数用“<”号连接即可． 【规范解答】（1）解：，，， 在数轴上表示如图所示： （2）解：由（1）中数轴图得： ． 【演练1】（24-25七年级上·广东东莞·期中）在数轴上表示下列各数，并用“<”把它们连接起来． 4，，0，． 【答案】数轴表示见详解， 【思路引导】此题主要考查有理数的大小比较和数轴上表示点，解题的关键是熟知有理数在数轴上表示的方法． 首先在数轴上表示各数，然后再根据在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大用“<”把这些数连接起来即可． 【规范解答】解：， 数轴表示为： 由数轴可得：． 【演练2】（24-25七年级上·河北保定·期中）把下列各数填在相应的集合里． ，，，，， 正有理数集合{                     …}； 负有理数集合{                     …}； 整数集合{                     …}． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查有理数的分类，根据有理数的分类方法，正有理数包括正整数和正分数，负有理数包括负整数和负分数，整数包括正整数，负整数和零，进行作答即可． 【规范解答】解： 正有理数集合{，，…} 负有理数集合{，…} 整数集合{0，，，…} 考点讲练20：绝对值非负性 【典例精讲】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，，C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点． (1)若， ①求的长； ②求的长； (2)若，求 的值． 【答案】(1)①，② (2)的值为或2 【思路引导】题目主要考查线段中点的计算，绝对值的非负性，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得出；①利用中点结合图形求解即可；②利用中点结合①中结果求解即可； （2）分两种情况分析：当时，当时，设，结合图形求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得：， ∴， ∴； ①∵D为的中点，E为的中点， ∴， ∴， ②∵F为的中点， ∴， ∴； （2）分两种情况： 当时，如图： 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 当时，如图所示： 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 综上所述，的值为或2． 【演练1】（23-24七年级上·河南信阳·开学考试）点在数轴上所对应的数分别是，其中满足． (1)求的值． (2)数轴上有一点，使得，求点所对应的数． (3)点是的中点，为原点，数轴上有一动点，直接写出的最小值是______；的最小值是______；取最小值时，点对应的数的取值范围是______． 【答案】(1) (2)－8或6 (3) 【思路引导】本题主要考查几个非负数之和为0的问题、线段之和最小、线段之差最大等问题，难点在于需要分类讨论． （1）根据两个非负数之和为0，这两个数都为0，就可以解出x、y； （2）设M点所对应的值为m，再根据等式代入线段长，就可以求出m的值； （3）先确定取最小时，P的范围，再确定取最小值时P的范围，最终确定取最小值时P的取值范围． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴， 解得：． （2）解：设M点的坐标为m， 当时，， 解得：； 当时，，不可能使，不合题意； 当时，， 解得：； ∴使得，点M所对应的数为或6． （3）解：当P在之间时，， 当P在A点左边时，， 当P点在B点右侧时，． 所以，的最小值是8． 因为D点是的中点， 所以D点所对应的数为， 的中点所对应的数为， 当P点为时，， 当P点对应的数小于时，， 并且P点在D点左侧，． 当P点对应的数大于0时，． 所以的最小值为， 只有和都取最小时，才取取最小值， 也就是当时，取最小值． 即取最小时，． 故答案为：8；；． 【演练2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点A、点B是数轴上两点，分别表示数a、数b，且a、b满足． (1)直接写出a、b的值，______，______； (2)点P、点Q分别从点A、点B同时出发，沿数轴向左运动，点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒4个单位长度，经过几秒，点P、点Q所表示的数互为相反数？此时点P、Q相距多少个单位长度？ (3)在（2）的条件下，当点P、点Q所表示的数互为相反数时，另一点C从原点出发向点P运动．在点P、Q、C运动的过程中，当点C遇到点P后，立即返回向点Q运动，遇到点Q后又立即返回向点P运动，如此往返．若点C一直以每秒5个单位长度的速度匀速运动，那么当点P与点Q相距3个单位长度时，点C运动了多少个单位长度？ 【答案】(1) (2)秒， (3)点C运动了11或21个单位长度 【思路引导】本题考查数轴上两点间的距离，动点问题，一元一次方程的应用： （1）利用非负性进行求解即可； （2）设经过秒后，点P、点Q所表示的数互为相反数，列出方程进行求解，再根据两点间的距离公式进行求解即可； （3）求出点与点相据3个单位长度时所用的时间，利用路程等于速度乘以时间进行计算即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）设经过秒后，点P、点Q所表示的数互为相反数， 则由题意，得：， 解得：， ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴； （3）设经过秒后，相距3个单位长度， ①当点在点左边时：， 解得：， ∴此时点C运动了个单位长度； ②当点在点右边时，则：，解得：， 此时点C运动了个单位长度； 综上：点C运动了11或21个单位长度． 考点讲练21：绝对值的其他应用 【典例精讲】（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）为加强锻炼，寒假期间小明每天早晨坚持跑步．已知小明家、小彬家、小红家、学校所在位置在同一条直线上．某天，小明从自己家出发，向东跑了到达小彬家，继续向东跑了到达小红家，然后又向西跑了到达学校，最后又向东，跑回到自己家． (1)若以小明家为原点，向东的方向为正方向，用个单位长度表示，请在如图所示的数轴上，分别用点表示出小彬家，小红家和学校的位置； (2)小彬家与学校之间的距离为_____； (3)如果小明跑步的速度是，那么小明跑步一共用了多长时间？ 【答案】(1)作图见解析； (2)； (3)小时． 【思路引导】（）根据题意画出即可； （）计算即可求出答案； （）求出每个数的绝对值，相加可求小明一共跑了的路程，再根据时间路程速度即可求出答案； 此题考查了数轴、有理数的加减法运算、正数和负数、绝对值等知识的应用，正确理解题意列出算式是解答此题的关键． 【规范解答】（1）如图，根据题意即可， （2）根据数轴上两点间的距离， ， 故答案为：； （3）， （） 答：小明跑步一共用了小时． 【演练1】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）2023年6月21日起，郑州地铁1号线推出“追梦计划”，利用列车“上下班”途中， 提早开站、延时载客，守护每一位乘客早出晚归、披星戴月之路．如图为郑州市地铁1号线地图的一部分，某天，王林同学参加志愿者服务活动，从紫荆山站出发，到从P站出站时，本次志愿者服务活动结束．如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：． (1)通过计算确定P站的具体名称； (2)请说明王林同学本次志愿活动向东最远到哪站？ (3)若相邻两站之间的距离均为1.3千米，求这次王林同学志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程为多少千米？ 【答案】(1)东风南路 (2)博学路 (3)59.8千米 【思路引导】此题主要考查正数和负数以及有理数的加减混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）求出这些数的和，根据和的符号和绝对值判断P站的位置； （2）通过依次计算每相邻两站的代数和，找出最大是数就是济嘉同学本次志愿活动向东最远的站； （3）计算所有站数绝对值的和，再乘以1.2即可． 【规范解答】（1）∵， ∴P站的具体名称是东风南路站； （2）∵， ， ， ， ， ， ， ， ∴本次志愿活动向东最远到博学路站； （3）， 千米． 【演练2】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和的两点A和B之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． (1)①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． (2)若数轴上表示数a的点位于与5之间，求的值是 ； (3)当取最小值时，相应的数a的取值范围是 ； (4)求的最小值是 ． 实际应用： (5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在 ，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： (6)若数a，b满足，求的最小值为 ． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【思路引导】本题主要考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）由两点间距离直接求解即可； （2）根据绝对值的性质化简绝对值，在计算即可； （3）由两点距离的意义进行解得； （4）当时代数式的值最小，即可得到答案； （5）取最中间点即可； （6）在范围内，解方程便可得到答案． 【规范解答】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是； 数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是； （2）解：， ； （3）解：表示数的点与表示数和的点的距离之和， 当位于和之间时，其距离之和最小， 故当取最小值时，相应的数a的取值范围是； （4）解：当时，取最小值， 原式； （5）解：点选在最中间时，距离总和最小， 故答案为：； （6）解： ， 当时， ， ， 数a，b满足，求的最小值为． 考点讲练22：有理数大小比较 【典例精讲】（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）在比较两个有理数的大小时，下列说法正确的是（   ） A．绝对值大的数一定大 B．绝对值大的数反而小 C．如果两个数中有负数，那么绝对值大的数反而小 D．在水平的数轴上，如果规定从原点向右为正方向，那么左边的数一定小于右边的数 【答案】D 【思路引导】本题考查了有理数大小比较，正数和负数，数轴以及绝对值，掌握相关定义是解答本题的关键．分别根据有理数大小比较方法，绝对值的定义以及数轴的定义判断即可． 【规范解答】：A．绝对值大的数不一定大，如，但，故本选项不符合题意； B．绝对值大的数反而小，说法错误，如，，但，故本选项不符合题意； C．如果两个数中有负数，那么绝对值大的数反而小，说法错误，如，，但，故本选项不符合题意； D．在水平的数轴上，如果规定从原点向右为正方向，那么左边的数一定小于右边的数，说法正确，故本选项符合题意． 故选：D． 【演练1】（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）已知，，且，则，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了有理数比较大小、绝对值，根据已知条件可得，即可得出答案． 【规范解答】解：∵，，且， 画数轴如下： ∴， 故选：D． 【演练2】（24-25七年级上·全国·课后作业）先比较下列各式的大小，再回答问题． (1)_____； (2)______； (3)_______； (4)再举出一些类似的比较大小的算式，归纳出当a，b为有理数时，与的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了绝对值的意义，比较有理数的大小，熟练掌握绝对值的意义是解此题的关键． （1）根据绝对值的意义得到，，即可得解； （2）根据绝对值的意义得到，，即可得解； （3）根据绝对值的意义得到，，即可得解； （4）根据前面的结论即可得出答案． 【规范解答】（1）解：，， ∴； （2）解：，， ∴； （3）解：，， ∴； （4）解：例如，，故， 故当a，b为有理数时，与的大小关系为． 【演练1】（2023·江苏徐州·中考真题）如图，数轴上点分别对应实数，下列各式的值最小的是（    ）        A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据数轴可直接进行求解． 【规范解答】解：由数轴可知点C离原点最近，所以在、、、中最小的是； 故选C． 【考点剖析】本题主要考查数轴上实数的表示、有理数的大小比较及绝对值，熟练掌握数轴上有理数的表示、有理数的大小比较及绝对值是解题的关键． 【演练2】（2024·江苏南京·中考真题）比较大小： （填“”“”或“”） 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的大小比较，利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．据此解答即可． 【规范解答】解：∵， ， 又， ∴． 故答案为：． 【演练3】（2025·广东深圳·中考真题）节约水5吨记作吨，则浪费水2吨记作（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】C 【思路引导】本题考查了正数与负数，利用相反意义量的定义判断即可． 【规范解答】解：如果节约用水5吨记作吨，那么浪费水2吨，记作吨， 故选：C． 【演练4】（2022·四川攀枝花·中考真题）实数a、b在数轴．上的对应点位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】利用数轴可知a，b的大小和绝对值，然后判断即可． 【规范解答】解：由数轴知，，，A错误， ，即B正确， ，即C错误， ，即D错误． 故选：B． 【考点剖析】本题考查了数轴，绝对值，实数加减法，实数的大小比较，解题的关键是综合应用以上知识解题． 【演练5】（2021·四川南充·中考真题）数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】由数轴上表示数和的点到原点的距离相等且，可得和互为相反数，由此即可求得m的值． 【规范解答】∵数轴上表示数和的点到原点的距离相等，， ∴和互为相反数， ∴+=0， 解得m=-1． 故选D． 【考点剖析】本题考查了数轴上的点到原点的距离，根据题意确定出和互为相反数是解决问题的关键． 1．（24-25七年级上·北京顺义·期末）下列各数是负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】此题考查负数的定义，化简多重符号，化简绝对值，正确理解负数的定义是解题的关键 【规范解答】解：A.，是正数，不符合题意； B.是负数，符合题意； C.是正数，不符合题意； D.是正数，不符合题意； 故选：B 2．（24-25七年级上·四川巴中·期末）下列各组数中，比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了有理数的大小比较，化简绝对值与多重符号，根据有理数的大小比较法则，逐项分析判断，即可求解． 【规范解答】因为，所以，故A错误； 因为，所以，故B错误； 因为，，而，所以，故C错误． 因为，而，所以，故D正确； 故选：D． 3．（24-25七年级上·四川乐山·期末）有理数、、在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了根据数轴确定代数式的正负，关键根据数轴确定a、b、c的大小关系是解题的关键． 根据数轴上数的位置可得且，然后逐项判断即可 【规范解答】解：根据数轴上数的位置可得且， A． 正确，不符合题意； B． 正确，不符合题意； C． 正确，不符合题意； D． 错误，符合题意． 故选：D． 4．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）实数 满足 ，记代数式 的最大值为 ，最小值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了绝对值的意义，代数式求值，有理数的混合运算．熟练掌握绝对值的意义，代数式求值，有理数的混合运算是解题的关键． 由绝对值的意义可知，当时，的值最小为，当时，的值最小为，由，可得，，当，时，代数式 的值最小，当，时，代数式 的值最大，分别计算，，然后求和作答即可． 【规范解答】解：由绝对值的意义可知，当时，的值最小为， 当时，的值最小为， ∵， ∴，， 当，时，代数式 的值最小，； 当，时，代数式 的值最大，； ∴， 故选：B． 5．（2024·重庆渝中·二模）已知四个整式分别为：，，，；若对这四个整式中的一个添加绝对值符号或多个分别添加绝对值符号（注：绝对值里面无绝对值，即不出现多重绝对值）后再求和称为一次“防御操作”；例如：为一次“防御操作”，为一次“防御操作”等；则以下表述正确的个数是（    ）．　 ①对于任意的实数x，存在某种“防御操作”使得化简结果恒为0； ②对于特殊“防御操作”：的最小值是6； ③共有15种不同的“防御操作”； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【思路引导】本题考查了绝对值，整式的加减运算；熟练掌握去绝对值及其几何意义，读懂防御操作的定义是解题的关键． ①当时，四个整式中不论一个添加绝对值符号或多个分别添加绝对值符号，求和后结果均大于0； ②利用绝对值的几何意义求解即可； ③四个整式中的一个添加绝对值符号或多个分别添加绝对值符号，再求和即可． 【规范解答】①当时，四个整式中不论添加一个或多个绝对值符号，去绝对值后再求和，结果均为，故①错误； ②表示数轴上表示x的点到表示2，1， ，的点的距离之和，所以当 时，的值最小，最小值为6，故②正确； ③共有15种不同的“防御操作”，依次为： ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， 故③正确． 故选C． 6．（24-25七年级上·陕西安康·期末）在有理数中，最小的数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题关键．根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数，负数绝对值大的反而小即可得． 【规范解答】解：有理数的大小关系为， 则在这四个中，最小的数是， 故答案为：． 7．（2024七年级上·云南·专题练习）生活情境·气温变化冬季某天，我国三个城市的最高气温分别是，，，若是在数轴上表示，1，这三个数，通过观察数轴，用“”号将它们从左到右排列为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查利用数轴比较有理数的大小，将，1，这三个数在数轴上表示出来，再结合数轴特点（在数轴左边的数总是小于右边的数）判断，即可解题． 【规范解答】解：，1，这三个数在数轴上如图所示： 由数轴特点可知， 故答案为：． 8．（23-24七年级上·四川成都·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了数轴，有理数的大小比较，正负数，绝对值，判断出，，是解题的关键． 根据数轴得到，，进一步判断出，，再根据绝对值的性质化简即可． 【规范解答】解：由数轴得，，， ，， ， 故答案为： 9．（24-25七年级上·重庆·期中）我们知道，数轴上两个点，它们表示的数分别是，那么两点之间的距离为．如与的距离可表示为，与的距离可表示为． （）的最小值为 ； （）的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】（）由得式子表示到的距离与到的距离之和，可知当在和之间时，距离之和最小，利用两点间距离公式计算即可求解； （）由得式子表示到的距离的倍与到、的距离之和，可知 当在的位置时，距离之和可以取最小值，据此即可求解； 本题考查了数轴上两点间距离，运用数形结合思想解答是解题的关键． 【规范解答】解：（）∵， ∴式子表示到的距离与到的距离之和， 可知当在和之间时，距离之和最小，最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：； （）∵， ∴式子表示到的距离的倍与到、的距离之和， 如图， 可知 当在的位置时，距离之和可以取最小值，最小值为， 即的最小值为， 故答案为：． 10．（23-24七年级上·福建漳州·期中）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”．例如，对于，，进行“差绝对值运算”，得到：． 对，，，进行“差绝对值运算”的结果是； ，，的“差绝对值运算”的最小值是； 当，，时，，，的“差绝对值运算”化简结果是，以上说法中正确的为 ． 【答案】 【思路引导】①根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定； ②根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定； ③首先根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定． 【规范解答】对，，，进行“差绝对值运算”得： ， 故正确； 对，，进行“差绝对值运算”得： ， ∵表示的是数轴上点到和的距离之和， ∴的最小值为， ∴，，的“差绝对值运算”的最小值是：，故不正确； 对，，进行“差绝对值运算”得：， 当，，， ，故正确； 综上正确， 故答案为：． 【考点剖析】此题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，熟练掌握绝对值运算，整式的运算是解题的关键． 11．（24-25七年级上·云南昭通·期末）给出下列各数： (1)在这些数中，分数有______；非负数有______； (2)在数轴上表示这些数，并用“”把它们连接起来． 【答案】(1)； (2)有理数表示在数轴上见详解， 【思路引导】本题主要考查有理数的分类，数轴的特点，掌握有理数的分类，数轴上点表示有理数是解题的关键． （1）根据有理数的分类即可求解； （2）根据数轴上的点表示有理数，再根据数轴的特点从左往后依次增大即可求解． 【规范解答】（1）解：， 分数包括：；非负数包括：； 故答案为：；； （2）解：有理数表示在数轴上如图所示， ∴． 12．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，4． 点A到点C的距离可以用表示，且． (1)应用： ， ； (2)拓展：若点A沿数轴向右以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒时点A表示的数是 ，此时， （用含t的式子表示）； (3)探究：若点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和8个单位长度的速度向左运动，则的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求出的值． 【答案】(1)6；10 (2)；或； (3)当时的值随着时间t的变化而改变；当时，的值不随着时间t的变化而改变，． 【思路引导】此题考查数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离， （1）根据数轴上两点之间的距离公式直接计算即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式直接计算即可； （3）根据两点之间的距离公式分别求出，，即可判断． 【规范解答】（1）解：，， 故答案为：6；10； （2）解：t秒时点A表示的数是， 此时或， 故答案为：；或； （3）解：t秒时点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是， 当点A与点B重合时，，解得， 当时，，， ∴，此时的值随着时间t的变化而改变； 当时，，， ∴，此时的值不随着时间t的变化而改变， 综上，当时的值随着时间t的变化而改变；当时，的值不随着时间t的变化而改变，． 13．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离是____，数轴上表示x和2的两点之间的距离是____； (2)数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为____； (3)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)4， (2)或 (3)有最小值，6 【思路引导】本题考查了数轴，绝对值的性质； （1）根据在数轴上A、B两点之间的距离为即可求解； （2）根据在数轴上A、B两点之间的距离为列方程即可求解； （3）根据绝对值的几何意义，即可得解． 【规范解答】（1）解：数轴上表示和1两点之间的距离是， 数轴上表示x和2的两点之间的距离是， 故答案为：4，； （2）解：∵数轴上表示a和1的两点之间的距离为， ∴或， 故答案为：或． （3）解：∵数轴上表示x和的两点之间的距离是， 数轴上表示x和的两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是， ∴在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到及到4的距离之和， ∴当，即表示有理数x的点在和4之间时，它的最小值为6． 14．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料1：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为． 问题（1）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）． 问题（2）：利用数轴探究：①找出满足的x的所有值是 ，②设，当x的值取在不小于且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是 ；当x的值取在 的范围时，最小值是 ． 材料2：求的最小值． 分析： 根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到3之间（包括、3）的任意一个数，要使的值最小，x应取2，显然当时能同时满足要求，把代入原式计算即可． 问题（3）：利用材料2的方法求出的最小值． 【答案】（1）；（2）①、4；②4；不小于0且不大于2，2；（3）6 【思路引导】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，绝对值化简，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据题意表示出式子即可； （2）①根据题意得到，再由数轴观察求解，即可解题； ②根据当x的值取在不小于且不大于3的范围时，结合绝对值性质化简求解，即可得到p的最小值，同理即可得到x的值取值范围，以及最小值； （3）根据材料2的方法，类比求解，即可解题． 【规范解答】解：（1）根据题意可知A到B的距离与A到C的距离之和可表示为， 故答案为：； （2）①， 由数轴观察可知，满足的x的所有值是、4； 故答案为：、4． ②当x的值取在不小于且不大于3的范围时， 即， 整理得， 所以这个最小值是； 同理，当时 ， 即最小值是； 故答案为：4；不小于0且不大于2；2； （3） 根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到3之间（包括、3）的任意一个数，且最小值是；要使的值最小，x的值只要取到2之间（包括、2）的任意一个数，且最小值是；显然x的值只要取到2之间（包括、2）的任意一个数能同时满足要求，且的最小值为． 15．（24-25七年级上·福建泉州·期中）【知识准备】 若数轴上点对应的数为x，点对应的数为y，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． (1)在一条数轴上，O为原点，点对应的数为5，点对应的数为，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 (2)在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 (3)若数轴上点对应的数为x，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，是否存在使为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)17 (3)当时，，理由见解析 【思路引导】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键． （1）根据中点公式进行求解即可； （2）首先依题意求出点P和点Q所表示的数，然后根据的中点公式得，由此解出t即可； （3）根据题意得出点表示的数为，点表示的数为，然后表示出，再根据绝对值的意义即可得出答案． 【规范解答】（1）解：∵点对应的数为5，点对应的数为， ∴的中点所对应的数为， 故答案为：． （2）解：由题意得，点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， 解得， ∴为17时，的中点所对应的数为10． （3）解：存在，当时，，理由如下： 根据题意，五等分点公式为：，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴， ∴表示数到数10和之间的距离之和， ∴当时，． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 有理数 （知识梳理+22个高频考点讲练+中考真题演练+优选题拔尖练 共86题） 讲义简介 内容分析 2 重点难点 知识梳理 2 知识点梳理01：正数和负数 2 知识点梳理02：有理数的概念及分类 2 知识点梳理03：数轴 3 知识点梳理04：相反数 4 知识点梳理05：绝对值 4 高频易错 考点讲练 5 考点讲练01：正负数的定义 5 考点讲练02：相反意义的量 6 考点讲练03：正负数的实际应用 6 考点讲练04：有理数的定义 8 考点讲练05：0的意义 9 考点讲练06：有理数的分类 9 考点讲练07：带“非”字的有理数 10 考点讲练08：数轴的三要素及其画法 11 考点讲练09：用数轴上的点表示有理数 12 考点讲练10：利用数轴比较有理数的大小 13 考点讲练11：数轴上两点之间的距离 15 考点讲练12：数轴上点的平移(动点问题) 16 考点讲练13：数轴上整点覆盖问题 17 考点讲练14：数轴上的规律探究 17 考点讲练15：相反数的定义 18 考点讲练16：化简多重符号 19 考点讲练17：相反数的应用 20 考点讲练18：绝对值的几何意义 20 考点讲练19：求一个数的绝对值 22 考点讲练20：绝对值非负性 22 考点讲练21：绝对值的其他应用 24 考点讲练22：有理数大小比较 26 中考真题 实战演练 26 优选题型 拔尖训练 27 同学你好！该份讲义用于暑假学习。复习新教材七年级上册第一章核心知识点，讲义内容包含知识汇总梳理；重点难点考点分类讲练；中考真题实战演练5题，优选真题拔高练15题等四大部分。讲义排版精美，难度由浅入深，从生活实际内容学起，提升学习兴趣。考点划分详尽，题目优选近两年各地名校模拟题，真题等常考、易错类题型，解析版思路清晰，解题过程完整，技巧性强。讲义适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，过得愉快！ 知识点梳理01：正数和负数 1．用正负数表示相反意义的量： 我们把一种意义的量规定为正的，把另一种与它具有 的量规定为负的，分别用正数和负数表示，给数字前面加上正号表示 ，加上负号表示 ． 2．正数：像30、+6、、这样的数叫做 ，正数都大于 ； 3．负数：在正数前面加上“”号的数叫做 ，比如：、、、． 【注】①表示正数时，“+”号可以省略，但表示负数时，“”号一定不能省略；② 既不是正数也不是负数． 知识点梳理02：有理数的概念及分类 1．有理数： 与 统称为有理数． 2．有理数的分类： （1）有理数按性质分类： （2）有理数按符号分类： （3）小数的分类 【注】注意以下几个概念的区分： 非负数： ；非正数： ； 非负整数： ；非正整数： ； 非负有理数： ；非正有理数： ． 知识点梳理03：数轴 1．数轴：数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 【注】 、 和 称为数轴的三要素； ①原点：表示数0的点； ②正方向：数字从小到大排列的方向，一般规定向右为正方向； ③单位长度：人为规定的代表“1”的线段的长度. 2．数轴的画法 （1）画一条水平直线； （2）在这条直线上取一点作为原点； （3）一般用箭头表示正方向； （4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方． 【例】一个标准的数轴： 【注】画数轴的常见错误： ①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度； ②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样； ③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱． 一些错误的数轴示例： 错误类型 错误示例 三要素缺失 单位长度不统一 方向不统一 3．数轴与有理数的关系 ①任何一个 均可用数轴上的一个点来表示； 但数轴上的点不一定代表有理数，比如． ②数轴上两个点表示的数， 的总比 的大； ③数轴直观地说明了，正数 零，负数 零，正数 负数． 4．数轴与数学思想 ①数形结合思想：数轴形象地反映了数和点之间的对应关系； ②分类讨论思想：数轴表现了有理数的一种分类方法，即分成正数、负数和零． 知识点梳理04：相反数 1．相反数：如果两个数 ，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．特别地，0的相反数是 ． 【例】与互为相反数；是的相反数； 【注】相反数必须成对出现，单独一个数不能说是相反数.“是相反数”是错误的. 2．相反数的性质： （1）代数性质：若a与b互为相反数，则 ；反之，若，则a与b互为 ． （2）几何性质：一对相反数在数轴上对应的点分别位于原点 ，并且到原点的距离 ，即这两点是关于原点对称的． 3．倒数：乘积为的两个有理数互为 ． 【例】2与，与，与． 4．负倒数：乘积为的两个有理数互为 ． 【例】2与，与，与． 【注】①0没有 ，也没有 ；②倒数是它的本身的数 ． 知识点梳理05：绝对值 1．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的 叫做数a的绝对值，记作． 2．绝对值运算：一个正数的绝对值是 ；一个负数的绝对值是 ；0的绝对值是 ． 3．绝对值的性质： （1）非负性：； （2）双解性：若，则或． 【注】如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都 ． 例如，若，则，，． 4．绝对值的拓展 （1）若，则；若，则． （2）． （3）． 考点讲练01：正负数的定义 【典例精讲】（21-22七年级上·河南南阳·期末）聪聪和慧慧为了合理计划自己的开支，每天坚持记录自己当天的收支情况如下表，是她们上周各天收支情况（记收入为正，单位：元） 一 二 三 四 五 六 日 结余 聪聪 10 －5.20 0 －4.80 5 －3 －2 慧慧 8 0 0 －6 －1 0 0 根据上表回答下列问题： (1)分别说出聪聪这一行中10，0，－2各数的实际意义． (2)把上表补充完整． 【演练1】（20-21七年级上·河北沧州·期末）如图所示的是图纸上一个零件的标注，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（　　） A．29.8mm B．30.03mm C．30.02mm D．29.98mm 【演练2】（24-25七年级上·广西防城港·期末）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图，根据刘徽的这种表示法，图①所表示的式子为，则图②所表示的式子为（   ）． A． B． C． D． 考点讲练02：相反意义的量 【典例精讲】（22-23七年级上·广西钦州·期中）一个物体做左右方向的运动，规定向右运动3米记作米，那么向左运动4米记作（    ） A．米 B．4米 C．米 D．米 【演练1】（21-22六年级上·山东东营·期中）下列说法错误的是（    ）． A．0既不是正数，也不是负数 B．零上6摄氏度可以写成＋6℃，也可以写成6℃ C．向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示 【演练2】（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如果某超市购进大米20袋记作，那售出大米15袋记作（   ） A． B．15 C． D． 考点讲练03：正负数的实际应用 【典例精讲】（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅度增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“＋”，不足的记为“－”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） (1)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (2)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【演练1】（23-24七年级上·广东湛江·期中）今年杜大伯在自家种植的地里采摘了筐白萝卜，每筐的质量如下表（其中以每筐为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，单位：）．    (1)质量最大的一筐比质量最小的一筐多多少千克？ (2)若每千克白萝卜按元出售，全部卖出一共能卖多少钱？ 【演练2】（22-23七年级上·河南安阳·阶段练习）每年的4月7日是世界卫生日——（翻译为中文也叫世界健康日），旨在引起世界对卫生、健康工作的关注，提高人们对卫生、健康领域的素质和认识、强调健康对于劳动创造和幸福生活的重要性．为了迎接世界健康日的来临，小明决定以跑步的方式践行“健康人人参与”，小明从家出发，沿着家门口的东西方向道路开始跑步（家到路的距离忽略不计），如果规定向东跑步为正，向西跑步为负，小明七次跑步记录如下（单位：m）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 -400 +700 -900 +800 +600 -500 -200 (1)求跑步结束时小明距离家多远？ (2)在第几次记录时小明距离家最远？ (3)若每千米消耗60千卡的热量，则小明跑步共消耗多少千卡热量? 考点讲练04：有理数的定义 【典例精讲】（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号里： ，，，7，0，，，，，，，． 正整数集合（ ）， 负整数集合（ ）， 分数集合（ ）， 负有理数数集合（ ）， 正有理数数集合（ ）． 【演练1】（22-23七年级上·山东德州·期中）把下列各数分别填在相应的横线上： 1，，325，，0，，0.618，． 正数有：__________________________________________________； 负数有：__________________________________________________； 整数有：__________________________________________________； 分数有：__________________________________________________． 【演练2】（21-22七年级上·重庆梁平·期末）把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如： ，我们称之为集合，其中每一个数称为该集合的元素，集合的元素互不相同．如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，2017－x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合．例如，就是一个黄金集合． (1)集合______黄金集合，集合______黄金集合；（填“是”或“不是”） (2)若一个黄金集合中所有元素之和为整数M，且16133＜M＜16137，则该黄金集合中共有多少个元素？请说明你的理由． 考点讲练05：0的意义 【典例精讲】（23-24七年级上·甘肃天水·期中）下列关于0的说法不正确的是（    ） A．0的相反数是0 B．0既不是正数，也不是负数 C．0的绝对值是0 D．0是最小的数 【演练1】（24-25七年级上·湖南湘西·期中）下列对“0”的说法正确的个数是（    ） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． A．1 B．2 C．3 D．4 【演练2】（22-23七年级上·青海海东·期中）下列说法正确的是（　　） ①零是整数； ②零是有理数； ③零是自然数； ④零是正数； ⑤零是负数； ⑥零是非负数． A．①②④⑤ B．②③⑤⑥ C．①②③⑥ D．②③④⑤ 考点讲练06：有理数的分类 【典例精讲】（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）把下列各数分类： ，，0，，，26． (1)整数：{                                   }； (2)非负整数：{                                   }； (3)负数：{                                   }； (4)分数：{                                   }； (5)正有理数：{                                   }． 【演练1】（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）把下列各数的序号分别填在相应集合中． ①，②，③0，④2024，⑤，⑥，⑦0.03%， ⑧ ， ⑨， ⑩ 负数集合：{                                   }； 整数集合：{                                   }； 分数集合：{                                   }； 非负整数集合：{                                    【演练2】（24-25七年级上·贵州毕节·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号里： ，，，，，，（每两个之间增加一个）， （1）正有理数集合：{                    }； （2）整数集合：{                        }； （3）分数集合：{                        }； （4）负数集合：{                        }． 考点讲练07：带“非”字的有理数 【典例精讲】（24-25七年级上·广东潮州·阶段练习）把下列各数填入相应的括号内． ，，，2022，，，0． (1)正分数：｛                  } (2)非负整数：｛                  } (3)负有理数：｛                    } (4)非负数：｛                 } 【演练1】（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）把下列各数填入表示它所在的数集的括号里． ，，0，，，，，， (1)负数集合  {                                   }； (2)正有理数集合{                                   }； (3)非负整数集合{                                   }； 【演练2】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）把下面的数填入它所属于的集合的大括号内（填序号） ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧． 整数集合：｛__________________________________｝； 分数集合：｛__________________________________｝； 非负有理数集合：｛__________________________________｝． 考点讲练08：数轴的三要素及其画法 【典例精讲】（23-24七年级上·广东佛山·期中）一辆货车从货场出发，向东走了千米到达批发部，继续向东走千米到达商场，又向西走了千米到达超市，最后回到货场．    (1)用一个单位长度表示千米，以东为正方向，以货场为原点，画出数轴并在数轴上标明货场，批发部，商场，超市的位置； (2)超市在货场什么方向？距货场多远？ (3)若货车行驶一千米耗油升，那么货车在整个行驶过程中共耗油多少升？ 【演练1】（21-22七年级上·山东菏泽·期中）已知数轴的原点为，如图，点表示，点表示．    (1)该图中数轴是什么图形？________，用字母表示为_________；（提示：图形指的是直线、射线和线段） (2)该图中数轴在原点右边的部分（包括原点）是什么图形？________．用字母表示为_______． (3)该图中数轴上表示不小于且不大于的部分是什么图形？_______用字母表示为_______． (4)到点距离等于的点所表示的数是多少？ 【演练2】（21-22七年级上·江苏扬州·期末）已知在数轴上A，B两点对应数分别为﹣2，6． (1)请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B； (2)若同一时间点M从点A出发以1个单位长度/秒的速度在数轴上向右运动，点N从点B出发以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左运动，点P从原点出发以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动． ①若点P向右运动，几秒后点P到点M、点N的距离相等？ ②若点P到A的距离是点P到B的距离的三倍，我们就称点P是【A，B】的三倍点．当点P是【B，A】的三倍点时，求此时P对应的数． 考点讲练09：用数轴上的点表示有理数 【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）现已知数轴上的点、、、、、分别表示，，，，，，运用数轴解决下面问题．． (1)把各点画在数轴上，并按照从小到大的顺序，用“”号把各数连接起来； (2)直接写出、和、两点之间的距离． 【演练1】（24-25七年级上·浙江湖州·期中）一条数轴上有点、、，点在、之间，其中点、表示的数分别是，12，现在以点为折点，将数轴向右对折，当数轴的左右两侧重合，且（表示点和点的距离，表示点对折后的对应点）时，点表示的数是 ． 【演练2】（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 （2）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______． 在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 考点讲练10：利用数轴比较有理数的大小 【典例精讲】（24-25七年级上·吉林长春·期末）先把下列各数在数轴上表示出来，再用“”把它们连接起来． ． 【演练1】（24-25七年级上·福建福州·期中）每一条数轴并在数轴上画出表示下列各数的点：把这些数按从小到大用“<”号连接． 【演练2】（24-25七年级上·海南海口·期中）有理数：、、3.2、0、2、． (1)在下图所示的数轴上画出表示这6个数的点； (2)把这6个数按从小到大的顺序排列，用“＜”号连接起来； (3)把这6个数分别填入表示它所在的数集的圈里： (4)这6个数中，绝对值等于它的相反数的数有_____． (5)由（1）可知在数轴上表示这6个数的点中，其中两点之间最大距离是多少？（列式计算） 考点讲练11：数轴上两点之间的距离 【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，数轴上点A、B分别对应数a、b，其中． (1)当时，线段AB的中点对应的数是______；（直接写出结果） (2)若该数轴上另有一点M对应着数m． ①当，且时，求代数式的值； ②当，且时，学生小朋通过演算发现代数式是一个定值． 老师点评：小朋同学的演算发现还不完整！ 请你通过演算解释为什么小朋的演算发现是不完整的． 【演练1】（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）点、、在数轴上的位置如图所示． (1)点B表示的数是______，点C表示的数是______； (2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点与表示数______的点重合； (3)有理数、在数轴上对应点之间的距离可表示为，如5与2在数轴上所对应的点之间的距离为． ①求的最小值； ②若、两点之间的距离为2024（点在点的左侧），将数轴折叠，使得1对应的点与对应的点重合，此时、两点也重合，求、两点分别表示的数； 【演练2】（2024七年级上·全国·专题练习）在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图． 操作一： (1)折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 ___________的点重合． 操作二： (2)折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，解答以下问题： ①表示5的点与在数轴上表示的点重合，求点表示的数． ②若数轴上，两点之间的距离为9（点在点的左侧），且，两点折叠后重合，求，两点表示的数． 考点讲练12：数轴上点的平移(动点问题) 【典例精讲】（24-25七年级上·广东广州·阶段练习），分别是数轴上两个不同点，所表示的有理数，且，，，两点在数轴上的位置如图所示： (1)试确定数，； (2)若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数； (3)点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，依次操作次后，求点表示的数． 【演练1】（24-25七年级上·河南安阳·期中）在数轴上点如图所示，将点在数轴上右移7个单位到达点，则点所表示的数为（   ） A．7 B．2 C． D． 【演练2】（24-25七年级上·云南曲靖·期中）数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 考点讲练13：数轴上整点覆盖问题 【典例精讲】（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）若在单位长度的数轴上随意画出一条长的线段，则线段盖住的整数点至少有(    ) A．9个 B．10个 C．100个 D．101个 【演练1】（21-22七年级上·湖北武汉·阶段练习）若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 【演练2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 考点讲练14：数轴上的规律探究 【典例精讲】（24-25七年级上·四川泸州·期中）在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”，已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，这样依次得到点、、、，…，．若点在数轴表示的数是，则点在数轴上表示的数是 ． 【演练1】（24-25七年级上·广西柳州·期中）如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为，点A落在1的位置．如果将圆在数轴上沿负方向连续滚动，那么落在数轴上的点是点（   ） A． B． C． D． 【演练2】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2025所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 考点讲练15：相反数的定义 【典例精讲】（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知关于x的方程与方程的解互为相反数，求k的值． 【演练1】（23-24七年级上·陕西渭南·期末）如图，把展开图沿虚线折叠成一个正方体后，相对面上的两数之和都相等，则的相反数是（   ） A．6 B． C． D．8 【演练2】（23-24七年级上·陕西西安·期末）数轴是解决数学问题的有利工具，利用如图所示的数轴解决下面的问题： (1)点在数轴上表示的数为和中较小的那一个，点表示的数为表示的数的相反数，点对应的数是最小的正整数，请直接在数轴上画标点，点点和点； (2)若点以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度也沿数轴向右运动，设运动时间为秒，则当，求的值． 考点讲练16：化简多重符号 【典例精讲】（24-25七年级上·山东菏泽·期中）把下列各数填入相应的括号内： ，，，，，，， 正整数｛ ｝ 负整数｛ ｝ 正分数｛ ｝ 负分数｛ ｝ 非负有理数｛ ｝ 【演练1】（24-25七年级上·四川攀枝花·期中）把下列各数填入它所属的集合内： 5.2，0，，，，，， ，，… (1)正数集合：｛ ｝ (2)分数集合：｛ ｝ (3)非负整数集合：｛ ｝ (4)有理数集合：｛ ｝ 【演练2】（22-23七年级上·河北保定·期中）已知，b与互为倒数． （1）的值为 ； （2）整式的值为 ． 考点讲练17：相反数的应用 【典例精讲】（22-23七年级上·河北保定·期末）如图是一个无盖的正方体纸盒的平面展开图，已知纸盒中相对两个面上的数互为相反数． (1)填空：______，______； (2)先化简，再求值：． 【演练1】（22-23七年级上·四川绵阳·期中）已知关于x的方程的解与的解互为相反数，求k的值． 【演练2】（21-22七年级下·河南南阳·期中）（1）取何值时，代数式与的值互为相反数？ （2）取何值时，关于的方程和的解相同？ 考点讲练18：绝对值的几何意义 【典例精讲】（24-25七年级上·河南南阳·期中）已知a，b是有理数，若a在数轴上的对应点的位置如图所示，且，下列结论不正确的是（   ）    A． B． C． D． 【演练1】（24-25七年级上·北京·期中）已知一组整数，共有n个．从中任意选取两个整数，将这两个整数作差后取绝对值，记为第1次运算．接下来，再从这组整数中选取一个整数，将这个整数与第1次运算的结果作差后取绝对值，记为第2次运算．此后，每次从这组整数中选取的整数都与前次的运算结果作差后取绝对值（其中每个整数都要被选取，且只被选取一次），我们把第次运算的结果称为这组整数的一个“绝对d值”． (1)已知一组整数：5，6，7． ①若第1次运算选取的整数是5，6，则可以得到这组整数的一个“绝对d值”为 ； ②若第1次运算选取的整数是6，7，则可以得到这组整数的一个“绝对d值”为 ； (2)已知一组整数：，2，3，4，则这组整数的最大“绝对d值”为 ，最小“绝对d值”为 ； (3)已知一组三个互不相等的正整数：2，a，b．这组整数的最大“绝对d值”为10，求这组整数的最小“绝对d值”． 【演练2】（2024七年级上·全国·专题练习）阅读材料：由绝对值的意义可知：当时，__________；当时，__________．利用这一特性，可以帮助我们解含有绝对值的方程．比如：方程，当时，原方程可化为3，解得；当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． (1)请补全题目中横线上的结论； (2)仿照上面的例题，解方程：； (3)若方程有解，则应满足的条件是__________． 考点讲练19：求一个数的绝对值 【典例精讲】（24-25七年级上·贵州六盘水·期中）已知一组数据：，0，，，， (1)在数轴上表示出这组数据； (2)用“<”号将这些数连接起来． 【演练1】（24-25七年级上·广东东莞·期中）在数轴上表示下列各数，并用“<”把它们连接起来． 4，，0，． 【演练2】（24-25七年级上·河北保定·期中）把下列各数填在相应的集合里． ，，，，， 正有理数集合{                     }； 负有理数集合{                     }； 整数集合{                     }． 考点讲练20：绝对值非负性 【典例精讲】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，，C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点． (1)若， ①求的长； ②求的长； (2)若，求 的值． 【演练1】（23-24七年级上·河南信阳·开学考试）点在数轴上所对应的数分别是，其中满足． (1)求的值． (2)数轴上有一点，使得，求点所对应的数． (3)点是的中点，为原点，数轴上有一动点，直接写出的最小值是______；的最小值是______；取最小值时，点对应的数的取值范围是______． 【演练2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点A、点B是数轴上两点，分别表示数a、数b，且a、b满足． (1)直接写出a、b的值，______，______； (2)点P、点Q分别从点A、点B同时出发，沿数轴向左运动，点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒4个单位长度，经过几秒，点P、点Q所表示的数互为相反数？此时点P、Q相距多少个单位长度？ (3)在（2）的条件下，当点P、点Q所表示的数互为相反数时，另一点C从原点出发向点P运动．在点P、Q、C运动的过程中，当点C遇到点P后，立即返回向点Q运动，遇到点Q后又立即返回向点P运动，如此往返．若点C一直以每秒5个单位长度的速度匀速运动，那么当点P与点Q相距3个单位长度时，点C运动了多少个单位长度？ 考点讲练21：绝对值的其他应用 【典例精讲】（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）为加强锻炼，寒假期间小明每天早晨坚持跑步．已知小明家、小彬家、小红家、学校所在位置在同一条直线上．某天，小明从自己家出发，向东跑了到达小彬家，继续向东跑了到达小红家，然后又向西跑了到达学校，最后又向东，跑回到自己家． (1)若以小明家为原点，向东的方向为正方向，用个单位长度表示，请在如图所示的数轴上，分别用点表示出小彬家，小红家和学校的位置； (2)小彬家与学校之间的距离为_____； (3)如果小明跑步的速度是，那么小明跑步一共用了多长时间？ 【演练1】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）2023年6月21日起，郑州地铁1号线推出“追梦计划”，利用列车“上下班”途中， 提早开站、延时载客，守护每一位乘客早出晚归、披星戴月之路．如图为郑州市地铁1号线地图的一部分，某天，王林同学参加志愿者服务活动，从紫荆山站出发，到从P站出站时，本次志愿者服务活动结束．如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：． (1)通过计算确定P站的具体名称； (2)请说明王林同学本次志愿活动向东最远到哪站？ (3)若相邻两站之间的距离均为1.3千米，求这次王林同学志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程为多少千米？ 【演练2】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和的两点A和B之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． (1)①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． (2)若数轴上表示数a的点位于与5之间，求的值是 ； (3)当取最小值时，相应的数a的取值范围是 ； (4)求的最小值是 ． 实际应用： (5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在 ，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： (6)若数a，b满足，求的最小值为 ． 考点讲练22：有理数大小比较 【典例精讲】（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）在比较两个有理数的大小时，下列说法正确的是（   ） A．绝对值大的数一定大 B．绝对值大的数反而小 C．如果两个数中有负数，那么绝对值大的数反而小 D．在水平的数轴上，如果规定从原点向右为正方向，那么左边的数一定小于右边的数 【演练1】（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）已知，，且，则，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【演练2】（24-25七年级上·全国·课后作业）先比较下列各式的大小，再回答问题． (1)_____； (2)______； (3)_______； (4)再举出一些类似的比较大小的算式，归纳出当a，b为有理数时，与的大小关系． 【演练1】（2023·江苏徐州·中考真题）如图，数轴上点分别对应实数，下列各式的值最小的是（    ）        A． B． C． D． 【演练2】（2024·江苏南京·中考真题）比较大小： （填“”“”或“”） 【演练3】（2025·广东深圳·中考真题）节约水5吨记作吨，则浪费水2吨记作（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【演练4】（2022·四川攀枝花·中考真题）实数a、b在数轴．上的对应点位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【演练5】（2021·四川南充·中考真题）数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·北京顺义·期末）下列各数是负数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川巴中·期末）下列各组数中，比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·四川乐山·期末）有理数、、在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）实数 满足 ，记代数式 的最大值为 ，最小值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·重庆渝中·二模）已知四个整式分别为：，，，；若对这四个整式中的一个添加绝对值符号或多个分别添加绝对值符号（注：绝对值里面无绝对值，即不出现多重绝对值）后再求和称为一次“防御操作”；例如：为一次“防御操作”，为一次“防御操作”等；则以下表述正确的个数是（    ）．　 ①对于任意的实数x，存在某种“防御操作”使得化简结果恒为0； ②对于特殊“防御操作”：的最小值是6； ③共有15种不同的“防御操作”； A．0 B．1 C．2 D．3 6．（24-25七年级上·陕西安康·期末）在有理数中，最小的数是 ． 7．（2024七年级上·云南·专题练习）生活情境·气温变化冬季某天，我国三个城市的最高气温分别是，，，若是在数轴上表示，1，这三个数，通过观察数轴，用“”号将它们从左到右排列为 ． 8．（23-24七年级上·四川成都·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简： ． 9．（24-25七年级上·重庆·期中）我们知道，数轴上两个点，它们表示的数分别是，那么两点之间的距离为．如与的距离可表示为，与的距离可表示为． （）的最小值为 ； （）的最小值为 ． 10．（23-24七年级上·福建漳州·期中）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”．例如，对于，，进行“差绝对值运算”，得到：． 对，，，进行“差绝对值运算”的结果是； ，，的“差绝对值运算”的最小值是； 当，，时，，，的“差绝对值运算”化简结果是，以上说法中正确的为 ． 11．（24-25七年级上·云南昭通·期末）给出下列各数： (1)在这些数中，分数有______；非负数有______； (2)在数轴上表示这些数，并用“”把它们连接起来． 12．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，4． 点A到点C的距离可以用表示，且． (1)应用： ， ； (2)拓展：若点A沿数轴向右以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒时点A表示的数是 ，此时， （用含t的式子表示）； (3)探究：若点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和8个单位长度的速度向左运动，则的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求出的值． 13．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离是____，数轴上表示x和2的两点之间的距离是____； (2)数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为____； (3)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 14．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料1：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为． 问题（1）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）． 问题（2）：利用数轴探究：①找出满足的x的所有值是 ，②设，当x的值取在不小于且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是 ；当x的值取在 的范围时，最小值是 ． 材料2：求的最小值． 分析： 根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到3之间（包括、3）的任意一个数，要使的值最小，x应取2，显然当时能同时满足要求，把代入原式计算即可． 问题（3）：利用材料2的方法求出的最小值． 15．（24-25七年级上·福建泉州·期中）【知识准备】 若数轴上点对应的数为x，点对应的数为y，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． (1)在一条数轴上，O为原点，点对应的数为5，点对应的数为，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 (2)在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 (3)若数轴上点对应的数为x，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，是否存在使为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$