3.4 实数的运算 导学案 2025-2026学年浙教版七年级数学上册

3.4 实数的运算导学案 一、学习目标 1. 理解并掌握实数的加、减、乘、除、乘方、开方等运算规则。 1. 能够熟练运用有理数的运算法则及运算性质进行实数运算。 1. 会根据实数运算顺序准确计算，提高运算能力和解决问题的能力。 二、学习重难点 （一）学习重点 1. 实数的各种运算规则及运算顺序。 1. 运用有理数的运算律和性质进行实数运算。 （二）学习难点 1. 理解并处理好无理数参与运算时的情况，如含根号的数的运算。 1. 在实数运算中灵活运用运算律简化计算过程。 三、知识点自主预习填空 1. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为 0）、乘方运算，而且正数及 0 可以进行______运算，任意一个实数可以进行______运算。 1. 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于______。例如______，______。 1. 实数的运算顺序是先算______和______，再算______，最后算______。如果有括号，一般先算______里面的，再算______里面的，最后算______里面的，同级运算应______依次进行。 1. 计算：______。 1. 计算：=______。 四、知识点讲解 （一）实数的运算 1. 运算规则的拓展： 0. 有理数的加、减、乘、除、乘方运算规则在实数范围内仍然适用。例如，实数的加法满足交换律a + b = b + a，结合律(a + b)+c = a+(b + c)；乘法满足交换律ab = ba，结合律(ab)c = a(bc)，分配律a(b + c)=ab + ac等。 0. 对于开方运算，正数及 0 可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。比如，因，所以-8的立方根是。 13. 相反数和绝对值： 0. 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数。一个实数a的相反数是-a，例如。 0. 一个实数a的绝对值，。 14. 运算顺序： 0. 实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。例如计算3 + ，原式变为；再算乘除，式子变为3 + 4 - 1；最后算加减：3 + 4 - 1 = 6。 0. 如果有括号，一般先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算大括号里面的，同级运算应从左到右依次进行。例如计算，接着算中括号里的。 15. 常考易错点： 0. 开方运算中，混淆平方根和算术平方根的概念。例如，求16的平方根，错误地只写要注意正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根是算术平方根。 0. 运算顺序错误。比如在，正确的应该先算乘法，再算加法5 + 6 = 11。一定要牢记先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内的顺序。 0. 无理数运算时，对无理数的化简不熟练。例。 经典例题 1 0. 计算： 0. 解析： 11. 先分别计算各项： 1. 因为。 1. 因为。 1. 因以| - 2| = 2。 11. 再将各项结果代入原式计算。 11. 去括号得5 + 3 + 2。 11. 依次计算得10。 变式题 1 0. 计算：。 0. 答案： 13. 先计算各项： 1. 因。 1. 因为。 1. 因。 13. 代入原。 13. 结果为。 五、效果检测 1. 实数的运算顺序与有理数的运算顺序完全不同。（ ） 1. 两个无理数的和一定是无理数。（ ） 1. 。（ ） 1. 计算。（ ） 1. 先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，这一运算顺序只适用于有理数运算，不适用于实数运算。（ ） 六、归纳总结 1. 实数运算规则：有理数的加、减、乘、除、乘方运算规则以及关于相反数和绝对值的意义在实数范围内均适用，同时正数及 0 可开平方，任意实数可开立方。 1. 运算顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减；有括号时，先小括号，再中括号，最后大括号，同级运算从左到右依次进行。 1. 注意事项：要区分平方根和算术平方根；牢记运算顺序避免出错；熟练掌握无理数的化简和运算。 7、 课后作业 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 2．下列结论中不正确的是（   ） A．数轴上任一点都表示唯一的有理数 B．数轴上任一点都表示唯一的无理数 C．两个无理数之和一定是无理数 D．数轴上任意两点之间还有无数个点 三、填空题 3．计算： ． 4．计算： ． 5．写出两个无理数，使它们的和为2 ． 6．两个无理数这两个无理数不是互为相反数的和 无理数填“一定是”，“一定不是”或“不一定是”． 7．计算： ． 四、解答题 8．计算（结果保留小数点后两位）： (1)； (2)． 9．计算：． 10．（1）已知，求的值； （2）计算：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 八、答案 （一）自主预习填空答案 1. 开平方；开立方 1. 实 1. 乘方；开方；乘除；加减；小括号；中括号；大括号；从左到右 1. 0 1. 3（） （二）效果检测答案及解析 1. ×。实数的运算顺序与有理数的运算顺序相同，都是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减；有括号时按小、中、大括号顺序计算，同级运算从左到右依次进行，所以该说法错误。 1. ×。例如的和为有理数，所以两个无理数的和不一定是无理数，该说法错误。 1. ×。因为错误。 1. √。，计算正确，该说法正确。 1. ×。先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减的运算顺序同样适用于实数运算，该说法错误。 （三）课后作业答案及解析 题号 1 2 答案 A ABC 1．A 【分析】本题主要考查立方根 ，平方根及平方根的加法运算；根据求立方根 ，平方根及平方根的加法运算法则逐一计算即可． 【详解】解：A． ，计算正确； B． ，计算错误； C． ，计算错误； D． ，计算错误； 故选：A． 2．ABC 【分析】根据实数与数轴上的点的对应关系和无理数的运算进行分析判断． 【详解】A选项：数轴上的点与实数是一一对应的，故选项结论错误，符合题意； B选项：数轴上的点与实数是一一对应的，故选项结论错误，符合题意； C选项：如，结果是有理数，故选项结论错误，符合题意； D选项：数轴上任意两点之间还有无数个点，故选项结论正确，不符合题意． 故选：ABC． 【点睛】考查了实数与实数的运算，解题关键是利用了实数的运算与实数与数轴的对应关系． 3．5 【分析】本题主要考查了实数的运算，直接根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：5． 4．7 【分析】本题考查实数的运算，先开方，再进行加减运算即可，熟练掌握算术平方根的定义，是解题的关键． 【详解】解：； 故答案为：7． 5．和（答案不唯一） 【分析】写出两个无理数，使无理数部分为相反数即可． 【详解】解：， 故答案为和． 【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6．不一定是 【分析】根据无理数的定义和实数的运算判断即可． 【详解】解：两个无理数这两个无理数不是互为相反数的和不一定是无理数，比如无理数与的和是有理数． 故答案为：不一定是． 【点睛】本题考查了无理数和实数的运算，掌握无理数的定义是解答本题的关键． 7．3 【分析】本题考查实数的运算，先开方，再进行加法运算即可． 【详解】解：， 故答案为：3． 8．(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的近似计算，熟练掌握算术平方根、立方根以及的近似值，和小数的四则运算规则是解题的关键． （1）先分别求出和的近似值，再做减法运算，最后按要求保留小数位数． （2）先求出的近似值，再与的近似值相乘，最后保留两位小数． 【详解】（1）解：， （2）解：， 9． 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根、立方根、负数的整数次幂、实数的绝对值是解题的关键． 根据相关运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 10．（1）；（2）． 【分析】本题考查利用立方根解方程以及实数的运算，熟练掌握相关定义与运算法则是解题的关键． （1）利用立方根的定义直接求解； （2）先判断绝对值内部的值的正负，再计算绝对值，最后进行减法运算． 【详解】解：（1） （2）原式 $$