第四章 1 对数的概念-3 对数函数 阶段综合-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019)

§1-§3阶段综合 黑题 阶段强化 很时：60min 1,(多选)下列命题正确的是 C.如果声强变为原来的2倍，对应声强级也 A.Vx>0,y>0,log (x+y)=log x+logy 变为原来的2倍 B.3x>0,y>0,logx.log.y=log (xy) D.声强级增加10dB,则声强变为原来的 C.Ya>0,6>0,In(ab)=In a+ln b 10倍 D.Ya>1,b>0,al =b 5.(2025·江苏扬州高一期末)已知3=2， 2.函数y=1lg(x+1)1的图象是 5=3.e=号则a6,e的大小送系为（) A.b<a<e B.a<b<e C.a<c<b D.b<e<a 6.(2025·湖北武汉高一月考)已知函数 f(x)= 代2-2x+3,x≤2有最小值，则a的取值 a+logx,x>2 范围为 7.(2025·江苏常州高一期末)设函数 f(x)=log(3+ax-x2)在区间(2,3)上单调递 3.(多选)(2025·黑龙江牡丹江高一期中) 减，则实数a的取值范围是 若loga3a<logb,则下列说法一定正确的是 8.(2025·黑龙江哈尔滨高一期末)设函数 f八x)=log(2+x)+log(2-x),且f八0)=2 A.in B.n(a2-b2)>0 (1)求实数a的值及函数f代x)的定义域： C.ln(a-b+1)>0 D.i()o (2)求函数f八x)在区间[0,3]上的最小值. 4.人A教材变式(2025·河北石家庄高一月 考)声强级Li(单位：dB)与声强I(单位： Wm)之间的关系是山=10g,其中%指 的是人能听到的最低声强，对应的声强级称 为闻阈.人能承受的最大声强为1W/m2,对应 的声强级为120B,称为痛國.某歌唱家唱歌 时，声强级范围为[60.70]（单位：dB).下列 选项中错误的是 ( A.闻國的声强级为0dB B.此歌唱家唱歌时的声强范围是[106,105] (单位：W/m2) 第四章黑白题085 9.(2025·湖南长沙高一月考)在某种药物！11.鞋(2025·江苏常州中学高一期末)已知 研究试验中发现其在血液内的浓度y(单位： 函数f八x)=log2x. 毫克/毫升)与时间（单位：小时）满足函数关 (1)设函数g(x)是定义域在R上的奇函数， aln(t+1),0≤1≤2， 当x>0时，g(x)=f(x),求函数g(x)的 系y= k 其中a,k为大于0 解析式： 1>2, (2)已知当x∈[1,4]时，函数h(x)= 的常数已知该药物在血液内的浓度是一个连 续变化的过程，且在2小时时达到最大值 ∫()·f(年)（其中0<a≤2）的最小值 2ln3毫克/毫升. (1)直接写出a,k的值： 为-}，求实数a的值 (2)当该药物浓度不小于最大值一半时，称该 药物有效，求该药物有效的时间长度T (单位：小时) 10.(2025·黑龙江哈尔滨高一期末)已知 压轴挑战 函数f(x)=log2(4'+1)+kx为定义在R上的 林(2025·江苏南通高一期末)对于定义域 偶函数 为A的函数y=f八x),如果存在k∈R,对任意的 (1)求实数k的值： x∈A,都有f八kx)=f(x)+k,那么称函数y=f(x) (2)解关于m的不等式f(2m+1)>f(m-1). 具有性质P(k). (1)若函数y=logx(0<a<1)具有性质P(k), 求证：oga为定值： (2)若函数y=logx+logx(a>1,b>1)具有性质 P(2),求ab的最小值 必修第一册·BS黑白题0866.A解析：/(x)=log(2x)·log2(4x)=(og2x+1)(log2x+2). 令1=lg,则有)=(+1D+2,当1=-2时，X=},所 以=)的最小值为故选L 7.D解析：由题知3>0且3n≠1.设g(x)=6-3x,则g(x)在 区间(1,3)上单调递减，由复合函数的单调性可得3>1，即 >了又因为当xe(1,3)时g(>0.所以g3)6-9≥0 解得a≤号综上得a<子故选D 8.ACD解析：对于选项A,B,因为函数y=|x+1川在(-1，+) 上单调递增，又因为函数f八x)=log1x+11(a>0,且a≠1)在 区间(-1,0)上单调递减，所以0<a<1,所以f(x)在 (-1,+)上单调递减且无最小值，故A正确，B错误：对于 选项C,因为八x)的定义域为(-0，-1)U(-1,+),关于 原点不对称，所以八x)在定义域内既不是奇函数，也不是偶 函数，故C正确：对于选项D.因为f代-2-x)=log1-2-x+11= lg-(x+1)1=log,Ix+1=f八x),所以f(x)的图象关于直线 x=-1对称，故D正确 9.BD解析：对于A:f代x)=lgxl,0ca<b,且f代a)=f(b),所以 0<a<1<b,-lga=lgb,即lgb+lga=0,即lgab=0.所以ab= 1,故A错误：对于B:ab=1.所以·2b=2.a+2h≥ 2√a·2h=22,当且仅当a=2b,且a·2b=2,即a=2,b 又0ca<1<b所以a+2b>2 于C:2a+b≥2√2a·b=22,当且仅当2a=b,且2a·b=2 26=2时等号成立，又0<a<1<6,所以a+26≥25. 故C错误：对于D:4-2=4-2,且0<a<1,函数x)=x-3 在(0,1)上单调递增，所以f八x)<f1)=-1,即a-2b<-1,故 D正确.故选BD. 10.(-e,1）解析：由对数函数的性质，得x-a+2>0.解得r> a-2,则函数y=f八x)的定义域为(-2，+)，又函数的图象 经过第一、二、三象限，所以f(0)>0.即1g(0-a+2)>0,化 简得lg,(2-)>g1,则2->1，解得a<1故答案为(-，1) 1.(0,号)u(1,2)解析：当0a<1时，外层函数y=lg 为减函数，要使函数有最小值，对于内层函数u=(5a 4=1a2-8(30-2>03a号又0ca<1. 2)r-4+2,有f5a-2c0. 所以0<子：当>1时，外层函数yu为增函数要使 函数有最小值，对于内层函数h=(5a-2)x2-4x+2,有 A=162-8(5a-2)<0解得1<a<2,综上所述，实数a的取 a>1, 值范围是(0.号)u(1.2).故答案为(0，号)u1.2)。 12.解：)由题意得+8>0，解得-8<<8，所以代)的定义 (-x+8>0. 域为(-8,8) (2)x)为奇函数.证明：由(1)可知(x)的定义域关于原 点对称，且八-x)=n(-x+8)-n(x+8)=-f(x),所以f(x) 必修第一册·BS 为奇函数 (3)医意得)=he(一8,8).由)=h8n2, 8-x 得82，解得弩<x<8,即不等式f八)>h2的解集为 8 8-x (8 13.解：(1)由10-1>0，解得x>0,f八x)的定义域为(0，+). 又，10-1>0f代x)的值域为R (2)g(x)=f(x）-lg(10㎡+1)=lg(10-1)-lg(10+1)= 0-02)>0,由0>1wi2 011 10+12-1<-2 10+10,0<1-2 10+1s1, (0)k0)的值坡为(-.0：关于的 不等式g(x)<1恒成立，t≥0，即实数：的取值范围为 「0，+0). 14.解：(1)函数f代x)的定义域为R,xeR时，g(x)=a2 x+1>0恒成立，①当a=0时，g(x)=-x+1>0x<1与xe R相子眉，故不符合题意：②当a0时，则0>0， 4=1-4ac0.> }综上所述实数。的取值范围为（仔 (2):函数f八x)的值域为R,∴g(x)=x2-x+1要取遍所 有正数，①当a=0时，g(x)=-x+1,符合题意：②当a≠0 1-≥0,20<a≤子综上所述，实数a的取值 时，则/>0， 范翻为o,】 压轴挑战 解：(1)因为g(x)=d,g(-1)=2,所以a'=2, 所以ae=()月 又函数f八x)与函数g(x)互为反函数，所以代x)=ogx (2)[f八x)]2-mf(x2)+4>0,即(lkgx)2-mlg是x2+4>0→ (logIx)2-2mlogx+4>0. 令1=lgx,因为xe(0,1),所以>0， 所以(1g1x)2-2mlog!x+4>0在区间(0,1)上恒成立等价于 2+4>0在区间(0，+西)上恒成立，即2m<在区间 (0.+x)上恒成立 因为 4=1+4在区间(0,2)上单调递减，在区间[2，+x)上单 调递增，所以当1=2时， =4,所以2m<4.解得m<2, 所以实数m的取值范围是(-，2) §1-§3阶段综合 黑题 阶段强化 1.BCD解析：对于选项A,由对数运算性质知，Vx,y>0,有 1og(y)=gx+logy,而lo吧，(x+y)≠ogx+ogy,选项A错 误：对于选项B,当x=y=1时，lgx·1ogy=log(y)成立， 黑白题052 选项B正确：对于选项C,Ha>0,b>0,ln(ab)=lna+nb, 选项C正确：对于选项D,Va>1,b>0,a=b,选项D正确. 故选BCD, 2.A解析：y=11g(x+1)1≥0，故排除D:当x=0时.y=1lg(0+ 1)|=0,故排除B,C结合对数函数的性质可知A正确. 3.AC解析：因为函数y=logx在(0，+e)上单调递减，所以 a>b0,则分>1，所以n>0,A正确：由a>b>0,得a>6, 则a2-b2>0.但与1的大小关系不确定，所以B错误：由a>b> 0,得a-b>0,则a-b+1>1,所以ln(a-b+1)>0,C正确：由a> 公0，得】<}，所以一>0，但与1的大小关系不确定所 b a 以D错误故选AC. 4.C解析：因为i=10g。三10g-10g6,当1=1☑ 时，i=120,代人公式可得1。=102W/m2,对于A.当1=1。 时.Li=10lg1=0,故选项A正确：对于B,60≤10lg1- 101g102≤70.即60≤101g1+120≤70.所以-6≤1g/≤-5， 解得10≤1≤10，故选项B正确：对于C,当/变为2/时， 代人Li=10lg(2)-10g1。≠2i,故选项C错误：对于D,设 声强变为原来的春倍，则10lg()-10lg1。-（10g1- 10lg1)=10,解得k=10,放选项D正确.故选C 5.c解折：a=2.6=le3e号g3=g,为>e,海 a,c=3=lg5行=lg,25<lg27=lg,3=6,所以a<c<h 2 故选C 6.[1,+x)解析：由y=x2-2x+3=(x-1)2+2在(-x,1)上单 调递减.在(1,2]上单调递增.所以f八x)在(-，2]上的最小 值为2，由y=a+logx在(2，+x）上单调递增，值域为(a+1, +),所以要使f代x)有最小值，则有a+1≥2，即a≥1，故答 案为[1，+). 7.[2,4]解析：由题意知，令-x2+x+3=0,解得x1= a-+2,-+vg+卫，所以-+r+3>0=s,x<,对 2 2 于函数)=-++3，对称轴为直线x=?,所以该二次函数 在(，？)上单调递增，在(？)上单调递减，又函数 y=g在(0，+)上单调递增，所以函数在（号出）上单 3≤x a ≤2， 3s0+√a+12 解得2≤a≤4，所以实数a的取值范围为 2 [2,4].故答案为[2,4】. 8.解：(1)因为f(x)=log,(2+x）+og.(2-x)(a>0,a≠1)，由 0)=2,得2g,2=2,则lg.2=1,解得a=2:又亿>0解 2-x>0, 得-2<x<2,所以(x)的定义域为(-2,2) (2)由(1)得f(x)=og2(2+x)+log2(2-x)=lg,(2+x)(2- 参考答案 x)=log(4-x2),因为xe[0,3],令t=4-x2,1e[1,4],令 g(t)=lkgt,则函数g()在[1,4]上单调递增，故g(t)m= g(1)=0,即=1，x=3时，(x)取最小值，故f八x)的最小值 为0 9.解：(1)a=2,k=4加3.解析：因为该药物在血液内的浓度 aln(t+1).0≤t≤2. 是一个连续变化的过程，函数y= 在1=2 7>2 时取最大值2h3,所以o>0,ah(2+1)=2h3.2=2h3. 以a=2.k=4n3. 2ln(1+1).0≤1≤2. (2)由(1)知y={4n3 令y≥ln3可得，若0≤ -,>2 ≤2，则2(+1)≥ln3,解得2≥1≥3-1，若2，则h3≥ n3,解得2<1≤4，所以该药物有效的时间长度T为4-（√3- 1)=(5-√3)小时 10.解：(1)函数f代x)=log(4+1)+的定义域为R,由f八x)是 偶函数.得f八x)-f(-x)=0,即log(4+1)+红-1g2(4+ )=0,则2=hs==-2.而x不为0， 所以k=-上. （2)由)知，=e(44)-=s:s( )当≥0时1=2≥1.函数y1在1，+)上单调 递瑞，面=2在0，+)上单调递，于是函数=2+号 在[0，+)上单调递增，又y=lgu在(0，+)上单调递 增，因此八x)在[0，+e)上单调递增，又函数f八x)为偶函 数，不等式f2m+1)>f(m-1)f12m+11)>f(1m-11). 则12m+11>1m-11,整理得3m2+6m>0.解得m<-2或m>0. 所以原不等式的解集为(-x,-2)U(0,+x). 11.解：(1)当x>0时，g(x)=f(x)=1ogx,当x<0时，->0， g(-x)=1og(-x).又g(x)为奇函数，当x<0时， g(x)=-g(-x)=-log(-x).又，g(x)是定义域在R上的奇 函数，g(0)=0.综上所述，函数g(x)的解析式为 log:x,x>0, g(x)=〈0，x=0. -log(-x).x<0. (2)当1≤x≤4时，克>0.年>0A()=f(货) f(任）=lglg=(ge-g2")(g-s4) (log2x-a)(ogx-2),令lkog2x=1,当1≤x≤4时.0≤1≤2，设 F(1）=(-a)(1-2)=2-(a+2)+2a,te[0.2],0<a≤2， 之由二次函数知识知，当1=生2e(1,2]时，F0的最小价 为r(告)，r2)a期=30 或a=l,实数a的值为1. 黑白题053 压轴挑战 (1)证明：若函数y=log,x(0<a<1)具有性质P(k),且函数定义 城为(0，+x),则存在eR,对任意的x∈(0，+x),都有 fkx)=f八x)+k,即log(kx)=logx+k,.log.(kx）-logx=k, ÷lgk=k心1nga 一=k...og a=1,故Klog a为定值 (2)解：函数y=logx+og,x(>1,b>1)具有性质P(2),定义 域为(0，+)，∴k=2,∴存在k∈R,对任意的xe(0,+g),都 有2x)=f八x)+2,即log(2x)+lg(2x)=ogx+logx+2, log.x+logx+log.2+l0g 2=log.x+logx+2.log.2+log 2=2, 1 log,a+log6 “gagb2,六ga·（4g2,ga+kgb (logza+logb1 2loga·logb≤2× ,令log2a+logb=t,t≤2× 行）≥2或1≤0.又a>1,b>1lg,a+leg,6>0.d1≥2 即loga+log,b≥2，log,(ab)≥2，∴.ab≥4.当且仅当loga= logb.即a=b=2时.等号成立，故ab的最小值为4. §4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 白题 基础过关 1B解析：根据表格提供的数据可知，自变量的变化量相同 时，函数值的增长越来越快，即函数增长非常快，所以指数增 长符合，即B选项符合.故选B. 2.ABC解析：如图.作出三个函数在区间(0，+)上的图象 根据指数函数，对数函数及幂函数的图象和性质可知，在区 问(0，+x)上(x)的递增速度越来越快，故A正确：g(x)的 递减速度越来越慢，故B正确：h(x)的递减速度越来越慢， 故C正确：g(x)的递减速度快于h(x)的递诚速度，故D错 误，故选ABC =h(ri 0 1=g) 3.D解析：对于A,幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及 一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度 不能比较：对于B,C,当0<a<1时.显然不成立：对于D,当 a>1.>0时，一定存在x0,使得当x>x。时，总有a>x>0g,x, 但若去掉限制条件“a>1,n>0”,则结论不一定成立故选D. 4.ABC解析：对于A,指数函数y=2为增函数，2”< 2”,A错误：对于B,指数函数y=0.5为减函数，.0.5"> 0.5,B错误：对于C,对数函数y=1唱2x在定义域上为增函 数，∴.gm<ogn,C错误；对于D,对数函数y=log5x在定 义域上为减函数，og5m>logosn,D正确，故选ABC. 5.D解析：根据基本初等函数的图象与性质可知，一次函数 增长的速度不变，不满足题意：要满足调整后初期利润增长 迅速，如果是二次函数，那么图象必须开口向上，而此时在二 次函数对称轴的右侧增长的速度是越来越快，没有慢下来的 可能，不符合要求：要满足调整后初期利润增长迅速，如果是 指数函数，那么底数必是大于1的数，而此时指数函数增长的 速度也是越来越快的，也不满足要求：对于对数函数，当底数 必修第一册·BS 大于1时，对数函数增长的速度先快后慢，符合要求故选D, 6.①②解析：在同一平面直角坐标系内画出y。=2-1,y。= 1o%x,yc=x的函数图象如图，当>1时，指数函数y,=2-1 的增长速度大于幂函数ye=x的增长速度和对数函数y= 1gx的增长速度，当x=1时，y,=2-1=1,yc=1i=1,故当 x>1时，A总走在最前面，①正确：当0<x<1时，由图象可知C 总走在最前面，②正确：当x=4时，yw=lg4=2,yc=47=2, 当x=16时，yn=lgl6=4,e=16行=4，故4<x<16时，B走在 C前面，当x>16时，B走在C后面.③错误故答案为①②. Y= 4 7.解：(1)C,对应的函数为g(x)=3x,C,对应的函数为 f八x)=2. (2)f八3)=8，g(3)=9,∴f3)<g(3),又f八4)>g(4).3< x,<4.从图象上可以看出，当x>x2时，∫(x)>g(x), 八100)>g(100).又g(100)>g(3).∴f(100)>g(100)> g(3)>/3) 专题探究3指数函数与对数函数 黑题 专验即化 (log2 lx-11,x<3. 1.B解析：因为f(x)= 且f(a)=1,所以 (21-7,x≥3， ,a-11=l或27=l解得a=-1或4=4，当a=-1 a<3 (a≥3， 时，代3-a)=f(4)=2-7=1:当a=4时，J3-a)=f(-1)= 1og:1-1-11=1.综上可得3-a)的值为1故选B. 2.ABC解析：对于A,由10号=√10·10=√2x3=√6】 故对F侣得-数E 确：对于C.由指对互换可知.因为10°=2.10°=3.那么a= 2.6=3,由换底公式可得-货号2，故C正确：对 于D,因为a=lg2,b=lg3,所以ab=lg2,g3≠g6,故D错 误.故选ABC 3.5解析：设og2a=logb=log65=k,则a=2,b=3,5=6,故 ab=2·3=(2×3)=6=5.故答案为5. 4.解：(1)原式=g1,25+lg8+3+lg2(lg2+lg5)+lg5= g(1.25×8)+4+lg2lg10+lg5=g10+4+g2+g5=1+4+1=6, (2原式=（）广八x(受)）x()+0x之m 3-2 5.A解析：y=log2x是增函数，a=og,0.3<log21=0 y=2”是增函数，b=23>2°=1.又c=0.32=0.09, .0<c<1..b>e>a. 黑白题054