第05讲 追及和相遇专题（举一反三讲义）（全国通用）

第05讲 追及和相遇专题 本讲要点 1、 专题综述（追及和相遇问题的三个关系） 二、 考点精讲练 考点01：追及和相遇问题的常用分析方法（必备知识+2例+1变式+能力提升） 考点02：避免相碰的追及和相遇问题（1例+1变式+能力提升） 考点03：不在一条直线上的追及和相遇问题（1例+1变式+能力提升） 考点04：图像中的追及和相遇问题（必备知识+2例+2变式+能力提升） 三、巩固提升（精选10道题） 追及和相遇问题的三个关系 综述 追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间能否到达相同的空间位置。 1．二者距离变化与速度大小的关系(以甲追乙为例，如图所示) (1)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲<v乙，甲、乙间的距离就不断增大。 (2)若v甲＝v乙，甲、乙间的距离保持不变。 (3)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲>v乙，甲追上乙前，甲、乙间的距离就不断减小。 2．解决追及和相遇问题的三个关系 (1)速度关系：①速度小者追速度大者：当二者速度相等时，二者距离最大。 ②速度大者追速度小者(避碰问题)：二者速度相等是判断是否追上的临界条件，若此时追不上，二者之间距离有最小值。 (2)位移关系：根据两物体初始运动时的距离，画出运动示意图，建立位移关系。 (3)时间关系：根据两物体初始运动的时间差，建立时间关系。 追及和相遇问题的常用分析方法 考点一 1. 物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图。 能否追上的判断方法(临界条件法)： 物体甲追赶物体乙，开始时，两个物体相距x0，当v甲＝v乙时，若x甲>x乙＋x0，则能追上；若x甲＝x乙＋x0，则恰好追上；若x甲<x乙＋x0，则不能追上。 2.二次函数法：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系。对于该二次函数关系： (1)当Δx＝0时，表示两者相遇。取Δx＝0时，对于关于时间t的一元二次方程，利用根的判别式进行分析。 ①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次； ②若Δ＝0，有一个解，说明能刚好追上或相遇； ③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇。 (2)当t＝－时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值。 3. 图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像。位移—时间图像的交点表示相遇，分析速度—时间 图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系。 特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。 【问题拓展】　若当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？(设两车道平行，赛车可以从安全车旁经过而不相碰，用物理分析法和图像法两种方法解题) 【变式1】某辆汽车以6m/s的初速度从匝道进入某一条笔直的高速，又以4m/s2的加速度匀加速到30m/s并开启定速巡航模式（开启后汽车会自动保持30m/s的速度匀速行驶，驾驶员无需再踩油门，若驾驶员踩刹车制动，则定速巡航会自动关闭）。（车辆均可视为质点） (1)求汽车加速阶段行驶的距离。 (2)驾驶员在行驶一段时间后发现定速巡航系统无法关闭，于是立即报警，在紧张行驶一段时间后到达距离下一个匝道40m处。此时一辆警车以10m/s的速度从此匝道汇入高速后与失控车保持在同一条车道上，然后进行拦截，要求警车汇入高速后匀加速到与失控车共速时两车刚好相遇，然后对失控车进行紧急逼停，求警车加速度的大小。 【解题能力提升】 1.解题思路 ⇒⇒⇒ 2.解题技巧 (1)紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式。 (2)审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。 (3)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动，另外还要注意最后对解的讨论分析。 避免相碰的追及和相遇问题 考点二 【例2】在平直高速公路上，一辆大货车以v1=25 m/s的速度匀速行驶在快速车道上，在同一车道上，一辆小汽车以v2=32 m/s的速度随其后并逐渐接近，大货车的制动性能较差，刹车时的加速度大小a1=5 m/s2，而小汽车配备有ABS防抱死刹车系统，刹车时小汽车的加速度大小a2=8 m/s2。若前方大货车突然紧急刹车(此时记为0时刻)，小汽车司机的反应时间Δt=0.4 s。两车均可看成质点。求： (1)在不考虑追尾时，大货车刹车痕迹的长度x； (2)在不考虑追尾时，大货车和小汽车各自停下的时刻t1和t2； (3)为避免发生追尾事故，大货车紧急刹车前，小汽车和大货车之间的最小距离d。 【变式2】5G自动驾驶是基于5G通信技术实现网联式全域感知、协同决策与智慧云控，相当于有了“千里眼”的感知能力，同时，5G网络超低延时的特性，让“汽车大脑”可以实时接收指令，极大提高了汽车运行的安全性。A、B两辆5G自动驾驶测试车，在同一直线上向右匀速运动，B车在A车前，A车的速度大小为，B车的速度大小为，如图所示。当A、B两车相距时，B车因前方突发情况紧急刹车，已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动，加速度大小为，从此时开始计时，求： (1)A车追上B车之前，两者相距的最大距离？ (2)如果B车刹车后，为避免两车相撞，A车也要刹车，且加速度大小也为，则A车最迟在B车刹车后几秒接受指令刹车？ 【解题能力提升】 刹车中的追及问题要注意的两种情况: (1)当后面的车辆刹车时,与前面车辆恰好不相撞的条件是;速度相等时刚好追上. (2)当前面的车辆刹车时,先要计算刹车停止的时间和位移，根据位移关系，判断相遇情况: ①若在前车停止前相遇，可以根据位移关系直接列方程求解， ②若在前车停止后相遇，需要分别计算停车前、后运动的时间和位移， 不在一条直线上的追及和相遇问题 考点三 【例3】长为的货车在一段平直的山路上以的速度匀速行驶，突然发现前方隧道口的正上方有石块落下。石块的运动可近似看作自由落体运动，石块距车头的水平距离为，石块距车的高度为，重力加速度取，不计汽车的高度，则 （1）若水平距离，石块下落的同时，货车开始做的匀减速直线运动，试通过计算判断石块能否砸到货车上？ （2）若水平距离，石块下落的同时，货车开始做匀变速直线运动，为了避免石块砸到货车上，求货车的加速度应满足什么条件？ 【变式3】（多选）（2024·湖南·高考真题）如图，光滑水平面内建立直角坐标系xOy．A、B两小球同时从O点出发，A球速度大小为v1，方向沿x轴正方向，B球速度大小为v2 = 2m/s、方向与x轴正方向夹角为θ。坐标系第一象限中有一个挡板L，与x轴夹角为α。B球与挡板L发生碰撞，碰后B球速度大小变为1m/s，碰撞前后B球的速度方向与挡板L法线的夹角相同，且分别位于法线两侧。不计碰撞时间和空气阻力，若A、B两小球能相遇，下列说法正确的是（   ） A．若，则v1的最大值为，且 B．若，则v1的最大值为，且 C．若，则v1的最大值为，且 D．若，则v1的最大值为，且 【解题能力提升】 对不在同一直线上的相遇问题,要利用好两个关系: 1.时间关系:两个运动时间相等,或存在已知的时间差。 2.位移关系:由于两个运动不在同一直线上,有时需要应用几何定律(如勾股定理等)确定位移关系。 图像中的追及和相遇问题 考点四 1.x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题： (1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算。 (2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解。 2.利用v－t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v－t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷。 3.若为x－t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a－t图像，可转化为v－t图像进行分析。 【例4-1】　(多选)甲、乙两质点以某时刻作为计时起点，得到的x-t图像如图所示，甲图线为一曲线，且曲线在O点的切线与AB平行，过C点的切线与OA平行，下列说法正确的是( ) A.甲、乙两质点是同时、同地、同向出发的 B.在两质点相遇前，t1时刻两质点相距最远 C.t2时刻甲质点与乙质点的速度大小相等 D.t3时刻甲质点在乙质点的前方 【例4-2】　（2016·新课标I·高考真题）甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v-t图像如图所示。已知两车在t=3 s时并排行驶，则( ) A.在t=1 s时，甲车在乙车后 B.在t=0时，甲车在乙车前8 m C.两车另一次并排行驶的时刻是t=2 s D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m 【变式4-1】 我国是世界上电动汽车生产大国，电动汽车与人工智能相结合，是未来自动驾驶技术趋势。在测试一款电动汽车的自动驾驶功能时，挑选两辆汽车a和b在同一直线路段进行测试，测试开始时两辆汽车并排同时启动，两车运动的v-t图像如图所示，则下列说法正确的是(　　) A.两车启动后短时间内b在前，a在后，a追赶b B.相遇前，两车之间的最大距离为v0t0 C.a在前t0时间内的平均速度比b在前2t0时间内的平均速度大 D.a、b两车在(2+)t0时刻相遇 【变式4-2】 (多选)两个滑块a、b从同一位置出发沿同一直线运动，先匀加速运动后匀减速运动。在坐标纸上画出a、b运动的v－t图像如图所示，t1、t2两时刻a、b速度相等。下列说法正确的是(　　) A.t1时刻b与a再次相遇 B.t2时刻b与a再次相遇 C.加速阶段a、b加速度大小之比为 D.从开始运动到b停下的时间内，b的平均速度大于a的平均速度 巩固提升 1．（2025·山东·模拟预测）如图所示，某景区中A、B两景点间可通过缆车往返，当甲车以6m/s的速度开始减速时，对向的乙车从B景点由静止启动，两车加速度大小均为甲车到B景点速度减为零。测甲、乙相遇时，甲到B景点的距离为（　　） A． B．18m C．27m D．36m 2．（多选）（2025·河南·三模）汽车沿水平车道以的速度向前做匀减速直线运动，其刹车的加速度大小，此时发现在相邻车道前方相距处有以的速度同向运动的汽车B匀速行驶，从此刻开始计时，经多长时间两车并排（即相遇）（　　） A． B． C． D． 3．（2025·重庆·模拟预测）如图所示，在一条足够长的水平直道上，汽车甲做匀速直线运动，汽车乙从时刻由静止开始做匀加速直线运动。在到时间段内，下列说法正确的是（　　） A．若时刻，甲在前、乙在后，则乙一定能追上甲 B．若时刻，甲在前、乙在后，则乙可能追上甲 C．若时刻，甲在后、乙在前，则甲一定能追上乙 D．若时刻，甲在后、乙在前，则甲可能追上乙 4．（2025·湖南娄底·二模）某实验小组利用甲、乙两小车的传感器来比较它们的运动情况，如图为测绘出它们在同一平直赛道上运动时的图像，时刻，乙车在甲车前方位置处，时刻，甲车位移为，则下列描述正确的是（　　） A．若它们在第一次相遇，则 B．若它们在第一次相遇，则 C．若它们在第一次相遇，则下次相遇时刻为 D．若它们在第一次相遇，则下次相遇时刻为 5．（多选）物理兴趣小组的同学用两个相同的遥控小车沿直线进行追逐比赛，两小车分别安装不同的传感器并连接到计算机中，A小车安装加速度传感器，B小车安装速度传感器，两车初始时刻速度大小均为=30m/s，A车在前、B车在后，两车相距100m，其传感器读数与时间的函数关系图像如图所示，规定初始运动方向为正方向。下列说法正确的是（　　） A．t=3s时两车间距离为25m B．3~9s内，A车的加速度大小与B车的加速度大小相等 C．0~9s内两车最近距离为10m D．0~9s内两车必能相遇一次 6．（多选）已知国产越野车和自动驾驶车都在同一公路上向东行驶，自动驾驶车由静止开始运动时，越野车刚好以速度从旁边加速驶过，如图所示的粗折线和细折线分别是越野车和自动驾驶车的图线，根据这些信息，可以判断（　　）    A．5s末两车速度均为9 B．0时刻之后，两车会相遇两次 C．20s末两车相遇 D．加速阶段自动驾驶车的加速度是越野车的3倍 7．（多选）如图甲所示，汽车A和B（均可视为质点）在平直的公路上沿两平行车道同向行驶。某时刻开始计时，A车在后，此时两车相距x0=16m，A车运动的x-t图像如图乙所示，B车运动的v-t图像如图丙所示。下列说法正确的是（　　） A．汽车A由静止开始做匀加速直线运动 B．汽车B在0~9s内的位移大小为20m C．在t=0.5s时，两车相距最远，且最远距离为18m D．在t=9s时，两车并排，之后A车超越B车 8．如图所示，逃犯在平直公路上到边境线的距离L=2200m处抢得货车后，驱车由静止开始沿公路向边境匀加速逃窜，武警接到群众举报，乘坐停在路旁的警车（警车停在逃犯抢劫货车处后方x0=183m的位置），在逃犯驱车逃窜t0=16s后，警车由静止开始匀加速追赶货车。已知警车与货车的加速度大小分别为a1=6m/s2、a2=5m/s2，所能达到的最大速度分别为vm1=42m/s、vm2=30m/s，两车的速度达到最大后均做匀速直线运动。 （1）求两车的最大距离xm； （2）试通过计算判断警车能否在境内追上货车。 9．智能手机通过星闪连接进行数据交换，已经配对过的两部手机，当距离小于某一值时，会自动连接；一旦超过该值时，星闪信号便会立即中断，无法正常通信。如图所示，甲、乙两位同学在两个平行的直跑道上进行测试，跑道间距离d＝5 m。已知星闪设备在13 m以内时能够实现通信，t＝0时刻，甲、乙两人刚好位于图示位置，此时甲同学的速度为9 m/s，乙同学的速度为2 m/s。从该时刻起甲同学以2 m/s2的加速度做匀减速直线运动直至停下，乙同学保持原有速度做匀速直线运动。忽略信号传递时间，从计时起，求： (1)甲、乙两人经过多长时间会出现第一次信号中断； (2)甲、乙两人在前进方向上的最大距离； (3)甲、乙两人能利用星闪通信的时间。 10．华南师大附中第70届校运会上，石牌校区高一9班以45.49秒的成绩打破男子接力乙组纪录。优秀的交接棒技术和策略，助力提升成绩。接力区长度，接棒者可以在接力区内任意位置起跑，但必须在接力区内完成交接棒。接力队比赛全程的运动，简化为直线运动。某班参加接力赛的四位同学，起跑阶段均视为加速度大小为a的匀变速运动，达到最大速度后，可以一直保持匀速运动直至完成交棒。接棒者通过在跑道贴胶带设置起跑标记，标记与接棒者距离，如图（甲）所示。比赛中，持棒者以最大速度奔跑至标记时，接棒者立即从接力区始端起跑并在接力区内完成接棒。赛道总长度。 (1)若接棒者刚达到最大速度时完成接棒，求接棒者从起跑至完成接棒的距离及对应的加速度大小； (2)如图（乙）所示，接棒者改为在距离接力区末端处起跑，标记重置于其起跑处后方处，求接力队完成比赛最佳成绩，并写出x取不同值时接力队完成比赛的最短时间t与x的关系式。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 追及和相遇专题 本讲要点 1、 专题综述（追及和相遇问题的三个关系） 二、 考点精讲练 考点01：追及和相遇问题的常用分析方法（必备知识+2例+1变式+能力提升） 考点02：避免相碰的追及和相遇问题（1例+1变式+能力提升） 考点03：不在一条直线上的追及和相遇问题（1例+1变式+能力提升） 考点04：图像中的追及和相遇问题（必备知识+2例+2变式+能力提升） 三、巩固提升（精选10道题） 追及和相遇问题的三个关系 综述 追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间能否到达相同的空间位置。 1．二者距离变化与速度大小的关系(以甲追乙为例，如图所示) (1)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲<v乙，甲、乙间的距离就不断增大。 (2)若v甲＝v乙，甲、乙间的距离保持不变。 (3)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲>v乙，甲追上乙前，甲、乙间的距离就不断减小。 2．解决追及和相遇问题的三个关系 (1)速度关系：①速度小者追速度大者：当二者速度相等时，二者距离最大。 ②速度大者追速度小者(避碰问题)：二者速度相等是判断是否追上的临界条件，若此时追不上，二者之间距离有最小值。 (2)位移关系：根据两物体初始运动时的距离，画出运动示意图，建立位移关系。 (3)时间关系：根据两物体初始运动的时间差，建立时间关系。 追及和相遇问题的常用分析方法 考点一 1. 物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图。 能否追上的判断方法(临界条件法)： 物体甲追赶物体乙，开始时，两个物体相距x0，当v甲＝v乙时，若x甲>x乙＋x0，则能追上；若x甲＝x乙＋x0，则恰好追上；若x甲<x乙＋x0，则不能追上。 2.二次函数法：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系。对于该二次函数关系： (1)当Δx＝0时，表示两者相遇。取Δx＝0时，对于关于时间t的一元二次方程，利用根的判别式进行分析。 ①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次； ②若Δ＝0，有一个解，说明能刚好追上或相遇； ③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇。 (2)当t＝－时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值。 3. 图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像。位移—时间图像的交点表示相遇，分析速度—时间 图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系。 特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。 【例1】某一长直的赛道上，一辆赛车前方200 m处有一安全车正以10 m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶。求： (1)赛车出发3 s末的瞬时速度大小； (2)赛车追上安全车所需的时间及追上时的速度大小； (3)追上之前两车的最大距离。 【答案】　(1)6 m/s　(2)20 s　40 m/s　(3)225 m 【详解】　(1)赛车出发3 s末的瞬时速度大小为 v1＝a1t1＝2×3 m/s＝6 m/s。 (2)设经t2时间追上安全车，由位移关系得 v0t2＋200 m＝a1，解得t2＝20 s 此时赛车的速度v＝a1t2＝2×20 m/s＝40 m/s (3)方法一　物理分析法 当两车速度相等时，两车相距最远 由v0＝a1t3得两车速度相等时，经过的时间 t3＝ s＝5 s，追上之前两车最远相距 Δs＝v0t3＋200 m－a1 ＝(10×5＋200－×2×52) m＝225 m。 方法二　二次函数法 Δs＝v0t＋200－a1t2＝10t＋200－t2 当t＝ s＝5 s时，Δs有极值，相距最远，将t＝5 s代入解得Δsmax＝225 m。 方法三　图像法 从图像可知，当赛车速度等于安全车速度时，即v0＝a1t0＝10 m/s，得t0＝5 s时相距最远，Δsmax＝v0t0－t0＋200 m＝225 m。 【问题拓展】　若当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？(设两车道平行，赛车可以从安全车旁经过而不相碰，用物理分析法和图像法两种方法解题) 【答案】　20 s 【详解】　方法一　物理分析法 假设再经t4时间两车第二次相遇(两车一直在运动)，由位移关系得vt4－a2＝v0t4 解得t4＝15 s 赛车停下来的时间t'＝ s＝10 s 所以t4＝15 s不符合实际，两车第二次相遇时赛车已停止运动 设再经时间t5两车第二次相遇，应满足＝v0t5，解得t5＝20 s。 方法二　图像法 赛车和安全车的v－t图像如图。由图知t＝10 s，赛车停下时，安全车的位移小于赛车的位移，由v0t5＝，得t5＝20 s。 【变式1】某辆汽车以6m/s的初速度从匝道进入某一条笔直的高速，又以4m/s2的加速度匀加速到30m/s并开启定速巡航模式（开启后汽车会自动保持30m/s的速度匀速行驶，驾驶员无需再踩油门，若驾驶员踩刹车制动，则定速巡航会自动关闭）。（车辆均可视为质点） (1)求汽车加速阶段行驶的距离。 (2)驾驶员在行驶一段时间后发现定速巡航系统无法关闭，于是立即报警，在紧张行驶一段时间后到达距离下一个匝道40m处。此时一辆警车以10m/s的速度从此匝道汇入高速后与失控车保持在同一条车道上，然后进行拦截，要求警车汇入高速后匀加速到与失控车共速时两车刚好相遇，然后对失控车进行紧急逼停，求警车加速度的大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知，， 汽车做匀加速直线运动 解得汽车加速阶段行驶的距离 （2）已知， 设警车的加速度大小为a1，加速到与汽车共速所用时间为t，由运动学公式 在0~t时间内，警车的位移 失控车的位移 由位移关系 联立解得， 【解题能力提升】 1.解题思路 ⇒⇒⇒ 2.解题技巧 (1)紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式。 (2)审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。 (3)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动，另外还要注意最后对解的讨论分析。 避免相碰的追及和相遇问题 考点二 【例2】在平直高速公路上，一辆大货车以v1=25 m/s的速度匀速行驶在快速车道上，在同一车道上，一辆小汽车以v2=32 m/s的速度随其后并逐渐接近，大货车的制动性能较差，刹车时的加速度大小a1=5 m/s2，而小汽车配备有ABS防抱死刹车系统，刹车时小汽车的加速度大小a2=8 m/s2。若前方大货车突然紧急刹车(此时记为0时刻)，小汽车司机的反应时间Δt=0.4 s。两车均可看成质点。求： (1)在不考虑追尾时，大货车刹车痕迹的长度x； (2)在不考虑追尾时，大货车和小汽车各自停下的时刻t1和t2； (3)为避免发生追尾事故，大货车紧急刹车前，小汽车和大货车之间的最小距离d。 【答案】　(1)62.5 m　 (2)5 s　4.4 s (3)16.7 m 【解析】　(1)大货车做匀减速直线运动，有=2a1x， 解得大货车刹车痕迹的长度x=62.5 m。 (2)由速度公式有v1=a1t1， 则大货车停下的时刻为t1=5 s， 小汽车停下的时刻为t2=+Δt=4.4 s。 (3)设经过时间t' 二者速度相等，有 v1-a1t'=v2-a2(t'-Δt)， 解得t'=3.4 s， 大货车的位移大小x1=v1t'-a1t'2， 解得x1=56.1 m， 小汽车的位移大小x2=v2t'-a2(t'-Δt)2， 解得x2=72.8 m， 要使两车不追尾，应有x1+d=x2， 解得小汽车和大货车之间的最小距离为 d=16.7 m。 【变式2】5G自动驾驶是基于5G通信技术实现网联式全域感知、协同决策与智慧云控，相当于有了“千里眼”的感知能力，同时，5G网络超低延时的特性，让“汽车大脑”可以实时接收指令，极大提高了汽车运行的安全性。A、B两辆5G自动驾驶测试车，在同一直线上向右匀速运动，B车在A车前，A车的速度大小为，B车的速度大小为，如图所示。当A、B两车相距时，B车因前方突发情况紧急刹车，已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动，加速度大小为，从此时开始计时，求： (1)A车追上B车之前，两者相距的最大距离？ (2)如果B车刹车后，为避免两车相撞，A车也要刹车，且加速度大小也为，则A车最迟在B车刹车后几秒接受指令刹车？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当两车速度相等时，相距最远。 根据速度关系得 代入数据解得 车的位移为 车的位移为 两者相距的最大距离 （2）车刹车停止运动所用时间 所发生位移 该时间内车的位移， 所以车是在车停止后某时刻开始刹车减速。设车最迟在车刹车后接受指令刹车，因两车刹车的加速度相同，减速到零，先匀速后减速到零，有 解得 【解题能力提升】 刹车中的追及问题要注意的两种情况: (1)当后面的车辆刹车时,与前面车辆恰好不相撞的条件是;速度相等时刚好追上. (2)当前面的车辆刹车时,先要计算刹车停止的时间和位移，根据位移关系，判断相遇情况: ①若在前车停止前相遇，可以根据位移关系直接列方程求解， ②若在前车停止后相遇，需要分别计算停车前、后运动的时间和位移， 不在一条直线上的追及和相遇问题 考点三 【例3】长为的货车在一段平直的山路上以的速度匀速行驶，突然发现前方隧道口的正上方有石块落下。石块的运动可近似看作自由落体运动，石块距车头的水平距离为，石块距车的高度为，重力加速度取，不计汽车的高度，则 （1）若水平距离，石块下落的同时，货车开始做的匀减速直线运动，试通过计算判断石块能否砸到货车上？ （2）若水平距离，石块下落的同时，货车开始做匀变速直线运动，为了避免石块砸到货车上，求货车的加速度应满足什么条件？ 【答案】（1）能砸到货车上；（2）与运动方向相同或与运动方向相反 【详解】（1）石块做自由落体运动，由得石块下落时间为 货车做匀减速直线运动，则货车从减速到停止运动所用时间为 ，则货车只运动，则货车位移为 则，故石块能砸到货车上。 （2）若石块刚好擦过车尾落地，则 解得 若石块刚好擦过车头落地，则 解得 故货车的加速度应满足：与运动方向相同或与运动方向相反。 【变式3】（多选）（2024·湖南·高考真题）如图，光滑水平面内建立直角坐标系xOy．A、B两小球同时从O点出发，A球速度大小为v1，方向沿x轴正方向，B球速度大小为v2 = 2m/s、方向与x轴正方向夹角为θ。坐标系第一象限中有一个挡板L，与x轴夹角为α。B球与挡板L发生碰撞，碰后B球速度大小变为1m/s，碰撞前后B球的速度方向与挡板L法线的夹角相同，且分别位于法线两侧。不计碰撞时间和空气阻力，若A、B两小球能相遇，下列说法正确的是（   ） A．若，则v1的最大值为，且 B．若，则v1的最大值为，且 C．若，则v1的最大值为，且 D．若，则v1的最大值为，且 【答案】AC 【详解】方法一：由于水平面光滑，则A球做以速度匀速直线运动，B球碰前、碰后分别做速度大小为、的匀速直线运动，设B球和挡板L的碰撞点为Q点，A、B两小球能相遇点为P点。根据几何关系，可得各个角度关系如图所示，设B球从O点出发和挡板L的碰撞用时，B球和挡板碰后和A球相遇用时，则由正弦定理可得 则 则 对求导可得 解得，即此时最大， 当，此时，v1的最大值为，故A正确，B错误； 当，此时，v1的最大值为，故C正确，D错误； 故选AC。 方法二：由设B球和挡板L的碰撞点为Q点，A、B两球能相遇点为P点。过Q点作的高，长度即，则由几何关系可得 则 后续同方法一求解。 方法三：因为A、B两球相遇，则第一阶段B球相对于A球的速度为；第二阶段B球相对于A球的速度为方向必定相反，速度矢量关系如图所示。则面积为 则 后续同方法一求解。 【解题能力提升】 对不在同一直线上的相遇问题,要利用好两个关系: 1.时间关系:两个运动时间相等,或存在已知的时间差。 2.位移关系:由于两个运动不在同一直线上,有时需要应用几何定律(如勾股定理等)确定位移关系。 图像中的追及和相遇问题 考点四 1.x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题： (1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算。 (2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解。 2.利用v－t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v－t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷。 3.若为x－t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a－t图像，可转化为v－t图像进行分析。 【例4-1】　(多选)甲、乙两质点以某时刻作为计时起点，得到的x-t图像如图所示，甲图线为一曲线，且曲线在O点的切线与AB平行，过C点的切线与OA平行，下列说法正确的是( ) A.甲、乙两质点是同时、同地、同向出发的 B.在两质点相遇前，t1时刻两质点相距最远 C.t2时刻甲质点与乙质点的速度大小相等 D.t3时刻甲质点在乙质点的前方 【答案】AB 【详解】　由x-t图像可知，图像的斜率等于速度，则甲、乙两质点是同时、同地、同向出发的，A项正确；在两质点相遇前，t1时刻之前甲的速度大于乙的速度，在t1时刻两质点速度相等，此时两质点相距最远，B项正确；在t1时刻两质点速度相等，t2时刻甲质点速度小于乙质点的速度，C项错误；t3时刻两质点位移相等，则此时甲、乙两质点相遇，D项错误。 【例4-2】　（2016·新课标I·高考真题）甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v-t图像如图所示。已知两车在t=3 s时并排行驶，则( ) A.在t=1 s时，甲车在乙车后 B.在t=0时，甲车在乙车前8 m C.两车另一次并排行驶的时刻是t=2 s D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m 【答案】D 【详解】　由题图可知，1~3 s甲、乙两车的位移相等，两车在t=3 s时并排行驶，所以两车在t=1 s时也并排行驶，由题图可知a甲== m/s2=10 m/s2，a乙== m/s2=5 m/s2，0~1 s的位移为x甲=a甲t2=×10×12 m=5 m，x乙=v0t+a乙t2=(10×1+×5×12) m=12.5 m，Δx=x乙-x甲=12.5 m-5 m=7.5 m，即在t=0时，甲车在乙车前7.5 m，A、B两项错误；由分析可知，甲、乙两车相遇时刻分别在1 s和3 s，C项错误；1 s末甲车的速度为v=a甲t=10×1 m/s=10 m/s，1~3 s，甲车的位移为x=vt+a甲t2=(10×2+×10×22) m=40 m，即甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m，D项正确。 【变式4-1】 我国是世界上电动汽车生产大国，电动汽车与人工智能相结合，是未来自动驾驶技术趋势。在测试一款电动汽车的自动驾驶功能时，挑选两辆汽车a和b在同一直线路段进行测试，测试开始时两辆汽车并排同时启动，两车运动的v-t图像如图所示，则下列说法正确的是(　　) A.两车启动后短时间内b在前，a在后，a追赶b B.相遇前，两车之间的最大距离为v0t0 C.a在前t0时间内的平均速度比b在前2t0时间内的平均速度大 D.a、b两车在(2+)t0时刻相遇 【答案】D 【详解】　两车启动后短时间内，由于a的加速度大于b的加速度，两车初速度都为零，所以a在前，b在后，b追赶a，故A错误；根据v-t图像可知，2t0时刻，两车速度相等，此时为b追上a前两车之间的最大距离，根据v-t图像与横轴围成的面积表示位移，可知相遇前，两车之间的最大距离为Δxmax=v0t0，故B错误；根据v-t图像可知，a在前t0时间内的平均速度为=，b在前2t0时间内的平均速度为=，可知a在前t0时间内的平均速度与b在前2t0时间内的平均速度相等，故C错误；在2t0时刻，两车速度相等，此时两车相距Δxmax=v0t0，设再经过t时间，b追上a，则有Δxmax=xb-xa=v0t+abt2-v0t，其中b的加速度为ab=，联立解得t=t0，则a、b两车在(2+)t0时刻相遇，故D正确。 【变式4-2】 (多选)两个滑块a、b从同一位置出发沿同一直线运动，先匀加速运动后匀减速运动。在坐标纸上画出a、b运动的v－t图像如图所示，t1、t2两时刻a、b速度相等。下列说法正确的是(　　) A.t1时刻b与a再次相遇 B.t2时刻b与a再次相遇 C.加速阶段a、b加速度大小之比为 D.从开始运动到b停下的时间内，b的平均速度大于a的平均速度 【答案】BC 【详解】　开始加速时，a的速度大于b的速度，a在前b在后，a、b间距离逐渐变大，t1时刻二者速度相等，然后b的速度大于a的速度，a、b间距离逐渐变小，在v－t图像中，先连接a、b的两转折点(速度最大点)，再连接O与a、b的第二个交点，可发现两条线的斜率相等，即两条线平行。由几何知识可知两个阴影部分三角形面积相等，可知0~t2内二者位移相等，此时b与a相遇，A错误，B正确;t2时刻后，a的速度大于b的速度，当b停下时，a在b前方还有速度，从开始运动到b停下过程，a的位移大于b的位移，a的平均速度大于b的平均速度，D错误;由图中加速时图像斜率关系可知，加速阶段a、b加速度之比为，C正确。 巩固提升 1．（2025·山东·模拟预测）如图所示，某景区中A、B两景点间可通过缆车往返，当甲车以6m/s的速度开始减速时，对向的乙车从B景点由静止启动，两车加速度大小均为甲车到B景点速度减为零。测甲、乙相遇时，甲到B景点的距离为（　　） A． B．18m C．27m D．36m 【答案】A 【详解】设甲、乙两车经过时间相遇，甲车做匀减速直线运动，根据速度—时间公式，甲车速度减为零的时间 甲车的位移 乙车做初速度为零的匀加速直线运动，乙车的位移 又因为（两车初始距离等于甲车以初速度行驶时间的位移） 即 解得 则甲到景点的距离 A正确。 故选A。 2．（多选）（2025·河南·三模）汽车沿水平车道以的速度向前做匀减速直线运动，其刹车的加速度大小，此时发现在相邻车道前方相距处有以的速度同向运动的汽车B匀速行驶，从此刻开始计时，经多长时间两车并排（即相遇）（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】两车相遇时满足 解得或者 时A车、B车第一次相遇，此时A车速度为 A车刹车时间为 故车停时车还未追上。第一次相遇后车运动位移为 则B车经秒追上。故下个时刻是 故选AD。 3．（2025·重庆·模拟预测）如图所示，在一条足够长的水平直道上，汽车甲做匀速直线运动，汽车乙从时刻由静止开始做匀加速直线运动。在到时间段内，下列说法正确的是（　　） A．若时刻，甲在前、乙在后，则乙一定能追上甲 B．若时刻，甲在前、乙在后，则乙可能追上甲 C．若时刻，甲在后、乙在前，则甲一定能追上乙 D．若时刻，甲在后、乙在前，则甲可能追上乙 【答案】D 【详解】AB．若时刻，甲在前、乙在后，则乙与甲的距离将越来越大，乙一定不能追上甲，故AB错误； CD．若时刻，甲在后、乙在前，当甲、乙的初始距离较小（小于或等于内的相对位移）时，甲能追上乙，反之则不能追上乙，可知甲可能追上乙，故D正确、C错误。 故选D。 4．（2025·湖南娄底·二模）某实验小组利用甲、乙两小车的传感器来比较它们的运动情况，如图为测绘出它们在同一平直赛道上运动时的图像，时刻，乙车在甲车前方位置处，时刻，甲车位移为，则下列描述正确的是（　　） A．若它们在第一次相遇，则 B．若它们在第一次相遇，则 C．若它们在第一次相遇，则下次相遇时刻为 D．若它们在第一次相遇，则下次相遇时刻为 【答案】D 【详解】AB．若它们在第一次相遇，甲车位移为，则乙的位移为，则，所以，故AB错误； CD．甲车停止运动的时刻为，根据图像的对称性，可知，若它们在第一次相遇，则下次相遇时刻为，但是若它们在第一次相遇，如果对称，应该在时刻相遇，但到时刻，甲车停止，两边不对称，因此第二次相遇不在时刻，故错误，D正确。 故选D。 5．（多选）物理兴趣小组的同学用两个相同的遥控小车沿直线进行追逐比赛，两小车分别安装不同的传感器并连接到计算机中，A小车安装加速度传感器，B小车安装速度传感器，两车初始时刻速度大小均为=30m/s，A车在前、B车在后，两车相距100m，其传感器读数与时间的函数关系图像如图所示，规定初始运动方向为正方向。下列说法正确的是（　　） A．t=3s时两车间距离为25m B．3~9s内，A车的加速度大小与B车的加速度大小相等 C．0~9s内两车最近距离为10m D．0~9s内两车必能相遇一次 【答案】BC 【详解】A．在0~3s内A车做加速度为-10m/s2的减速运动，因a-t图像的面积等于速度的变化量，可知经过3s，A的速度减为零，A车的位移 B车的位移 即t=3s时两车间距离为 选项A错误；     B．3~9s内，A车的加速度大小5m/s2；B车的加速度大小 可知两车加速度大小相等，选项B正确； C．两车速度相等时相距最近，则在3~9s内在t=6s时两车速度相等，此时两车的速度均为v=15m/s ，则0~6s内A车的位移 B车的位移 此时两车最近距离为 选项C正确； D．在t=6s时B车在A车后距离A车最近，以后A车速度大于B车，两车距离逐渐变大，可知0~9s内两车不可能相遇一次，选项D错误。 故选BC。 6．（多选）已知国产越野车和自动驾驶车都在同一公路上向东行驶，自动驾驶车由静止开始运动时，越野车刚好以速度从旁边加速驶过，如图所示的粗折线和细折线分别是越野车和自动驾驶车的图线，根据这些信息，可以判断（　　）    A．5s末两车速度均为9 B．0时刻之后，两车会相遇两次 C．20s末两车相遇 D．加速阶段自动驾驶车的加速度是越野车的3倍 【答案】ABD 【详解】A．根据题意，由图可知，5s末两车速度相等，设此时的速度为，由相似三角形有 解得 故A正确； BC．根据图像中面积表位移，结合分析可知，两图像围成的面积相等，则位移相等，末两车相遇，内，自动驾驶车速度大于越野车，两车距离逐渐增大，后，越野车速度大于自动驾驶车，两车距离开始减小，后两车再次相遇，故C错误，B正确； D．由A分析可知，未两车的速度均为，由图可知，两车速度由增加到，越野车所花的时间是自动驾驶车的3倍，根据可知，自动驾驶车的加速度是越野车的倍，故D正确。 故选ABD。 7．（多选）如图甲所示，汽车A和B（均可视为质点）在平直的公路上沿两平行车道同向行驶。某时刻开始计时，A车在后，此时两车相距x0=16m，A车运动的x-t图像如图乙所示，B车运动的v-t图像如图丙所示。下列说法正确的是（　　） A．汽车A由静止开始做匀加速直线运动 B．汽车B在0~9s内的位移大小为20m C．在t=0.5s时，两车相距最远，且最远距离为18m D．在t=9s时，两车并排，之后A车超越B车 【答案】BD 【详解】A．x-t图象的斜率表示速度，根据图乙可知汽车A做匀速直线运动，速度 故A错误； B．汽车B在4.5s末已经停止运动，则0~9s内的位移大小为 选项B正确； C．B做减速运动的加速度大小为 当两车速度相等时距离最远，则 解得 t=2.5s 最远距离 选项C错误； D．B车停止运动时的位移，则A追上B的时间为 即在t=9s时，两车并排，之后A车超越B车，选项D正确。 故选BD。 8．如图所示，逃犯在平直公路上到边境线的距离L=2200m处抢得货车后，驱车由静止开始沿公路向边境匀加速逃窜，武警接到群众举报，乘坐停在路旁的警车（警车停在逃犯抢劫货车处后方x0=183m的位置），在逃犯驱车逃窜t0=16s后，警车由静止开始匀加速追赶货车。已知警车与货车的加速度大小分别为a1=6m/s2、a2=5m/s2，所能达到的最大速度分别为vm1=42m/s、vm2=30m/s，两车的速度达到最大后均做匀速直线运动。 （1）求两车的最大距离xm； （2）试通过计算判断警车能否在境内追上货车。 【答案】（1）648m；（2）能 【详解】（1）货车匀加速运动的时间为 t2时间内货车前进的距离为 当两车速度相等时距离最大，设警车启动后经过时间t1与货车速度相等，则 t1时间内警车前进的距离为 货车从开始做匀速运动到警车与货车速度相等的这段时间内，货车前进的距离为 所以最大距离为 （2）货车由静止开始到行驶至边境线所需的时间为 警车匀加速运动的时间为 t1′时间内警车前进的距离为 警车由静止开始行驶至边境线所需的时间为 因为 所以警车能在境内追上货车。 9．智能手机通过星闪连接进行数据交换，已经配对过的两部手机，当距离小于某一值时，会自动连接；一旦超过该值时，星闪信号便会立即中断，无法正常通信。如图所示，甲、乙两位同学在两个平行的直跑道上进行测试，跑道间距离d＝5 m。已知星闪设备在13 m以内时能够实现通信，t＝0时刻，甲、乙两人刚好位于图示位置，此时甲同学的速度为9 m/s，乙同学的速度为2 m/s。从该时刻起甲同学以2 m/s2的加速度做匀减速直线运动直至停下，乙同学保持原有速度做匀速直线运动。忽略信号传递时间，从计时起，求： (1)甲、乙两人经过多长时间会出现第一次信号中断； (2)甲、乙两人在前进方向上的最大距离； (3)甲、乙两人能利用星闪通信的时间。 【答案】(1)3s(2)12.25m(3)15.125s 【详解】（1） 根据几何知识可知，当甲在乙前方且直线距离为13 m时，由勾股定理可推断二者位移关系有s＝x甲－x乙＝m＝12 m 根据运动学公式有x甲＝v甲t－at2x乙＝v乙t 解得t1＝3 s或t2＝4 s 即甲、乙两人经过3 s会出现第一次信号中断 （2） 假设经过t0，两人的速度相等，此时相距最远，有v甲－at0＝v乙 解得t0＝3.5 s 此时两人在前进方向上的最大距离Δxmax＝x甲－x乙＝（v甲t0－at）－v乙t0＝12.25 m （3） 当0<t<3 s时，二人直线距离小于13 m；当3 s<t<4 s时，二人直线距离大于13 m t2＝4 s时，甲的速度v甲1＝v甲－at2＝1 m/s<v乙 t2＝4 s之后，甲、乙两人的距离先减小后增大，且甲能够继续前行的距离x甲1＝0.25 m 根据几何关系可知，从t2＝4 s开始到乙运动至甲前方12 m 的过程中，二者直线距离小于13 m，这段过程经历的时间t′＝＝s＝12.125 s 可知甲、乙两人能利用星闪通信的时间t总＝t1＋t′＝3 s＋12.125 s＝15.125 s 10．华南师大附中第70届校运会上，石牌校区高一9班以45.49秒的成绩打破男子接力乙组纪录。优秀的交接棒技术和策略，助力提升成绩。接力区长度，接棒者可以在接力区内任意位置起跑，但必须在接力区内完成交接棒。接力队比赛全程的运动，简化为直线运动。某班参加接力赛的四位同学，起跑阶段均视为加速度大小为a的匀变速运动，达到最大速度后，可以一直保持匀速运动直至完成交棒。接棒者通过在跑道贴胶带设置起跑标记，标记与接棒者距离，如图（甲）所示。比赛中，持棒者以最大速度奔跑至标记时，接棒者立即从接力区始端起跑并在接力区内完成接棒。赛道总长度。 (1)若接棒者刚达到最大速度时完成接棒，求接棒者从起跑至完成接棒的距离及对应的加速度大小； (2)如图（乙）所示，接棒者改为在距离接力区末端处起跑，标记重置于其起跑处后方处，求接力队完成比赛最佳成绩，并写出x取不同值时接力队完成比赛的最短时间t与x的关系式。 【答案】(1)， (2)，t与x无关 【详解】（1）已知持棒者以最大速度向前运动到标记处时，接棒者开始以最大加速度起跑，且经过时间，刚好速度最大时完成交接，设接棒者加速度为，最大速度为，则持棒者位移 接棒者位移 接棒者的速度 二者位移的关系为 联立代入数据可得 ，， （2）由第一问结果可知，运动员最大加速度，从起跑加速到速度最大完成交接棒的时间，接棒者位移，持棒者位移。设运动过程由A、B、C、D四位运动员接力完成，每个运动员均在距离接力区末端处起跑，其对应的有效位移为、、、，各自所需的时间为、、、，则A的实际有效位移 A的运动时间 因为B、C、D的匀加速时间前一位持棒者最后的匀速运动时间重合，所以只要计算匀速运动过程有效运动位移与时间，则B的实际有效位移 B的有效时间 同理C的有效时间 D的有效位移为 D的有效时间为 则完成全程接力所需时间为 因为要保证在接力区内完成交接棒，所以 t与x的关系为 实际时间t与x无关，即完成比赛的时间t为 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$