第一章 2.2 全称量词与存在量词-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019)

2.2全称量词与存在量词 第1课时全称量词命题与存在量词命题 白题 基础过关 限时：20min 题组1全称量词命题与存在量词命题的理解 7.。(2024·广东深圳高一月考)用符号语言 1.·(2025·安徽毫州高一月考)下列命题中 表示下列含有量词的命题，并判断真假： 是存在量词命题的是 (1)任意实数的平方大于0： A.所有能被3整除的整数都是奇数 (2)有的实数的平方等于它本身： B.每一个四边形的四个顶点在同一个圆上 (3)两个有理数的乘积仍为有理数 C.有的三角形是等边三角形 D.任意两个等边三角形都相似 2.(多选)(2025·广东广州高一月考)下列 命题中是全称量词命题的是 A.任意一个自然数都是正整数 B.有的菱形是正方形 C.梯形有两边平行 D.3x∈R,x2+1=0 3.(2025·山东菏泽高一期中)下列与 “HxeR,x2+1≥1”表述意义一致的是( A.有且只有一个实数x,使得x2+1<1成立 B.有些实数x,使得x2+1≥1成立 C.不存在实数x,使得x2+1<1成立 D.有无数个实数x,使得x2+1≥1成立 题组3 根据命题的真假求参数的值或取值 4.将“方程x2+1=0无实根”改写成含有一个 范围 量词的命题的形式，可以写成 8.(多选)(2025·福建福州高一月考)已知 题组2全称量词命题与存在量词命题的真假 命题p:Hx∈{x1≤x≤3，x-a≥0，若命题p 5.·(多选)(2025·湖南邵阳高一期中)下列 是真命题，则实数a的值可以是 四个命题是假命题的是 A.0 B.1 C.2 D.-2 A.VxER,x+2>0 B.3x∈Z,5x+1=0 9.·(2025·黑龙江绥化高一月考)若命题 C.Hx∈R,x2-1≠0 D.3xeZ,1<4x<3 “存在x∈R,使x2-2x-m=0”是真命题，则实 6.给出下列命题： 数m的取值范围是 ①VxeN,x>x2; A.{mlm≤-1 B.{mlm≥-1 ②可以被2整除的整数，末位数字都是2： C.ml-1≤m≤1 D.mlm>-1 ③3xeR,x2-x+1<0: 10.(2025·湖南湘潭高一月考)“x∈R, ④存在一个四边形，它的对角线互相平分， 都有k≤x2-1恒成立”是真命题，则实数k的 上述命题中，真命题的序号为 取值范围是 必修第一册·BS黑白题014 第2课时全称量词命题与存在量词命题的否定 白题基础过美 眼时：20min 题组1含有量词命题的否定 7.(2024·山西朔州怀仁一中高一月考)写 1.·(2025·湖南长沙高一月考)命题“3n∈ 出下列命题p的否定，判断真假并说明理由. N”,使得n>2n2+1”的否定形式是( (1)p:3xeR,x2=-1: A.3neN°，使得n<2n2+1 (2)p:不论m取何实数，关于x的方程m2x2+ B.HneN",使得n<2n2+1 x-1=0必有实数根： C.3neN",使得n≤2n2+1 (3)p:有的平行四边形的对角线相等。 D.HneN°，使得n≤2n2+1 2.(2025·四川成都高一期中)命题“Hn∈ Z,neQ”的否定是 ( A.3n∈Z,nEQ B.Hn∈Z,n年Q C.3n年Z,nQ D.Hn使Z,n使Q 3,(2025·江西抚州高一期中)命题“小数 都是无理数”的否定为 ( A.所有小数都不是无理数 B.有些小数是无理数 C.有些小数不是无理数 D.所有小数都是无理数 4.命题：“a,b,c中至少有一个负数”的否定 形式是 题组2含有量词命题的否定的真假判断 5.·(多选)(2025·广东湛江高一期中)已知 命题p:Hx∈R,2x+3≤0，则下列说法正确的是 重难聚焦∥ ( 题组3含有量词命题的否定的应用 A.p是真命题 8.**已知命题p:日x∈R,x2+2x B.-p:VxER,2x+3>0 C.一p是真命题 a>0.若-p为假命题，则实数a的 D.7p:3x∈R,2x+3>0 取值范围是 6.(多选)下列命题的否定中，是全称量词 A.a>-1 B.a<-1 命题且为真命题的有 ( C.a≥-1 D.a≤-1 A.3xe. 9.(2025·江苏无锡高一月 考)已知命题：“xeR,x2+2x+ B.所有的正方形都是矩形 a=0”为假命题，则实数a的取值 C.3x∈R,x2+2x+2=0 范围是 D.至少有一个实数x,使x3+1=0 第一章黑白题015 黑题 应用提优 限时：30min 1.(2025·江西上饶高一月考)已知命题p:6.(2025·湖南衡阳高一月考)已知集 Vx∈N,√x+1∈N,则-p是 合A={x11≤x≤71，B={x|-3m+1≤x≤m 1},且B≠0. A.3x∈N,Jx2+1∈N (1)若命题p:HxeA,x∈B是真命题，求实 B.Hx∈N,x2+1eN 数m的取值范围； C.3xEN,√+1EN (2)若命题q:Hx∈B,x年A是假命题，求实 数m的取值范围. D.3xeN,Wx2+1￥N 2.(2025·陕西成阳高一期中)已知命题p: Hx>0,x2>x,命题q:3x<0,x3+1>0,则( A.p和g均为真命题 B.一p和g均为真命题 C.p和一q均为真命题 D.一p和-g均为真命题 3.·(2025·广东汕头高一期中)下列命题正 确的个数是 ( ①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词 命题： 压轴挑战 ②命题“Vx∈R,x2+2<0”是全称量词命题； 热(2025·江西宜春高一月考)已知命题pP: ③命题“3x∈R,x2+4x+4≤0”的否定是 Hx∈{x4≤x≤9，x<a+4:命题g:3x∈R, “/xeR,x2+4x+4≥0” x2<a+4. A.0 B.1 C.2 D.3 (1)若p为真命题，求实数a的取值范围： 4.(2025·浙江温州高一月考)根据下述事 (2)若命题p和命题g至少有一个是真命题，求 实数a的取值范围. 实，写出一个含有量词的命题是 13=12, 1+2=(1+2)2, 13+2+33=(1+2+3)2, 13+2+33+43=(1+2+3+4)2 5.#(2025·河南南阳高一月考)已知集 合A={x|0≤x≤a},集合B=x1m2+3≤ x≤m2+4|,如果命题“3m∈R,A∩B≠☑”为 假命题，则实数a的取值范围为 必修第一册·BS黑白题016关$闭合S,打开时，灯泡L不亮，故p是q的充分不必要 条件，C错误：对于D,灯泡L亮，与开关S闭合无关，故p 是9的既不充分也不必要条件，D错误故选A 12.BD解析：若a=0,则原方程为x=0,恰有一个实数根 符合： 若a≠0，则4=4-4a2=0,故a=±1. 故关于x的方程m2+2x+=0恰有一个实数根的等价条件 为a=0或a=±1，ABCD四个选项中，只有BD对应的选项 中的元素构成的集合为0,1，-1的真子集，故选BD. 13.m=-2解析：由于二次函数的对称轴为直线x-受.所 以函数y=x+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件 是-受=1，即m=-2 14.A解析：若命题“x≥2是x>m的必要不充分条件”是真命 题，则|x1x>m军xlx≥2}，则m的取值范围是m≥2. :命题“x≥2是x>m的必要不充分条件”是假命题，则m 的取值范围是m<2.故选A 15.-1,0,1解析：依题意.A={x1x2-4=0=12,-21.若 a=0,则B=☑，满足x∈A是x∈B的必要不充分条件.当 a0时，后={=}：由于eA是后B的必要不充 分条件，所以2=2或2：-2，解得a=1或a=-1,综上所 述，a的所有可能取值构成的集合为{-1.0.1|.故答案为 -1.0.1. 16.解：(1)M∩P={x15<x≤81的充要条件是-3≤≤5，所以实 数a的取值范围是{a1-3≤a≤51. (2)显然，满足-3≤a≤5的任意一个a的值都是M∩P= |x15<x≤8的充分不必要条件，如：a=-3.(答案不唯一) (3)若=-5，显然M∩P={x1-5≤x<-3或5<x≤8.则 a=-5是MnP=xl5<x≤8！的一个必要不充分条件.如图， 结合数轴可知a<-3时符合题意，则实数的取值范围可以 是{ala<-3{.(答案不唯一) 四重难点拨 充分条件，必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上， 解题时需注意： (1)把充分条件，必要皋件或充要条件转化为集合之何的关 系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不 等式组)求解 (2)要注意端点的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求 解参数的取值范国时，不等式是否能够取等号决定瑞点的取 会，处理不当容易出现漏解或增解的现象 黑题应用提优 1.A解析：由UN=N,可知MSN若x=2,则M=11.2,所 以MCN,故充分性满足：若MCN,则x=2或x=3,显然必 要性不满足，所以“署=2”是“MUN=”的充分不必要条件 故选A. 2.ACD解析：依题意，“x<h或x>k+2”是“-4<x<1"的必要不 充分条件.所以≥1或k+2≤-4，解得≥1或k≤-6，所 以ACD选项正确.B选项错误故选ACD. 参考答案 3.B解析：AUB=C,且B不是A的子集，.若xeA,则x∈ C,但若x后C,则x后A或x后B.“xGC”是“xGA”的必要不 充分条件故选B. 4,A解析：由x+1=x+y,得(x-1)(y-1)=0,可得x=1或y= 1,即x,y至少有一个为1，所以“xy+1=x+y”的充要条件为 x,y至少有一个为1，故只有A符合，其他选项均不符.故 选A. 5.BD解析：由已知得p→r→→g:g→r→s,p是g的充分条 件：P是s的充分条件：r是？的充要条件：s是g的充要条件. 故选BD. 6.必要不充分解析：依题意，没有预约，一定不能游园，即游 园的人必须是提前预约的，游园可推出预约，而预约了，可 能不游园.所以“预约”是“游园”的必要不充分条件.故答案 为必要不充分 7.(1)④(2)①解析：由题意有：①ah=0÷a=0或b=0.即 a,b至少有一个为0：②a+b=0→m,b互为相反数，则a,b可 能均为0，也可能为一正数一负数：③a(a2+b2)=0=a=0,b 为任套实数，国a>0-代0火。即a6都不为a综上 可知，(1)使a,b都不为0的充分条件是④：(2)使a,b至少 有+个为0的充要条件是①. 8.充分不必要解析：对于实数a.b,依题意，a≥[a],(b》≥ 6.面[a]=(6).因此a≥k若a≥6，如取a=b=了，有 [a]=0,(b)=1,显然[a]<(b),所以“[a]=(b)”是“a≥b" 的充分不必要条件 压轴挑战 C解析：因为此数为小于5的正整数，所以A={x0<△x<2= {:0<子}，因为xeB是reA的必要不充分条件EG是 x∈A的充分不必要条件，所以C是A的真子集，A是B的真子 集所以子≤5且子号解得号≤43，所以4表示的数字 是1或2，故C正确.故选C 四方法总结 充分，必要条件与集合的关系： P,9成立的对象构成的集合分别为A和B. (1)若A二B,则p是q的充分条件，g是p的必要条件。 (2)若A军B,则P是9的充分不必要条件，9是P的必要不充 分条件 (3)若A=B,则卫是g的充要条件。 2.2全称量词与存在量词 第1课时全称量词命题与存在量词命题 白题 基础过关 1.C解析：对于A,含有量词所有，为全称量词命题，故 A错误： 对于B.含有量词每个，为全称量词命题，故B错误： 对于C,含有量词有的，为存在量词命题，故C正确： 对于D,含有量词任意，为全称量词命题，故D错误故选C 2.AC解析：根据全称量同命题和存在量词命题的定义可以 判断选项AC是全称量词命题，BD是存在量词命题，故 选AC 3.C解析：与“VxR.x2+1≥1”表述一致的是“不存在实数 x,使得x2+1<1成立”故选C 黑白题007 4.HxeR,x2+1≠0解析：由已知，“方程x2+1=0无实根"是 全称量词命题，故可改写为x∈R,x2+I≠0. 5.BCD解析：对于A,因为Hx∈R,x≥0.可得x+2>0.即A 为真命题： 对于B,易知当51=0时=了不是整数，即不存在xe Z,5x+1=0,所以B为假命题： 对于C,易知当x=±1时，x2-1=0,因此C为假命题： 对于D,解不等式1<4红<3可得}<子，显然在取值范围 内不存在整数，即不存在xZ,1<4x<3,可得D为假命题 故选BCD. 6.④解析：若x=1,则x=1,x2=1,此时x=x2,所以命题① 为假命题： 可以被2整除的整数，未位数字还可以是0,4等，命题②为 假命题； 对于VxeR,2-+1=(）广+子>≥子，所以命题③为假 命题： 平行四边形是四边形且对角线互相平分，所以命题④是真 命题 故答案为④】 7.解：(1)“任意实数的平方大于0”用符号语言表示为x∈ R,x>0 当x=0时.0=0，所以Vx三R,x2>0为假命题. (2)“有的实数的平方等于它本身”用符号语言表示为 3xeR.x2=x当x=1时，12=1，所以3xeR,x2=x为真 命题 (3)“两个有理数的乘积仍为有理数“用符号语言表示为 x,y∈Q,yeQ.当x,yeQ时，根据有理数的性质知xye Q,所以Hx,y∈Q,y∈Q为直命题 8.ABD解析：根据题意可知HxE{x1≤x≤3，不等式x≥a 恒成立，可得a≤1根据选项可知实数a的值可以是0， 1,-2.故选ABD. 9.B解析：由题意知命题“存在x∈R.使x2-2x-m=0”是真 命题.即x2-2x-m=0有实数解，故△=4+4m≥0，∴m≥-1， 即实数m的取值范围是mlm≥-1，故选B. 10.k≤-1解析：因为x2-1≥-1.要使“k≤x2-1恒成立”，只 需k≤(x2-1)m,因为x2-1的最小值为-1，即k≤-1，故答 案为k≤-1. 第2课时全称量词命题与存在量词命题的否定 白题 础过关 1.D解析：由题意可知，存在量词命题“3neN,使得 >2n2+1”的否定形式为全称量词命题“VneN°，使得 n≤2n+1”.故选D. 2.A解析：由题意可知，命题"n∈Z,n∈Q”的否定是 “3neZ,ngQ”.放选A 四重难点拨 1,否定全称量词命题和存在量词命题时，一是要改写量词， 全称量词改写为存在量词，存在量词政写为全称量词；二是 要否定结论. 2.判定全称量词命题“Hx∈M,P(x)”是真命题，需要对集 合M中的每一个元素x,证明p(x)成立：要判断存在量词命 题是真命题，只要在限定集合内找到一个x=,使(0)成 立即可， 必修第一册·BS 3.C解析：易知命题“小数都是无理数”的否定为“有些小数 不是无理数”，故选C 4.a,b.c都是非负数解析：命题：“a,b.c中至少有一个负数” 为存在量词命题，所以其否定形式是“a,b,c都是非负数” 5.CD解析：当x=0时，2x+3≤0不成立，故B是假命题 故A错误：由全称量词命题的否定可知，P:HxER,2x+3≤0 的否定为P:3x∈R,2x+3>0,故D正确，B错误：7p是真 命题，故C正确.故选CD 6,AC解析：对于A选项，原命题的否定为Vx∈R,2-x+≥ 0是全称量词命断：子+()广≥0六命超的否 定为真命题，A正确.对于B选项，原命题为全称量词命题 其否定为存在量词命题，B错误，对于C选项.原命题的否定 为Hx∈R,x2+2x+2≠0：x2+2x+2=(x+1)2+1≥1. .x2+2x+2≠0恒成立，则命题的否定为真命题.C正确.对于 D选项，原命题的否定为对于任意实数x,都有x+1≠0：当 x=-1时，x+1=0,命题的否定为假命题，D错误，故选AC. 7.解：(1)因为p:3x∈Rx2=-1,所以命题p的否定：x∈R, x2≠-1. 显然当xeR时，x≥0，x≠-1，命题p的否定为真命题 (2)因为P:不论m取何实数，关于x的方程m2x2+x-1=0必 有实数根，所以命题p的否定：存在实数m,关于x的方 程m2x+x-1=0没有实数根当m=0时，方程x-1=0有实 根，当m≠0时，方程m2x2+x-1=0的根的判别式4=1+4m'> 0,故命题p为真命题，命题p的香定为假命题. (3)P:有的平行四边形的对角线相等，命题p的否定：所有的 平行四边形的对角线都不相等.则命题p是真命题，命题 的否定是假命题 重难聚焦 8.B解析：因为一p为假命题，所以p为真命题，则不等式 x2+2x-a>0在R上恒成立，即a<2+2x在R上恒成立.令y= x2+2x,则y=x2+2x=(x+1)2-1≥-1，所以<-1.故选B. 9.1ala>1解析：命题：“3xeR,x2+2x+a=0”为假命题，则 有HxeR,x2+2x+a≠0，得△=4-4a<0,解得a>1,所以实数 a的取值范围是|ala>1,故答案为ala>1, 黑题 应用提优 1.D解析：p:HxeN,WX+1∈N的否定为3x∈N. √/x+1EN故选D. 2.B解析：对于命题P,当x=1时，x2=x,所以p为假命题，则 p为直命题：对于命题g,当=号时1=了>0，所以g 为真命题综上可知，一p和g均为真命题.故选B. 3.B解析：对于①：因为命题中含有量词“所有的”，故命题 “所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，所以①错误： 对于②：因为命题含有量词V”,故命题“VxeR,x2+2<0” 是全称量词命题，所以②正确： 对于③：命题"3xER.x2+4r+4≤0”的否定是"Hx∈R,x2+ 4x+4>0”,所以③错误.正确的命题个数是1.故选B. 4.Vn∈N”,1’+2+…+n3=(1+2++n)2解析：观察题中式 子可知，一个含有量词的命题是Vn∈N°，1+2+…+ n3=(1+2+…+n)2 5.a<3解析：命题“3meR,A∩B≠☑”为假命题，则其否定 “Ym∈R.AnB=☑为真命题. 黑白题008 当a<0时.集合A=☑，符合A∩B=☑.当a≥0时.因为m2+ 3>0,所以由VmeR,4nB=☑.得a<m2+3对于任意meR 恒成立，又m2+3≥3，所以0≤a<3.综上，实数a的取值范围 为a<3.故答案为a<3. 6,解：(1)由命题p为真命题可得ASB,且B≠☑.则 -3m+1≤m-1 -3m+1≤1，解得m≥8.即实数m的取值范围为 m-1≥7. mlm≥8 (2):9:xeB,xgA是假命题，g:3xeB,xeA是真 -3m+1≤m-1, 命题，即AnB≠O. -3m+1≤7，解得m≥2.即实数m m-1≥1. 的取值范围为mm≥2. 四重难点拨 1.由命题真假求参数的方法步骤： (1)求出每个命题是真合题时参数的取值范围： (2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围。 2.全称量词命题可转化为恒成立问题： 求含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的会义，利 用函数的最值解决 压轴挑战 解：(1)由题意得，p:3x∈xl4≤x≤9，x≥a+4,为直命题，则 9≥a+4,即a≤5，故一p为真命题时，a的取值范围为ala≤5引. (2)当p为真命题时，a+4>9,即a>5,所以p为假命题时，a≤5： 当g为真命题时，a+4>0,即a>-4,所以g为假命题时，a≤-4： 若p,g同时为假命题，则a≤-4， 所以若pP,9至少有一个是真命题时，a>-4,故实数a的取值范 围是1ala>-4. §3不等式 3.1不等式的性质 白题 基础过关 1,D解析：由题意得 70<x+y≤190，故选D. x> 2.T≤40解析：因为货车司机要安全通过该桥，应使货车总 质量T不超过401，所以用不等式表示为T≤40， 3.A解析：M-N=2x2-3+5-(x2-x+4)=(x-1)2≥0，则 M≥N.故选A. 四重难点拨 1比较两个数（式）大小的两种方法：作差与作商， 2.与充要条件相结合问题，用不等式的性质分别判断P→( 和？→印是否正确，要注意特陈值法的应用 3.与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式 的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法. 4.在求式子的范国时，如果多次使用不等式的可加性，式子 中的等号不能同时取到，会导致范围扩大 4,<解析：由(c-2a)-(c-2b)=c-2a-c+2b=2(b-a)<0.故c- 2a<c-2h.故答案为< 5.B解析：对于A,若c<b<0,则b<c2,选项不成立，故 A错误： 对于B.因为b>e,a2≥0，故a2+b>m2+c,故B成立， 对于C,D,若a=0,则选项不成立，故C,D错误放选B 参考答案 6.A解折：对于A,取a=-3,6=-2则>，故A酷误：对 于B由0，号号得a6,放B正确：对于C公名 ab+bm-ab-am_m(b-a 由b>0>0,m>0,得m6-a>0.所 b(b+m) b(b+m) b(b+m)】 以tm:,故C正确：对于D,由c<d,得-c>-d,又a>h,所 "b+mb 以a-e>b-d.故D正确.故选A 7.AD解析：1<a<2且-5<b<3,∴.1-5<a+b<2+3,即-4<a+ b<5,故A正确： 取a=1.8,b=-4.8.则a-b=6.6>6,故B错误： 取a=1.8,b=-4.则ab=-7.2<-5,故C错误： b ,1<a<2,∴.5<5a<10,又-5<b<3.∴，0<b+5a<13,∴， a -5)=450>0s-5<01<a<2-6c-3<-3.又-5 bc3-11<h-3如<06-3.6-30<06<3综上，-5< a a <3,故D正确，故选AD, 8.(1)解：两次降价后，三种方案的降价后的价格从大到小排 列为C>A=B. (2)证明：设原先的价格为a,则方案A经过两次降价后，价 格变为a(1-m)(1-n):方案B经过两次降价后，价格变为 a(1-n)(1-m):方案C经过两次降价后，价格变为a1- m+ 2 ,显然方案A,B的降价后的价格相同， 因为a2a(1-m)1-m)=a[-m-n+(2） 因为n≠m,所以(a>0可得(-空) -a(1 1-m)>0.即a0"） >a(1-n)(1-m),所以C>A=B. 四方法总结 1,比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主 要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差—变 形—一判断正、负。 2.判断不等式是否成立，主要是利用不等式的性质和特殊值 验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特 殊值整证的方法更筒单 黑题 应用提优 1.B解析：对A,当6<0时，ab<ab2,故A错误： 对B,当b<0时1,1 ab ab' 品放B正确： 对C,当b<0时，a>b,故C错误： 对D,当c=a,b<0时，a-c<c-b,故D错误故选B. 黑白题009