第七章 1 随机现象与随机事件-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019)

1 标雅差=√4灯(4-7)+(6-7)+(8-7)+(10-7)门= (2)由(1)知，2=11,2√0 =2V6.I=√24.4，故有> 5,显然05，即>，放C错误 210 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工 对于选项D:不妨设1≤x2≤x3≤x4≤x,≤x。,则x6-x≥x5 艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高， ,当且仅当x,=2,x=。时，等号成立，放D正确.故选BD 6.解：(1)依题可知，左边题图第一个小矩形的面积为5× 5,解：(1) E-545+53+551+522+575+54+541+568+596+548 0.002>0.5%,所以95<e<100,所以(c-95)×0.002=0.5%.解 分 552.3. 得c=97.5,9(c)=0.01×(100-97.5)+5×0.002=0.035=3.5% y-536+527+543+530+560+53+522+50+576+536=54L.3. (2)当ce[95,100]时，f(c)=p(c)+g(c)=(c-95)x0.002+ 10 (100-e)×0.01+5×0.002=-0.008c+0.82≥0.02： =x-y=552.3-541.3=11. 当c∈(100,105]时，f八c)=p(c)+g(c）=5x0.002+(c-100)× 3,=x,-y,的值分别为9.6,8，-8,15,11,19,18,20,12， 0.012+(105-c)×0.002=0.01c-0.98>0.02 放2×[(9-1n)4(6-n)4(8-1+(-8-+ （-0.008c+0.82.95≤e≤100. 故c)= (15-11)2+(11-11)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+ (0.01e-0.98,100<c≤105 (12-11)2]=61. 所以代c)在区间[95,105]内的最小值为0.02. 第七章 概率 §1随机现象与随机事件 对于D,抛掷一枚硬币时，结果可能是正面向上，也可能是反 面向上，这是随机事件，故D符合题意故选D. 1.1随机现象甲1.2样本空间甲1.3随机事件 1.4随机事件的运算 白题础过关 白题 基础过关 1.D解析：A,B为不可能现象，C为必然现象，D为随机现象 1,D解析：两个事件M,V,则事件MUN表示的含义是事 故选D. 件M与N至少有一个发生，故选D. 2.CD解析：根据随机现象的概念可知，A,B是随机现象，C,D 2.A解析：依题意，事件A门B表示两次点数和为6，因此事 是确定性现象，故选CD. 件A∩B用样本点表示为1(1.5)，(2.4).(3,3)，(4.2).(5. 3.D解析：由定义知A.B,C说法均正确.因为随机事件是样 1)|.故选A 本空间的子集，所以由子集的定义可知D说法错误.故选D.3.ABC解析：因为样本空间=两次都没击中飞机，第一次 4.C解析：由题意，得样本点为（数学，计算机），（数学，航空 击中，第二次没击中，第一次没击中，第二次击中，两次都击 模型)，（数学，绘画），（计算机，航空模型），（计算机，绘 中飞机：“恰有一次击中飞机”指第一次击中、第二次没击 画)，（航空模型，绘画），共6个.故选C 中或第一次没击中、第二次击中：“至少有一次击中飞机“包 5.3解析：设元件正常为1，失效为0，由A,B两个元件组成并 含三种情况：第一次击中、第二次没击中，第一次没击中，第 联电路，若电路是通路，则至少有一个元件正常，故事件M 二次击中，两次都击中飞机，所以A+C=D,B∩D=☑，B+ 包含的样本点为(1,1)，(1,0)，(0,1)共3个故答案为3. D=2,所以ACD,A+CB+D,故选项A,B,C正确，D不正 6.解：(1)样本空间2=1(1,1)，(1,2)，(1,3).(1,4)，(1,5)， 确.故选ABC. (1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),4.至少击中1发解析：根据并事件的定义可知，A=A,U (3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3), A,UA,表示A,A2,A,至少有一个发生，所以A=A,UAUA (4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5.2).(5.3),(5,4).(5,5), 表示至少击中发故答案为至少击中1发 (5.6).(6.1),(6,2).(6.3).(6.4).(6.5).(6,6). 5.B解析：设事件A表示“两球都不是白球”，事件B表示“两 (2)由(1)知，这个试验的结果的个数为36. 球恰有一个白球”，事件C表示“两球至少有一个白球”，事 (3)由1+6-2+5=3+4=4+3=5+2=6+1=7可知，事件A表 件D表示“两球都为白球”.其中A∩D=☑，B∩D=⑦.Cn 示抛掷红，蓝两枚骰子，掷出的点数之和为7. D=(白，白)≠0，所以事件A、B与事件D均为互斥事件， 7.B解析：从5个男生，2个女生中任意选派3人，由于女生 又因为AUD≠2，BUD≠2.所以事件A、B与事件D均不对 只有2人，故至少有1个男生是必然事件，故选B 立，故选B. 8.D解析：对于A,若正方形边长为a,由面积公式可知其面6.CD解析：当A发生时，B也可能发生，即A与B不为互斥 积为2，这是必然事件，故A不符合题意： 事件，则A错误： 对于B,其空中没有空气，在没有任何辅助情况下，人不能在 当B发生时，若甲中奖，则C也能发生，则B错误： 真空中生存，这是不可能事件，故B不符合题意： 对于C,在一个标淮大气压下，只有温度达到100℃，水才会 AnB为甲，乙都中奖，C为甲，乙都不中奖，AnB与C不可 沸腾，当温度是80℃时，水不会沸腾，这是不可能事件，故C 能同时发生，且(A∩B)UC也不是必然事件，即A∩B与C 不符合题意： 为互斥事件，则C正确： 参考答案黑白题077 AnB为甲，乙都不中奖，C为甲，乙中至少有一人中奖，AnB 5.D解析：因为只有第一道工序加工合格才进行第二道工序 加工，所以事件“产品不合格”包括第一道工序加工不合格 与C不可能同时发生，且(A∩B)UC为必然事件，即A∩B 与C为对立事件，则D正确.故选CD 和第一道工序加工合格而第二道工序加工不合格，所以事件 7.解：(1)是互斥事件，不是对立事件 “产品不合格”可以表示为AUAB,故选D 理由：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽 6.BD解析：若A+B=A,侧BCA,故A错误：由题知ABCA 出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件同时，不能 A+AB=A,B正确：当事件A,B都不发生时，AB发生， 保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者 但A不发生，.AB不是A的子集，C错误：AS(A+B), “梅花”，因此，二者不是对立事件 .∴.A(A+B)=A,D正确.故选BD. (2)既是互斥事件，又是对立事件」 理由：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与 7.4解析：事件ABC表示订阅数学学习资料，且订阅语文学习 “抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个 资料，但不订阅英语学习资料，故表示的区城为4.故答案 发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件 为4 (3)既不是互斥事件，也不是对立事件 8.解：(1)在“图书室中所有数学书都是2025年后出版的且为 理由：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出的牌点数为5 中文版”的条件下，才有A∩B∩C=A: 的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发 (2)是，A=B意味着图书室中的书除数学书以外都是中文版 生，如抽得神点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可 的，而且所有的中文版的书都不是数学书，同时A=B又可化 能是对立事件 成B=A,因而也可解释为图书室中所有数学书都不是中文版 黑题 应用提优 的.而且所有不是中文版的书都是数学书. 1.C解析：从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，则试验 的样本空间2=1(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)， §2古典概型 (3,4),其中事件A包含的样本点有(1,4)，(2,3).(2.4) 2.1古典概型的概率计算公式 (3,4)共4个.事件B包含的样本点有(1,3)，(2,4)共2个 所以事件A+B包含的样本点有(1,3)，(1,4)，(2,3)， 白题 基础过关 (2,4),(3,4)共5个：事件AB包含的样本点有(2,4)共1个. 1.D解析：在①中，由题意知：试验中所有可能出现的基本事 故选C. 件只有有限个，故①正确：在②中，由题意知：每个基本事件 2.D解析：，A,B是对立事件，则A,B也是对立事件，，.A+ 出现的可能性相等，故②错误：在③中，由题意知：每个样本 点出现的可能性相等，故③正确：在④中，样本点总数为， B,A+B是必然事件，A与B一定互斥，故A,B,C正确.而A,B 随机事件A若包含k个样本点则由古典概型及其概率计算 可能有不可能事件，故D错误.故选D. 3.D解析：由已知可得A二C,又因为A二B,BCC,如图事 公式知P(A)=,故④正确，故选n. 件A,B,C用集合表示： 2.BC解析：对于A,试验结果有无数个，显然不是古典概型， 故错误：对于B,试验结果有限且等可能，故正确：对于C,试 验结果有限且等可能，故正确：对于D,显然试验并非等可 能，故错误故选BC 则选项A,B正确，事件CCBCA,则C正确，D错误故选D, 3.D解析：用A,B,C,D,E分别表示《周髀算经》、《九章算 4.ABD解析：一名男生A和两名女生B,C在周六、周日两天 术》《海岛算经》、《四元玉鉴》《张邱建算经》，从上述5部 中任选一天去参观博物馆，每人只去一天，且每天至少有一 书籍中任意抽取2部，则样本空间为2=AB,AC,AD,AE, 人去参观博物馆的样本点有：(A,BC),(B.AC),(C,AB) BC,BD.BE,CD,CE,DE,可知n(2)=10.设抽到《九章算 (AB,C).(AC.B).(BC.A). 术》为事件M,则M=1AB,BC,BD,BE,可知n(M)=4,所以 对于A,“周六至少有一名女生去参观博物馆”含(B,AC), (C.AB),(AB,C),(AC,B).(BC,A)5个样木点，而“周六只 P0-0子放法n 有一名男生去参观博物馆”含(A,BC)一个样本点，故是对立 4.C 解析：如图，由树状图可知，共有16种等可能结果，其中 事件，即A正确： 小军，小明恰好从同一个出口出该公园的有4种等可能结 对于B,“周六只有一人去参观博物馆”含(A,BC),(B,AC), 果，所以小军，小明恰好从同一个出口出该公园的概率为 (C,AB)3个样本点，而“周日只有一人去参观博物馆"含 41 (AB,C),(AC,B),(BC,A)3个样本点，故是对立事件，即 164 ,故选C. B正确； 小 对于C,“周六只有一人去参观博物馆”包含(A,BC), (B,AC),(C,AB)3个样本点，而“周日有两人去参观博物 小 东南 馆"包含(A,BC).(B,AC),(C,AB)3个样本点，两者不是互 5.B解析：由条件可知，得到不同的对数为%，4=2，log,8=3 斥事件，故C错误： 对于D,因每人只去一天，故”女生B周六去参观博物馆”与 1og.8= 2,g2= .log,4=2 g2=了共6个对数，其中 “女生B周日去参观博物馆”是互斥事件，故D正确.故 选ABD. 为整数的有2个所以概率P名号故选 必修第一册·BS黑白题078第七章 概率 §1随机现象与随机事件 1.1随机现象1.2样本空间用13 随机事件 白题 基础过关 限时：15min 题组1确定性现象与随机现象 6.做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x,y) 1.*下列选项中，是随机现象的是 表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y A.刻舟求剑 B.水中捞月 表示蓝色骰子出现的点数写出： C.流水不腐 D.守株待兔 (1)这个试验的样本空间： 2.*(多选)以下不是随机现象的是 ( (2)这个试验的结果的个数： A.在相同的条件下投掷一枚质地均匀的硬币 (3)指出事件A={(1,6),(2,5),(3,4),(4, 3),(5,2),(6,1)的含义 两次，正反两面都出现 B.明天下雨 C.同种电荷相互排斥 D.平面四边形的内角和是360 题组2样本空间与样本点 3.下列说法错误的是 A.样本点是构成样本空间的元素 B.样本点是构成随机事件的元素 C.随机事件是样木空间的子集 题组3事件类型的判断 D.随机事件中样本点的个数可能比样本空间 7.(2025·广东佛山高二月考)从5个男 中样本点的个数多 生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中 4.。为了丰富高一学生的课外生活，某校要组 是必然事件的是 ( 建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小 A.3个都是男生 B.至少有1个男生 组，小明要随机选报其中的2个，则该试验中 C.3个都是女生 D.至少有1个女生 样本点的个数为 ( ）8.·(2025·安徽合肥一六八中学高二月考) A.3 B.5 C.6 D.9 下列各项中，属于随机事件的是 () 5.“如图，由A,B两个元件组成并联电路，观 A.若正方形边长为a,则正方形的面积为a 察两个元件正常或失效的情况，则事件M= B.在没有任何辅助情况下，人在真空中也可 “电路是通路”包含的样本点个数为 以生存 C.在一个标准大气压下，温度达到80℃时水 会沸腾 D.抛掷一枚硬币，反面向上 第七章黑白题133 1.4 随机事件的运算 白题基础过美 限时：l5min 题组1事件的运算及其含义 球其中与事件“两球都为白球”互斥而非对 1.·(2024·天津和平区高一期末)对于两个 立的事件是 事件M,N,则事件MUN表示的含义是 A.① B.①② C.②3 D.①②③ A.M与N同时发生 6.(多选)甲、乙两人参加某商场举行的抽 B.M与N不能同时发生 奖活动，中奖名额不限，设事件A为“甲中 C.M与N有且仅有一个发生 奖”，事件B为“乙中奖”，事件C为“甲、乙中 D.M与N至少有一个发生 至少有一人中奖”，则 () 2.(2025·广东佛山高二月考)向上抛掷 A.A与B为互斥事件 枚质地均匀的骰子两次，事件A表示两次点 B.B与C为对立事件 数之和小于8，事件B表示两次点数之和既能 C.AnB与C为互斥事件 被2整除又能被3整除，则事件A∩B用样本 D.A∩B与C为对立事件 点表示为 ( 7.北师救材变式从40张扑克牌（红桃、黑桃、 A.1(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) 方块、梅花，点数从1~10各1张)中，任取 B.1(1,5),(2,4),(4,2),(5,1) 一张 C.1(1,5),(2,4),(3,3) (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”： D.1(1,5),(2,4) (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”： 3.(多选)(2024·江西景德镇高一期中)对 (3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌 空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一 点数大于9” 枚炮弹，记事件A为“两次都击中飞机”，事件 判断上面给出的每对事件是否为互斥事件， B为“两次都没击中飞机”，事件C为“恰有 是否为对立事件，并说明理由。 次击中飞机”，事件D为“至少有一次击中飞 机”则 A.ACD B.BOD= C.A+C=D D.A+C=B+D 4.打靶3次，事件A,=“击中i发”，其中i 0,1,2,3.那么A=A,UA2UA1表示 题组2事件之间的关系 5.·(2025·广东广州高二期中)从装有红 球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个 球，有如下的一些事件：①两球都不是白球： ②两球恰有一个白球：③两球至少有一个白 必修第一册·BS黑白题134 黑题 应用提优 限时：25min 1,从1.2,3,4这4个数中，任取2个数求 才进行第二道工序加工，那么事件“产品不合 和，若“这2个数的和大于4”为事件A,“这 格”可以表示为 ( 2个数的和为偶数”为事件B,则A+B和AB包 A.A B.AB 含的样本点数分别为 ( C.AB D.AUAB A.1.6 B.4,2 C.5,1 D.6,1 6.(多选)设A,B是两个任意事件，下面关 2.如果A,B是对立事件，那么下列说法错 系正确的是 () 误的是 ( A.A+B=A B.A+AB=A A.A+B是必然事件 C.ABCA D.A(A+B)=A B.A+B是必然事件 7.#如图是某班50名学生订阅数学、语文、英 C.A与B一定互斥 语学习资料的情况，设事件A=“订阅数学学 D.A与B是不可能事件 习资料”，事件B=“订阅语文学习资料”，事件 3已知事件A,B,C满足A二B,BCC,则下 C=“订阅英语学习资料”.现从这个班任意选 列说法不正确的是 择一名学生，则事件ABC所代表的区 A.事件A发生一定导致事件C发生 域是 B.事件B发生一定导致事件C发生 C.事件A发生不一定导致事件C发生 D.事件C发生不一定导致事件B发生 4.(多选)一名男生A和两名女生B,C在周 8.从某大学数学系图书室中任选一本书， 六、周日两天中任选一天去参观博物馆，每人 设A={数学书}，B=}中文版的书{，C= 只去一天，且每天至少有一人去参观博物馆， 2025年后出版的书，问： 则下列结论正确的是 ( (1)在什么条件下，有A∩B∩C=A? A.“周六至少有一名女生去参观博物馆”与 “周六只有一名男生去参观博物馆”是对 (2)如果A=B,那么是否意味着图书室中的所 立事件 有的数学书都不是中文版的？ B.“周六只有一人去参观博物馆”与“周日只 有一人去参观博物馆”是对立事件 C.“周六只有一人去参观博物馆”与“周日有 两人去参观博物馆”是互斥事件 D.“女生B周六去参观博物馆”与“女生B 周日去参观博物馆”是互斥事件 5.已知生产某种产品需要两道工序，设事 件A=“第一道工序加工合格”，事件B=“第二 道工序加工合格”，只有第一道工序加工合格 第七章黑白题135