14.2 三角形全等的判定 第5课时 课件-2025-2026学年人教版2024八年级数学上册

第十四章 全等三角形 14.2 三角形全等的判定 第5课时 斜边及一直角边证全等（HL） 学习目标 1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“斜边、直角边”． 2．会用直角三角形全等的判定方法“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等． 学习重难点 会用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等. 理解直角三角形全等的判定方法“斜边、直角边”． 难点 重点 新课导入 两个直角三角形中，已经有一对相等的直角，还需要满足几个条件就可以说明两个三角形全等？ 一直角边及其相对（或相邻）的锐角分别相等 AAS、ASA 斜边和一锐角分别相等 AAS 两直角边分别相等 SAS 如果满足斜边和一直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？ 如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C′=∠C=90°，A′B′=AB，B′C′=BC. 这两个三角形全等吗？ 新课讲授 1.“斜边、直角边”判定直角三角形全等 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 几何语言： A B C A′ B′ C′ 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∴Rt△ABC ≌ Rt△A′B′C′(HL). AB=A′B′, BC=B′C′, 例题解读 1.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD. 求证：BC=AD. 证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C=∠D=90°. 在Rt△ABC和Rt△BAD中， AB=BA， AC=BD， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）. ∴BC=AD. D A B C 2.如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿着两条直线行走，并同时到达D，E两地.DA⊥AB，EB⊥AB. D，E与路段AB的距离相等吗？为什么？ D A B C E 解：相等.理由如下： ∵C是路段AB的中点， ∴AC=BC. ∵同时出发，同时到达，且速度相同， ∴CD=CE. ∵DA⊥AB，EB⊥AB， ∴△ACD和△BCE是直角三角形. ∵在Rt△ACD和Rt△BCE中，AC=BC，CD=CE， ∴ Rt△ACD≌Rt△BCE（HL）. ∴DA=DB. 小结 斜边、直角边 HL 对比 探究 应用 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等 根据已知条件选择适合证明两个直角三角形全等的方法 利用“HL”解决实际问题 1．如图，已知∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC和Rt△ABD全等．以下给出的条件合适的是( ) A．∠ABC＝∠ABD B．∠BAC＝∠BAD C．AC＝AD D．AC＝BC C 随 堂 小 测 2．如图，已知AC＝BC，AC⊥OA，CB⊥OB. 求证：△ACO≌△BCO. 3．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是 ( ) A．两个锐角对应相等 B．一个锐角和斜边对应相等 C．两条直角边对应相等 D．一条直角边和斜边对应相等 A 4．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E.求证：△ACD≌△CBE. 证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠ADC＝∠E＝90°，∴∠B＋∠BCE＝90°. ∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＋∠ACD＝90°， ∴∠B＝∠ACD. 5．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加的一个条件是 ( ) A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC D 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC.若AC＝6 cm，则AE＋DE等于 ( ) A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm C 7． 如图，AC⊥AB，BD⊥CD，请添加一个条件，使△ABC≌△DCB.若利用“HL”判定，则添加的条件是 ________________________；若利用“AAS”判定，则添加的条件是 __________________________________．（填一个即可） AB＝DC（或AC＝DB） ∠ABC＝∠DCB（或∠ACB＝∠DBC） 8．（教材P43练习T1变式）如图，小明和小芳以相同的速度分别从A，B同时出发，小明沿AC行走，小芳沿BD行走，并同时到达C，D.若CB⊥AB，DA⊥AB，则CB与DA相等吗？为什么？ 解：CB＝DA.理由如下： 根据题意，得AC＝BD. ∵CB⊥AB，DA⊥AB， ∴∠DAB＝∠CBA＝90°. 9．（2024·遵义期末）如图，CD平分∠BCA且平分∠BDA，∠A＝90°，点F在射线CB上，且DF＝DE. 求证：(1)DB＝DA； (2)AE＝BF. 10． 如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，一条线段PQ＝AB，P，Q两点分别在边AC上和过点A且垂直于AC的射线AQ上运动，问点P运动到AC上什么位置时，△ABC才能和△APQ全等． 21 证明：∵AC⊥OA，CB⊥OB， ∴∠A＝∠B＝90°. 在Rt△ACO和Rt△BCO中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(OC＝OC，,AC＝BC，)) ∴Rt△ACO≌Rt△BCO(HL). 在△ACD和△CBE中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠ADC＝∠E，,∠ACD＝∠B，,AC＝CB，)) ∴△ACD≌△CBE(AAS). 在Rt△CBA和Rt△DAB中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AC＝BD，,BA＝AB，)) ∴Rt△CBA≌Rt△DAB(HL). ∴CB＝DA. 证明：(1)∵CD平分∠BCA且平分∠BDA， ∴∠BCD＝∠ACD，∠BDC＝∠ADC. 在△BCD和△ACD中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(∠BCD＝∠ACD，,CD＝CD，,∠BDC＝∠ADC，))) ∴△BCD≌△ACD(ASA)，∴DB＝DA； (2)由(1)得△BCD≌△ACD， ∴∠CBD＝∠A＝90°，∴∠DBF＝90°. 在Rt△AED和Rt△BFD中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(DE＝DF，,DA＝DB，))) ∴Rt△AED≌Rt△BFD(HL)，∴AE＝BF. 解：分两种情况讨论： ①当点P运动到AC的中点处时，AP＝BC＝5 cm. 在Rt△ABC和Rt△QPA中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(BA＝PQ，,CB＝AP，)) ∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)； ②当点P运动到与点C重合时，AP＝AC＝10 cm. 在Rt△ABC和Rt△PQA中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AB＝PQ，,CA＝AP，)) ∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL). 综上所述，当点P运动到AC的中点处或与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等． $$