第一章 3 不等式-4 一元二次函数与一元二次不等式 阶段综合-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019)

解得-3<x<1:当a>0时.原不等式等价于(x-1)(x- 1)(x+3)>0,当>1时.即当0<a<1时，解原不等式可 得-3<<1或；当=1时，即当4=1时，原不等式即 为(x-1)(x+3)>0.解得2-3且x≠1：当0<<1时，即 当a>1时，解原不等式可得-3<或1.综上所述，当 a=0时，原不等式的解集为x-3<x<1:当0<a<1时，原 11 不等式的解集为{-3c<1或D。}:当a=1时，原不 等式的解集为x-3<<1或>1：当a>1时，原不等式的 解集为{x-3r<或>1} 12.解：(1)易知矩形EFHG与矩形MNPQ全等， n LABD=-C02,所以EG=2BG=2xem, BG AB ian∠ADB AB FH 1 AD DH 2 所以DH=2FH=2EG=4xem 又因为BD=√AB+AD=/(45)2+(85)2=20(cm), 所以GH=BD-BG-DH=20-x-4x=(20-5x)cm, 所以S=2EG·GH=4x(20-5x）=-20x2+80x 又因为S=ax2+x,则a=-20.b=80. (2)()可知，20->0每 、解得0<x<4. 因为蓝莓至多能铺满30©m2,若要求该蛋糕铺满水果的区 域面积不小于35cm2, 1-10x2+40x≤30， 1x2-4x+3≥0， 则-20x2+80x≥35，整理可得 4r-16r+7≤0，解得2 0<x<4. 0<x<4. 7 x≤1或3≤x≤2 因为EF=GH=(20-5x)em, 当≤e1时.15≤20-5e:当3≤≤时，≤20 2 5x≤5. 所以3≤EF≤5或15≤EF≤2（平单位：cm). 压轴挑战 0或1解析：由已知可得(x-a+2)(x-a)(x-a2)≥0，易知该不 等式对应方程的三个根为x,=a-2<x2=,x,=a2≥0，且a2>a-2 恒成立： 已知x≥0时.不等式(x-a+2)[x2-(a+m2)x+a3]≥0恒成立. 则当a2=0,即a=0时成立： 当a2>0时，a=a2,-a+2≥0，解得a=1,成立. 综上可得a=0或a=1.故答案为0或1. §3-§4阶段综合 黑晒 阶租强化 1.C解析：由+1≤0可得20解得1≤x<2 x-2≠0， 即A=x-1≤x<2:由x2-4x+3≤0可得1≤x≤3，即B= x|I≤x≤31，则A∩B={xI-1≤x<2∩1x|1≤x≤3|= x|1≤x<2.故选C. 必修第一册·BS 2B解折：因为0，p0.2y=1.则2+(2+） (侵2）小=2*号+4≥12+2√g=24,当且仅当 》=4如，即=6=时，等号成立放选B 3.CD解析：因为x,y>0,所以xy=x+4y+5≥2√x·4y+5= 4V行+5，当且仅当x=4y时取等号，解不等式y≥4灯+ 5口V≥5，所以≥25，当=10y=时取等号.所以可 的最小值为25.故选CD. 4.D解析：一元二次不等式ax2+br+c<0(a,b,c∈R)的解集 为xl-1<x<2,即-l,2为ar2+r+e=0(a,b,ceR)的两实 -1+2= b=-a, 数根，故 了-1x2=￡，即0=-2a,则6-0+4 =a+ a a a>0. a>0. 20x4=4,当且仅当a=4,即a=2时取等号，即6-+4 4 4 的最小值为4故选D. 5.B解析：因为4>0，由基本不等式得c-b=4+2-2≥ 20-2=20-2b0,故66因为+6=2n+2n2 2 - b=at 2-2,两式相减得26=2a+2a+2-4-2+2=2a2+ -a- a a2.做6e+宁+1，所以ba=心-之1=(o-）广片 15>0.故6>a,所以c>b>a.故选B 161 8B解插：由80)，得8=士+子则 x y (x+y-8)(x+y）= x y 2上·号45=9，当组仅当李即2x时等号度立 x Y 令x+y=>0,则(1-8)≥9，解得1≤-1（舍去）或t≥9，则x+ y≥9，当且仅当x=3,y=6时等号成立，即x+y的最小值为 9.故选B. 7.xIx≤-3或x=-1或1<x≤2}解析：原不等式等价于 1(x+3)(x+1)2(x-1)25(x-2)(x-4)2≤0， x-1≠0. 如图所示： x-4≠0. 由高次不等式“奇穿偶不穿”的原则可知，原不等式的解集 为{xlx≤-3或x=-1或1cx≤2{. 8.k≥9解析：方程4x+ 一可转化为k=4x+ x+ 黑白题016 当o0时，方程为=(4+)(+)=42++5：当xx 0时.=（4)(x）=42++5即方程=42 户+5有解。 又0，r+中52245=9，当且仅当r-字 即2=之时，等号成立所以≥9 9.解：(1)关于x的不等式2x2+(30-7)x+3+m-2a2<0的解集 为M,若M中的一个元素是0，把x=0代人不等式，有3+ 3 a-2m2<0,解得a<-1或a>2 (2)关于x的不等式2x2+(3a-7)x+3+a-2a2<0的解集 为M,若M=x-7<x<3引，则-7和3是方程2x2+(3-7)x+ -7+3=30-7 21 3+a-2a2=0的两根，则有 -7x3=3+n-2a2 解得a=5,所 2 以M={x|-7cx<3时，实数a的值为5. 10.解：(1)由AB为直径，得AC1BC,所以BC2=400-x2, .I K 由已知得y产0-字0crc20. 又当污水处理厂是AB的中点时，对学校A和学校B的，总 影响度为0.085 K 即x=102时，y=0.085,代人上式得0.085= 200400-200 解得K=16. 16 所以y表示成x的函数为y740家0r<20). 1+16(+40-2)( (2)存在.y=2+40-400 16 16r2 x2 +400-)≥40（17+ 2. 400-x16x 2 40-Fi6 当且仅当400-r2.16r2 00-即=45时，等号成立. 2 所以AB上存在一点，该点到学校A的距离为45km时，建 在此处的污水处理厂对学校A和学校B的总影响度最小， 最小值为后 11.解：(1)根据题意，①当m+1=0,即m=-1时，y=2x-2,不 符合题意：②当m+1≠0，即m≠-1时，y<1的解集为R,即 (m+1)x2-(m-1)x+m-2<0的解集为R, m+1<0, 即/mc~1, 4=(m-1)2-4(m+1)(m-2)<0.(3m2-2m-9>0, 解得m<127 3 (2)y≥(m+1)x,即(m+1)x2-2mx+m-1≥0.即[(m+1)x- (m-1)](x-1)≥0 ①当m+1=0,即m=-1时，解集为xlx≥1； 参考答案 当a10,甲m1时.(）-≥0， m+1 1解集为减: m+1 当a10.甲m-1时.(）-≤0 m+1 >1解集为1≤引 1- 2 综上所述：当a<1时，解集为{1≤：当 -1时，解集为≥：当>1时，解集为{≤ 或x≥1} (3)(m+1)x2-(m-1)x+m-1≥0.即m(x2-x+1)≥-x2-x+ 1,x2-x+1>0恒成立.m≥ 1.-1+21-.设 x2-x+1 x2-x+1 1-x=6,则1∈ 「131 1-x (1-)2-(1-0+1-1+ .1+ ≥2，当且仅当 1=1时取等号， 1-≤1，当且仅当x=0时取等号， X2-x+1 当x=0时， -x-x+1 =1,∴m≥1. x2-x+1 专题探究1集合的综合问题 黑题 专题逼化 1.C解析：因为A门(CgB)=2引，所以2∈A,所以4+2p-6= 0,得到p=1. 当p=1时，由x2+x-6=0,解得x=2或x=-3,所以-3eB, 放9+2=0，得到=号所以p=1+号号放选℃ 11 2.a≤9解析：因为AS(AnB),所以ASB, 当2a+1>3a-5,即a<6时，4=☑，满足题意： 当2a+1≤3a-5,即a≥6时，则2a1之3，解得1≤a≤9.则 13a-5≤22. 6≤a≤9.综上，a≤9.所以A二(A∩B)的充要条件为a≤9 故答案为a≤9. 3.(1)证明：设xn∈A,六x名+a=xo,将x=xo代人方程(x2+a)2+ a=x,等式成立，。是方程(x2+)产+a=x的解，.n∈B, .ACB. (2)解：A≠☑，x3-x+a=0有实根，4=1-4a≥0， a≤ 集合B为方径(x2+a)2+a=x,即x+2ax2-x+a2+a=0的根 的集合， 由(1)的结论ACB,且集合A为方程x2-x+a=0的根的 集合， .因式x+2ar2-x+a2+a分解后必定含有因式x2-x+a, 由多项式的除法得x+2mx2-x+a2+a=(x2-x+a)(x+x+a+1) A=B,.x2+x+a+1=0无实根或其根为方程x2-x+a=0 的根， 黑白题017§3-§4阶段综合 黑题阶段强化 限时：45min 1,(2025·湖南邵阳高一月考)设集合A= 7.关于x的不等式 (x+3)(x-2)”(x+1) {≤0，集合B=12-4+3≤01，则 (x-1)205(x-4)205 -≤0 的解集为 A∩B= ( 8.(2025·福建泉州高一月考)若关于x的 A.xl-1≤x≤1月 B.{xI1≤x≤3 1 k 方程41x1+ 有解，则k的取值范 C.x|1≤x<2 D.{xl1≤x≤2 x+ 2.(2025·辽宁朝阳高一月考)已知正数x, 围为 y满足3+2y=1,则2x+3的最小值为( 1 9.(2025·江苏无锡高一月考)已知关于x A.36 B.24 的不等式2x2+(3a-7)x+3+a-2a2<0的解集 C.18 D.12 为M. 3.(多选)(2025·广东肇庆高一月考)若x>0, (1)若M中的一个元素是0，求实数a的取值 y>0且y=x+4y+5,则y的值可以为( 范围： A.22 B.24 (2)若M={xl-7<r<3,求实数a的值 C.26 D.28 4.若一元二次不等式a.x2+bx+c<0(a,b,c∈ R)的解集为x-1<x<2,则6-c+4的最小值 为 A.-4 B.-2 C.2 D.4 5.(2024·江苏淮安高一期中)已知实数a, 2 2 b,c满足c-b=a+二-2，c+b=2a2+2a+二，且a> 0 0,则a,b,c的大小关系是 A.b>c>a B.c>b>a C.a>e>b D.e>a>b 6.(2025·福建福州高一月考)已知x+y= L,4+8(x,>0),则x+y的最小值为（ x Y A.53 B.9 C.4+√/26 D.10 第一章黑白题027 10.(2025·江西宜春高一月考)如图，学！11.#(2025·江西南昌高一期末)已知函数 校A和学校B相距20km,现计划在学校外 y=(m+1)x2-(m-1)x+m-1. 以AB为直径的半圆弧（不含A,B两点）上选 (1)若不等式y<1的解集为R,求m的取值 择一点C建造一家污水处理厂其对学校的 范围； 影响度与所选地点到学校的距离有关，对学 (2)解关于x的不等式y≥(m+1)x: 校A的影响度与所选地点到学校A的距离 的平方成反比，比例系数为1：对学校B的影 (3)若y≥0对-切xe{x-?≤x≤}恒 响度与所选地点到学校B的距离的平方成 成立，求m的取值范围 反比，比例系数为K对学校A和学校B的总 影响度为学校A和学校B的影响度之和.记 C点到学校A的距离为xkm,建在C处的污 水处理厂对学校A和学校B的总影响度为 x统计调查表明：当C在AB的中点时，对学 校A和学校B的总影响度为0.085. (1)将y表示成x的函数 (2)判断半圆弧AB(不含A,B两点)上是否 存在一点，使得建在此处的污水处理厂 对学校A和学校B的总影响度最小？若 存在，求出该点到学校A的距离，以及总 影响度的最小值：若不存在，说明理由. 必修第一册·BS黑白题028