一元二次函数、方程和不等式章节专项训练-2026届高三数学一轮复习

2025-2026学年度高三数学一轮复习第二章一元二次函数、方程和不等式章节专项训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．对于实数，下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．已知，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 4．已知，，且，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．9 5．若不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 6．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知且，则下列选项正确的是（   ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 三、填空题 9．已知，则的范围是 ． 10． 的解集为 ，则 的解集为 ． 11．已知正数a，b满足，则的最小值为 . 12．以表示数集中最大（小）的数.设，已知，则 . 四、解答题 13．已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 14．已知，，且，求证： (1)； (2)． 15．已知，，且满足. (1)证明：； (2)求的最小值. 16．已知，求的最小值． 暑期一轮复习练习 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A A A A BC ABD 1．C 【知识点】解不含参数的一元一次不等式 【分析】利用不等式的性质求解易得. 【详解】由可得，故得. 故选：C. 2．B 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质证明不等式 【分析】采用举反例的方法，可判断A，C，D，利用不等式性质可判断B. 【详解】对于A选项：如果，，，则，但是，故A错误； 对于选项B：如果，则，根据不等式的性质：不等式两边同时加上 或减去同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则，故B正确； 对于选项C：如果，，，，则， 但是，故C错误； 对于选项D：，当时，那么，故D错误. 故选：B 3．A 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由等式转化为关于得到一元二次方程，用表示，并表示，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由条件可知，，则， 因为，所以， 所以，当，即时，等号成立. 故选：A 4．A 【分析】将所求式子变形为，利用“1”的代换结合基本不等式求解. 【详解】，，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为5. 故选：A. 5．A 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由方程的两根为，即可求解. 【详解】由题意可知：的两根为， 所以解得：， 经检验符合条件， 故选：A 6．A 【知识点】求二次函数的值域或最值、函数不等式恒成立问题 【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：A. 7．BC 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】由不等式的性质通过作差法，及幂函数的单调性逐个判断即可. 【详解】因为，则，A错误； 选项B： 因为，所以，，则，所以，故B正确. 因为，所以，故C正确. 因为，所以幂函数在单调递减， 所以，D错误， 故选：BC 8．ABD 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求积的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本不等式结合常值代换及换元法计算各个选项即可判断选项. 【详解】对于A项，因为且，所以，当且仅当时等号成立，即的最大值是，故A项正确； 对于B项，因为且，所以，即，当且仅当时等号成立，故B项正确； 对于C项，因为，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，故C项错误； 对于D项，令所以 所以， 因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故D项正确． 故选：ABD． 9． 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】利用重要不等式即可求解. 【详解】由，可得，所以， 当且仅当时，等号成立，所以， 所以的范围是. 故答案为：. 10． 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】由不等式 的解集为 ，可得到且,代入一元二次不等式求解即可. 【详解】由题干知，不等式 的解集为 ， 可得到，代入一元二次不等式得 ， 由于，所以，即 . 故答案为： 【点睛】 11． 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由题意得，通过换元结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，解得， 所以，令， 则， 等号成立当且仅当，此时，， 所以的最小值为. 故答案为：. 12． 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由，得，设，则再结合基本不等式求解即得. 【详解】由可得， 设，则 由 ，当且仅当时，等号成立. 故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：设，由已知得出，进而得出是解决本题的关键. 13．(1)答案见解析； (2). 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】（1）将不等式因式分解，对参数a进行讨论即可； （2）恒成立问题用分离参数的方法，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）,即，即， 当时,原不等式解得; 当时，原不等式无解; 当时,原不等式解得; 综上所述：当时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. （2）,即， 即， ， ， 由题意可知只需即可, 令， 则 当且仅当即时，等号成立. ， 14．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】利用基本不等式证明不等式 【分析】（1）利用基本不等式先证，然后变形即可得证； （2）将已知变形为，然后利用基本不等式即可得证. 【详解】（1）∵， ∴，即， 当且仅当，即，时取等号． 又，∴． （2）∵， ∴，即， 当且仅当，即，时取等号． 故． 15．(1)证明见解析 (2) 【知识点】由基本不等式证明不等关系 【分析】（1）利用基本不等式可得，由，再结合基本不等式即可证明； （2）配方得到，从而可得，令，从而利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，所以，当且仅当时，等号成立. ，当且仅当时，等号成立. （2）因为， 所以， 令，则， 因为的开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减， 所以，即的最小值为. 16． 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据条件，代入消去，将的表达式分离常数得，利用基本不等式求得结果. 【详解】，， ， ，当且仅当，即时等号成立， 所以. 故的最小值为. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$