第二章 4.2 简单幂函数的图象和性质-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019)

4.2简单幂函数的图象和性质 白题基础过关 1,ABD解析：根据幂函数的定义，知道y=:,y=x,y=x都 是幂函数，Y=3x不是幂函数，是正比例函数故选ABD 2.C解析：由f代x)是幂函数，可设f(x)=x“,再由其图象经过 点(2.8)，则f(2)=2°=8，解得a=3,所以八x)=x,即f4)= 4=64.故选C 3.D解析：由幂函数定义得m2-4m+5=1,解得m=2.故选D. 4.B解析：：八x)=(m2-m-1)x”是幂函数.m2-m-1=1. 解得m=2或m=-1,当m=2时代x)=x2,图象与x轴有公 共点(0.0)，不合题意：当m=-1时.f(x)=x'图象与x轴没 有公共点，符合题意综上，m=-1.故选B 5D解折：设影两数的解析式为)=.=4与3=4，所以 行)（兮）广子故选n 6.2解析：由1m-1=1,得m=0或2.当m=0时，(x)=x°的 定义域不为R;当m=2时，∫(x)=x2的定义域为R,所 以m=2,故答案为2. 7,D解析：由题图可知，C,:在第一象限内单调递减，则指数α 的值满足《<0：C:在第一象限内单周递增，且图象呈现上凸 趋势，则指数α的值满足0<Q<1;C,:在第一象限内单调递 增，且图象呈现下凸趋势，则指数a的值满足α>1.故选D. 8,B解析：由幂函数y=x的图象恒过点(1,1)，知B选项满 足条件故选B. 9.B解析：设幂函数的解析式为y=x“,因为该幂函数的图象 经过点P化）所以7=，母”=2，解得a=-2.即该 悬函数的解析式为y=x2=,其定义域为xx≠0，值域 为儿>0，又y=为偶函数，且在(0，+)上为减函数，在 (-∞，0)上为增函数.故选B. 10.ACD解析：对于A和B.若函数g(x)=x正确，可得出a< 0,此时二次函数图象开口向下，对称轴为直线x=-1>0. 所给图象符合这一特征的可能是A,不可能是B:对于C,若 函数g(x)=x”正确.可得出a>0,此时二次函数图象开口向 上，对称轴为直线x=-<0,所给图象符合这一特征，故可 能是C;对于D,若函数g(x)=x正确，可得出a>0,此时二 次函数图象开口向上，对称轴为直线￥=- 一<0，所给图象 符合这一特征，故可能是D.故选ACD. 11.(2,3)解析：因为1°=1，故当x-1=1,即x=2时，y=3,即 函数y=(x-1)+2恒过定点(2,3).故答案为(2,3) 12.>解析：设x)=,将点(4,2)的坐标代人得a=2 ∴八x)=x,再根据图象（图略）可知填“>” 13.C解析：由题意知m2-2m-2=1,即(m+1)(m-3)=0,解 得m=-1或m=3,当m=-1时，m-2=-3,则f代x)=x3在 区间(0，+0)上单调递减，不合题意：当m=3时，m-2=1, 则八x)=x在区间(0，+0)上单调递增，符合题意，∴.m=3. 故选C 参考答案 14.C解析：对于幂函数y=(m2-3m+3)x2m-,有m2-3m+3= 1,解得m=1或m=2.当m=1时，m2-m-1=-1.则幂函数为 y=x',显然为奇函数；当m=2时，m2-m-1=1,则幂函数为 y=x,显然为奇函数综上，m=1或m=2故选C, 15.AD解析：将(3.写)代入)=2，可得a=-1,则 九)=上所以：)的图象经过点(.)）A正确：根据 帮函数的图象与性质可知八)=士为奇函数，图象关于原 点对称，在定义域上不具有单调性，函数(x)=】在(0， +x)内的值域为(0，+)，故B,C错误，D正确，故选AD. 16.A解析：因为y=x在(0，+x)上单调递增，所以17<27< 3,即o0L又（分广<1，即c1,综上.6放法九 17.2解析：根据幂函数定义知，m2-5m+7=1,解得m=2 或m=3,当m=2时x)=x2,为偶函数，符合要求：当m= 3时.八x)=x,为奇函数，不符合要求.故答案为2. 18.解：(1)由函数f(x)是幂函数，知m2+m-1=1,解得m=-2 或m=L 因为八x)在(0，+)上单调递 减，所以m=-2. -- 2)由(1)知)==7 定义域为(-0,0)U(0,+）,.. 满足fx)=f八-x), 结合描点法，则八x)的大致图象如图所示. 19.解：(1)(x)=(2m2+m-2)x是幂函数 或m=l.又x)是增函数， 3 2m2+m-2=1.解得m=- ∴.2m+1>0,即m> 2m=1,则f代x)=x (2)f八x)为增函数，.由f(2-a)<f(a2-4)可得2-<a2- 4.解得a>2或a<-3,,a的取值范围是1ala>2或a<-3. 黑题应用提优 1,ABD解析：幂函数的解析式为y=x“(a∈R),当x=1时.无 论α取何值，都有y=1,图象必过点(1,1)，A选项正确：当 a=2时，y=,定义城为R,此函数为偶函数，当a=时。 y=:,定义城为xx≥01，此函数为非奇非偶函数，所以可 能是非奇非偶函数，B选项正确：当《=2时，y=x2,此函数先 单调递减再单调递增，则都是单调函数不成立，C选项错误： 当x>0时，无论《取何值，都有y>0,所以图象不会位于第四 象限，D选项正确.放选ABD. 2.C解析：由题中的函数图象可知，幂函数为偶函数，且幂指 数小于0.当m=0时，m2-4m=0,不合题意；当m=1时，m2- 4m=-3,幂函数为奇函数.不合题意：当m=2时.m2-4m 一4，满足幂函数为偶函数，且幂指数小于0，符合题意：当m= 3时，m2-4m=-3,幂函数为奇函数，不合题意因此m的值 为2故选C 黑白题033 四方法总结 幂函数y=x的性质和图象，由于a的取值不同而比较复杂， 一般可从三方面考查： (1)a的正负：>0时图象经过点(0,0)和(1,1)，在第一象 服的部分“上开”：a<0时图象不经过点(0,0)，经过点(1， 1),在第一象限的部分“下降”： (2)曲线在第一象限的凹凸性：a>1时曲线下凹，0<a<1时曲 线上凸，a<0时曲线下凹： (3)西数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形 式，再根据函数定义城和奇偶性定义判断其奇偶性。 3.C解析：因为y=(m2+m-5)x"是幂函数.所以m2+m-5= 1,解得m=2或m=-3.当m=2时，y=x2,其图象如图①所 示，图象经过第一、二象限： 当m=-3时，y=x3,其图象如图②所示，图象分布在第一 三象限故可得“幂函数y=(m2+m-5)x“的图象分布在第 一、二象限“等价于“m=2”,于是“m=2”可推出“m=-3 或m=2”,而“m=-3或m=2”推不出“m=2”,于是“幂函数 y=(m+m-5)x”的图象分布在第一、二象限”是“m=-3 或m=2”的充分不必要条件，故选C 11 4A解析：由>0>1.则>>1。了>0，又代x)=在 [0.+)上单调递增，所以（停）（信）水)<公) 故选A 5.C解析：因为函数f(x)=(m-2m-2)x为幂函数，所 以m2-2m-2=1,解得m=-1或m=3.因为对任意x1,x2e (0,+)且，英，都有)九) >0.可知函数f(x)在 x,-x2 (0,+)上单调递增.当m=-1时，《x)=x',此时函数f(x) 在(0，+)上单调递减，矛盾，当m=3时，(x)=x,函数在 (0,+)上单调递增，满足条件，所以m=3,(x)=x,函数 fx)=x3为奇函数，在(-，+)上单调递增.由a+b<0,可 得a<-b,所以fa)<f-b),即ra)<-f(b),所以fa)+fb)< 0.故选C. 6.-2解析：幂函数f八x)=x“在(0，+)上单调递减，.< Q当a-3时，f()==子，定义域为(-云，0U 0,)-号=为奇两数.不合 )、1 题意当a=-2时x)=2=,定义城为(-0,0)U 1 (0,+）,f尺-x)= (户八))为偶函数，符合题 意当a=-1时，f(x)=x=,定义域为(-0,0)U (0,+)-)=上=-八x)()为奇函数，不合题 -x 必修第一册·BS 意综上得，α=-2故容案为-2 7.(,号）u(4.+）解折：因为)=（㎡+m-5)· x2如小为幂函数，则m2+m-5=1,解得m=-3或m=2 当m=2时，八x)=x3,为奇函数，不符合题意：当m=-3时， 八x)=x,为偶函数，符合题意，且在(-，0)上单调递减，在 (0,+∞)上单调递增，若f(2x-1)>f(x+3),则12x-11>1x+ 3引，郭得c-号或04，即不等式的部集为(，号)儿 (4+).故答案为x,号)U(4+) 8.解：(1)因为幂函数x)=(m2-m-1)x之2 所以m2-m-1=1,解得m=-1或m=2,所以函数为f代x)=x 或f八x)=x↓= (2)①因为f(x)的图象不经过坐标原点，所以f(x)=x'= 色调递减区间为(-，0).(0，+ 区间 ②因为代x)的图象经过坐标原点，所以八x)=x2因为(x)= x2为偶函数，且在区间[0，+x)上为增函数，所以f(12 x1)>1x),即12-x>x1,两边平方解得x<1,所以不等式 的解集为(-，1) §3-§4阶段综合 黑题 阶股强化 1.D解析：函数x)=+4在(0,2)上单调递减.在(2，+0) 上单调递增，不符合题意：由于函数f(x)=x2-4x关于x=2 对称，所以函数(x)为非奇非偶函数，不符合题意：函数 八x)-2:2,可得函数关于直线x=2对 称，所以函数f八x)为非奇非偶函数，不符合题意：函数八x)= )-121 x2-1 =-代x),所以函数代x)是奇 函数，又函数八)=在(0，+)上单调递增，所 以符合题意.故选D. 2.D解析：f尺x)+x2为偶函数，∴f(-x)-x3=x)+x3, ∴八-1)-1=f1)+1=3,.-1)=4.故选D. 3.ABD解析：根据题意， F(x)= 2-2,xe(-x,-2]U[,2,+小由函数解析式可 x2-2,xe(-2,2), 知，F(x)=F(-x),函数F(x)为偶函数，选项A正确：当xE (-,-√2]U[V2,+)时，根据F(x)=0,解得x=±2，此 时方程有两个解，当x∈(-2，N2)时，由F(x)=0,解得x= ±2，不合题意，所以此时方程无解，所以方程F(x)=0有两 个解，选项B正确：根据二次函数的性质，函数F(x)在 (-,-2)上单调递增，选项C错误：根据函数的解析式及 二次函数的性质可得，函数F(x)的单调增区间为 (-x,-√2)和(0,2)：单调减区间为(-2,0)和(2，+）， 所以函数F(x)无最小值，且F(x)=F(2)=F(-√2)=0， 选项D正确.放选ABD, 黑白题0344.2简单幂函数的图象和性质 白题基础过关 限时：45min 题组1幂函数的概念及其应用 8.既在函数f(x)=x的图象上，又在函数 1.·(多选)(2025·河南郑州高一月考)下列 g(x)=x的图象上的点是 ( 函数中是幂函数的是 A.(0,0) B.(1,1) A.y=B.y=x C.y=3x D.y=x 2.苏教教材变式(2025·广东广州高一期 c,) n.(分2) 末)已知幂函数f八x)的图象经过点(2,8)，则 9.(2025·天津西青区高一期末)已知幂函 f八4)= ( A.16 B.32 C.64 D.128 数的图象经过点P2,!),该幂函数的大致 3.(2025·河北承德高一期中)已知函数 图象为 f(x)=(m2-4m+5)x"(m∈R)为幂函数，则m= ( A.-1 B.1 C.-2 D.2 4.(2025·福建厦门高一期中)已知幂函数 0 f八x)=(m2-m-1)x"的图象与x轴没有公共 B 点，则m= () A.-2 B.-1 C.1 D.-2或1 5.(2025·山西阳泉高一期中)已知幂函数 C D A.3 B C.4 D.4 10.(多选)(2025·江苏无锡高一期中)函 6.。(2025·河南南阳高一期中)若幂函数 数f(x)=ax2+2x+1与g(x)=x在同一平面 f八x)=1m-1Ix"的定义域为R,则 直角坐标系中的图象可能为 m三 题组2幂函数的图象及其应用 7.(2025·湖北武汉高一月考)图中C,C2, C,为三个幂函数y=x”在第一象限内的图象， 则指数α的值依次可以是 A.- B13 c218 11.(2025·山东济宁高一月考)不论实数a n 取何值，函数y=(x-1)”+2恒过的定点坐 标是 必修第一册·BS黑白题054 12.已知幂函数f八x)过点(4,2)，若0<x,<18.已知函数f(x)=(m2+m-1)x是幂函 则 f(x)+f八2) 数，且在(0，+)上单调递减. (填“>” 2 (1)求实数m的值： “<”或“=”) (2)请画出f(x)的大致图象 题组3幂函数的性质及其应用 13.·(2025·福建泉州高一期中)已知函数 f八x)=(m2-2m-2)·xm-2是幂函数，且在区 间(0，+)上单调递增，则实数m=( A.-1 B.-1或3 C.3 D.2 14.·(2025·江苏盐城高一月考)若幂函数 y=(m2-3m+3)x2-1是奇函数，则( A.m=-1 B.m=2 C.m=1或m=2 19.(2025·河南商丘高一期中)若幂函数 D.m=-1或m=2 f八x)=(2m2+m-2)x2在其定义域上是增 15."(多选)(2025·陕西咸阳高一期中)已 函数 知函数)=的图象经过点(3，写)，则 (1)求f(x)的函数解析式： (2)若f代2-a)<f(a2-4),求a的取值范围. A)的图象经过点(，g) B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f八x)在定义域上单调递减 D.f(x)在(0，+)内的值域为(0，+∞) 16."(2025·广东广州高一月考)若a=2,b= (兮)广，c=3,则它们的大小关系是（ A.c>a>b B.c>b>a C.aze>b D.b>a>e 17.(2025·湖南郴州高一期末)已知幂函 数f代x)=(m2-5m+7)）x"为偶函数，则 m= 第二章黑白题055 黑题 应用提优 限时：35min 1.(多选)(2025·四川泸州高一期末)下列 b∈R,a+b<0,则f(a)+f(b)的值 关于幂函数的说法正确的是 ( A.恒大于0 B.等于0 A.图象必过点(1,1) C.恒小于0 D.无法判断 B.可能是非奇非偶函数 6.*(2025·河北保定高一月考)已知∈ C.都是单调函数 {-3,-2,-1212.3,若幂函数)= D.图象不会位于第四象限 2.幂函数y=x(m∈eZ)的图象如图所 为偶函数，且在(0，+)上单调递减，则的 示，则m的值为 ( 值为 7.·(2025·山东济宁高一月考)若幂函数 f(x)=(m2+m-5)x223为偶函数，则不等式 f(2x-1)>f(x+3)的解集为 8.已知幂函数f(x)=(m2-m-1)x22m-1 A.0 B.1 C.2 D.3 (1)求f(x)的解析式. 3.*(2025·江苏无锡高一月考)“幂函数y= (2)①若(x)的图象不经过坐标原点，直接写 (m2+m-5)xm的图象分布在第一、二象限”是 出函数(x)的单调区间： “m=-3或m=2”的 ②若f(x)的图象经过坐标原点，解不等式 A.充要条件 f(2-x)>fx) B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.*(2025·重庆江北区高一期中)已知幂 函数f代x)=x,且b>a>1,则下列选项中正确 的是 Af(g)8)》 B.f(后)f(作)B)a) c.)sw)()s号) D)s6)分〉 5.(2025·浙江杭州高一月考)已知幂函数 f八x)=(m2-2m-2)x",对任意x1,x2e （0,+)且，*，都有八)1)>0，若a. x1-x2 必修第一册·BS黑白题056