预习课第5讲 乘法公式 讲义 2025-2026学年人教版数学八年级上册

第5讲 乘法公式 目标导航 ①掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能理解公式中字母的含义 ②学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算；了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算 ③能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算 知识精讲 知识点1 平方差公式 公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 平方差公式：两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差 注：①字母a、b仅是一个表达式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式 ②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。特别需要注意“-”的处理 【题型1】平方差公式的几何背景 【例题1】如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形． (1) 设图1中的阴影部分的面积是，图2中阴影部分的面积是，请直接用含a、b的代数式表示= ，= ； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式： 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据两个图形的面积相等，即可写出公式； （2）根据面积相等可得（a+b）（a-b）=a2-b2； （3）从左到右依次利用平方差公式即可求解． （1）解：s1= ， s2=， 故答案为：，； （2）解：由题意，得， 故答案为：； 【练习1】下列选项中，能利用图形的面积关系不能解释平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两个图象中的阴影部分的面积相等进行验证． 【详解】解：A、阴影部分的面积 =（a+b）（a-b），是平方差公式，故本选项不符合题意； B、阴影部分的面积2a·2b=4ab=，不是平方差公式，故本选项符合题意； C、阴影部分的面积=（a+b）（a-b），是平方差公式，故本选项不符合题意； D、阴影部分的面积=（a+b）（a-b），是平方差公式，故本选项不符合题意；故选：B． 【题型2】平方差公式的基本运用 【例题2】下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的有（   ） （1）（2）（3）（4） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据平方差公式为两数之和与两数之差的积，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：能用平方差公式计算的有；， 则能用平方差公式简便计算的有个． 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构是解题的关键． 【练习2】利用乘法公式计算：____________． 【答案】1 【分析】根据平方差公式计算即可． 【详解】解： = = = =1 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了平方差公式，掌握是解题的关键． 【练习3】的结果是______． 【答案】 【分析】将原式变形为，再利用平方差公式逐步计算即可． 【详解】解： = = = = = = 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，解题的关键是发现算式的规律，灵活构造平方差公式的形式． 知识点2 完全平方公式 公式： 完全平方公式：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍 记忆口诀：首平方，尾平方，首尾两倍放后方 注：①a、b仅是一个符号，可以表示数、字母、单项式或多项式 ②使用公式时，一定要先变形成符合公式的形式 拓展：利用可推导除一些变式（知二求二） ① ② 注：变式无需记忆。在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来 【题型3】完全平方公式的几何背景 【例题3】如图所示，请完成下列问题： (1)填空：最大正方形的面积可用两种形式分别表示为_______或________． (2)通过观察，可以发现一个重要的整式乘法公式，你能写出吗？若可以，请写出来． 【答案】(1)（a+b）2、a2+2ab+b2 (2)（a+b）2=a2+2ab+b2 【分析】（1）分别用大正方形的面积公式和四部分求可确定正方形的面积即可； （2）根据（1）的两个代数式表示同一块正方形的面积相等解答即可． (1)解：由正方形的面积公式可得：大正方形的面积为：（a+b）2； 由大正方形的面积由四部分组成，则大正方形的面积为：a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2． 故答案为：（a+b）2、a2+2ab+b2． (2)解：由（1）的两个代数式表示同一块正方形的面积相等可得：（a+b）2=a2+2ab+b2 则这个重要的整式乘法公式为（a+b）2=a2+2ab+b2． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的推导，用两种方法表示出大正方形的两个面积表达式成为解答本题的关键． 【练习4】如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图甲可知阴影部分的面积=大正方形的面积－两个长方形的面积＋两个长方形重合部分的面积，由图乙可知阴影部分是边长为的正方形，从而可知其面积为，从而得出结论． 【详解】解：由图甲可知：阴影部分的面积为：，图乙中阴影部分的面积为：， 所以，故选：C． 【点睛】此题考查的是完全平方公式的几何意义，掌握阴影部分面积的两种求法是解决此题的关键． 【练习5】如图1，有甲、乙、丙三种纸片，其中甲是边长为a的正方形，乙是长为a，宽为b的长方形，丙是边长为b的正方形（a＞b）． (1)如图2，用甲、丙纸片各1张，乙纸片2张，可以紧密拼接成一个大正方形，请根据图形的面积写出一个乘法公式　 　； (2)若要用这三种纸片紧密拼接成一个边长为（2a+b）大正方形，则需要取甲、乙、丙纸片各多少张． 【答案】(1)（a+b）2=a2+2ab+b2 (2)需要取甲种纸片4张、乙种纸片4张、丙种纸片1张． 【分析】（1）根据两种计算图2面积的方法可得公式（a+b）2=a2+2ab+b2； （2）由计算（2a+b）2的结果可得此题结果． （1）解：∵图2中正方形的面积可表示为：（a+b）2和a2+2ab+b2， ∴可得公式（a+b）2=a2+2ab+b2， 故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2； （2）解：由计算（2a+b）2=4a2+4ab+b2可得， 需要取甲种纸片4张、乙种纸片4张、丙种纸片1张． 【题型4】完全平方公式的基本运用 【例题4】下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A．（a﹣b）（﹣b﹣a） B．（﹣n2﹣m2）（m2+n2） C． D．（2x﹣3y）（2x+3y） 【分析】A、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意； B、原式第一个因式提取﹣1变形后利用完全平方公式计算得到结果，符合题意； C、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意； D、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意． 【解答】解：A、原式＝b2﹣a2，本选项不合题意； B、原式＝﹣（m2+n2）2，本选项符合题意； C、原式＝q2p2，本选项不合题意； D、原式＝4x2﹣9y2，本选项不合题意， 故选：B． 【练习6】下列运算正确的是（　　） A．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2 B．（﹣x+y）2＝﹣x2+2xy+y2 C．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2 D．（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2 【分析】根据完全平方公式和平方差公式逐个判断即可． 【解答】解：A、结果是y2﹣x2，故本选项不符合题意； B、结果是x2﹣2xy+y2，故本选项不符合题意； C、结果是x2+2xy+y2，故本选项不符合题意； D、结果是x2﹣y2，故本选项符合题意. 【练习7】先化简，再求值：（2x＋y）2＋5（x＋y）（x－y），其中x＝2，y＝1 【答案】， 【分析】根据完全平方和平方差公式进行计算，再进行整式的加减运算，最后将字母的值代入求解即可 【详解】（2x＋y）2＋5（x＋y）（x－y） 当x＝2，y＝1时原式 【点睛】本题考查了整式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，掌握整式的运算是解题的关键． 【题型5】完全平方公式的含参问题 【例题5】当__________时，是完全平方公式． 【答案】4 【分析】根据乘积二倍项确定这两个数，再根据完全平方公式的特征即可求解． 【详解】解：∵是完全平方公式， ∴， ∴， 解得 故答案为：4 【练习8】已知是完全平方式，则m的值为（    ） A．8 B． C．24 D． 【答案】D 【分析】根据完全平方式得出mx＝±2•2x•6，再求出m即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴mx＝±2•2x•6，解得：m＝±24，故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有和两个． 【题型6】完全平方公式的知二求二 【例题6】（1）已知，，求的值； （2）已知，求和的值． 【答案】（1）45；（2）47 【分析】（1）利用完全平方公式的变形，即可求解； （2）由得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：（1）因为，所以 又因为，， （2）由得，即，所以， 由得，即，所以． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握，及其变形是解题的关键． 【练习9】若a2﹣b2＝16，（a+b）2＝8，则ab的值为（　　） A． B． C．﹣6 D．6 【分析】根据a2﹣b2＝16得到（a+b）2（a﹣b）2＝256，再由（a+b）2＝8，求出（a﹣b）2＝32， 最后根据ab求出答案． 【解答】解：∵a2﹣b2＝16， ∴（a+b）（a﹣b）＝16， ∴（a+b）2（a﹣b）2＝256， ∵（a+b）2＝8， ∴（a﹣b）2＝32， ∴ab6，故选：C． 【练习10】已知（x+y）2＝5，（x﹣y）2＝1，则xy＝________． 【答案】1 【分析】利用完全平方公式列出关系式，把已知等式代入，即可求出xy的值． 【详解】解：∵（x+y）2=5，（x-y）2=1，∴（x+y）2-（x-y）2=4xy，即5-1=4xy，则xy=1，故答案为：1． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 【练习11】若，则的值为 _______． 【答案】11040 【分析】利用完全平方公式列出关系式，把各自的值代入计算即可求出所求． 【详解】解：∵，， ∴ ， 课后作业 1.下列各式中计算正确的是（　　） A．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2 B．（﹣a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2 C．（﹣a﹣2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4b2 D．（﹣a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2 【分析】根据平方差公式对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、应为（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣（2b）2，故本选项错误； B、应为（﹣a+2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4ab﹣4b2，故本选项错误； C、（﹣a﹣2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4b2，正确； D、应为（﹣a﹣2b）（a+2b）＝﹣a2﹣4ab﹣4b2，故本选项错误． 故选：C． 2.如图，在边长为（x+a）的正方形中，剪去一个边长为a的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，由左右两个阴影部分面积，可以得到一个恒等式是（　　） A．（x+a）2﹣a2＝x（x+2a） B．x2+2ax＝x（x+2a） C．（x+a）2﹣x2＝a（a+2x） D．x2﹣a2＝（x+a）（x﹣a） 【分析】根据阴影部分面积相等得到恒等式即可． 【解答】解：第一幅图阴影部分面积＝（x+a）2﹣a2， 第二幅图阴影部分面积＝（x+a+a）x＝x（x+2a）， ∴（x+a）2﹣a2＝x（x+2a）， 故选：A． 3.计算：（1）×（1）×（1）×…×（1）×（1）的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）展开，中间的数全部约分，只剩下第一个数和最后一个数相乘，从而得出答案． 【解答】解：原式＝（1）×（1）×（1）×（1）×（1）×（1）×…×（1）×（1）×（1）×（1） ． 故选：B． 4.无论a、b为何值，代数式的值总是（ ） A．非负数 B． C．正数 D．负数 【答案】C 【分析】把含a的放一块，配成完全平方公式，把含b的放一块，配成完全平方公式，根据平方的非负性即可得出答案． 【详解】解：原式＝（a2﹣2a+1）+（b2+4b+4）+1＝（a﹣1）2+（b+2）2+1， ∵（a﹣1）2≥0，（b+2）2≥0，∴（a﹣1）2+（b+2）2+1＞0，即原式的值总是正数．故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方式的应用，对代数式进行正确变形是解题的关键． 5.若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用平方差公式计算进而得出答案． 【详解】解：， ．故选：D． 【点睛】此题主要考查了平方差公式，正确将原式变形是解题关键． 6.若，则 ________________. 【答案】8 【分析】先把可化为 ，再将化为，然后代入即可解答。 【解析】解：∵可化为，化为 ∴原式==32-1=8 【点睛】本题考查了代数式求值，解题关键在于对等式的变形和完全平方公式的灵活运用。 7.用乘法公式进行计算： （1）20252﹣2024×2026； （2）112+13×66+392． 【分析】平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差；完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2． 【解答】解：（1）20252﹣2024×2026 ＝20252﹣（2025﹣1）×（2025+1） ＝20252﹣（20252﹣1） ＝1； （2）112+13×66+392 ＝112+13×2×3×11+392 ＝112+2×11×39+392 ＝（11+39）2 ＝502 ＝2500． 8.先化简，再求值：，其中． 【答案】﹣26m2+16n2，－12 【分析】直接利用乘法公式以及整式的混合运算法则化简，再把已知整体代入得出答案． 【详解】解：原式＝m2﹣8mn+16n2﹣12n2+8mn﹣3（9m2﹣4n2） ＝m2﹣8mn+16n2﹣12n2+8mn﹣27m2+12n2＝﹣26m2+16n2， ∵13m2﹣8n2﹣6＝0，∴13m2﹣8n2＝6，∴原式＝﹣2（13m2﹣8n2）＝﹣2×6＝﹣12． 9.定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为：“奇异数”．如8，16，24都是“奇异数”． （1）写出两个奇异数（8，16，24除外）； （2）试问偶数6050是不是奇异数？为什么？ 【分析】（1）根据奇异数的定义判断即可； （2）偶数6050不是奇异数，根据两个连续正奇数的平方差，即（n+2）2﹣n2＝6050，求出n的值，判断即可． 【解答】解：（1）奇异数可以为32，40； （2）不是奇异数，理由为： 假设偶数6050为奇异数，即为两个连续正奇数的平方差， 可设（n+2）2﹣n2＝6050， 分解因式得：2（2n+2）＝6050， 解得：n＝1511.5， 可得n不是奇数，不符合题意， 则偶数6050不是奇异数． 10.阅读材料 例：求代数式的最小值． 解：，可知x=-1时，有最小值，最小值是-8， 根据上面的方法解决下列问题： (1)当x为何值时，取得最大值？最大值是多少？ (2)直接写出多项式最小值是　 　． 【答案】(1)当x＝1时，﹣3x2+6x﹣2有最大值，最大值是1 (2)5 【分析】（1）将多项式化成，利用配方法后可得结论； （2）将多项式重新分组，改写成，配方后可得结论； （1）解： ∴当x=1时，有最大值，最大值是1； （2）， 当a=2,b=-3时，多项式有最小值，最小值是5， 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，将多项式变形为完全平方式，再利用非负数的性质解答是解题的关键． 11.阅读材料： 例题：已知a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0，求a，b的值． 解：∵a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0， ∴a2﹣2a+1+4b2﹣4b+1＝0， ∴（a﹣1）2+（2b﹣1）2＝0， ∴a﹣1＝0，2b﹣1＝0， ∴a＝1，b＝． 参照上面材料，解决下列问题： （1）已知x2+y2+8x﹣12y+52＝0，求x，y的值； （2）已知2x2+4y2+4xy﹣2x+1＝0，求x+y的值． 【答案】（1）x＝﹣4，y＝6；（2） 【分析】（1）先变形出完全平方公式，利用完全平方数的非负性即可得出解； （2）先变形出完全平方公式，利用完全平方数的非负性即可得出解. 【详解】解：（1）∵x2+y2+8x﹣12y+52＝0，∴（x2+8x+16）+（y2﹣12y+36）＝0， ∴（x+4）2+（y﹣6）2＝0，∴x+4＝0，y﹣6＝0， 解得，x＝﹣4，y＝6，故答案为：x＝﹣4，y＝6； （2）2x2+4y2+4xy﹣2x+1＝0，（x2+4y2+4xy）+（x2﹣2x+1）＝0，（x+2y）2+（x﹣1）2＝0， 则 ，解得x+y＝1﹣＝，故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形以及完全平方数的非负性的应用，掌握完全平方数的非负性是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5讲 乘法公式 目标导航 ①掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能理解公式中字母的含义 ②学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算；了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算 ③能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算 知识精讲 知识点1 平方差公式 公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 平方差公式：两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差 注：①字母a、b仅是一个表达式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式 ②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。特别需要注意“-”的处理 【题型1】平方差公式的几何背景 【例题1】如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形． (1) 设图1中的阴影部分的面积是，图2中阴影部分的面积是，请直接用含a、b的代数式表示= ，= ； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式： 【练习1】下列选项中，能利用图形的面积关系不能解释平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】平方差公式的基本运用 【例题2】下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的有（   ） （1）（2）（3）（4） A．个 B．个 C．个 D．个 【练习2】利用乘法公式计算：____________． 【练习3】的结果是______． 知识点2 完全平方公式 公式： 完全平方公式：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍 记忆口诀：首平方，尾平方，首尾两倍放后方 注：①a、b仅是一个符号，可以表示数、字母、单项式或多项式 ②使用公式时，一定要先变形成符合公式的形式 拓展：利用可推导除一些变式（知二求二） ① ② 注：变式无需记忆。在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来 【题型3】完全平方公式的几何背景 【例题3】如图所示，请完成下列问题： (1)填空：最大正方形的面积可用两种形式分别表示为_______或________． (2)通过观察，可以发现一个重要的整式乘法公式，你能写出吗？若可以，请写出来． 【练习4】如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ） A． B． C． D． 【练习5】如图1，有甲、乙、丙三种纸片，其中甲是边长为a的正方形，乙是长为a，宽为b的长方形，丙是边长为b的正方形（a＞b）． (1)如图2，用甲、丙纸片各1张，乙纸片2张，可以紧密拼接成一个大正方形，请根据图形的面积写出一个乘法公式　 　； (2)若要用这三种纸片紧密拼接成一个边长为（2a+b）大正方形，则需要取甲、乙、丙纸片各多少张． 【题型4】完全平方公式的基本运用 【例题4】下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A．（a﹣b）（﹣b﹣a） B．（﹣n2﹣m2）（m2+n2） C． D．（2x﹣3y）（2x+3y） 【练习6】下列运算正确的是（　　） A．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2 B．（﹣x+y）2＝﹣x2+2xy+y2 C．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2 D．（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2 【练习7】先化简，再求值：（2x＋y）2＋5（x＋y）（x－y），其中x＝2，y＝1 【题型5】完全平方公式的含参问题 【例题5】当__________时，是完全平方公式． 【练习8】已知是完全平方式，则m的值为（    ） A．8 B． C．24 D． 【题型6】完全平方公式的知二求二 【例题6】（1）已知，，求的值； （2）已知，求和的值． 【练习9】若a2﹣b2＝16，（a+b）2＝8，则ab的值为（　　） A． B． C．﹣6 D．6 【练习10】已知（x+y）2＝5，（x﹣y）2＝1，则xy＝________． 【练习11】若，则的值为 _______． 课后作业 1.下列各式中计算正确的是（　　） A．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2 B．（﹣a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2 C．（﹣a﹣2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4b2 D．（﹣a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2 2.如图，在边长为（x+a）的正方形中，剪去一个边长为a的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，由左右两个阴影部分面积，可以得到一个恒等式是（　　） A．（x+a）2﹣a2＝x（x+2a） B．x2+2ax＝x（x+2a） C．（x+a）2﹣x2＝a（a+2x） D．x2﹣a2＝（x+a）（x﹣a） 3.计算：（1）×（1）×（1）×…×（1）×（1）的结果是（　　） A． B． C． D． 4.无论a、b为何值，代数式的值总是（ ） A．非负数 B． C．正数 D．负数 5.若，则的值是（    ） A． B． C． D． 6.若，则 ________________. 7.用乘法公式进行计算： （1）20252﹣2024×2026； （2）112+13×66+392． 8.先化简，再求值：，其中． 9.定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为：“奇异数”．如8，16，24都是“奇异数”． （1）写出两个奇异数（8，16，24除外）； （2）试问偶数6050是不是奇异数？为什么？ 10.阅读材料 例：求代数式的最小值． 解：，可知x=-1时，有最小值，最小值是-8， 根据上面的方法解决下列问题： (1)当x为何值时，取得最大值？最大值是多少？ (2)直接写出多项式最小值是　 　． 学科网（北京）股份有限公司 $$