第一章 3.2 基本不等式-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019)

3.2基本不等式 白题 基础过关 很时：45min 题组1基本不等式的理解 6.人教材变式(2025·江西鹰潭高一月考) L.*(多选)给出下列条件：①ab>0:②ab<0: 若0<<4，则2x(4-x)有 ( b a ③a>0,b>0:④a<0,b<0.其中能使+≥2成 A.最大值2 B.最大值4 a b C.最大值8 D.不能确定 立的条件有 ( 7.(2025·河北承德高一期末)已知0<x< A.① B.② C.③ D.④ 2.下列几个不等式中，不能取到等号的是 1,则+ 16 的最小值为 ”x'1-x ( ( A.25 B.6 C.10 D.5 A.E+1≥2(x>0) 8.(2025·广东江门高一期末)若x>0,则 x B.1+2 ≥22(x≠0) 2x2-3x+山的最小值是 C.4≥1(<0) 题组4 利用基本不等式求最值之有条件求 x161 最值 D.x2+5+ 1 ≥2(xeR) 9.·已知4a2+b2=6.则ab的最大值为 0+5 ( 题组2利用基本不等式比较大小 3 3.*(2025·广东江门高一月考)已知x>0,A= A. B. c D.3 x-2,B=-,则A与B的大小关系是( 10.(多选)(2025·浙江绍兴高一月考)已知 x,y为正数，且xy=1,则下列说法正确的是 A.A≥BB.A≤BC.A>B D.A<B 4.(2025·浙江绍兴高一月考)已知a,b为 ( 互不相等的正实数，下列四个数中最大的是 A.x+y有最小值2B.x+y有最大值2 ( C.x2+y2有最小值2D.x2+y2有最大值2 2 11.(2025·广东深圳高一期末)已知正数 A./ab B. 11 a b x,y满足上+2=1，则2x+y的最小值是 a +b ( ) C.2 A.8 B.6 C.4 D.2 题组3利用基本不等式求最值之无条件求最值 12.(2025·河南周口高一月考)若正实数 5.(2025·江西上饶高一月考)已知m>3, a,b满足a2+b2+ab=3,则a+b的最大值为 4 则m+一的最小值为 ( m-3 ( A.1 B.3 C.5 D.7 A.1 B.2 C.2w3 D.4 第一章黑白题019 13.(2025·湖南长沙高一期中)已知正数a, 题组6利用基本不等式解决实际问题 b满足(a-1)(b-2)=2,则8a+b的最小值为 18.·(2025·云南昆明高一期中)某生物制药 ( 公司为了节约成本开支，引人了一批新型生 A.18 B.14 C.12 D.10 物污水处理器，通过费用开支的记录得知 14.·(2025·四川广安高一月考)若x>0,y> 其月处理成本y(元)与月处理量x(吨)满足 0且x+2y=1,则上+产的最小值是 函数关系式y=2x2-180x+20000.则当每吨的 ( 平均处理成本最低时的月处理量为() A.1+22 B. 3 A.80吨B.100吨C.120吨D.150吨 2 +2 19.(2025·河南南阳高一期中)制作一个面积 3 C.2 0.2 为1m且形状为直角三角形的铁支架，较经济 (够用，又耗材最少)的铁管长度为() 15.·苏教教材习题(2025·江苏连云港高一期 A.4.6mB.4.8mC.5mD.5.2m 末)若>0，y>0,且y=4,则上+4的最小值 20.某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗 费的精力增多，因此不满意度升高.当住第 为 n层楼时，上下楼造成的不满意度为n.但高 16.(2025·湖南长沙高一月考)已知正实 处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因 数a,b满足√a+√b+1=4,则a+b2的最小值 此随着楼层的升高，环境不满意度降低.设住 是 题组5利用基本不等式证明 第n层楼时，环境不满意程度为8则此人应 17.已知a,b都是正数，求证：a+b+1≥√ab+ 选第 楼，会有一个最佳满意度， a+/B. 重难聚焦！ 题组7利用基本不等式解决恒成立问题 21.(2025·山东济宁高一月 考)设0m<),若1± ≥k恒 m1-2m 成立，则k的最大值为 ( A.2 B.4 C.6 D.8 22.。(2025·安微芜湖高一月考)已知a> 0,b>0,若不等式m a+b 恒成立，则m a+b ab 的最大值为 ( A.4 B.6 C.8 D.9 23.(2025·山东淄博高一月考)若对任 意x0,2+5x+ ≤a恒成立，则实数a的 取值范围是 必修第一册·BS黑白题020 黑题 应用提优 限时：40min 1.(2025·江苏连云港高一月考)已知x>1,5.(2025·天津津南区高一月考)已知x>0,y> y>0,x+y=3,则(x-1)·y的最大值是( 0,且1+11 C.g 且+3,2则x的最小值为 A. D.1 6.#(2025·广东佛山高一月考)已知正实数 2.(2025·广东东莞高一月考)已知a,b>0 a,b满足a+2b+5=ab,且不等式，m 10-2ab 且ab=2,则(a+1)(b+2)的最小值为( 2a+h2a+2b+5 A.4 B.6 恒成立，则实数m的取值范围是 C.22 7.鞋(2025·江苏扬州高一期末)已知x>2. D.8 3.(多选)(2025·四川成都高一期中)下列 y>0,xy=y+4. 函数的最小值为4的是 (1)求x+y的最小值： ( (2)求(x-1)2+y2的最小值： 4 A.y=x+- B.y=x+- +1(>1) (3)求+，4的最小值 C.y4-4r+9 4-y x2+13 (x>0)D.y= 2x 2+9 4,。(2025·黑龙江哈尔滨高一月考)《九章 算术》卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七 里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有 木，问出南门几何步而见木？”其算法为：东门 南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘 积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被 除数除以除数得结果，即出南门x里见到树， 9x2x(7x2） 则x= 若一小城，如图所示， 15 出东门1200步有树，出南门750步能见到此 树，则该小城周长的最小值为（注：1里= 300步) ( 0:东 压轴挑战 南门 #已知正数a,b,c满足a+2b be ee 22 4,c>1,则 的最小值 A.4√/10里 B.6/10里 2a b 2 e-1 为 C.8/10里 D.10√/10里 第一章黑白题0212.A解析：6-3y=2(x-y)+(4r-y),因为-4≤x-y≤-1，所 以-8≤2(x-y）≤-2，又-1≤4x-y≤5，所以-9≤2(x-y)+ (4r-y)≤3.即-9≤6x-3y≤3故选A 3.ABD解析：对于A.由x>y>:且x+2y+:=0得x+2y+:< x+2x+x=4x,所以4x>0.x>0,A正确： 对于B.x+21+>+2:+:=4:,所以4<0，<0，B正确： 对于C,取x=1,y=0,=-1,则y=,C错误： 对于D,由>：得0<y-,所以>1因为<0，所 x-Y x-: 以，号二D正晚放法Am 4.ABD解析：因为a+b+c=d+e+fa+b+e>e+d+f,所以e- c>c-e,所以e>e又因为a+b+fc+l+e,所以c-f-c,所以e>f, 所以e>c>f.C错误.又因为a+e<b,所以a<b.e<b.所以b>e>c, b>e>f,b>c>f均成立，ABD正确.故选ABD. 4.4 7'7c1, 5.444 77k7L, 解析：依题意.知第二次敲击铁钉没有全 kEN' 部进人木板，第三次敲击铁钉全部进人木板，所以 4.4 44 771, 771, 7+71故答案为4+4+4 4.4.4 77h7R1, keN'. eN'. 6.1<’<工解析：因为三个式子很明显都是负数，所以 xx y x y ye0.D,所以上：厨理 1=ye(0,1),所以y x 综上，1y<上 7.-1≤90≤20解析：由-46≤a-c≤-6≤4如-c≤5b可 得46≤a-c≤-6. -b≤4a-e≤5b. 令9a-c=m(a-c）+n(4a-c）,整理可得9a-c=(m+4n)a- 5 m=一 (m+ne,所以mt9,解得 3 所以9a-e= (m+n=1。 8 n3 (a-)() 5 3,可得 将-46≤a-c≤-b两边同时乘- 36s 3(a-e)5 斗m 将-≤4e≤动两边同时乘号可得-受≤骨(-e)≤ 两武相加可得-学≤-弓(a-)骨(-e)≤ 必修第一册·BS 号.即-6≤9rt≤2w。 因为>0，所以-1≤≤20 8.(1)解：因为a2+b2-(4a-26-5)=a2-4a+4+b2+2b+1= (a-2)2+(6+1)2≥0， 故a2+≥4a-2b-5. (2)证明：因为a>0.6>0,所以a+b>0,又，2。+W a b ab (a+b)(a2-ab+b2) ab 因为2+≥2ab,所以有+分=a+)(a+） ab a+b)(2b-ab=a+b.当a=b时.等号成立，因此。+6≥ ab atb. 9.(1)解：第一种方案，两次加油共花费30×5+30×4= 270(元)，两次共加了60升燃油，所以平均价格为270 60 4.5(元/升)： 第二种方案，两次加油共花费200+200=400（元）.两次共加 了20,20=90（升）燃油，所以平均价格为 5* 4 (2)证明：由题意可得第一种方案，两次加油共花费(30m+ 30加)元，两次共加了60升燃油，所以平均价格为30m+30n 60 m空”（元升）： 第二种方案，两次加油共花费200+200=400（元），两次共加了 /20200 升燃油.所以平均价格为02（元/升）。 m n 200200m+n m n mn2mn (mtn)'-4mn (m-n) >0,所以选择第二种 2 m+n 2(m+n)） 2(m+n) 加油方案比较经济划算。 3.2基本不等式 白题 基碰过关 1.ACD解析：用基本不等式的前提是“一正，二定，三相等”， 即当片，：均为正数时，可得片片≥2（省且仅当a=6时等 a b 号成立)，此时只需4，b同号即可，所以①③④均满足要求 敌选ACD. 四易错提醒 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： (1)“一正”：各项必须为正数： (2)“二定”：要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转 化成定值：要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转 化成定值： (3)“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号戒 立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这 也是最容易发生错误的地方。 黑白题010 2,D解析：对A,当且仅当=，即x=1时等号成立： 2 对B,当且仅当1x=即x=士w2时等号城立： 对C,当组仅当后即-8时等号成立： 对D,当且仅当层+5=1，即=-4时等号成立，无 x2+5 解，故等号不成立.故选D. 3.A解析：因为D0,小=2，B=,所以4-B=-2+> :·工-2=0，即A≥B,当且仅当x=1时等号成立.放 2 选A. 4,C解析：因为，b为互不相等的正实数，所以由重要不等 式可得a2+b2>2ab.则2(a2+b2)>a2+b2+2ah=(a+b)2,所以 a2+b2(a+b) 2 4,则 th a+b 2> 2>v品，由基本不等式可得 22 2一因 ,所以口节a>因 a b a+6 此.最大的数为 √2故选c m-3m-3+ -3+3≥ 4 5.D解析：当m>3时，m 4 2/(m-3)· +3=7，当且仅当m-3= m-3 4即m=5时取 m- 等号，所以m的最小值为放选D 8C解折：由据本不等式，得(4=)≤[生]”=4当 且仅当x=4-x,即x=2时等号成立，故2x(4-x)有最大值8， 故C正确，ABD错误，故选C 7A解折：由题意得100.则治（任9）1 x)=+16 x I-x 17≥2，/.16 x I-x +17=25,当且仅当 停即=时，等号成立故上的最小值为5故 xI-x 选A 8.22-3解析：因为>0，所以2-3x+1=2+1-3≥ 223=27-3.当且仅当2x=即x=号时取等 号.故答案为22-3 9.B解析：由题意得6=4a3+62=(2a)2+b2≥2·2a·b,即 s3 ,当且仅当2a=6,即4= 2,6=3或a=-3 -5时等号成立，所以山的最大值为故选B 10.AC解析：x,y为正数，且y=1,则有x+y≥2√g=2,x2+ y2≥2y=2,当且仅当x=y=1时等号成立，所以x+y有最 小值2，x2+y2有最小值2.故选AC. 参考答案 11.A解析：因为正数，满足+2=1，则2x+y=(2x+ x y (号）2华2停子4=当且仅当 上.，即x=2,y=4时取等号，所以2x+y的最小值是8 x Y 故选A. 12.B解析：a2+62+ab=3,∴a2+62+2ab=3+a.a>0,b>0, a+b)2(a+b)2 (a+b)2-3=ab≤（2) 4…a+h≤2，当且仅当 a=b=1时取等号，故选B 13.A解析：由题意8a+b=8(a-1）+(b-2)+10≥ 2√8(a-1)·(-2)+10=18,当且仅当8(a-1)=6-2,即 a=2,b=6时，等号成立，故8a+b的最小值为18故选A 3 14.A解析：因为>0，>0且x+2y=1,所以L+怎=+2 x Y =12y≥1+2,×=1+22，当且仅当x=2- y x y 1=1号时等号成立.故注九 15.2解析：由0，>0，则上+4≥2，任=2，当且仅当 X Y Nxy 上=4，即x=1.y=4时等号成立所以上+4的最小值 x y 为2 187解标：学≤受可如可 a+b2+1 2 ≤2 当且仅当a=+1,即a=4,b=3时，等式成立. 2 =4,即a+62≥7，当a=4,b=3 时，a+b2的最小值是7.故答案为7. 17.证明：由a,b都是正数.则a+1≥2a,b+1≥2万.a+b≥ 2ab,所以2(a+b+1)≥2（√ad+a+6),即a+b+1≥ √ab+a+石，当且仅当a=b=1时取等号. 四易错提醒 利用基本不等式求最值或证明不等式时，注意等号能否同时 成立 18.B 解析：依题意，每吨的平均处理成本兰= 2+10000 10000 -180≥2×2x· -180=220.当且仅 当x=10000.即=100时取等号，所以当每吨的平均处理 成本最低时的月处理量为100吨故选B. 19.C解析：设一条直角边为xm,由于面积为1m2,所以另 一条直角边为子m,所以斜边长为，户()m,所以 周长为x+ 22·(-2a2-48(,当且仅当2且 黑白题011 =(径)厂，即=时取等号，所以较经济梦用，又花材 最少)的铁管长度为5m,故选C 20.3解析：设此人应选第n层楼，此时的不满意程度为y,由 感意知受≥2·夏4以，当且仅当 8,即n=2w2时取等号，但考虑到neN”当n=2时， =2号=6，当=3时=3号-号6号，即此人应连3 楼，不满意度最低.故答案为3. 重难聚焦 21.D解析：由于0<m<分，则得到 3·2m(1-2m)≤2 [22]-g(s1仅当2m=1-2m中m=号 2 时系等学）所以而产士8汉由 1 8 1 2 m1-2mm(1-2m)产水恒成立，放≤8，则k的最大值 为8故选D. 22.A解桥：因为a>0,b>0,≤恒成立，即ms (a+b2_。2++2b_4+b+2恒成立 ab ab b a 又为2·424，当组当- a=b时取等号，所以m≤4，所以m的最大值为4.故选A 23.4≥7 解析：因为>0，所以1≤ x2+5x+1 x++5 2 行，当且仅当=即=1时等号成立， 又对任意x0,2+5x+ ≤a恒成立，所以a≥7故答案为 、1 ≥ 黑题 应用提优 1D解折：由D10y3.得(-)y≤(） 1,当且仅当x-1=y=1时取等号，所以(x-1)·y的最大值 是1.故选D 2.D解析：a,b>0且ab=2,则(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2= 4+2a+b≥4+2/2a·b=8,当且仅当2a=b,即a=1,b=2时 取等号，所以当a=1,b=2时，(a+1)(+2)的最小值为8.故 选D. 3.BC0解析：A选项，当x<0时+≤-4，故A错误： B选项一1-12≥4，当且仅当=2时.等号 成立，故B正确： C选项，可得49=2+》-2≥6-2=4，当且仅当=2 3 2x 2x 必修第一册·BS 时等号成立，故C正确； D选项，令1=√+9，则易知y=F+9+4 144 Vx+9 ≥3)，因为>0.所以当且仅当1=2时.1+4取得最小值 4,与t≥3矛盾，故D错误，故选BC 4.C解析：设GF=x步，EF=y步，由△BEP△FCA得B GF E所以200-a 90000 (步)，所以小城周长为：= GA' ￥750= 2(2+2)=4（x+90000 ≥4×2x· 900000 240010(步)=8/0（里）.当且仅当x=90000,即x= 300√10时取等号，故选C 四重难点拨 基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇 考查，解决这类问题的策略： L先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1” 等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点. 2.要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能 利用基本不等式的形式。 3检验等号是否成立，完成后续问题， 5.5解折：*y2a+3+(3)3=2(* x+3 ）22备3=5当且仅当名 x+3 时，等号成立，所以x+y的最小值为5故答案为5. 6.1mlm≥-18 解析：由题意，m≥(10-2ab)(2a+6) a+2h+5 (2a+46)(2a+b)=」 ab ()26因为（会） (2a+6)=+2+8+46≥10+2， b 化·5=18，当组仅当光 b a 即a=6:2时取等号.所以-（）2+6)≤ a 2 -18,所以不等式，m ≥10-2心恒成立，只需m≥-18即可 2a+ba+2b+5 故答案为mm≥-18. 7.解：(1)因为x>2,y>0,y=y+4, 4 所以=1+4，所以1+>2解得0<4. 4 y>0, 所以=1+4+y≥1+2 ·y=5当且仅当4=，即 4 y y=2,x=3时取等号， 所以x+y的最小值为5. （a-≥2停9=8当且收当9 即y=2,x=3时取等号， 所以(x-1)2+y2的最小值为8 (3)因为=1：p2且0<4，所以4-n0, 黑白题012 所以+4=1+4+4=1+(42，++1+ 4-y r 4-r 4- 当且仅当4=之，即y=2.x=3时取等号， y 4-y 所以号的最小值为5 压轴挑战 52 2 解析：已知正数a,b,e满足a+2b=4,c>1 (a+2b=4, 品)e会·品-受组仅当a子时 b=1 (2a4b 等号 2ab2+c-≥2+ -1=2(-1)+222」 所以c+-+222.222 c-12 2停一受号-受当组收当=3时取等g 2 a=2, 所会。2识号，当组收当公时取等号故将案 e=3 为2 2 §4一元二次函数与一元二次不等式 4.1一元二次函数 白题是础过关 1.B解析：将二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位长度 得到函数y=22+2的图象，再向右平移1个单位长度得函 数y=2(x-1)2+2的图象，故选B. 2.D解析：根据一次函数y=r+c与二次函数y=ar2在同一 平面直角坐标系中的图象可判断出a>0,b>0,c<0,则y= 心24c的图象，开口向上，对称轴为直线=云<0，D正 确.故选D. 3.ABC解析：因为抛物线开口向下，则a<0,又因为抛物线的 对称轴为直线么一1，则6三2血，可得60，且微物线与】 轴的交点在x轴上方，则c>0.对于选项A:可得abc>0, 故A正确：对于选项B:因为b=2a,则2h-3a=4a-30=a<0, 所以3>2b,故B正确：对于选项C:因为函数图象与x轴 有2个交点，所以△=b2-4ac>0,即>4ac,故C正确：对于 选项D:因为抛物线的对称轴为直线x=-1,且抛物线与x轴 的一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，则抛物线与x轴的另 一个交点在点(-3,0)和(-2,0)之间，可知当x=-2时，>0， 所以4a-2h+c>0,放D错误.故选ABC. 4.y=(x-1)2-1(答案不唯一）解析：因为二次函数的图象开 口向上，不妨设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k(a>0), 因为图象关于直线x=1对称，则h=1,又点(0,0)在图象上， 所以a(0-1)2+k=0,即a=-k又因为a>0,所以可取a=1, 参考答案 则k=-1,此时二次函数的解析式为y=(x-1)-1,满足 题意 5.B解析：y=2x2-4x-1=2(x2-2x+1)-3=2(x-1)2-3, .当x=1时ym=-3.放选B. 6.C解析：因为y,=,所以抛物线的对称轴为直线x三 -2+4=1,所以-=1，即2a+h=0又因为，且对称轴为 2 直线x=1,所以抛物线的开口向下，所以a<0,故选C 7.AC解析：由函数值的变化趋势，可知函数为二次函数，且 fa<0. 其图象开口向下，对称轴为直线x=一1，∴ 2-1, .b=2a<0.故选AC 8.解：(1)若a=2,则y=-x2+4x-1=-(x-2)2+3,函数图象开口 向下，对称轴为直线x=2,所以在区间[0,2]上y随x的增大 而增大，在区间[2,3]上y随x的增大而减小，又当x=0时， y=-1,当x=3时，y=2,当x=0时，yn=-1 (2)对称轴为直线x=a,当a≤0时，在区间[0,1门上y随x的 增大而减小，则当x=0时，ym=1-a=3,即a=-2:当0<a<1 时，在区间[0.a]上y随x的增大而增大，在区间[a,1]上y 随x的增大而减小，则当x=a时，y=a2-a+1=3,解得a=2 或a=-1,不符合；当a≥1时，在区间[0,1]上y随x的增大 而增大，则当x=1时，ym=-1+2+1-a=3,解得a=3.综上 所述，a=-2或a=3. 42一元二次不等式及其解法® 4.3一元二次不等式的应用 白题 基础过关 1.D解析：由2x2-9x-5<0,即(2x+1)(x-5)<0,解得- 2 5.所以不等式2-9g-5<0的解集为{<5故 选D. 2.AB解析：对于A:x2+x+1>0中4=1-4<0，则解集为R, 故A正确； 对于B:x2-x+1>0中4=1-4<0，则解集为R,故B正确： -1-5 对于C:2+-1>0中4=1+4=5>0，则解集为{x<2 或1+5 ,故C错误： 2 对于Dx2-x-1>0中4=1+4=5>0，则解集为{xx<2 1-√5 或1+5 2 ,故D错误故选AB. 3.1x1x≤-2或x≥4解析：-2x-8有意义，则有x2-2x 8≥0，解得x≤-2或x≥4. 所以x的取值范围是xx≤-2或x≥4 4.A解析：因为a<a+1,所以(x-a)[x-(a+1)]<0的解为a< x<a+1.故选A. 5c解折：×a0.a(+2)(+）k0(x+2)(+）》> 0,又-。>0不等式的解集为<-2或)。故选C 黑白题013