14.1 全等三角形及其性质 课件-2025-2026学年人教版2024八年级数学上册

第十四章 全等三角形 14.1 全等三角形及其性质 学习目标 1.理解并掌握全等三角形的概念及其基本性质. 2.能找准全等三角形的对应边，理解全等三角形的对应角相等. 3.能进行简单的推理和计算，并解决一些实际问题. 学习重难点 掌握全等三角形的概念及其基本性质. 利用全等三角形进行推理和计算，并解决实际问题. 难点 重点 下列各组图形的形状与大小有什么特点？ （1） （2） 新课导入 3 下列各组图形的形状与大小有什么特点？ （3） （4） 新课导入 4 归纳：1.形状相同；2.大小相同；3.能够完全重合. 讲授新课 知识点1 全等形 全等形定义：能够完全重合的两个图形叫作全等形. 平移 旋转 翻折 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但＿＿＿和＿＿＿都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形___________ . 全等 形状 大小 下面哪些图形是全等形？ 大小、形状 完全相同 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 全等形的性质 全等形的形状相同，大小相等. 特别解读： ·全等形的周长相等，面积相等； ·周长或面积相等的两个图形不一定是全等形. E D F E D F A B C 定义：像上图一样，把△ABC叠到△DEF上，能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形. 知识点2 全等三角形的定义及性质 13 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点， 重合的角叫作对应角. 重合的边叫作对应边， 其中点A和 ，点B和 ，点C和_ _是对应顶点. AB和 ，BC和 ，AC和 是对应边. ∠A和 ，∠B和 ， ∠C和 是对应角. 点D 点E 点F DE EF DF ∠D ∠E ∠F E D F A B C △ABC≌△FDE 注意：书写时，把对应顶点写在对应的位置上. 全等的表示方法 “全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”. E D F A B C 全等三角形对应元素的确定方法 DF DE EF ∠D ∠E ∠F 角 角 角 边 边 边 AC AB BC ∠A ∠B ∠C 1.如图，已知△ABC≌△DEF，请指出图中对应边和对应角. A B C F D E 最长边对最长边，最短边对最短边，最大角对最大角，最小角对最小角. 归纳 ∠D ∠BAD ∠ABD AD BD BA B C D A 角 角 角 边 边 边 AB AC BC ∠BAC ∠ABC ∠C 2.如图，已知△ABC≌△BAD，请指出图中的对应边和对应角. 有公共边的，公共边一定是对应边. 归纳 ∠ADE ∠E ∠A ED AD AE A B C E D 角 角 角 边 边 边 AB AC BC ∠A ∠B ∠ACB 3. 如图，已知△ABC≌△AED，请指出图中对应边和对应角. 有公共角的，公共角一定是对应角. 归纳 角 角 角 边 边 边 AB AC BC ∠BAC ∠B ∠C AD AE DE ∠DAE ∠D ∠E 4.如图，已知△ABC≌△ADE，请指出图中对应边和对应角. A B C D E ∠1与 ∠2 2 1 有对顶角的，两个对顶角一定为一对对应角. 归纳 当堂练习：找一找下列全等图形的对应元素. A D F C E B 1 2 A B D C 1 4 2 3 E A B C F 1 2 3 4 A B C D F A　 B C E D F ∵△ABC≌△DEF(已知）， ∴AB=DE, AC=DF,BC=EF(全等三角形对应边相等）， ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F(全等三角形对应角相等）. 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等. 全等三角形的性质 几何语言 例1 如图，△ABC与△ADC全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角. 解：△ABC≌△ADC. 相等的边为：AB=AD，AC=AC，BC=DC； 相等的角为：∠BAC=∠DAC，∠B=∠D，∠ACB=∠ACD. 例题解读 例2 如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度数和CF的长． 解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°， ∠B＝50°，BF＝4，EF＝7， ∴∠DEF＝∠B＝50°，BC＝EF＝7， ∴CF＝BC－BF＝7－4＝3. 例3 如图，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应顶点，∠BAC＝65°，∠ABC＝26°，AC，BD的延长线相交于点E.求∠CBD，∠AEB的度数. 解：∵△ABC≌△BAD， ∴∠ABD＝∠BAC＝65°. ∴∠CBD=∠ABD－∠ABC＝65°-26°＝39°. 在△AEB中，∠AEB+∠BAE+∠ABE=180°， ∴∠AEB=180°－∠BAE－∠ABE=180°－65°－65°=50°. 例4 如图，△EFG≌△NMH，EF=2.1cm，EH=1.1cm，NH=3.3cm. （1）试写出两三角形的对应边、对应角； 解：（1）对应边有EF和NM，FG和MH，EG和NH； 对应角有∠E和∠N， ∠F和∠M， ∠EGF和∠NHM. （2）求线段NM及HG的长度； （3）观察图形中对应线段的数量或位置关系，试提出一个正确的结论并证明. 解：∵ △EFG≌△NMH， ∴NM=EF=2.1 cm， EG=NH=3.3 cm. ∴HG=EG–EH=3.3-1.1=2.2（cm）. 解：结论：EF∥NM. 证明： ∵ △EFG≌△NMH， ∴ ∠E=∠N. ∴ EF∥NM. 想一想：你还能得出 其他结论吗？ 在应用全等三角形性质时，要先确定两个条件： ①两个三角形全等；②找对应元素. 全等三角形的性质是证明线段、角相等的常用方法． 归纳 小结 全等三角形 定义 表示 方法 有关 概念 性质 能够完全重合的两个三角形 对应顶点、对应边、对应角 对应边相等、对应角相等 用全等符号“≌”表示 1．下列各组的两个图形属于全等图形的是 ( ) A 随 堂 小 测 2．(教材P30练习T2变式)如图，△AOC≌△BOD，则下列结论错误的是 ( ) A.∠A与∠B是对应角 B．∠AOC与∠BOD是对应角 C．OC与OB是对应边 D．OC与OD是对应边 C 3．如图，将△ABC沿BC所在的直线平移到△A′B′C′的位置，则△ABC____△A′B′C′，图中∠A与____，∠B与________，∠ACB与____分别是对应角；对应边为____________________________ _______. ≌ ∠A′ ∠A′B′C′ ∠C′ AB与A′B′，BC与B′C′，AC与 A′C′ 4．(2024·山东济南)如图，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠DCE的度数为 ( ) A．40° B．60° C．80° D．100° C 5．(2024·四川成都)如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为____． 100° 【变式】(2024·遵义期中)如图，△ABC≌△DBE，△ABC的周长为30，AB＝9，BE＝8，则DE的长是____． 13 6．如图，已知△ABC≌△A′BC′，A′C′∥BC，∠C＝20°，则∠ABA′的度数是 ( ) A．15° B．20° C．25° D．30° B 7．(2024·铜仁期中)如图，已知△ABC≌△A′B'′C′，AD是△ABC的一条中线，A′D′是△A′B′C′的一条角平分线，则下列说法错误的是 ( ) A．AC＝A′C′ B．S△ABC＝S△A′B′C′ C．AD＝A′D′ D．∠C＝∠C′ C 8．如图，在△ABC中，∠A＝60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DE的度数为____． 65° 9．如图，已知△ABC≌△ADE，且∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数. ∴∠DFB＝∠FAB＋∠B＝∠FAC＋∠CAB＋∠B＝ 10°＋55°＋25°＝90°. ∵∠DFB是△GDF的外角， ∴∠DGB＝∠DFB－∠D＝90°－25°＝65°. 10．如图，把两个形状、大小完全相同的长方形摆成“L”形． (1)指出图中的全等四边形和全等三角形； (2)判断△AFC的形状． 解：(1)四边形ABCD≌四边形AEFG，△AFG≌△FAE≌△ACD≌△CAB； (2)∵△FAE≌△ACD， ∴AF＝AC，∠FAE＝∠ACD. ∵四边形ABCD是长方形， ∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＋∠CAD＝90°， ∴∠FAE＋∠CAD＝90°，即∠FAC＝90°， ∴△AFC是等腰直角三角形． 11．如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE. (1)你能说明BD，DE，CE之间的数量关系吗？ (2)请你猜想△ABD满足什么条件时，BD∥CE？说明理由． 40 解：(1)BD＝DE＋CE. 理由如下：∵△BAD≌△ACE， ∴BD＝AE，AD＝CE. ∴BD＝AE＝AD＋DE＝CE＋DE， 即BD＝DE＋CE； (2)△ABD满足∠ADB＝90°时，BD∥CE. 理由如下：∵BD∥CE，∴∠E＝∠BDE. ∵△BAD≌△ACE，∴∠ADB＝∠E， ∴∠ADB＝∠BDE. ∵∠ADB＋∠BDE＝180°， 即2∠ADB＝180°， ∴∠ADB＝90°. 解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE＝ eq \f(1,2)(∠EAB－∠CAD)＝ eq \f(1,2)×(120°－10°)＝55°. ∵∠DFB是△FAB的外角， $$