第05讲 立体几何初步（基本立体图形、直观图、表面积与体积）（复习温故）-【完美假期—查缺补漏+自主预习】2025高一升高二数学暑假进阶拓展方案（人教A版2019必修第二册）

第05讲 立体几何初步（复习温故） （8.1基本立体图形 +8.2立体图形的直观图 +8.3简单几何体的表面积与体积） 目录 高频考点1：基本图形识别 1 高频考点2：直观图还原原图 4 ①直观图与原图长度关系 4 ②直观图与原图面积 8 高频考点3：侧面展开图 12 ①旋转体侧面积 12 ②几何体表面最短距离（蚂蚁爬行最短问题） 14 高频考点4：体积计算 17 高频考点5：空间几何体内切球问题 21 ①多面体内切球问题（等体积法求半径） 21 ②旋转体内切球问题（独立轴截面法+等面积法求半径） 25 高频考点6：空间几何体外接球问题 29 ①公式法：正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点 29 ②补形法（补长方体或正方体）墙角模型（由一个顶点出发的三条棱两两互相垂直） 31 ③对棱相等模型（补形为长方体） 35 ④单面定球心法（定+算） 40 高频考点1：基本图形识别 1．（2025高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．四边形一定是平面图形 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．每个面都是平行四边形的多面体一定是棱柱 D．用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台 【答案】B 【分析】结合空间四边形定义判断A，结合棱锥的分类B，举反例判断C，结合圆台的定义判断D. 【详解】对于A，有可能是空间四边形，故A错误； 对于B，棱锥的底面边数决定其类型，故B正确； 对于C，可举如下反例（如图），故C错误； 对于D，用一个平行于底面的平面截圆锥，才能得到一个圆台和一个圆锥，故D错误． 故选：B． 2．（24-25高一下·浙江·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 D．棱台的侧棱都相等 【答案】C 【分析】根据多面体的性质和几何体的定义来判断，采用举反例的方法来否定对概念的错误理解. 【详解】对于A，有两个面平行其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱错误， 即A错误，反例如图： 对于B，有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台错误， 即B错误，反例如图： 对于C，圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，故C正确； 对于D，棱台是由平行于底面的平面截得的， 故棱台的上下底面一定相似，但侧棱长不一定相等，故D错误. 故选：C. 3．（24-25高一下·山西·阶段练习）用一个平面去截正方体，则截面不可能是（    ） A．正方形 B．梯形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【分析】可根据空间想象或者结合图形等方法解决. 【详解】用一个平面去截正方体，截面可能是正方形、梯形、等边三角形. 当平面平行于正方体的一个面去截正方体时，截面是正方形，如图，A可能. 如图，截面可以是梯形，B可能. 如图，当平面截取正方体的三个顶点，截面是等边三角形，C可能. 故选：D． 4．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）下列说法不正确的是（　　） A．平行六面体是四棱柱 B．正方体是平行六面体 C．长方体是平行六面体 D．直四棱柱是长方体 【答案】D 【分析】根据长方体、直四棱柱、平行六面体的定义、性质和关系判断即可得解. 【详解】平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，故A正确；正方体的对面平行，是平行六面体，故B正确； 长方体的对面平行，是平行六面体，故C正确；直四棱柱的侧棱垂直底面，当底面不是矩形时直四棱柱不是长方体，故D错误； 故选：D. 5．（多选）（24-25高一下·山西大同·阶段练习）下列选项中，不正确的是（    ） A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 【答案】ABC 【分析】根据棱锥、棱台的结构特征，结合各项的描述和空间想象判断正误即可. 【详解】若用一个不平行于底面的平面截棱锥，不能得到棱台，故A错； 如下图示，矩形与矩形平行且相似，各侧面都是等腰梯形， 但不能保证四条侧棱延长后交于同一点，故B，C错； 由棱锥与棱台的结构特征及关系知，棱台的侧棱延长后必交于一点，D正确． 故选：ABC 高频考点2：直观图还原原图 ①直观图与原图长度关系 1．（2025高一下·全国·专题练习）如图，是的斜二测直观图，其中，，，则边上的高为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】解法一：根据斜二测画法，画出原图形，作出辅助线，即可求解；解法二：根据原图形和直观图的面积倍数关系，得到方程，求出答案. 【详解】解法一：过作交轴于， 作轴于，则，，， 还原得直角梯形如图2，其中，，， 作轴于，则高， 解法二：设的面积为，的面积为， 其中，设边上的高为， 由，得， . 故选：D． 2．（24-25高一下·江苏苏州·期末）如图，按斜二测画法所得水平放置的的直观图为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由斜二测画法和余弦定理计算可得. 【详解】由写二次画法可知，， 在中，由余弦定理， 所以. 故选：A. 3．（24-25高一下·陕西西安·期末）如图，梯形是一平面图形的直观图，若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜二测画法还原图形，利用勾股定理，可得答案. 【详解】由题意还原图形如下图： 则，，由，则， 所以. 故选：C. 4．（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（   ） A．2 B．4 C．6 D． 【答案】C 【分析】利用斜二测画法可还原到原直角坐标系中，再计算边长即可. 【详解】由题意可得还原后的如下图所示： 因为，且轴，轴，所以，所以， 由斜二测画法可知：，则． 故选：C 5．（24-25高一下·天津河西·阶段练习）如图，若斜边长为 的等腰直角三角形（与重合）是水平放置的的斜二测直观图，则的周长为    【答案】/ 【分析】根据斜二测画法先还原直观图得，则有，，利用勾股定理求即可求解. 【详解】因为等腰直角三角形的斜边长为，所以直角边长为， 所以，，所以， 所以的周长为， 故答案为：.    ②直观图与原图面积 1．（24-25高一下·福建三明·期中）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】结合图形可得，求出四边形面积后可得四边形的面积. 【详解】设轴与交点为D，因为轴，轴，所以， 因为轴，所以四边形为平行四边形，故. 又，结合轴，得，故. 所以四边形面积为， 因为四边形面积是四边形的面积的， 所以四边形OABC的面积为. 故选：D. 2．（24-25高一下·贵州黔西·阶段练习）已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，则原四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜二测画法，还原出原图形，求出边长，求出面积. 【详解】 如图所示，作与，根据斜二测画法可知为等腰直角三角形， 因为，所以,在根据勾股定理可知， 如图所以，还原出平面图形，是直角梯形，根据斜二测画法可知， 所以四边形的面积. 故选：B. 3．（24-25高一下·天津·期中）如图所示，是水平放置的的直观图，且，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的规则得出边长再计算求解. 【详解】因为，， 所以， 则的面积是. 故选：D. 4．（24-25高一下·福建三明·阶段练习）已知某一个图形的直观图如图所示，，求原图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直观图得，原图形是长为宽为的2倍的长方形，求出面积可得答案. 【详解】因为，所以， 可得， 原图形是长为，宽为的2倍的长方形，即，， 所以原图形的面积为. 故选：B. 5．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是矩形，，是的中点，则原四边形的面积是 . 【答案】 【分析】首先求出，，即可得到原四边形中，的值，即可求出原四边形的面积. 【详解】根据斜二测画法的定义知在直观图中是等腰直角三角形，所以， 根据勾股定理，，又因为是的中点， 所以，可得在原四边形中，，， 故原四边形的面积. 故答案为：. 核心知识 水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法） （1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或） （2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段. （3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半. （4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图. 方法归纳：设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有. 2、斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于，轴的长度不变． 高频考点3：侧面展开图 ①旋转体侧面积 1．（2025·山东临沂·三模）一圆台的上、下底面半径分别为2、4，体积为，则该圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆台体积公式可得其高为，即可知母线长，利用侧面展开图面积求出圆台的侧面积. 【详解】根据题意可知，圆台上底面面积为，下底面面积为； 设圆台的高为，由体积可得， 解得，所以可得圆台母线长为， 根据侧面展开图可得圆台侧面积为. 故选：C 2．（24-25高一下·浙江·期末）已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，高为4，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出圆台的母线长，再由圆台侧面积公式计算即得. 【详解】由圆台上下底面圆的半径分别为高为， 可求得母线长为. 则 . 故选：D. 3．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）底面半径为2，母线长为4的圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可. 【详解】因圆锥底面半径为2，母线长为4，则其侧面积为. 故选：B. 4．（2024·上海·三模）已知圆锥的底面积为，高为，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，先求底面半径，再根据求，利用圆锥的侧面积公式即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则，，即， 所以，所以圆锥侧面积为， 故答案为：. 5．（24-25高一下·天津·阶段练习）如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形，如果三棱柱的体积为圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为 . 【答案】 【分析】首先根据正弦定理求出正三角形边长与圆柱底面半径的关系，然后根据三棱柱体积求出圆柱底面半径，进而根据圆柱侧面积公式求出侧面积的值. 【详解】设底面正三角形的边长为，则正三角形的高为. 由于直三棱柱的底面是正三角形且在圆柱底面内，可知正三角形的外接圆半径为. 所以根据正弦定理，所以. 易知圆柱母线， 所以三棱柱的体积为. 所以. 那么圆柱的侧面积为. 故答案为：. 6．（24-25高二下·上海·期末）已知平面经过圆锥的轴，且截圆锥所得截面为直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为 . 【答案】 【分析】设圆锥的底面半径为r，根据轴截面为等腰直角三角形，求出，由圆锥侧面积公式得解． 【详解】依题意，设圆锥的底面半径为r， 已知圆锥的轴截面是直角边长为2的等腰直角三角形， 所以，即， 又因为圆锥的母线长为， 所以该圆锥的侧面积为． 故答案为：． ②几何体表面最短距离（蚂蚁爬行最短问题） 1．（24-25高二下·云南·期中）已知正三棱锥侧棱长.一只小蚂蚁从顶点A出发沿着棱锥的侧面爬行一周回到A点，则小蚂蚁爬行的最短距离是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】将三棱锥的侧面展开，则所求最短距离可转化为求的长度，利用勾股定理即可得到答案． 【详解】 将三棱锥三个侧面沿着剪开展开置于同一平面内如图所示，则，所求最短距离为线段的长度， 而，由勾股定理得， 所以虫子爬行的最短距离. 故选：D 2．（24-25高一下·天津河西·阶段练习）如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，，分别是两底面的直径，，是母线．若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是（    ）cm．（结果保留根式） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】在圆柱侧面展开图中，矩形对角线的长度即为所求. 【详解】如图，在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求， 在中，，，. 故选；C 3．（24-25高一下·浙江·阶段练习）已知正方体的棱长为2，若点是棱上的一个动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据展开图结合图形特征计算求解. 【详解】将正方体表面沿展开，如图所示 则. 故答案为：. 4．（2017·全国·高考真题）长方体的长、宽、高分别为，由顶点A沿长方体的表面到顶点路径长度的最小值为 ． 【答案】5 【分析】设出边长，将长方体侧面从不同方向展开，计算展开后的矩形的对角线长度，最短即为所求解. 【详解】不妨设， 将侧面与展成一个矩形，此矩形长宽，对角线， 同理，将与展成一个矩形，对角线长为， 将与是成一个矩形，对角线长为， 综上，由A到最小值为． 故答案为：. 5．（24-25高一下·广西贺州·阶段练习）如图，圆柱的轴截面ABCD是一个边长为6的正方形，一只蚂蚁从点A出发绕圆柱表面先爬到上底面圆周上，再爬到BC的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为 .    【答案】 【分析】将由轴截面分成的半圆柱侧面展成平面图形，再作点E关于直线DC的对称点即可求解. 【详解】将由轴截面分成的半圆柱侧面展成平面图形，得长宽分别为的矩形， 作点E关于直线DC的对称点，连接交于，连接，如图，   ，所以所求最短距离为. 故答案为：. 高频考点4：体积计算 1．（浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高二下学期6月期末联考数学试题）在三棱锥中，和均是边长为2的等边三角形，若，则三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将作为三棱锥的底面，根据垂直关系和线段关系可求出该底面的面积，然后作辅助线找出该底面的高，并通过勾股定理求出，最后根据三棱锥体积公式即可求出答案. 【详解】根据题意，取的中点，连接.    因为为等边三角形，是的中点， 所以. 因为分别为的中点，所以. 因为，所以. 又平面， 所以平面. 又平面，所以. 因为，是的中点， 所以. 又平面， 所以平面. 在中，根据勾股定理得. 在中，根据勾股定理得. 所以三棱锥的体积为. 故选：D. 2．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知圆锥底面半径为3，高为9，用平行于底面的平面截该圆锥，截得的圆台上，下底面半径之比为，则圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似比，结合圆台体积公式即可求解. 【详解】根据相似可知，圆台的上、下底面半径分为1、3，圆台的高为6， 所以由圆台体积公式得：， 故选：B. 3．（24-25高一下·江苏扬州·期末）已知圆锥底面半径为，其侧面展开图是半圆.用一个平行于底面的平面截此圆锥，截去一个高为的圆锥，则所得圆台的体积为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图形的轴截面，利用勾股定理及相似比求出圆台的高，再根据圆台的体积公式即可得解. 【详解】设圆锥母线为，由题意可得：， 解得， 如图，作出轴截面，其中分别为圆台的上下底面圆的圆心， 则， 可得， . 故选：D. 4．（24-25高一下·黑龙江大庆·阶段练习）2021年小米重新设计了自己的品牌形象．新旧图像如图所示，旧logo是一个正方形，新logo可看作一个直径为边长的一半的圆在原正方形内运动，保留它运动过程覆盖的区域就是新logo．类比推理，现有一个棱长为4的正方体，一个直径为2的球在正方体内部滚动，将该球可到达的区域保留，不可到达的区域割去，得到一个几何体，我们称之为“小米正方体”，则“小米正方体”的体积为 ． 【答案】 【分析】根据类比，即可根据圆柱的体积公式即可求解. 【详解】根据类比可知：小球在正方体内部运动，“小米正方体”的8个角合在一起刚好是一个直径为正方体棱长一半的球体， 12条棱除开小球部分，余下的刚好可以组成与球半径相同且高为正方体棱长一半的三个圆柱体. 剩余部分是个类似十字的几何体，可得该几何体的体积为32， 所以“小米正方体”的体积为 故答案为：. 5．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）我们把几何体的表面积与体积的比值称为“相对积”，则棱长为1的正四面体的“相对积”为 ． 【答案】6 【分析】分别计算正四面体的表面积与体积，两者比一下即可得到答案. 【详解】计算表面积： 正四面体由 4 个全等的等边三角形面组成，每个面的边长为 1， 一个等边三角形的面积公式为 ， 总表面积 ； 计算体积： 正四面体的体积公式为 ， 因此，体积 ； 故相对积为 . 故答案为： 6．（24-25高一下·广东惠州·阶段练习）已知正四棱台的上下底面分别是边长为4和8的正方形，侧棱长为4，则该正四棱台的体积为 ． 【答案】 【分析】画出图，先求出正四棱台的高，然后由台体的体积公式求解即可. 【详解】 如图为上下底面的中心，连接，过点作平面垂足为， 在正四棱台中，，所以， ，所以，所以， 又，所以， 故正四棱台的高， 所以该正四棱台的体积为， 故答案为： 高频考点5：空间几何体内切球问题 ①多面体内切球问题（等体积法求半径） 1．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知侧棱长为，底面边长为的正三棱锥，其内切球球心为，球与球以及三棱锥的三个侧面均相切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设球的半径为，三棱锥的表面积为，根据体积分割法，求得，设在底面内的射影为，在上取点，使得，过作平面的平行平面，求得，设球的半径为，求得，进而求得的长. 【详解】设球的半径为，三棱锥的表面积为， 则， 解得， 又由，且， 可得， 设在底面内的射影为， 因为在上，在上取点，使得， 过作平面的平行平面，交，，于点G，T，H， 如图所示，则也是正三棱锥，球即为该三棱锥的内切球， 又因为， 设球的半径为，则，所以， 所以. 故选：B. 2．（2025·四川德阳·三模）六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）.若一正八面体的内切球表面积为，外接球表面积为，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据正八面体的结构特征可得外接球的半径，利用等积法可得内切球半径，进而利用球的表面积公式即可求得. 【详解】如图正八面体，连接和交于点， 因为，，所以，， 又平面，平面，， 所以平面， 设正八面体的外接球的半径为，内切球半径为， 假设正八面体的棱长为， 则，，， ，， 因，则，且为正八面体的中心， 则点到平面的距离为内切球半径， 因为，即， 即，所以， 所以. 故选：C. 3．（24-25高三下·福建泉州·阶段练习）如图，三棱锥中，，，已知平面∥平面，且，三棱锥的内切球同时与平面也相切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到内切球半径和三棱锥高的关系，然后利用等体积的思路列方程，解方程即可得到. 【详解】设点到平面的距离为，三棱锥的内切球的半径为，， 取中点，连接， 因为，所以，， 因为，所以， 因为三棱锥的内切球同时与平面相切，且， 平面∥平面，所以， 由， 得， ， ，解得， 因为，所以，. 故选：A. 4．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意，结合图形，利用侧棱长和底面边长求出正四棱锥的高和斜高；再根据锥体的体积公式和等体积法求出内切球的半径；最后根据球的体积公式即可求解. 【详解】    如图所示：记底面的中心为，点为边的中点. 由正四棱锥的性质可知：侧面，，，为全等的等腰三角形；底面为正方形；底面，. 根据题意可知：在正四棱锥中，侧棱长为，底面边长为， 则， ， . 所以正四棱锥的每个侧面面积为，底面面积为. 设该四棱锥内切球的半径为.    . 根据等体积可得：， 即，即得：. 所以该四棱锥的内切球的体积为. 故选：A. 核心知识 1、多面体内切球问题（等体积法求半径） 例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下： 即：，可求出. ②旋转体内切球问题（独立轴截面法+等面积法求半径） 1．（2025·云南·三模）正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由几何体结构特征，得到内切球与上、下底面切点为上下底的重心，作截面图，设内切球半径为r，根据球的性质，求得，得到正三棱台的高为，结合棱台的表面积公式，即可求解. 【详解】由题意知，正三棱台的上、下底边长分别为和， 可得上下底正三角形的高分别为，， 由几何体结构特征，可得内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 故如图甲所示，作截面，得到图乙， 设内切球半径为r，则，解得，所以正三棱台的高为6， 所以. 故选：D． 2．（24-25高二上·湖北·期中）若圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的余弦值为，则此圆台的表面积与其内切球的表面积之比为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据含内切球的圆台轴截面中的几何性质求出上下底面半径与内切球半径的关系，再应用圆台、球体表面积求法求结果. 【详解】设上、下底面半径分别为、，如图，取圆台的轴截面，作，垂足为，    设内切球与梯形两腰分别切于点，知， 由题意知：母线与底面所成角为，则，可得， 即，得，则内切球的半径， 所以圆台表面积，球的表面积 所以. 故选：C 3．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知圆台存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设球的体积与圆台分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，探讨圆台两底半径与母线的关系，再利用圆台侧面积公式及圆台、球的体积公式求解即得． 【详解】设圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为，高为，内切球的半径为， 显然圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，则，， 由，整理得，而，解得，， 因此圆台的高，， 则圆台的体积， 内切球的体积，所以． 故选： C 4．（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知一圆锥底面半径与其内切球半径的比为，则圆锥表面积与其内切球的表面积之比为 ． 注：在圆锥内部，且与底面和任意一条母线都相切的球，称为圆锥的内切球． 【答案】 【分析】根据过圆锥及内切球球心的截面图中的几何关系，设圆锥的高为，母线长为，可得，，进而根据圆锥和球的表面积可得. 【详解】 由题意，过圆锥的高及内切球球心的截面图如图，设圆锥的高为，母线长为， 则在中，， 由得，又，故， 代入，可得，得，故， 圆锥的表面积为， 内切球的表面积为，故圆锥表面积与其内切球的表面积之比为， 故答案为： 5．（2024高三上·全国·竞赛）若底面边长为2的正六棱柱存在内切球，则其外接球体积是 . 【答案】 【分析】由题意可得内切球的半径，进而可得正六棱柱的高，结合球的体积公式计算即可求解. 【详解】如图，在过球心与棱柱棱垂直的截面中，内切球的半径为，为边长是2的正三角形， 则，即内切球的半径为，所以正六棱柱的高为. 其外接球半径为， 则其体积为. 故答案为： 核心知识 2、旋转体内切球问题（独立轴截面法+等面积法求半径） 例如：等腰绕中线旋转一周形成圆锥，其内切球为球，其轴截面如图，则内切球半径可用等面积法求解：. 高频考点6：空间几何体外接球问题 ①公式法：正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点 1．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知长方体的体积为，且，则长方体外接球体积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，结合题意可得，进而结合长方体外接球半径及基本不等式求得，再根据球的体积公式计算即可. 【详解】在长方体中，设， 因为长方体的体积为，， 所以，即， 所以， 当且仅当时取到等号，所以， 所以长方体外接球体积的最小值为. 故选：C.    2．（23-24高一·全国·单元测试）若长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5,则该长方体的外接球表面积为　(　　) A．50π B．100π C．150π D．200π 【答案】A 【详解】∵长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为3，4，5， ∴长方体的对角线长为： ， ∵长方体的对角线长恰好是外接球的直径 ∴球半径为 ，可得球的表面积为 ． 故选A． 3．（23-24高三上·四川成都·开学考试）边长为1的正方体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正方体的对角线就是其外接球的直径，代入对角线公式，即可求解. 【详解】其外接球直径，所以. 故选：B． 4．（23-24高一下·重庆·期中）正方体内切球与外接球体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨设正方体的棱长为2a，正方体内切球和外接球的半径分别为r和R, 分别求出r和R,利用求得体积公式表示出体积，直接得到体积比. 【详解】不妨设正方体的棱长为2a，正方体内切球和外接球的半径分别为r和R, 正方体内切球的直径等于棱长，所以2r=2a，即r=a； 正方体外接球的直径等于体对角线，所以； 所以正方体内切球与外接球体积之比：. 故选：B 5．（24-25高二上·上海徐汇·期中）正四棱柱的底面边长为1，若直线与底面所成的角的大小为，则正四棱柱的外接球表面积为 ． 【答案】 【分析】由题意求得的长以及外接球的半径即可得解. 【详解】在正四棱柱中，平面， 则为直线与底面所成的角， 依题意可得，又，所以， 所以正四棱柱的外接球的半径为， 所以正四棱柱的外接球表面积为.    故答案为：. ②补形法（补长方体或正方体）墙角模型（由一个顶点出发的三条棱两两互相垂直） 1．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）如图，四棱锥中，平面，四边形为正方形，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可将四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球也是长方体的外接球，由可求出的长，进而可求，即为外接球的直径，从而可得外接球的表面积. 【详解】如图，因为平面，四边形为正方形， 所以可将四棱锥补成长方体， 则四棱锥的外接球也是长方体的外接球. 由平面，所以就是与平面所成的角， 则，所以， 设四棱锥的外接球的半径为， 因为长方体的对角线的长即为其外接球的直径， 所以，所以， 所以四棱锥的外接球的表面积为. 故选：C 2．（2024·陕西汉中·一模）据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，则这个“阳马”的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把四棱锥补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥的外接球直径，由长方体性质求得球半径后可得表面积． 【详解】把四棱锥补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥的外接球直径， 设球半径为，则， 球表面积为． 故选：C． 3．（23-24高二下·江西上饶·阶段练习）三棱锥中，平面ABC，且，且，三棱锥的外接球表面积为（    ） A．16π B．20π C． D．24π 【答案】D 【分析】将三棱锥放入一个长方体中，求出长方体的体对角线，则得到长方体外接球的直径，利用球的表面积公式求解即可． 【详解】解：因为三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC， 不妨将三棱锥放入一个长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球， 因为长方体的体对角线即为其外接球的直径，因为PA＝AB＝2，， 则长方体的长宽高分别为4，2，2，所以三棱锥P﹣ABC外接球的半径， 故三棱锥P﹣ABC外接球的表面积S＝4πR2＝24π． 故选：D． 4．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知三棱锥，底面，，，，，则三棱锥的外接球表面积为 . 【答案】 【分析】由题意将此三棱锥放在长方体中，可得此三棱锥的外接球与这个长方体的外接球相同，由题意可得长方体的对角线，而长方体的对角线与其外接球的直径相同，进而求出外接球的表面积． 【详解】解：因为三棱锥，底面，，，，， 所以将此三棱锥放在长方体中，可得此三棱锥的外接球与这个长方体的外接球相同， 由题意可得长方体的体对角线为， 由长方体的体对角线的其外接球的直径，所以，即， 所以外接球的表面积， 故答案为：． 5．（23-24高三下·重庆·期中）已知三棱锥，为中点，，，且，，，，则三棱锥外接球的表面积为 ，过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的最小值为 . 【答案】 【分析】根据勾股定理及线面垂直的判定定理得底面，补体法求得外接球的半径，代入球的表面积公式即可求解；根据球和棱锥的几何性质、面面垂直的性质定理，结合球的表面积公式和圆的面积公式进行求解截面面积的最小值. 【详解】因为，所以， 又，，所以， 所以，又，， 底面，所以底面， 如图：将该三棱锥放置在长方体中， 根据长方体外接球的直径为体对角线知，为三棱锥外接球的直径， 球心O为的中点，所以外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积为； 设过点的平面为，当时，此时所得截面的面积最小， 该截面为以Q为圆心的圆形，， 因此圆的半径为：， 所以截面面积的最小值为. 故答案为：， 核心知识 ①墙角模型（三条线两个垂直） 题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图） ③对棱相等模型（补形为长方体） 1．（23-24高一下·山东枣庄·阶段练习）已知三棱锥的所有棱长均为2，球为三棱锥的外接球，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把正四面体放置在正方体中，转化为正方体外接球问题，求出半径，代入球的表面积公式求解即可. 【详解】三棱锥的所有棱长均为2， 故可把三棱锥放置在正方体中， 如图    设正方体的棱长为a，则，解得， 三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 故球的半径，所以球的表面积. 故选：D 2．（23-24高一下·广西河池·阶段练习）已知三棱锥的所有棱长均为，球为三棱锥的外接球，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正方体的外接球来研究正四面体的外接球，只需要把正四面体放入正方体中，如图分析研究即可得到球的半径. 【详解】因为三棱锥的所有棱长均为，故可把已知三棱锥放置在正方体上，如图所示，    设正方体的棱长为，则，解得， 三棱锥的外接球就是正方体的外接球，故球的半径， 所以球的体积， 故选：C. 3．（23-24高二上·云南大理·期末）已知正四面体ABCD的表面积为，E为棱AB的中点，球О为该正四面体的外接球，则过DE的平面被球О所截得的截面面积最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据表面积求出四面体的棱长，得出外接球的半径，根据截面圆的性质可得答案. 【详解】设正四面体的棱长为，则，∴， ∴正四面体的高为； 将正四面体放置于正方体中，如图1所示：可得正方体的外接球就是正四面体的外接球， ∵正四面体的棱长为2，∴正方体的棱长为，可得外接球半径满足， E为棱AB的中点，过DE作其外接球的截面，当球心O到截面的距离最大时，截面圆的面积达到最小值， 此时球心O到截面的距离等于O到DE的距离，O到DE的距离为， 可得截面圆的半径为，得到截面圆的面积最小值为. 故选:C.    4．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三棱锥中的对棱相等模型将三棱锥补成长方体，求出半径，结合球的表面积公式即可求解. 【详解】将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球等价于长方体的外接球， 设长方体的长宽高分别为， 则，可得， 所以长方体的外接球半径， 所以三棱锥的外接球的表面积为.    故选：. 5．（2025·河北·模拟预测）在四面体中，，，，则该四面体的外接球的表面积为 ；E，F分别是，的中点，若用一个与直线垂直且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为 ． 【答案】 / 【分析】将四面体补形成长方体，由题设可得出长方体的各棱长，进而求解外接球的半径，再根据球的表面积公式计算即可；分析可得截面与直线垂直，平行于上底面，结合三角形相似可得，设，求出，再结合三角形面积公式及基本不等式求解即可. 【详解】如图，将四面体补形成长方体， 设长方体的棱长，那么四面体的六条棱长都是它的面对角线. 则有，解得：， 而四面体的外接球即为长方体的外接球， 则外接球的半径为， 所以外接球的表面积为； 由分别是，中点，即为长方体两个底面的中心， 而截面与直线垂直，平行于上底面， 故，， 根据平行截比定理得到，，且， 则，而，故有， 设，而， 故， 则截面面积. 故答案为：；. 核心知识 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） ④单面定球心法（定+算） 1．（湖北省部分重点高中2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷）设、、、是同一个半径为的球的球面上四点，为等腰直角三角形且面积为，则三棱锥体积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得外接圆半径，进而可得球心到平面的距离，结合球的性质可知三棱锥的高的最大值，即可得结果． 【详解】不妨设，设，则，所以， 设的外接圆的圆心为，半径为，则， 则球心到平面的距离， 当、、共线且在线段上时，三棱锥的高最大为， 此时三棱锥的体积也最大，最大值为. 故选：D． 2．（24-25高一下·河南·期末）在一个棱长为的正四面体容器（容器壁的厚度忽略不计）内放置四个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设铁球的最大半径为，把四个铁球的球心两两相连可构成一个棱长为的正四面体，求出正四面体的外接球半径，表示点O到底面的距离.由O也是正四面体的中心可得点O到底面的距离为，列方程可得结果. 【详解】 记该正四面体为四面体，铁球的最大半径为， 当铁球的半径最大时，把四个铁球的球心两两相连，可构成一个棱长为的正四面体． 设I为正三角形的中心，则平面， 由平面得， 在中，，， 所以. 设正四面体的外接球的半径为，则，， 在中，有，解得，故， 所以点O到底面的距离为． 因为O也是正四面体的中心，同理可求得点O到底面的距离为， 所以，解得． 故选：D. 3．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）已知正四棱锥的侧棱长为4，其顶点均在同一个球面上，若球的表面积为，则该正四棱锥的体积为（    ） A．16 B．24 C．32 D．36 【答案】A 【分析】首先根据外接球的表面积求出外接球半径，然后根据勾股定理求出底面正方形的边长和正四棱锥的高，最后根据棱锥的体积公式求出体积. 【详解】因为球的表面积为，所以，解得. 所以正四棱锥外接球的半径为4. 为正四棱锥的球心，则平面，因为正四棱锥侧棱长为4， 所以①. 根据勾股定理②. ②-①解得，. 则根据勾股定理可求得底面正方形的边长为. 所以. 所以正四棱锥的体积为. 故选：A. 4．（25-26高一·全国·假期作业）已知直三棱柱的各顶点都在以O为球心的球面上，且，，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理可得所在的截面圆的半径，再结合勾股定理求出球O的半径，结合球的体积公式计算即可. 【详解】在中，由正弦定理得所在的截面圆的半径为 ， 则直三棱柱的外接球的半径为， 则直三棱柱的外接球的体积为. 故选：A. 5．（24-25高一下·河南信阳·期末）已知正三棱锥的外接球是球O，正三棱锥底边，侧棱，点E在线段上，且，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 ． 【答案】 【分析】确定截面最小和截面最大时的位置，即可求出截面圆面积的范围. 【详解】如图，设的中心为，球的半径为，连接， 则， . 在中，，解得. 因为，所以. 在中，， 所以. 过点作圆的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小， 此时截面圆的半径为，最小面积为； 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为. 所以截面圆面积的取值范围是. 故答案为：.    6．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，，若该三棱锥体积的最大值为，则该球的半径为 . 【答案】 【分析】画出示意图，利用体积最大时所处的位置，计算出球的半径即可. 【详解】因为该三棱锥的底面积不变，则若要使体积最大，则三棱锥的顶点和底面分别位于球最大截面的两侧，如图所示：    设球心为，所在圆面的圆心为，则平面； 因为，，，所以是直角三角形， 所以是中点，且， 所以当三棱锥体积最大时，为射线与球的交点， 因为， 所以，解得， 设球的半径为，所以， 解得：. 故答案为：. 7．（24-25高一下·河北·期末）已知球O是四棱锥的外接球，平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，，且．过点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】取BC的中点，由给定条件可得是梯形ABCD外接圆圆心，再由球的截面性质求出球半径，进而求出长即可得解. 【详解】在等腰梯形ABCD中，连接AC，取BC的中点，连接，，如图， 由，，得四边形都为菱形， 则，即是梯形ABCD外接圆圆心， 而O为四棱锥的外接球球心，因此平面ABCD，又平面ABCD， 则，而PA为球O的弦，则过点O垂直于PA的平面必过PA的中点E，连接OE，OA， 于是，而，即有，四边形为矩形，， 因此球O的半径，在中，， ，， ，过点M的球O的最小截面圆所在平面必垂直于OM， 设此时截面圆半径为r，则，所以截面圆面积的最小值为． 故答案为： 核心知识 单面定球心法（定+算） 步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）； ②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上； ③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 立体几何初步（复习温故） （8.1基本立体图形 +8.2立体图形的直观图 +8.3简单几何体的表面积与体积） 目录 高频考点1：基本图形识别 1 高频考点2：直观图还原原图 2 ①直观图与原图长度关系 2 ②直观图与原图面积 3 高频考点3：侧面展开图 5 ①旋转体侧面积 5 ②几何体表面最短距离（蚂蚁爬行最短问题） 6 高频考点4：体积计算 7 高频考点5：空间几何体内切球问题 8 ①多面体内切球问题（等体积法求半径） 8 ②旋转体内切球问题（独立轴截面法+等面积法求半径） 9 高频考点6：空间几何体外接球问题 10 ①公式法：正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点 10 ②补形法（补长方体或正方体）墙角模型（由一个顶点出发的三条棱两两互相垂直） 10 ③对棱相等模型（补形为长方体） 12 ④单面定球心法（定+算） 13 高频考点1：基本图形识别 1．（2025高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．四边形一定是平面图形 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．每个面都是平行四边形的多面体一定是棱柱 D．用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台 2．（24-25高一下·浙江·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 D．棱台的侧棱都相等 3．（24-25高一下·山西·阶段练习）用一个平面去截正方体，则截面不可能是（    ） A．正方形 B．梯形 C．等边三角形 D．钝角三角形 4．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）下列说法不正确的是（　　） A．平行六面体是四棱柱 B．正方体是平行六面体 C．长方体是平行六面体 D．直四棱柱是长方体 5．（多选）（24-25高一下·山西大同·阶段练习）下列选项中，不正确的是（    ） A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 高频考点2：直观图还原原图 ①直观图与原图长度关系 1．（2025高一下·全国·专题练习）如图，是的斜二测直观图，其中，，，则边上的高为（    ） A．4 B． C．2 D． 2．（24-25高一下·江苏苏州·期末）如图，按斜二测画法所得水平放置的的直观图为，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·陕西西安·期末）如图，梯形是一平面图形的直观图，若，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（   ） A．2 B．4 C．6 D． 5．（24-25高一下·天津河西·阶段练习）如图，若斜边长为 的等腰直角三角形（与重合）是水平放置的的斜二测直观图，则的周长为    ②直观图与原图面积 1．（24-25高一下·福建三明·期中）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（   ） A． B．6 C． D． 2．（24-25高一下·贵州黔西·阶段练习）已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，则原四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·天津·期中）如图所示，是水平放置的的直观图，且，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·福建三明·阶段练习）已知某一个图形的直观图如图所示，，求原图形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是矩形，，是的中点，则原四边形的面积是 . 核心知识 水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法） （1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或） （2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段. （3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半. （4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图. 方法归纳：设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有. 2、斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于，轴的长度不变． 高频考点3：侧面展开图 ①旋转体侧面积 1．（2025·山东临沂·三模）一圆台的上、下底面半径分别为2、4，体积为，则该圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江·期末）已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，高为4，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）底面半径为2，母线长为4的圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·上海·三模）已知圆锥的底面积为，高为，则该圆锥的侧面积为 ． 5．（24-25高一下·天津·阶段练习）如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形，如果三棱柱的体积为圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为 . 6．（24-25高二下·上海·期末）已知平面经过圆锥的轴，且截圆锥所得截面为直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为 . ②几何体表面最短距离（蚂蚁爬行最短问题） 1．（24-25高二下·云南·期中）已知正三棱锥侧棱长.一只小蚂蚁从顶点A出发沿着棱锥的侧面爬行一周回到A点，则小蚂蚁爬行的最短距离是（   ） A． B． C．3 D． 2．（24-25高一下·天津河西·阶段练习）如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，，分别是两底面的直径，，是母线．若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是（    ）cm．（结果保留根式） A． B． C． D．4 3．（24-25高一下·浙江·阶段练习）已知正方体的棱长为2，若点是棱上的一个动点，则的最小值为 . 4．（2017·全国·高考真题）长方体的长、宽、高分别为，由顶点A沿长方体的表面到顶点路径长度的最小值为 ． 5．（24-25高一下·广西贺州·阶段练习）如图，圆柱的轴截面ABCD是一个边长为6的正方形，一只蚂蚁从点A出发绕圆柱表面先爬到上底面圆周上，再爬到BC的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为 .    高频考点4：体积计算 1．（浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高二下学期6月期末联考数学试题）在三棱锥中，和均是边长为2的等边三角形，若，则三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知圆锥底面半径为3，高为9，用平行于底面的平面截该圆锥，截得的圆台上，下底面半径之比为，则圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏扬州·期末）已知圆锥底面半径为，其侧面展开图是半圆.用一个平行于底面的平面截此圆锥，截去一个高为的圆锥，则所得圆台的体积为（   ）. A． B． C． D． 4．（24-25高一下·黑龙江大庆·阶段练习）2021年小米重新设计了自己的品牌形象．新旧图像如图所示，旧logo是一个正方形，新logo可看作一个直径为边长的一半的圆在原正方形内运动，保留它运动过程覆盖的区域就是新logo．类比推理，现有一个棱长为4的正方体，一个直径为2的球在正方体内部滚动，将该球可到达的区域保留，不可到达的区域割去，得到一个几何体，我们称之为“小米正方体”，则“小米正方体”的体积为 ． 5．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）我们把几何体的表面积与体积的比值称为“相对积”，则棱长为1的正四面体的“相对积”为 ． 6．（24-25高一下·广东惠州·阶段练习）已知正四棱台的上下底面分别是边长为4和8的正方形，侧棱长为4，则该正四棱台的体积为 ． 高频考点5：空间几何体内切球问题 ①多面体内切球问题（等体积法求半径） 1．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知侧棱长为，底面边长为的正三棱锥，其内切球球心为，球与球以及三棱锥的三个侧面均相切，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川德阳·三模）六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）.若一正八面体的内切球表面积为，外接球表面积为，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 3．（24-25高三下·福建泉州·阶段练习）如图，三棱锥中，，，已知平面∥平面，且，三棱锥的内切球同时与平面也相切，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 核心知识 1、多面体内切球问题（等体积法求半径） 例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下： 即：，可求出. ②旋转体内切球问题（独立轴截面法+等面积法求半径） 1．（2025·云南·三模）正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖北·期中）若圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的余弦值为，则此圆台的表面积与其内切球的表面积之比为（    ） A． B．2 C． D． 3．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知圆台存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设球的体积与圆台分别为，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知一圆锥底面半径与其内切球半径的比为，则圆锥表面积与其内切球的表面积之比为 ． 注：在圆锥内部，且与底面和任意一条母线都相切的球，称为圆锥的内切球． 5．（2024高三上·全国·竞赛）若底面边长为2的正六棱柱存在内切球，则其外接球体积是 . 核心知识 2、旋转体内切球问题（独立轴截面法+等面积法求半径） 例如：等腰绕中线旋转一周形成圆锥，其内切球为球，其轴截面如图，则内切球半径可用等面积法求解：. 高频考点6：空间几何体外接球问题 ①公式法：正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点 1．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知长方体的体积为，且，则长方体外接球体积的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一·全国·单元测试）若长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5,则该长方体的外接球表面积为　(　　) A．50π B．100π C．150π D．200π 3．（23-24高三上·四川成都·开学考试）边长为1的正方体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·重庆·期中）正方体内切球与外接球体积之比为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·上海徐汇·期中）正四棱柱的底面边长为1，若直线与底面所成的角的大小为，则正四棱柱的外接球表面积为 ． ②补形法（补长方体或正方体）墙角模型（由一个顶点出发的三条棱两两互相垂直） 1．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）如图，四棱锥中，平面，四边形为正方形，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西汉中·一模）据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，则这个“阳马”的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江西上饶·阶段练习）三棱锥中，平面ABC，且，且，三棱锥的外接球表面积为（    ） A．16π B．20π C． D．24π 4．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知三棱锥，底面，，，，，则三棱锥的外接球表面积为 . 5．（23-24高三下·重庆·期中）已知三棱锥，为中点，，，且，，，，则三棱锥外接球的表面积为 ，过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的最小值为 . 核心知识 ①墙角模型（三条线两个垂直） 题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图） ③对棱相等模型（补形为长方体） 1．（23-24高一下·山东枣庄·阶段练习）已知三棱锥的所有棱长均为2，球为三棱锥的外接球，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广西河池·阶段练习）已知三棱锥的所有棱长均为，球为三棱锥的外接球，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·云南大理·期末）已知正四面体ABCD的表面积为，E为棱AB的中点，球О为该正四面体的外接球，则过DE的平面被球О所截得的截面面积最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河北·模拟预测）在四面体中，，，，则该四面体的外接球的表面积为 ；E，F分别是，的中点，若用一个与直线垂直且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为 ． 核心知识 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） ④单面定球心法（定+算） 1．（湖北省部分重点高中2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷）设、、、是同一个半径为的球的球面上四点，为等腰直角三角形且面积为，则三棱锥体积的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河南·期末）在一个棱长为的正四面体容器（容器壁的厚度忽略不计）内放置四个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）已知正四棱锥的侧棱长为4，其顶点均在同一个球面上，若球的表面积为，则该正四棱锥的体积为（    ） A．16 B．24 C．32 D．36 4．（25-26高一·全国·假期作业）已知直三棱柱的各顶点都在以O为球心的球面上，且，，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·河南信阳·期末）已知正三棱锥的外接球是球O，正三棱锥底边，侧棱，点E在线段上，且，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 ． 6．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，，若该三棱锥体积的最大值为，则该球的半径为 . 7．（24-25高一下·河北·期末）已知球O是四棱锥的外接球，平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，，且．过点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为 ． 核心知识 单面定球心法（定+算） 步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）； ②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上； ③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径. 学科网（北京）股份有限公司 $$