4.3 整式 导学案 2025-2026学年浙教版七年级数学上册

4.3 整式导学案 一、学习目标 1. 理解单项式、多项式、整式的概念，能准确区分它们。 1. 掌握单项式的系数和次数、多项式的项和次数的定义，会正确确定相关数值。 1. 能根据概念判断一个代数式是否为整式，培养严谨的数学思维。 二、学习重难点 （一）学习重点 1. 单项式的概念、系数和次数的确定。 1. 多项式的概念、项和次数的确定。 1. 整式的概念及与非整式的区分。 （二）学习难点 1. 单项式系数为负数、1 或 - 1 时的正确识别，以及单独一个数的次数确定。 1. 多项式中项的符号处理，以及多项式次数的准确判断（最高次项的次数）。 1. 区分整式与分式（分母含字母的代数式）。 三、知识点自主预习填空 1. 由数与字母的______组成的代数式叫做单项式，单独的一个______或者一个______也叫做单项式。 1. 单项式中的______叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的______叫做这个单项式的次数。 1. 几个单项式的______叫做多项式，在多项式中，每个单项式叫做多项式的______，其中不含字母的项叫做______。 1. 多项式里，______的次数，叫做这个多项式的次数。 1. ______和______统称为整式。 四、知识点讲解 （一）单项式 1. 单项式的概念：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或者一个字母也叫做单项式。例如：3x（数 3 与字母 x 的积）、（数 - 5 与字母的积）、a（单独一个字母）、7（单独一个数）都是单项式。 0. 常考易错点：含有加法、减法或字母在分母的代数式不是单项式。如2x + 3（含加法）、（字母在分母）都不是单项式。 1. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。例如： 0. 5a的系数是 5； 0. -3xy的系数是 - 3； 0. b可以看作，系数是 1； 0. 可以看作，系数是 - 1。 0. 常考易错点：系数包含前面的符号，容易忽略负号；当系数是 1 或 - 1 时，容易漏掉 “1”，如错误认为b的系数是 0（正确是 1）。 1. 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。例如： 0. 中字母 x 的指数是 3，次数是 3； 0. 中 x 的指数是 2，y 的指数是 1，次数是2 + 1=3； 0. 单独一个非零数的次数是 0（如 5 的次数是 0）。 0. 常考易错点：计算次数时漏加某个字母的指数，或误将系数的指数计入（次数只与字母指数有关）。如。 1. 经典例题 1：指出下列单项式的系数和次数。 0. 0. 0. m 解析： 0. 的系数是 5，次数是2 + 1=3。 0. ，次数是1 + 3=4。 0. m的系数是 1（省略了 1），次数是 1。 1. 变式题 1：下列单项式中，系数是-1，次数是 4 的是（ ） 答案：A（B 次数是 5，C 次数是 4 但系数是 - 1 不过选项 A 更符合系数 - 1 且次数 4；D 次数是 4 但系数 - 1，不过 A 中-x^4系数 - 1，次数 4，正确） （二）多项式 1. 多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。例如：2x + 3y（单项式 2x 与 3y 的和）、、-2b、5 的和）都是多项式。 0. 常考易错点：多项式是 “和” 的形式，其中的减法可看作加上负数，如x - y可看作x + (-y)。 1. 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。多项式的项包括它前面的符号。例如： 0. 多项式，其中 7 是常数项。 0. 常考易错点：确定项时容易忽略符号，如错误认）。 1. 多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。例如： 0. 多项式（次数 3），所以多项式的次数是 3。 0. 多项式（次数2 + 1=3），所以多项式的次数是 3。 0. 常考易错点：误将多项式所有项的次数相加作为多项式的次数，如错误认为的次数 4）。 1. 经典例题 2：指出多项式的项、常数项及次数。 解析： 0. 项：； 0. 常数项：-5； 0. 最高次项是，次数是3 + 1=4，所以多项式的次数是 4。 1. 变式题 2：下列关于多项式的说法正确的是（ ） A. 项是、3 B. 次数是 3 C. 常数项是 - 3 D. 是三次三项式 答案：D（A 项中第二项应；B 次数是 3 正确，但 D 更完整；C 常数项是 3） （三）整式 1. 整式的概念：单项式和多项式统称为整式。例如：5（单项式）、3x（单项式）、x + y（多项式））不是整式（是分式）。 0. 常考易错点：区分整式与分式的关键是看分母是否含字母，分母含字母的代数式不是整式。 1. 经典例题 3：下列代数式中，哪些是整式？哪些不是整式？ 0. 解析： 0. ； 0. ）。 1. 变式题 3：下列各式中，属于整式的是（ ） 答案：A 五、效果检测 1. 单项式的系数是 5，次数是 3。（ ） 1. 多项式是三次三项式。（ ） 1. 单独的一个数不是整式。（ ） 1. 多项式。（ ） 1. 。（ ） 六、归纳总结 1. 单项式：数与字母的积（或单独的数、字母），包含系数（数字因数，含符号）和次数（所有字母指数和）。 1. 多项式：几个单项式的和，包含项（带符号）、常数项（不含字母的项）和次数（最高次项的次数）。 1. 整式：单项式和多项式的统称，分母中不含字母；与分式的区别在于分母是否含字母。 1. 核心是准确理解各概念的定义，抓住关键特征（如系数的符号、次数的计算、项的符号等），避免常见易错点。 7、 课后作业 一、单选题 1．在代数式中，有（   ）个整式． A．7 B．6 C．5 D．4 2．在代数式 、、、、a中，单项式的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列说法正确的是（    ） A．数2既不是单项式也不是多项式 B．是单项式 C．的系数是 D．是四次二项式 4．按一定规律排列的单项式：，，，，，…．则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 5．下列结论中正确的是（   ） A．单项式的系数是，次数是4 B．多项式是二次三项式 C．单项式的次数是1，无系数 D．是多项式 6．下列说法正确的是：（   ） A．的系数是 B．的次数是5次 C．是多项式 D．的常数项为1 7．下列结论正确的是（    ） A．单项式的系数是次数是3 B．单项式m的次数是1，没有系数 C．多项式是三次三项式 D．在，，，中，整式有2个 8．下列说法正确的是（   ） A．单项式m既没有系数也没有次数 B．系数是，次数是2次 C．多项式的项是 D．是整式 二、填空题 9．已知关于x，y的单项式与的次数相同，则 ． 10．多项式的次数是 ． 11．多项式是关于x的四次三项式，则m的值是 ． 12．若多项式是一个关于x，y的三次三项式，则m的值为 ． 13．将多项式按字母进行降幂排列： 14．已知：① ；②；③；④；⑤；⑥．其中整式有 个． 三、解答题 15．观察下列式子，它们都有哪些共同点？与单项式有什么联系？ 16．观察下列式子，它们都有哪些共同点？ 17．把下列代数式分别填在相应的括号内．    (1)单项式：｛             …｝ (2)多项式：｛             …｝ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 八、答案 （一）自主预习填空答案 1. 积；数；字母 1. 数字因数；指数的和 1. 和；项；常数项 1. 次数最高的项 1. 单项式；多项式 （二）效果检测答案及解析 1. ×。系数是-5（含负号），次数是2 + 1=3，故错误。 1. √。多项式有 3 项，最高次项是（次数 3），是三次三项式，正确。 1. ×。单独的一个数是单项式，而单项式属于整式，故错误。 1. ×。项应包含符号，正确项是、3，故错误。 1. √。是多项式，属于整式，正确。 （3） 课后作业答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D A D C C D 1．B 【分析】本题考查了整式的概念及单项式与多项式，整式包括单项式和多项式，整式是分母中不能含有字母的式子．根据整式、单项式、多项式的概念即可判断． 【详解】解：是单项式，也是整式； 是多项式，也是整式； 分母含字母，既不是单项式也不是多项式，不是整式； 综上，共有6个整式， 故选B． 2．C 【分析】本题考查单项式的判断，根据单项式的定义：数字与字母的积的形式，单个数字或字母也是单项式，逐一判断各代数式是否为单项式即可． 【详解】：用减号连接两个项，是多项式，不是单项式． ：数字与字母的积，是单项式． ：数字与字母的积，是单项式． ：分母含字母，是分式，不是单项式． ：单独的数字，是单项式． ：单独的字母，是单项式． 综上，共有4个单项式， 故选C． 3．D 【分析】本题考查单项式和多项式的相关概念，需根据定义逐一判断各选项的正确性． 【详解】A． 数2是单项式，单独一个数属于单项式，故A错误； B． 可化为，是多项式而非单项式，故B错误； C． 的系数为，而非，故C错误； D． 由两项组成，第一项次数为，第二项次数为，最高次数为4，因此是四次二项式，故D正确． 故选：D． 4．A 【分析】本题考查的是单项式规律问题，分别从单项式的系数的绝对值，符号，单项式的字母部分分析总结规律，从而可得答案． 【详解】解：：，，，，，…． ∵各单项式的系数的符号为：−，+，−，+，…， ∴各单项式的系数的符号可利用来确定； ∵各单项式的系数为：2，3，4，5， ∴各单项式的系数可利用来确定； ∵各单项式含字母的部分为：，，，， ∴ 各单项式含字母的部分规律为：； ∴第个单项式为：． 故选：． 5．D 【分析】本题考查了单项式和多项式的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据单项式的系数和次数的定义、多项式的次数和项数的定义逐项判断即可求解 【详解】解：A、单项式的系数是，次数是3，该选项不符合题意； B、多项式是四次三项式，该选项不符合题意； C、单项式的次数是1，系数是1，该选项不符合题意； D、是多项式，该选项符合题意； 6．C 【分析】本题主要考查了单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及其项的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． 【详解】解：A、的系数是，原说法错误，不符合题意； B、的次数是次，原说法错误，不符合题意； C、是多项式，原说法正确，符合题意； D、的常数项为，原说法错误，不符合题意； 故选；C． 7．C 【分析】本题考查单项式的系数和次数、多项式的次数与项数以及整式的判断．根据单项式系数和次数的定义，多项式次数和项数的定义，以及整式的定义逐一分析各选项即可． 【详解】A、单项式的系数是（π是常数，不是字母），次数是x和y的指数之和（1+1=2），故次数为2，选项A错误； B、单项式的次数是1，系数为1（系数隐含为1），而非“没有系数”，选项B错误； C、多项式中，的次数最高（1+2=3），因此是三次多项式，且共有3个项，属于三次三项式，选项C正确； D、在（分母含字母，非整式）、（整式）、（整式）、（分母为常数π，属于整式）中，整式有3个，选项D错误． 故选：C． 8．D 【分析】本题考查单项式的系数和次数、多项式的项以及整式的定义．逐一分析各选项是否符合相关概念即可． 【详解】解：A． 单项式的系数为1，次数为1，原说法错误； B． 的系数是，次数是和的指数之和，原说法错误； C． 多项式的项应为、、，原选项未正确标注项的符号，错误； D． 可拆分为，属于多项式，是整式，正确． 故选：D． 9．/ 【分析】本题考查了单项式的次数计算，根据题意列出方程计算即可． 【详解】解：由题意可知：， 解得：． 故答案为：． 10．4 【分析】本题考查了多项式的次数，多项式中最高次项的次数叫做多项式的次数． 据此即可求解． 【详解】解：多项式的次数是4， 故答案为：4． 11．8 【分析】本题考查多项式的概念，熟练掌握单项式的个数就是多项式的项数，这些单项式中最高次项的次数就是这个多项式的次数是解题的关键． 利用多项式次数和项数的确定方法可得，且，再求解即可． 【详解】解：∵多项式是关于的四次三项式， ， 或0， 又， ， 故答案为：8． 12．或 【分析】本题主要考查了多项式，熟练掌握一个多项式有几项就叫几项式，次数最高的项的次数是几就叫几次多项式是解题的关键． 根据题意得到，或，求出或，即可得到答案． 【详解】解：多项式是一个关于x，y的三次三项式， ，或， 或， 故答案为：或． 13． 【分析】本题主要考查了多项式的排列问题，从左往右把原多项式按照b的指数从大到小排列即可． 【详解】解：将多项式按字母进行降幂排列为， 故答案为：． 14．5 【分析】本题考查了整式，整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法． 根据单项式和多项式统称整式，可得答案． 【详解】解：① ；②；④；⑤；⑥．是整式，共有5个， 故答案为：5． 15．每个式子都是多项式，都是几个单项式的和组成的 【分析】本题考查了单项式与多项式的定义，根据单项式与多项式的定义进行解答即可． 【详解】解：通过观察式子可以发现，每个式子都是多项式，都是几个单项式的和组成的， 故它们的共同点为：每个式子都是多项式； 与单项式的联系为：都是几个单项式的和组成的． 16．都是单项式 【分析】本题考查了单项式的定义，根据单项式的定义进行解答即可． 【详解】解：通过观察可发现以上式子都为单项式， 故它们的共同点为都是单项式． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了单项式、多项式的定义，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据单项式是数与字母的积可得答案； （2）根据多项式是几个单项式的和可得答案． 【详解】（1）解∶ 单项式：｛…｝ （2）解∶ 多项式：｛，…｝ $$