第03讲 平面向量的应用（6.4.3余弦定理、正弦定理）（复习温故）-【完美假期—查缺补漏+自主预习】2025年高一升高二数学暑假进阶拓展方案（人教A版2019必修第二册）

第03讲 平面向量的应用（复习温故） 目录 高频考点1：三角形四心的向量形式 1 高频考点2：余弦定理 22 ①余弦定理及其辨析 22 ②余弦定理解三角形 24 ③余弦定理边角互化 27 高频考点3：正弦定理 30 ①正弦定理及其辨析 30 ②正弦定理解三角形 32 ③正弦定理边角互化 33 ④三角形解的个数问题 36 高频考点4：判断三角形的形状 39 高频考点5：解三角形综合 44 ①求三角形边长或周长 44 ②求三角形面积 48 ③求三角形边长或周长最值（取值范围） 54 ④求三角形面积最值（取值范围） 63 ⑤三角形中线问题 69 ⑥三角形角平分线问题 74 高频考点6：几何图形中的计算问题 80 高频考点1：三角形四心的向量形式 ①内心 内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； ①设为所在平面上一点,内角,,所对的边分别为,,,则为的内心 ②面积关系式：(其中是内切圆半径) ②外心 外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 设为的外心. . ③垂心 垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； 为的垂心. . ④重心 重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1 为的重心. 1．（2024高一下·上海·专题练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题错误的是（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 【答案】C 【分析】取的中点D，连接，结合奔驰定理可得到，进而即可判断A；设内切圆半径为，从而可用表示出，再结合奔驰定理即可判断B；设的外接圆半径为，由圆心角和圆周角的关系可得，从而可用表示出，进而即可判断C；延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E，根据题意结合奔驰定理可得到，，从而可设，则，所以， 进而即可求，从而即可判断D． 【详解】对于A：取的中点D，连接， 由，则， 所以， 所以A，M，D三点共线，且， 设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得，，所以为的重心，故A正确； 对于B：由为的内心，则可设内切圆半径为， 则有， 所以， 即，故B正确； 对于C：由为的外心，则可设的外接圆半径为， 又， 则有， 所以， ， ， 所以，故C错误； 对于D：如图，延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E， 由为的垂心，，则， 又，则，， 设，则， 所以，即， 所以，所以，故D正确． 故选：C． 【点睛】关键点睛：解答D选项的关键是通过做辅助线（延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E，），根据题意，结合奔驰定理得到，，从而可设，则，由，得，进而即可求． 2．（多选）（23-24高一下·浙江·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若为的外心，则 D．若为的垂心，，则 【答案】ABD 【分析】对于A，由给定的条件和定理可以得到，从而得到为的重心；对于B，由给定的条件和定理可以得到；对于C，设的外接圆半径为，则由，即可验证结论；对于D，对比条件和定理，结合严格的论证，即可得到，再计算证明，即可求出，最后求出即可. 【详解】对于A，若，由，知，故为的重心，A正确； 对于B，若为的内心，设的内切圆半径为，由，知，故，B正确； 对于C，若为的外心，设的外接圆半径为，则 ，C错误； 对于D，若为的垂心，由， 故， 从而，而和都是正数且相加小于，故在内部，所以是锐角三角形. 由在内部，知， 与刚才同理，可由得到. 由不共线，知是一组基底， 故，，从而. 设到对边的投影分别是，的面积为，且我们约定分别简记为角， 由于，， 故相似于，从而， 故可得到， 从而，同理，. 由于，，， 故， 设，，，其中， 则，解得，故. 而， 故，D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对不同的情况，计算出不同的，进而由题目中定理得到一系列性质. 3．（多选）（23-24高一下·山东·阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（   ）    A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 【答案】ABD 【分析】A选项，，作出辅助线，得到，，三点共线，同理可得为的重心；B选项，设内切圆半径为，将面积公式代入得到；C选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值；D选项，得到，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设，，，表示出，，，结合三角函数得到，，进而求出余弦值； 【详解】对A选项，因为，所以， 取的中点，则，所以， 故，，三点共线，且， 同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线， 所以为的重心，A正确；    对B选项，若为的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，B正确； 对C选项，若，，为的外心，则， 设的外接圆半径为，故，， ， 故，，， 所以，C错误；    对D选项，若为的垂心，， 则， 如图，，，，相交于点， 又， ，即， ，即， ，即， 设，，，则，，， 因为，， 所以，即， ，则，D正确； 故选：ABD.    【点睛】关键点点睛：本题考查向量与四心关系应用，关键是利用三角形的几何关系及向量数量积及向量线性表示逐项判断. 4．（多选）（23-24高一下·吉林通化·阶段练习）几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 【答案】ABC 【分析】对A：取边中点，连接，结合奔驰定理，可得，进而可判断A； 对B：设内切圆半径为，进而用表示出，再结合奔驰定理可判断B； 对C：设外接圆半径为，根据圆的性质结合题意可得，，，从而可用表示出，进而可判断C； 对D：延长、、交、、于点、、，根据题意，结合奔驰定理可得，.从而可设，，则，，代入即可求解，进而可判断D. 【详解】对A：如图： 取边中点，连接，由， 所以，所以、、三点共线，且，所以为的重心，故A正确； 对B：如图： 因为则为内心，可设内切圆半径为，则有，，， 所以，故B 正确； 对C：如图： 因为为的外心，设外接圆半径为，有，， 所以，，故， 所以. 故C正确； 对D：由为的垂心，，所以. 如图： 则，. 设，，则，， 所以. 所以.故D错误. 故选：ABC 【点睛】结论点睛：奔驰定理与三角形的“心”： 若为所在平面上一点，则（奔驰定理） （1）为的重心. （2）为的内心. （3）为的外心. （4）为的垂心. 5．（多选）（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联，它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且，则以下命题正确的有（    ）    A．若，则 B．若，则为的重心 C．若为的内心，则 D．若为的外心，则 【答案】BCD 【分析】对于A项，将题设和选项等式中的某个向量分别用其他两个向量表示，得出对应系数相等即得；对于B项，通过取边的中点，将向量等式化简即得；对于C项，利用三角形的内切圆半径将三个小三角形面积表示出来，代入奔驰定理化简即得；对于D项，利用两个已知内角和三角形的外心，求出三个小三角形的对应内角，表示出它们的面积，计算即得. 【详解】对于A项，由可得：， 而由可得：， 因两两互不共线，则必有， 则易得：，故A项错误；    对于B项，由可得①， 如图，不妨取的中点，连接，则有， 代入①式，化简得， 即三点共线，且点是的靠近点的三等分点， 同理可知点也是另两边上的中线的对应三等分点， 故点是的重心，故B项正确； 对于C项，不妨设的内切圆半径为， 则，代入， 可得， 整理得：，故C项正确； 对于D项，不妨设的外接圆半径为， 因为的外心， 则，，， 则. 故，故D项正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：本题主要考查与“奔驰定理”有关的三角形的内心，外心，重心的性质或判定，属于难题. 解决此类问题的方法主要有： （1）与重心有关时，一般从边的中点入手，设法判断三角形顶点，对边中点和重心三点共线即得； （2）与内心有关时，一般从三角形被内心分成的三个等高三角形的面积入手； （3）与外心有关时，一般从三角形被外心分成的三个相等邻边的三角形面积入手，或者利用正弦定理中的外接圆半径入手. 6．（多选）（23-24高三上·江西新余·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：如图所示，已知是内一点，，，的面积分别为，且．以下命题正确的有（   ）    A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，为的外心，则 D．若为的垂心，则 【答案】ABD 【分析】对于A，取中点，连接，由题意可得，即有，同理可得，，即可判断；对于B，设内切圆的半径为，由三角形的面积公式可得，整理即可判断；对于C，设的外接圆半径为，根据题意及三角形的面积公式可得，，，即可判断；对于D，由题意可得，再由三角形的面积公式可得 ，，设，可得，进而可得，，，即可判断. 【详解】解：对于A，取中点，连接，    因为， 则， 所以，， 所以三点共线，且， 设分别是的中点， 同理可得，， 所以为的重心，故A正确； 对于B，因为为的内心， 设内切圆的半径为，    则有， 所以， 即，故B正确； 对于C，因为为的外心， 设的外接圆半径为， 又因为，    则有，，， 所以， ， ， 所以，故C错误； 对于D，延长交于，延长交于，延长交于，如图所示：    因为为的垂心，， 则， 又因为， 则， 设， 因为， 同理可得， 则， 所以， 所以， 所以在中，， 所以在中，； 所以在中，， 所以在中，； 所以 ， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解三角形的重心、内心、外心、垂心. 7．（多选）（23-24高一下·辽宁大连·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的是（    ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 【答案】ABD 【分析】A选项，作出辅助线，得到，故，同理得到，，所以M为的重心，故A项正确；B选项，设内切圆半径为r，得到，，，代入公式得到；C选项，设的外接圆半径为R，表达出，，，从而得到答案；D选项，求出，设，，由面积比得到，，由三角函数值得到方程，得到，同理得到，利用求出答案. 【详解】对于A，取BC的中点Q，连接MQ， 由，则， 所以， 所以A，M，Q三点共线，且， 设R，T分别为AB，AC的中点，同理可得，， 所以M为的重心，故A项正确； 对于B，由M为的内心，设内切圆半径为r， 则有，，， 所以， 即，故B项正确； 对于C，由M为的外心，设的外接圆半径为R， 又因为，， 所以，，， 所以， ， ， 所以，故C错误； 对于D，延长AM交BC于点D，延长BO交AC于点F，延长CO交AB于点E， 由M为的垂心，，则， 又，则，， 设，，则，， 所以，即， 所以，同理， 故，， ∴ ，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】结论点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心， 点为所在平面内的点，且，则点为的垂心， 点为所在平面内的点，且，则点为的外心， 点为所在平面内的点，且，则点为的内心， 8．（多选）（23-24高一下·福建莆田·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心､内心､外心､垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是:已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（   ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若为的外心，则 D．若为的垂心，，则 【答案】ABC 【分析】对A，根据面积关系可得，再结合重心的概念即可得解；对B，内心为内切圆圆心，是角平分线的交点，利用面积公式即可得解；对C，外心为外接圆圆心，是三角形各边垂直平分线的交点，利用垂直关系即可得解；对D，根据奔驰定理结合面积关系即可得解. 【详解】对于A，取的中点，连接，如图所示 由，则，所以，所以三点共线，且，设分别为得中点，同理可得，所以为的重心，故A正确； 对于B， 由为的内心，则可设内切圆半径为，如图所示 则， 所以，即，故B正确； 对于C ，如图所示， 因为为的外心，所以， 所以，即，即， 所以，同理可得， 所以，故C正确； 对于D，延长交于点，延长交于点，延长交于点，如图所示， 由为的垂心，，则， 又，则， 设，则， 所以，即， 所以，所以，故D错误. 故选：ABC. 高频考点2：余弦定理 ①余弦定理及其辨析 1．（24-25高一下·福建三明·期中）在中，“”是“为钝角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分、必要性的定义，结合余弦定理判断题设条件间的推出关系，即可知答案． 【详解】若时，， 所以为钝角三角形； 若为钝角三角形，则不一定为钝角， 所以不一定小于零，即不一定成立， 所以“”是“为钝角三角形”的充分不必要条件， 故选：A． 2．（2024高三上·河南·专题练习）已知的内角，，的对边分别为a，b，c，且，若，则角不可能（    ） A．为直角 B．为锐角 C．为钝角 D．在之间 【答案】C 【分析】选项A，当时，角为直角，从而判断出选项A的正误；选项B和C，当，根据条件可得，再利用余弦定理可得为锐角，从而可判断出选项B和C的正误；选项D，根据条件可得，，再利用三角形的性质，可得，从而得出选项D的正误. 【详解】当时，由，得到角为直角，故选A错误； 当时，由，且，得到，所以， 故，得到，所以， 即为锐角，不可能为钝角，故选项B错误，选项C正确， 又由，得，，故，即，故选项D错误， 故选：C. 3．（23-24高三上·辽宁朝阳·开学考试）分别为内角的对边．已知，则的最小值为 ． 【答案】/0.6 【分析】因为，所以代入，得到，并结合基本不等式，得到的最小值. 【详解】由余弦定理得． 当且仅当时，取等号. 所以的最小值为 故答案为： 4．（24-25高一下·云南楚雄·阶段练习）在中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据余弦定理计算即可. 【详解】因为， 所以由余弦定理可得. 故答案为： 5．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）在我们的中还有这样一些有趣的性质，比如射影定理：，证明它的最直接的方法是利用余弦定理，或者是作一条高并利用锐角三角函数有关知识即可证明，若，则是 （“锐角”，“钝角”，“直角”）三角形． 【答案】锐角 【分析】将已知条件转化为边长之比，再结合余弦定理计算即可. 【详解】， 故我们只需要考虑角是锐角、直角还是钝角即可， 注意到，故角是锐角． 故答案为：锐角. ②余弦定理解三角形 1．（24-25高一下·湖北武汉·期末）已知锐角三角形边长分别为2，3，x，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】根据三角形的性质，求得，再由为锐角，结合余弦定理，求得的范围，即可求解. 【详解】设三角形为，且， 由三角形的几何性质，可得， 由三角形是锐角三角形，，所以只需要为锐角， 则，即，解得 ；，即，解得， 综上可得，，即的取值范围为. 故选：C. 2．（24-25高一下·广东佛山·期末）在中，，，，则（   ） A．9 B．10 C．12 D．15 【答案】C 【分析】利用余弦定理即可求解. 【详解】在中，，，， ，，，， ，即. 故选：C. 3．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知钝角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形边的特点及边角关系，结合余弦定理即可求解. 【详解】∵，且为钝角三角形，∴C为钝角. 由余弦定理，得， ∴，解得. 又中，两边之和大于第三边，即，∴. 综上，实数k的取值范围是. 故选：C 4．（24-25高一·全国·假期作业）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，的角平分线交边于点D，且，则 . 【答案】/ 【分析】法1，由角平分线性质定理可得，由，结合余弦定理列式求得，再由余弦定理求得答案；法2，同法1得，再由Stewart公式，求得，再由余弦定理求得答案. 【详解】法1：如图，由角平分线性质定理得，即，设，则， 由图可知，所以，即， 解得：，所以，故. 解法2：如图，由角平分线性质定理，，即，设，则， 由Stewart公式，，解得：，所以， 故. 故答案为：. 5．（24-25高一下·甘肃兰州·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且是方程的两个根，，则c的值是 ． 【答案】 【分析】利用韦达定理得到，，再由余弦定理计算可得. 【详解】因为是方程的两个根，所以，，又已知， 则由余弦定理得， 所以． 故答案为：． 6．（24-25高一·全国·假期作业）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，点D在上，是的平分线，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意作图，根据角平分线性质可得线段比例，设出线段长，由三角形三边关系建立不等式组，可得线段长的取值范围，利用余弦定理，建立方程，结合二次函数性质，可得答案. 【详解】 由角平分线性质定理，，所以， 设，，则，由得：， 由图可知，所以， 即，化简得：， 因为，所以. 故答案为：. 7．（24-25高一·全国·假期作业）在中，角，，所对的边分别为，，，的平分线交于点，且满足，，，则 . 【答案】 【分析】利用角平分线性质结合面积公式得到，再利用余弦定理即可得解. 【详解】由已知， 因为， 所以， 又，， 所以，即，化简得， 所以. 故答案为：. ③余弦定理边角互化 1．（2024高三·全国·专题练习）在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据二倍角公式可得，即可利用余弦定理化简得求解. 【详解】在中，由已知得，所以， 根据余弦定理，得 所以，即， 因此是直角三角形. 故选：B. 2．（23-24高一下·吉林通化·期末）在中，角所对的边分别为，若，则为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】利用余弦定理将已知等式统一成边的形式，化简可得答案. 【详解】因为， 所以由余弦定理得， 所以，所以， 所以为直角三角形. 故选：A. 3．（23-24高一下·河南漯河·期末）三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【分析】根据余弦定理进行转化，判断三角形的形状. 【详解】由余弦定理，， 因为，所以. 故选：A 4．（23-24高一下·天津滨海新·期末）已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由余弦定理化角为边，整理后得，即得结论. 【详解】由和余弦定理得，， 化简得，， 整理得，，则得，或， 即为等腰或直角三角形. 故选：D. 5．（24-25高一下·上海·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.则角 . 【答案】 【分析】由已知及余弦边角关系得，再应用余弦定理求角的大小. 【详解】由题设，，则， 所以，，则. 故答案为： 6．（2024高三·全国·专题练习）记的内角、、的对边分别为、、，已知，求. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理角化边，再利用余弦定理求出. 【详解】在中，由及余弦定理 得，化简得， 由余弦定理得，而， 所以. 核心知识点（注意灵活记忆公式） 1、在中，内角，所对的边分别是,则： ； 2、余弦定理的推论 ； ； 高频考点3：正弦定理 ①正弦定理及其辨析 1．（24-25高一下·全国·课堂例题）若在中，“”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】C 【分析】在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】在三角形中，若，根据大角对大边可得边， 由正弦定理得. 若，则由正弦定理得， 根据大边对大角可知， 所以“”是“”的充要条件． 故选：C． 2．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）在中，内角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理计算可得. 【详解】由正弦定理可得, 再由和比定理得. 故选：C. 3．（2024·湖北黄石·三模）若的三个内角，，所对的边分别为，，，，，则（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】根据正弦定理和比例的性质可得，可得结果. 【详解】在中，，所以，所以， 由正弦定理以及比例的性质可得：. 故选：B 4．（多选）（23-24高一下·湖南邵阳·期中）已知角A，B，C是三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用三角形的内角和，以及正弦定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，在中，因为，可得，所以A正确； 对于B中，由，可得，所以B不正确； 对于C中，因为，由正弦定理得，所以，所以C正确； 对于D中，因为，可得，由正弦定理得，所以D正确. 故选：ACD. 5．（多选）（23-24高一下·广西玉林·阶段练习）设的内角的对边分别为．若，，则角可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由正弦定理结合边的大小关系得出结果. 【详解】已知，， 由正弦定理，得，即 又，则, 所以或. 故选：AC. ②正弦定理解三角形 1．（24-25高一下·浙江丽水·期末）已知的三个内角的对边分别为，，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】应用正弦定理求角的大小即可. 【详解】由正弦定理有，可得，则， 又，则，可得或. 故选：C 2．（2025高二上·北京·学业考试）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理，， 所以， 故选：D 3．（24-25高一下·河南·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角三角函数的关系及A的范围可得，再由正弦定理可得. 【详解】由，得，由正弦定理得，∴. 故选：B． 4．（24-25高一下·河南·阶段练习）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用正弦定理分别求出，，即可判断. 【详解】在中，由正弦定理可得， ， 因为，所以，， 所以． 故选：C． 5．（24-25高二下·贵州遵义·阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且，则 . 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合二倍角的正弦求出角，进而求出. 【详解】在△ABC中，由正弦定理，得，即， 解得，又，则，所以， 所以. 故答案为：2. ③正弦定理边角互化 1．（24-25高一下·浙江宁波·期末）在中，内角所对的边分别为，若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及和角的正弦公式求出即可. 【详解】在中，由，得，而， 由正弦定理，得， 整理得，因此或，解得，， 所以. 故选：D 2．（浙江省温州市十校联合体2024-2025学年高二下学期6月期末联考数学试题）已知的外接圆的半径为5，a是角A的对边，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可求，再用倍角公式得到，根据外接圆的半径，利用正弦定理可得，接着代入计算即可. 【详解】，，， ， ，， 又的外接圆的半径为5，， . 故选：B. 3．（24-25高一下·山西·期中）在中，内角的对边分别是，若，则的最大值是 ． 【答案】4 【分析】由正弦定理边化角得到，再结合余弦定理及基本不等式求解即可. 【详解】由正弦定理，所以， 即，可得． 因为，所以． 由余弦定理， 得，可化为， 由基本不等式可得， 解得，当且仅当时等号成立， 所以的最大值是4． 故答案为：4 4．（2025高三下·全国·专题练习）在中，角所对的边分别为已知，若点M为中点，且，则中线的最大值是 ． 【答案】 【分析】利用边化角，先求出，再利用外接圆，即可判断最大值点. 【详解】由,结合正弦定理边化角得： ， 再由三角形内角和定理得：， 即， 因为，所以，即可得， 又因为，所以, 在中，，，可知三角形的外接圆半径为， 故点B的轨迹是以为弦，所对角的圆弧，且是优弧， 由平面几何知识得，当边上的中线就是边上的高， 即当且仅当时，最大值为. 故答案为：. 5．（2025·陕西咸阳·二模）在中，内角所对的边分别为，已知，，则 . 【答案】/ 【详解】由， 因为，所以，即， 由正弦定理，可得， 又因为，所以， 因为，则，所以，解得. 故答案为： ④三角形解的个数问题 1．（24-25高一下·河南·阶段练习）在中，角的对边分别为，符合下列条件的三角形有且只有一个的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】A利用三角形全等的判定方法可判断；B利用大边对大角可判断；C利用可判断；D由正弦定理得，结合可判断. 【详解】对于A，根据三角形全等的判定方法，可知满足条件的三角形只有一解，故A正确； 对于B，因为，所以，又为钝角，所以不存在， 所以满足条件的三角形不存在，故B错误； 对于C，因为，所以三角形不存在，故C错误； 对于D，因为，所以， 因为且，所以有两解且这两个解互补，故D错误. 故选：A 2．（多选）（24-25高一下·江苏扬州·期末）在中，内角所对的边分别为，下列各组条件中使得有唯一解的有（   ）. A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ABD 【分析】根据正弦定理结合三角形自身性质，逐项分析判断即可得解. 【详解】对于A，，，，且，所以有一解； 对于B，由正弦定理可得，即，所以只有一解； 对于C，由正弦定理可得， 所以只有无解； 对于D，由正弦定理可得，又， 所以B只有一解，即只有只有一解. 故选：ABD 3．（多选）（24-25高一下·陕西渭南·阶段练习）在中，，若该三角形有且只有一解，则AC的值可能为（      ） A．6 B．2 C．4 D．8 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用正弦定理表示出，再按的取值情况分段求解. 【详解】在中，，， 由正弦定理，得，即 当时，，有且只有一个解，； 当，且时，，有两解，； 当时，，有且只有一个解，， 所以AC的值可能为2或4，AD错误，BC正确. 故选：BC 4．（24-25高一下·上海闵行·期末）如果满足的有且只有一个，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由正弦定理结合到距离，然后根据题意结合图形求解即可. 【详解】因为在中，，， 所以到距离， 因为有且只有一个， 所以由图可知或， 即实数的取值范围是. 故答案为： 5．（24-25高一下·吉林·期中）的内角，，的对边分别为，，，且，，若有两解，则的一个可能整数值为 . 【答案】/ 【分析】根据正弦定理可得，由有两解可得，根据不等式的性质即可求解. 【详解】由正弦定理及题中条件可得. ∵有两解，∴，即， ∴，即. ∴的一个可能整数值为（或）. 故答案为：（或）. 6．（24-25高一下·重庆·期中）在中，，，若满足上述条件的恰有两个解，则边长的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据三角形有两解，应满足，化简即可求解. 【详解】因为有两解，所以，即，所以. 即边长的取值范围是. 故答案为：. 7．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．若满足条件的有两个，则c的取值范围是 【答案】 【分析】根据正弦定理用表示出，结合题意得到关于的不等式，解不等式即可. 【详解】由正弦定理，可得，所以， 若满足条件的有两个，即三角形有两解， 所以，且，则， 即，解得， 则c的取值范围是. 故答案为：. 高频考点4：判断三角形的形状 1．（24-25高一下·河北承德·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，则下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为等腰三角形 D．对任意，都有 【答案】B 【分析】利用正弦定理进行角化边，再根据大边对大角来判断A；利用正弦定理进行边化角，再利用二倍角公式求解，分两种情况讨论判断B；利用正弦定理进行边化角，再利用两角差的正弦公式求解判断C；根据三角形内角和定理得出不等关系，再利用在上单调递减来求解． 【详解】对于A，由，根据正弦定理得，则，故A正确； 对于B，由，根据正弦定理得， 则，则或， 则或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，由，根据正弦定理得， 则，即．所以为等腰三角形，故C正确； 对于D，由，则， 因为函数在上单调递减，则， 即，故D正确． 故选：B． 2．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）在中，若，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】应用三角恒等变换及三角形内角的性质判断三角形的形状. 【详解】由题设， 则，又， 所以，即一定是等腰三角形. 故选：C 3．（24-25高一下·天津和平·期中）在中，若，则的形状是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】用正、余弦定理进行边角互化解题即可. 【详解】解：，可得， 由余弦定理可得，整理可得：，即， 所以或，即或 ∴的形状是等腰或直角三角形. 故选：C 4．（多选）（24-25高一下·吉林长春·期中）已知分别是三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（   ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D．是锐角三角形，则 【答案】ACD 【分析】由两角和的正切公式结合诱导公式判断A，由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式判断B，由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式判断C，根据，结合正弦函数单调性判断D. 【详解】选项A：因为，且是的内角，所以， 所以， 所以都是锐角，所以是锐角三角形，故选项A正确； 选项B：由及正弦定理可得，即， 所以或，所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故选项B错误； 选项C：由及正弦定理可得，即， 因为是的内角，所以，所以是等腰三角形，故选项C正确； 选项D：是锐角三角形，所以，即 ， 则，故选项D正确； 故选：ACD 5．（多选）（2025·湖南·一模）中，角所对的边分别为、、，则“是直角三角形”的充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据正弦函数的 即可判断A；根据正弦定理、两角和与差的正弦公式即可判断B；利用余弦定理计算即可判断C；利用三角恒等变换的化简计算即可判断D. 【详解】A：，且，则， 若为锐角，则且， 此时，即； 若为钝角，则且， 此时，即； 综上，为直角三角形或钝角三角形，故A不满足题意； B：，由正弦定理得， 即，得， 由，解得，又，所以， 即为直角三角形，故B符合题意； C：由，得， 整理得，所以或， 即为等腰三角形或直角三角形，故C不符合题意； D：， ， 即，由，得， 即， ， 得，所以或，解得或， 即为直角三角形，故D符合题意. 故选：BD 6．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，满足，则的形状为 . 【答案】等腰或直角三角形 【分析】利用正弦定理边化角得，再利用二倍角公式化简即可得解. 【详解】根据题意，， 即， 利用正弦定理，得， 则，， 所以或， 即或， 则的形状为等腰或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形 7．（24-25高一下·江苏·阶段练习）在中，角的对边分别为，若，，则的形状是 ． 【答案】等边三角形 【分析】由正弦定理边化角得到，再结合即可求解. 【详解】由， 可得：， 即，又， 所以，即， 又， 所以， 所以的形状是等边三角形， 故答案为：等边三角形 核心知识点（注意灵活记忆公式） 1、正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤，，（可实现边到角的转化） ⑥，，（可实现角到边的转化） 高频考点5：解三角形综合 ①求三角形边长或周长 1．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边c的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据面积公式求出，再根据余弦定理求解即可. 【详解】因为，所以， 又， 所以. 故选：D. 2．（24-25高二下·云南·期末）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)已知为边上一点，若，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理可得，再结合余弦定理可得，继而即可求解； （2）利用等面积法，结合面积公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 又， 所以， 即， 由余弦定理得，， 所以， 因为，所以； （2）由， 得， 因为，，所以， 所以， 解得. 3．（24-25高一下·江苏南京·期末）中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知， (1)求角； (2)若，且AB边上的高为，求周长. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）结合已知利用余弦定理化简得，进而，利用角的范围即可求解； （2）结合已知利用三角形的面积得，进而利用余弦定理及和的完全平方式得，即可得解. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理得：， 即， 所以， 故， 又，所以. （2）由题：面积， 因为，所以，所以， 又由余弦定理：，所以， 所以，所以， 故周长. 4．（24-25高一下·四川成都·期中）记的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求的大小； (2)已知，若是的一条内角平分线，，求的周长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合和差公式可得； （2）根据余弦定理和列方程组求出即可得解. 【详解】（1）由正弦定理边化角得， 又， 所以，整理得， 因为，所以， 因为，所以. （2）由余弦定理得，即， 因为，所以， 整理得，代入得： ，解得（负根已舍去）， 所以的周长为. 5．（2025·福建福州·模拟预测）记的角的对边分别为分别以为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知． (1)求角B； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用面积公式结合已知条件可得，再利用余弦定理可得， 再应用面积公式可得，从而可求得角； （2）利用正弦定理结合已知条件可得，从而可求解，再利用余弦定理即可求得，即可求得周长. 【详解】（1）由题意得， 则，即， 由余弦定理得，整理得， 又因为，所以， 可得，因为，所以 （2）由可得， 由正弦定理得：，则． 则，故， 由余弦定理得， 所以，解得， 所以的周长为． 核心知识点 1、在中，内角，所对的边分别是,则：三角形的周长主要运用余弦定理求解 ； ②求三角形面积 1．（2025·海南·模拟预测）设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求A； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边转角化简即可得解； （2）由正弦定理求出B，b，再由两角和的正弦公式求出，即可由三角形面积公式求解. 【详解】（1）由及正弦定理得： ，     因为， 所以，又，          ，又，故． （2）由可得， 因为，所以， 由可得，                            故，   又，可得， 所以. 2．（浙江省宁波市三锋教研联盟2024-2025学年高一下学期6月期末联考数学试题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)若此三角形有两个解，求b的取值范围； (2)若，求； (3)若，求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形解的个数，代入公式，即可求解； （2）首先由正弦定理，将角转化为边，再结合余弦定理，即可求解； （3）首先正弦定理角化边得，再根据余弦定理变形求，最后代入面积公式，即可求解. 【详解】（1）由，得 （2）由正弦定理可得，， 则，，由， 可得，即. 由余弦定理可得，， 即，即，解得， 联立，解得. （3）因为，由正弦定理的边角互化可得，， 由余弦定理可得，，即， 所以，解得， 则. 3．（24-25高二下·湖北武汉·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角B的值； (2)若，，点D，E在边AC上，且BD是的角平分线，BE是的角平分线，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）利用先求出，再由得，即可得解. 【详解】（1）已知，由正弦定理得， 即. 因为，展开式子得 移项可得，即. 因为，所以，则. 解得，又，所以. （2）已知，，，因为BD是的角平分线， 则， ， 所以. 又因为BE是的角平分线， 则， ， 所以. 所以. 4．（24-25高一下·江苏无锡·期末）在中，角的对边分别为，已知，． (1)求角的值； (2)求的最大值； (3)若边的中线长为，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，结合余弦定理，求得，即可求解； （2）设的外接圆的半径为，可得，化简，结合三角函数的性质，即可求解； （3）由，求得，再由余弦定理得到，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理，可得，即， 所以， 又因为，所以. （2）解：由（1）知且， 设的外接圆的半径为，可得， 又由正弦定理，可得，且， 则 ，其中，且为锐角， 因为，所以时，取得最大值，最大值为. （3）解：因为为上的中线，且，可得， 可得， 即， 又由余弦定理，可得， 联立方程组，可得，所以的面积为. 5．（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）记的内角的对边分别为，已知. (1)若，求； (2)若是的中点，且，求； (3)若，求的面积. 【答案】(1)或； (2)； (3). 【分析】（1）应用正弦定理求角的大小； （2）由及余弦定理得，法一：应用正余弦定理得，即可求边长；法二：延长至点，使得，连接，易得，利用等比例性质求边长； （3）在内作，再由正弦定理、三角形面积公式求面积. 【详解】（1）在中，由正弦定理，即，解得， 所以或. （2）因为，即，化简得①. 法一：在中，由正弦定理，， 在中，由正弦定理，， 又，所以， 在中，由余弦定理可得，所以，则②. 联立①②得，即，解得或（舍）或（舍）. 所以. 法二： 延长至点，使得，连接， 由题意，则，即，整理得③. 联立①③，，解得或（舍）. 所以. （3）在内作，所以，设， 在中，由正弦定理知，即，知， 所以， 所以. 核心知识点 三角形面积的计算公式： ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). ③求三角形边长或周长最值（取值范围） 1．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知钝角△ABC中，. (1)若，，求； (2)若，求△ABC的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求出，再根据钝角三角形，进而确定； （2）表示周长，化成关于的函数，借助三角函数的取值范围求得答案. 【详解】（1）设的所对的边为， 则依题意，，，， 由余弦定理得，即， 即，解得或， 当，最大，最大，此时， 所以为锐角，不合题意； 当，最大，最大，此时， 所以为钝角，符合题意， 所以. （2），，设外接圆半径为， 则，则， 则周长 因为钝角△ABC，所以， 所以， 所以， 所以， 所以△ABC的周长取值范围为. 2．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求B． (2)若为锐角三角形，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后可利用余弦定理求得结果； （2）首先根据正弦定理表示，再结合三角函数恒等变形，以及三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1） 由正弦定理得： ， ，， （2）， 由正弦定理得， ， ， 所以的取值范围为 3．（24-25高一下·上海静安·期末）在中，角对应的边分别为，已知，为中点，． (1)证明为等腰三角形； (2)若，求周长的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理和三角函数的基本关系式，化简得到，求得，得到，即可证得为等腰三角形； （2）设的周长为，由（1）知，由题意得到，且，化简得到，结合正切函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：在中，由正弦定理，可得， 又由，可得， 整理得，所以， 可得， 即， 因为，可得，所以， 即，可得，所以为等腰三角形. （2）解：设的周长为，由（1）知：， 因为为等腰三角形，为的中点，可得， 则，且， 所以， 因为，所以，由正切函数的性质，可得， 所以当时，即时，的周长取得最小值，最小值为. 4．（24-25高一下·天津河北·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若平面向量，其中，． (1)求角B的大小； (2)若，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算和正弦定理即可得到，再求解即可； （2）首先利用余弦定理和基本不等式得到，将转化为，再利用换元法求解即可. 【详解】（1）因为，则，又，， 所以，由正弦定理得， 即，又A是内角，则， 所以，即， 又，所以； （2）由余弦定理得，即， 所以（当且仅当时取等号）， 所以， 又，所以， 所以， 令，， ，则在上单调递增， 所以，即，即， 所以的最大值为. 5．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）锐角中角、、的对边分别为、、，且. (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解. （2）利用正弦定理及和差角的正弦变形，再利用余弦函数的性质求出范围. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 即，由余弦定理得，而， 所以. （2）由（1）得，设， 由是锐角三角形，得， 由正弦定理得， 则，， 所以周长的取值范围是. 6．（24-25高一下·山东济宁·阶段练习）已知向量，，函数．（注：表示向量、的夹角） (1)求函数零点； (2)若锐角的三内角、、的对边分别是、、，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算结合两角和的正弦公式可得出函数的解析式，解方程，即可得出函数的零点； （2）由结合角的取值范围可得出的值，利用正弦定理结合三角恒等变换得出，求出角的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）已知向量，， ， ， 由可得，解得， 故函数的零点为. （2）由正弦定理得①， 由（1）及，得，所以，解得， 又，得，，，代入①式化简得： ， 又在锐角中，解得， 所以，则有，即：． 所以的取值范围是． 7．（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）记中三个内角所对边分别为．如图所示，点分别是函数与直线的两个交点，其中 (1)求边b及角B的值 (2)求面积的最大值 (3)若为锐角三角形，求的取值范围 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据正弦函数的性质，由函数与直线的交点及的值，结合正弦函数的周期公式求出，再根据特殊角的正弦值求出.     （2）利用余弦定理得到、的关系，再结合基本不等式求出的最大值，进而根据三角形面积公式求出面积的最大值. （3）先根据正弦定理将转化为关于角的三角函数表达式，再结合锐角三角形的条件确定角的范围，最后根据三角函数的性质求出的取值范围. 【详解】（1）由图可得，而，故， 注意到或， 由题可得， 所以：，. （2）， 由余弦定理，， 由基本不等式，，当且仅当取等号 则，                  所以面积的最大值为. （3）因是锐角三角形，， 则 ， ， 其中，，因，，则 又.因，则，                   又， 则在上单调递增，在上单调递减， 则， 因，则 故. 8．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，． (1)求角A和边a； (2)求的取值范围． 【答案】(1)，1 (2) 【分析】（1）利用正弦定理与和角的正弦公式求出角，再由条件求出边； （2）利用正弦定理求出边，代入所求式，经过三角恒等变换化成正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求得其范围. 【详解】（1）由和正弦定理可得， 化简得， 即 因，则，即， 因，故． 又由且， 可得． （2）由正弦定理，， 可得，， 则，（*） 因，将其代入（*），可得： ． 因，则，故， 则的取值范围是． 核心知识点 三角形周长（边长）范围或最值问题： 思路1：余弦定理+均值不等式 思路2：正弦定理化角+辅助角公式 ④求三角形面积最值（取值范围） 1．（24-25高二下·上海闵行·阶段练习）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中给出了由三角形的三边计算三角形面积的公式，这就是“三斜求积”公式．若的内角的对应边分别为． (1)若，求面积； (2)若，且，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将的值代入三角形的面积公式即可求解. （2）首先利用正弦定理将进行边角转化，得到，再代入三角形的面积公式中得到，利用二次函数即可求得最大值. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为，所以，可化为， 由正弦定理边化角得，， 所以，即， 由，得，解得， 所以， 因为， 所以，当时，取得最大值． 2．（2025·湖北黄冈·三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，若，且. (1)若，求； (2)求△ABC面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用二倍角正弦公式计算求解； （2）应用已知条件化简再结合面积公式及基本不等式计算求解. 【详解】（1）若 ，则，所以， 所以，即 ， 因为，所以 . 则 ， 解得； （2） ，   有， 故     有， 即，  .    当且仅当 时等号成立 . 所以面积的最大值为. 3．（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知a，b，c分别为锐角三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)若，D为BC边的中点，求AD长的最大值； (3)若，求面积的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由正弦边角关系及和角正弦公式化简整理得，结合三角形内角性质求角的大小； （2）由余弦定理、基本不等式可得，再由及数量积的运算律求模长，即可得； （3）由正弦定理及三角形面积公式、三角恒等变换可得，结合求范围. 【详解】（1）由题设及正弦边角关系知， 所以， 由，则，且，可得； （2）由（1）及余弦定理有， 所以，当且仅当时取等号， D为BC边的中点，则， 所以， 综上，AD长的最大值； （3）由，， 由（1）易知，则， 由为锐角三角形，则，则， 所以. 4．（24-25高一下·安徽淮南·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，已知． (1)求角的大小； (2)若的角平分线交于点，且，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用等面积法结合、可得出，利用基本不等式可求得的最小值，结合三角形的面积公式可求得面积的最小值. 【详解】（1）因为， 所以 ， 所以， 由于，则，所以，即， 又，所以. （2）因为的角平分线交于点，且，， 根据三角形面积公式可得， 又，得，得，当时等号成立， 所以， 即的面积最小值为． 5．（2025·江苏苏州·三模）在中，角，，所对的边分别为，，，的面积和周长分别为，，且． (1)若，，求； (2)若且，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可列出方程组求出，即可得，即得答案； （2）法一，由已知条件等式结合余弦定理化简可得，再由余弦定理结合基本不等式即可求得答案；法二由已知条件等式结合正弦定理化简可得，再由余弦定理结合基本不等式即可求得答案； 【详解】（1）因为，所以， 消去得，又因为，所以， 所以，即． （2）法一：因为，所以， 即， 又因为，所以， 化简得， 因为，即，所以． 因为，所以（当且仅当时取等号）， 所以，由题意可知A为锐角，且，故， 因此，即的最大值为． 法二：在中，因为，所以， 由正弦定理得， 因为，所以， 即， 又，所以． 所以，所以（当且仅当时取等号）， 所以，因此，即的最大值为． 6．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)若为锐角三角形，且，求a的取值范围； (2)若点D在边AC上，且，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理角化边可得到，再根据余弦定理的推论即可解出； （2）根据邻角互补可得，即可由余弦定理化简得到，再结合题干中角化边得到的，消去可得，，然后根据基本不等式求出的范围，即可得到面积的最大值． 【详解】（1）由， 根据正弦定理可得，， 则，即， 所以， 又，所以， 因为为锐角三角形，所以， 则，又，即， 则，又，解得， 即a的取值范围为. （2）在中，，， ， 在中，，， ， ∵，所以， 所以，即， 由（1）知，，所以， 即（当且仅当时取等号）， 则， 所以面积的最大值． 核心知识点 三角形面积范围或最值问题： 思路1：面积公式+基本不等式 思路2：正弦定理化角+辅助角公式 ⑤三角形中线问题 1．（2025高一·全国·专题练习）已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为 ． 【答案】 【分析】根据两角互补余弦值之和等于0，然后分别在三角形中利用余弦定理求出两角的余弦，列出方程求出，然后利用基本不等式求出最值即可． 【详解】由题意得， 所以， 又，且D是的中点，所以， 在中，， 在中，， 所以， 即，得，当且仅当取等号， 所以最大值为. 故答案为：. 2．（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，向量，，且. (1)求； (2)若，，求边上的中线的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得到，再利用正弦定理求解； （2）由，两边平方求解. 【详解】（1）由题意得， 由正弦定理得， 因为，所以，则， 得，又，所以. （2）由题意得，则， 两边平方得， 所以， 所以. 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知的内角所对的边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，中线，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边角互化，利用两角和的正弦公式化简，转化为三角函数求角； （2）首先根据三角形的面积公式，求得，，根据中线向量关系，可得，再根据余弦定理即可求得. 【详解】（1）在中，，则， 因为， 则， 由正弦定理得：， 所以， 所以， 又，得，所以，即， 由，解得. （2）因为的面积为， 所以， 由（1）知，故， 因为为中线，即为中点， 则，又， 则，所以， 解得， 由余弦定理得， 所以. 4．（24-25高三上·北京朝阳·开学考试）在△中，内角的对边分别为． (1)求； (2)若△的面积为，求边上的中线的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理角化边，结合余弦定理进行求解即可； （2）根据三角形面积公式，结合平面向量加法的几何意义、数量积的运算进行求解即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理得，因为， 由余弦定理得：， 又，所以． （2）由，所以， 由（1），所以， 因为为边上的中线，所以， 则 ，即. 故边上的中线的长为. 5．（24-25高一下·天津·阶段练习）已知锐角的内角所对的边分别为，向量 ，，且 . (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的最小值； (3)若，边上的中线长为，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理角化边可得结果. （2）利用面积公式可得，根据余弦定理结合基本不等式可得结果. （3）根据条件可得，等式两边同时平方可求得的值. 【详解】（1）∵，，且 ， ∴，故， ∵，∴，故， ∵，∴. （2）∵的面积为，∴，即，故. 由余弦定理得，， 当且仅当时等号成立，此时为等边三角形，符合题意， ∴，即的最小值为. （3）    ∵为边上的中线，∴， ∴，即， ∴，即，解得或（舍）， 此时，为等边三角形，符合题意， ∴. 核心知识点 三角形中线问题： 思路1：向量化（如图）： 思路2：. ⑥三角形角平分线问题 1．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理求出的长度，再利用角平分线定理得到与的比例关系，进而求出的长度，最后在中利用余弦定理求出的长度. 【详解】在中，根据余弦定理， 已知，，，设，则有： 解得或（边长不能为负舍去），所以. 因为AD是角平分线，根据角平分线定理：可得. 又因为，所以. 在中，再根据余弦定理， 将，，代入可得： 所以.的长度为 故选：D. 2．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知，，分别为角，，的对边，. (1)求； (2)若，，点在边上，且是的角平分线，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用三角形内角和定理，结合和角公式，把条件转化成，在利用正弦定理、余弦定理可求角. （2）根据角平分线的概念可得：，再结合，可求. 【详解】（1）. 可化为. 所以 由正弦定理可得， 由余弦定理可得：，所以：. （2）三角形如图所示. 由是的角平分线得， 法一：， 又， 所以. 法二：因为， 所以. . 3．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，D为BC中点，求线段AD长； (3)若该三角形面积为，AD为内角A的角平分线，交BC边于点D，求线段AD长的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解. （2）利用向量数量积的运算律及定义求解. （3）利用三角形面积公式，结合基本不等式求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 即，由余弦定理得，而， 所以. （2）由（1）知，，由D为BC中点，得，而， 所以. （3）由的面积为，得，解得， 由为内角的角平分线，得， 由，得， 因此，，当且仅当时取等号， 所以线段AD长的最大值为. 4．（24-25高一下·广西河池·阶段练习）已知在中，角所对的边长分别为，在①；②．两个条件中任选一个，补充在下面问题中（将选的序号填在横线处）________． (1)求； (2)若，的角平分线与相交于点D，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若选①，根据三角恒等变换的化简和正弦定理计算即可求解；若选②，根据余弦定理计算即可求解； （2）易知，根据三角形的面积公式可得，根据余弦定理可得，则，解出，再次利用三角形面积公式计算即可求解. 【详解】（1）若选①， ， 由正弦定理得， 由，得，即， 又，所以； 若选②， ，得， 由余弦定理得， 又，所以. （2）因为平方，则， 又， 即， 整理得，得； 又， 得，即， 则，解得或（舍去）， 所以的面积为. 5．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且. (1)求C； (2)若，，求内切圆的半径； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理将角转化为边，再结合余弦定理，即可求解； （2）首先根据余弦定理求边，再根据等面积转化求内切圆半径； （3）首先根据求得，再根据正弦定理求角的三角函数值. 【详解】（1）因为， 所以. 由正弦定理得，所以， 因为，所以. （2）由（1）知，代入数据得. 因为的面积， 所以内切圆的半径. （3）因为，是角平分线，即， 因为， 所以 由正弦定理可知， 所以， 整理可得. 又因为，即， ∴ 且∵∴ 解得. 核心知识点 三角形角平分线问题：在中平分 思路1：面积公式： 思路2：角平分线性质：角平分线分线段成比例： 思路3：. 高频考点6：几何图形中的计算问题 1．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，有A，B，C三艘渔船在海岛D附近作业，D在A的东北方向，D在B的东偏北方向，C在B的东偏北方向，B在A的正东方向，已知A，B相距，B，C相距，则（   ） A．D在C的北偏西方向 B． C．D，C相距 D．D，B相距 【答案】C 【分析】根据方位角，画出图形，利用正弦定理及勾股定理求解. 【详解】如图所示， 又， 所以在中，解得， 在中，， 所以，则， 所以在的北偏西方向，且,相距． 故选：C. 2．（浙江省宁波市三锋教研联盟2024-2025学年高一下学期6月期末联考数学试题）某学生为测量宁波天封塔的高度，如图，选取了与天封塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为和，且，则宁波天封塔的高度是（   ） A．50m B． C． D． 【答案】A 【分析】首先设，再根据直角三角形表示，最后根据余弦定理列式求解. 【详解】设，由，， 则，，且， 所以，得， 所以宁波天封塔的高度是. 故选：A 3．（24-25高一下·广东惠州·阶段练习）如图，计划在两个山顶M，N间架设一条索道.为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在BC同一水平面上选一点A，在A处测得山顶M，N的仰角分别为和，且测得，则M，N间的距离为 .    【答案】 【分析】根据正弦定理得出，再应用余弦定理计算即可求解． 【详解】在中，，， 由正弦函数：，， 在中，，， 由正弦函数：，则， 在中，已知，，， 由余弦定理： ， ，所以，M，N间的距离为 故答案为： 4．（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）如图，在平面四边形中，已知，，，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】以为变量，在和中，分别利用余弦定理和正弦定理将表示为关于的函数，再利用三角恒等变换和三角函数的最值进行求解． 【详解】设，在中，由正弦定理，得， 即，即， 由余弦定理得， 在中，由余弦定理得 ， 其中，为锐角，则，即的最大值为． 故答案为：. 5．（湖北省十堰市2024-2025学年高一下学期6月期末调研考试数学试题）某数学兴趣小组成员为测量A，B（视为质点）两地之间的距离，在A的北偏东15°方向上和西偏北30°方向上分别选取点C，D，已知B在A的西偏南30°方向上，A，C两地相距千米.B，D两地相距千米，且D在C的西偏南15°方向上，则A，B两地之间的距离是 千米. 【答案】30 【分析】根据题意做出平面图形，再根据正弦定理解三角形即可. 【详解】 由题中数据可得，，千米，则. 在中，由正弦定理可得，则千米. 在中，千米，千米，， 由正弦定理可得，则， 所以，所以，故千米. 故答案为：30. 6．（24-25高一下·云南·期中）如图，在四边形中，，，是等边三角形． (1)若，求的面积； (2)若，求的面积； (3)求的面积的最大值． 【答案】(1) (2). (3)． 【分析】（1）通过余弦定理建立方程，求出等边的边长.从而得到面积.， （2）在中用余弦定理得到得余弦及正弦值，从而得到的余弦值，进而求出的面积. （3）由（2）知，可设出，通过正余弦定理在表示出，表示出，最终通过辅助角公式求最值得出第（3）问. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得: ，则． 因为是等边三角形，所以的面积． （2）在中，由余弦定理可得， 则，故， 因为是等边三角形，所以， 所以 ， 则的面积为， （3）设，， 在中，由正弦定理可得，则， 由余弦定理可得， ， 则， 所以的面积： ， 因为，， 所以， 当时，取得最大值，即的面积的最大值为． 7．（24-25高一下·江苏镇江·期末）我们把在某一点观察物体最高点和最低点所形成仰角的差值称之为“仰角差”．某博物馆截面如图所示，墙壁上有一幅壁画，最高点为，最低点为，观察点所在的水平线与壁画的竖直线交点为，在点处观察点，仰角为，然后面对壁画前进处的点观察点，其仰角的正切值为7． (1)求壁画最高点与点的距离； (2)若在，两点观察壁画的最高点和最低点的仰角差相等． ①求壁画最低点与点的距离； ②在观察水平线上，应处在距离点多远处观察壁画，才能使得仰角差最大？ 【答案】(1)7 (2)①1；② 【分析】（1）根据三角函数的定义，列出方程即可求解； （2）设，，由正弦定理列出方程即可求解；设距点距离为时，仰角差最大，此时位于点，设，由两角差的正切公式及基本不等式即可求解． 【详解】（1）在中，，所以， 在中，， 因为， 所以， 所以壁画最高点与点的距离为7． （2）①设，， 在中，，则， 在中，， 在中，由正弦定理得，， 在中，， 在中，由正弦定理得，， 解得，即． ②设距点距离为时，仰角差最大，此时位于点，设， 在中，，在中，， 则 ，当且仅当，即时等号成立， 所以当距离点处观察壁画，才能使得仰角差最大． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 平面向量的应用（复习温故） 目录 高频考点1：三角形四心的向量形式 1 高频考点2：余弦定理 5 ①余弦定理及其辨析 5 ②余弦定理解三角形 6 ③余弦定理边角互化 7 高频考点3：正弦定理 8 ①正弦定理及其辨析 8 ②正弦定理解三角形 9 ③正弦定理边角互化 9 ④三角形解的个数问题 10 高频考点4：判断三角形的形状 11 高频考点5：解三角形综合 12 ①求三角形边长或周长 12 ②求三角形面积 14 ③求三角形边长或周长最值（取值范围） 16 ④求三角形面积最值（取值范围） 19 ⑤三角形中线问题 22 ⑥三角形角平分线问题 24 高频考点6：几何图形中的计算问题 27 高频考点1：三角形四心的向量形式 ①内心 内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； ①设为所在平面上一点,内角,,所对的边分别为,,,则为的内心 ②面积关系式：(其中是内切圆半径) ②外心 外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 设为的外心. . ③垂心 垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； 为的垂心. . ④重心 重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1 为的重心. 1．（2024高一下·上海·专题练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题错误的是（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 2．（多选）（23-24高一下·浙江·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若为的外心，则 D．若为的垂心，，则 3．（多选）（23-24高一下·山东·阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（   ）    A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 4．（多选）（23-24高一下·吉林通化·阶段练习）几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 5．（多选）（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联，它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且，则以下命题正确的有（    ）    A．若，则 B．若，则为的重心 C．若为的内心，则 D．若为的外心，则 6．（多选）（23-24高三上·江西新余·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：如图所示，已知是内一点，，，的面积分别为，且．以下命题正确的有（   ）    A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，为的外心，则 D．若为的垂心，则 7．（多选）（23-24高一下·辽宁大连·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的是（    ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 8．（多选）（23-24高一下·福建莆田·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心､内心､外心､垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是:已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（   ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若为的外心，则 D．若为的垂心，，则 高频考点2：余弦定理 ①余弦定理及其辨析 1．（24-25高一下·福建三明·期中）在中，“”是“为钝角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分不必要条件 2．（2024高三上·河南·专题练习）已知的内角，，的对边分别为a，b，c，且，若，则角不可能（    ） A．为直角 B．为锐角 C．为钝角 D．在之间 3．（23-24高三上·辽宁朝阳·开学考试）分别为内角的对边．已知，则的最小值为 ． 4．（24-25高一下·云南楚雄·阶段练习）在中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若，则的值为 ． 5．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）在我们的中还有这样一些有趣的性质，比如射影定理：，证明它的最直接的方法是利用余弦定理，或者是作一条高并利用锐角三角函数有关知识即可证明，若，则是 （“锐角”，“钝角”，“直角”）三角形． ②余弦定理解三角形 1．（24-25高一下·湖北武汉·期末）已知锐角三角形边长分别为2，3，x，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．不确定 2．（24-25高一下·广东佛山·期末）在中，，，，则（   ） A．9 B．10 C．12 D．15 3．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知钝角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一·全国·假期作业）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，的角平分线交边于点D，且，则 . 5．（24-25高一下·甘肃兰州·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且是方程的两个根，，则c的值是 ． 6．（24-25高一·全国·假期作业）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，点D在上，是的平分线，则的取值范围为 . 7．（24-25高一·全国·假期作业）在中，角，，所对的边分别为，，，的平分线交于点，且满足，，，则 . ③余弦定理边角互化 1．（2024高三·全国·专题练习）在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 2．（23-24高一下·吉林通化·期末）在中，角所对的边分别为，若，则为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 3．（23-24高一下·河南漯河·期末）三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 4．（23-24高一下·天津滨海新·期末）已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 5．（24-25高一下·上海·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.则角 . 6．（2024高三·全国·专题练习）记的内角、、的对边分别为、、，已知，求. 核心知识点（注意灵活记忆公式） 1、在中，内角，所对的边分别是,则： ； 2、余弦定理的推论 ； ； 高频考点3：正弦定理 ①正弦定理及其辨析 1．（24-25高一下·全国·课堂例题）若在中，“”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 2．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）在中，内角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖北黄石·三模）若的三个内角，，所对的边分别为，，，，，则（    ） A． B． C． D．6 4．（多选）（23-24高一下·湖南邵阳·期中）已知角A，B，C是三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 5．（多选）（23-24高一下·广西玉林·阶段练习）设的内角的对边分别为．若，，则角可能为（    ） A． B． C． D． ②正弦定理解三角形 1．（24-25高一下·浙江丽水·期末）已知的三个内角的对边分别为，，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 2．（2025高二上·北京·学业考试）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河南·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河南·阶段练习）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·贵州遵义·阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且，则 . ③正弦定理边角互化 1．（24-25高一下·浙江宁波·期末）在中，内角所对的边分别为，若，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（浙江省温州市十校联合体2024-2025学年高二下学期6月期末联考数学试题）已知的外接圆的半径为5，a是角A的对边，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山西·期中）在中，内角的对边分别是，若，则的最大值是 ． 4．（2025高三下·全国·专题练习）在中，角所对的边分别为已知，若点M为中点，且，则中线的最大值是 ． 5．（2025·陕西咸阳·二模）在中，内角所对的边分别为，已知，，则 . ④三角形解的个数问题 1．（24-25高一下·河南·阶段练习）在中，角的对边分别为，符合下列条件的三角形有且只有一个的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·江苏扬州·期末）在中，内角所对的边分别为，下列各组条件中使得有唯一解的有（   ）. A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（多选）（24-25高一下·陕西渭南·阶段练习）在中，，若该三角形有且只有一解，则AC的值可能为（      ） A．6 B．2 C．4 D．8 4．（24-25高一下·上海闵行·期末）如果满足的有且只有一个，那么实数的取值范围是 ． 5．（24-25高一下·吉林·期中）的内角，，的对边分别为，，，且，，若有两解，则的一个可能整数值为 . 6．（24-25高一下·重庆·期中）在中，，，若满足上述条件的恰有两个解，则边长的取值范围是 . 7．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．若满足条件的有两个，则c的取值范围是 高频考点4：判断三角形的形状 1．（24-25高一下·河北承德·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，则下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为等腰三角形 D．对任意，都有 2．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）在中，若，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 3．（24-25高一下·天津和平·期中）在中，若，则的形状是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 4．（多选）（24-25高一下·吉林长春·期中）已知分别是三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（   ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D．是锐角三角形，则 5．（多选）（2025·湖南·一模）中，角所对的边分别为、、，则“是直角三角形”的充分条件是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，满足，则的形状为 . 7．（24-25高一下·江苏·阶段练习）在中，角的对边分别为，若，，则的形状是 ． 核心知识点（注意灵活记忆公式） 1、正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤，，（可实现边到角的转化） ⑥，，（可实现角到边的转化） 高频考点5：解三角形综合 ①求三角形边长或周长 1．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边c的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·云南·期末）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)已知为边上一点，若，求的长. 3．（24-25高一下·江苏南京·期末）中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知， (1)求角； (2)若，且AB边上的高为，求周长. 4．（24-25高一下·四川成都·期中）记的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求的大小； (2)已知，若是的一条内角平分线，，求的周长. 5．（2025·福建福州·模拟预测）记的角的对边分别为分别以为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知． (1)求角B； (2)若，求的周长． 核心知识点 1、在中，内角，所对的边分别是,则：三角形的周长主要运用余弦定理求解 ； ②求三角形面积 1．（2025·海南·模拟预测）设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求A； (2)若，且，求的面积． 2．（浙江省宁波市三锋教研联盟2024-2025学年高一下学期6月期末联考数学试题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)若此三角形有两个解，求b的取值范围； (2)若，求； (3)若，求的面积. 3．（24-25高二下·湖北武汉·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角B的值； (2)若，，点D，E在边AC上，且BD是的角平分线，BE是的角平分线，求的面积. 4．（24-25高一下·江苏无锡·期末）在中，角的对边分别为，已知，． (1)求角的值； (2)求的最大值； (3)若边的中线长为，求的面积． 5．（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）记的内角的对边分别为，已知. (1)若，求； (2)若是的中点，且，求； (3)若，求的面积. 核心知识点 三角形面积的计算公式： ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). ③求三角形边长或周长最值（取值范围） 1．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知钝角△ABC中，. (1)若，，求； (2)若，求△ABC的周长的取值范围. 2．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求B． (2)若为锐角三角形，，求的取值范围． 3．（24-25高一下·上海静安·期末）在中，角对应的边分别为，已知，为中点，． (1)证明为等腰三角形； (2)若，求周长的最小值． 4．（24-25高一下·天津河北·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若平面向量，其中，． (1)求角B的大小； (2)若，求的最大值． 5．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）锐角中角、、的对边分别为、、，且. (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围. 6．（24-25高一下·山东济宁·阶段练习）已知向量，，函数．（注：表示向量、的夹角） (1)求函数零点； (2)若锐角的三内角、、的对边分别是、、，且，求的取值范围． 7．（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）记中三个内角所对边分别为．如图所示，点分别是函数与直线的两个交点，其中 (1)求边b及角B的值 (2)求面积的最大值 (3)若为锐角三角形，求的取值范围 8．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，． (1)求角A和边a； (2)求的取值范围． 核心知识点 三角形周长（边长）范围或最值问题： 思路1：余弦定理+均值不等式 思路2：正弦定理化角+辅助角公式 ④求三角形面积最值（取值范围） 1．（24-25高二下·上海闵行·阶段练习）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中给出了由三角形的三边计算三角形面积的公式，这就是“三斜求积”公式．若的内角的对应边分别为． (1)若，求面积； (2)若，且，求面积的最大值． 2．（2025·湖北黄冈·三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，若，且. (1)若，求； (2)求△ABC面积的最大值. 3．（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知a，b，c分别为锐角三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)若，D为BC边的中点，求AD长的最大值； (3)若，求面积的取值范围. 4．（24-25高一下·安徽淮南·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，已知． (1)求角的大小； (2)若的角平分线交于点，且，求面积的最小值. 5．（2025·江苏苏州·三模）在中，角，，所对的边分别为，，，的面积和周长分别为，，且． (1)若，，求； (2)若且，求的最大值． 6．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)若为锐角三角形，且，求a的取值范围； (2)若点D在边AC上，且，，求面积的最大值． 核心知识点 三角形面积范围或最值问题： 思路1：面积公式+基本不等式 思路2：正弦定理化角+辅助角公式 ⑤三角形中线问题 1．（2025高一·全国·专题练习）已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为 ． 2．（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，向量，，且. (1)求； (2)若，，求边上的中线的长. 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知的内角所对的边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，中线，求． 4．（24-25高三上·北京朝阳·开学考试）在△中，内角的对边分别为． (1)求； (2)若△的面积为，求边上的中线的长． 5．（24-25高一下·天津·阶段练习）已知锐角的内角所对的边分别为，向量 ，，且 . (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的最小值； (3)若，边上的中线长为，求的值. 核心知识点 三角形中线问题： 思路1：向量化（如图）： 思路2：. ⑥三角形角平分线问题 1．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知，，分别为角，，的对边，. (1)求； (2)若，，点在边上，且是的角平分线，求. 3．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，D为BC中点，求线段AD长； (3)若该三角形面积为，AD为内角A的角平分线，交BC边于点D，求线段AD长的最大值． 4．（24-25高一下·广西河池·阶段练习）已知在中，角所对的边长分别为，在①；②．两个条件中任选一个，补充在下面问题中（将选的序号填在横线处）________． (1)求； (2)若，的角平分线与相交于点D，且，求的面积． 5．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且. (1)求C； (2)若，，求内切的半径； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 核心知识点 三角形角平分线问题：在中平分 思路1：面积公式： 思路2：角平分线性质：角平分线分线段成比例： 思路3：. 高频考点6：几何图形中的计算问题 1．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，有A，B，C三艘渔船在海岛D附近作业，D在A的东北方向，D在B的东偏北方向，C在B的东偏北方向，B在A的正东方向，已知A，B相距，B，C相距，则（   ） A．D在C的北偏西方向 B． C．D，C相距 D．D，B相距 2．（浙江省宁波市三锋教研联盟2024-2025学年高一下学期6月期末联考数学试题）某学生为测量宁波天封塔的高度，如图，选取了与天封塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为和，且，则宁波天封塔的高度是（   ） A．50m B． C． D． 3．（24-25高一下·广东惠州·阶段练习）如图，计划在两个山顶M，N间架设一条索道.为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在BC同一水平面上选一点A，在A处测得山顶M，N的仰角分别为和，且测得，则M，N间的距离为 .    4．（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）如图，在平面四边形中，已知，，，，则的最大值为 ． 5．（湖北省十堰市2024-2025学年高一下学期6月期末调研考试数学试题）某数学兴趣小组成员为测量A，B（视为质点）两地之间的距离，在A的北偏东15°方向上和西偏北30°方向上分别选取点C，D，已知B在A的西偏南30°方向上，A，C两地相距千米.B，D两地相距千米，且D在C的西偏南15°方向上，则A，B两地之间的距离是 千米. 6．（24-25高一下·云南·期中）如图，在四边形中，，，是等边三角形． (1)若，求的面积； (2)若，求的面积； (3)求的面积的最大值． 7．（24-25高一下·江苏镇江·期末）我们把在某一点观察物体最高点和最低点所形成仰角的差值称之为“仰角差”．某博物馆截面如图所示，墙壁上有一幅壁画，最高点为，最低点为，观察点所在的水平线与壁画的竖直线交点为，在点处观察点，仰角为，然后面对壁画前进处的点观察点，其仰角的正切值为7． (1)求壁画最高点与点的距离； (2)若在，两点观察壁画的最高点和最低点的仰角差相等． ①求壁画最低点与点的距离； ②在观察水平线上，应处在距离点多远处观察壁画，才能使得仰角差最大？ 学科网（北京）股份有限公司 $$