第08讲：二次函数与一元二次方程、不等式【十大题型】-【初升高暑假衔接】2025-2026学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第08讲：二次函数与一元二次方程、不等式 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 知识点二　一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 知识点三　二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点四 解一元二次不等式 ①化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)； ②计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解； ③有根求根； ④根据图象写出不等式的解集. 知识点五 解分式不等式 (1)>0⇔f(x)·g(x)>0；(2)≤0⇔(3)≥a⇔≥0. 知识点六．简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)． 知识点七 一元二次不等式恒成立问题 恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min. 【例题详解】 题型一、解不含参数的一元二次不等式 1．（24-25高一上·全国）解一元二次不等式 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)或． (3)一切实数． (4)． 【分析】根据一元二次不等式的解法计算即可得答案. 【详解】（1），方程的解是． 不等式的解为． （2）整理得，． ，方程的解为. 原不等式的解为或． （3）整理，得． 由于上式对任意实数都成立，原不等式的解为一切实数． （4）整理，得． 由于当时，成立；而对任意的实数都不成立， 原不等式的解为． 2．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）求下列一元二次不等式的解集 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用因式分解法结合一元二次不等式解集的形式，解不等式； （2）根据一元二次不等式解集的形式，解不等式； （3）根据实数的性质解不等式； （4）根据根的判别式的值确定解集的形式. 【详解】（1）或. 所以所求不等式的解集为： （2）. 所以所求不等式的解集为： （3）由. 所以所求不等式的解集为： （4）因为. 由， 所以所求不等式的解集为： 3．（24-25高一上·全国·课前预习）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)或； (2) (3)或． (4) 【分析】首先变形不等式的形式，再求对应方程的实数根，再结合二次函数的图象，即可求解. 【详解】（1）方程的两根为，．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或； （2）原不等式可化为． 解方程，得．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为． （3）原不等式可化为． 方程两根为2和-3． 结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或． （4）由原不等式得． 原不等式等价于． 解方程，得． 结合二次函数的图象知，原不等式的解集为． 题型二、解分式不等式和含绝对值不等式 4．（24-25高一·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或； (2)； (3)或. 【分析】（1）（2）把分式不等式转化成一元二次不等式求解即得. （3）变形给定的不等式，再转化成一元二次不等式组求解. 【详解】（1）不等式，解得或， 所以原不等式的解集为或. （2）不等式，解得， 所以原不等式的解集为. （3）不等式化为：，即， 则或，解得或， 所以原不等式的解集为或. 5．（24-25高一上·上海·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）化分式不等式的右边为0，通分转化为一元二次不等式求解. （2）分段去绝对值符号求解不等式. 【详解】（1）不等式，则，解得， 所以原不等式的解集为. （2）不等式化为：或或， 解得；不等式组无解；解得， 所以原不等式的解集为. 6．（2025高三·全国·专题练习）解下列关于x的不等式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【分析】（1）（2）两题用一元二次不等式解法即可求解； （3）（4）（10）三题用解分式方程的解法即可求解； （5）（8）用解绝对值不等式的解法即可求解； （6）（7）（9）解高阶不等式用穿针引线法可以求解； 【详解】（1）由，得，即， 所以，所以不等式的解集为. （2）原不等式可化为或， 所以解集为{或}. （3）由题得 由可得：或，又， 则得或，即不等式的解集为. （4）由，得， 所以，解得或， 所以不等式的解集为. （5）当，即时，，得，此时，， 当，即时，，得，此时，， 综上所述，，即不等式的解集为. （6）原不等式可化为或， 即或． 由图可知，原不等式的解集为或． （7）原不等式可化为，即， 即或，即或． 由图可知，原不等式的解集为或. （8），令，则，原不等式为：，即， 由，则或，即. （9）对于， 当时，，原不等式等价于， 等价于，解得或，即； 当时，，原不等式成立，所以是原不等式的一个解； 综上，原不等式的解集为. （10）对于，变形为，即，与同解， ，即. 题型三、解含有参数的一元二次不等式 7．（24-25高一上·北京·期中）解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分，，三种情况解不等式. 【详解】当时，原不等式可化为：. 当时，. 若即时，原不等式的解为：或； 若即时，原不等式的解为：； 若即时，原不等式的解为：或. 当时，. 因为，所以. 综上可知：当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 8．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用一元二次型不等式恒成立列式求出范围. （2）原不等式化为，再按分类讨论求解不等式. 【详解】（1）不等式，依题意，在上恒成立， 当时，在上不恒成立； 当时，，即，解得， 所以a的取值范围是. （2）不等式， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，解得或； 当时，不等式为，若，解得； 若，则无解；若，解得， 所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 9．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知函数. (1)若，，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）分解因式后，在已知定义域内一个因式恒正，讨论值对另一个因式符号的影响即可得到结果； （2）由题意得对的值进行分类讨论可得不等式的解集. 【详解】（1）由已知得： 因为，所以， 当时，不符合题意， 当时，若，， 则，， 所以. （2）当时，，的解集为； 当时， ①若，因为，所以的解集为 ②若，因为，所以的解集为 ③若，因为，所以的解集为. ④若，因为，所以的解集为 题型四、由一元二次不等式的解确定参数 10．（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，及根与系数的关系，求出，从而求出不等式的解集. 【详解】不等式的解集为， 和是的解， ，解得，，整理的，，故不等式的解集为：， 故答案为：B. 11．（24-25高一上·陕西·期末）若关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用韦达定理用表示，代入所求不等式得到关于的不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】由不等式的解集为， 则，即， 所以不等式，即为，又， 所以，解得或. 所以不等式的解集为. 故选：B. 12．（24-25高一上·河北唐山·期末）若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】利用三个二次的关系推得方程有两根为和4，由韦达定理求出，代入所求不等式，求解即得. 【详解】由题意，方程有两根为和4， 故由韦达定理，，解得， 则不等式即，解得或. 故选：D. 题型五、一元二次方程根的分布问题 13．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次方程的根与二次函数的关系，即可由二次函数的性质求解. 【详解】记，则函数为开口向上的二次函数， 要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要时，即可， 即，解得，所以实数a的取值范围是. 故选：C. 14．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 15．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知所以由题意知，即，解得. 故选：B 题型六、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 16．（24-25高一上·重庆·期末）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立问题求解. 【详解】当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D 17．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次型不等式恒成立问题，先讨论二次项系数是否为0，若不为0，则根据二次项系数与判别式确定参数的不等式，求解即可. 【详解】原不等式整理成： . 当 时， ，不等式恒成立； 设 ， 当 时函数 为二次函数， 要恒小于 0，抛物线开口向下且与 轴没有交点， 得到： ， 解得 . 综上得到 故选： B. 18．（24-25高一·上海·课堂例题）若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】依题意可得不等式对任意实数x均成立，对二次项系数分类讨论即可得实数a的取值范围. 【详解】将不等式整理可得， 即不等式对任意实数x均成立， 当，即时，不等式变为，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得实数a的取值范围是. 故选：B 题型七、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 19．（24-25高一上·山东临沂·期末）“”是“在上恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据二次不等式在上恒成立结合参变量分离法求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】根据题意，若在上恒成立， 所以，在上恒成立， 由“对勾函数”可知，函数在上单调递增， 所以，当时，，可得， 所以，在上恒成立“的充要条件是”“， 因为， 因此，“”是“在上恒成立”的充分不必要条件. 故选：A. 20．（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化问题为对于恒成立，进而由结合基本不等式求解即可. 【详解】由，得， 则问题转化为对于恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 21．（24-25高一上·贵州·期中）已知集合，对于任意的，不等式恒成立，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设有，且在上恒成立，讨论、、求实数x的取值范围. 【详解】由题设， 由，即在上恒成立， 当时，恒成立，此时， 当时，不等式不成立， 当时，恒成立，此时， 综上，实数x的取值范围是. 故选：D 题型八、一元二次不等式在某区间上有解问题 22．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得的最大值，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】，所以当或时， 取得最大值为， 由于关于的不等式在区间内有解， 所以，解得. 故选：A 23．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）方程在区间[1,3]内有解，则实数的取值范围是（   ） A．[2,5] B．[1,7] C． D．[1,5] 【答案】B 【分析】问题化为在上有解，利用二次函数性质求右侧的值域，即可确定参数范围. 【详解】由题设在内有解，即在上有解， 令，，则在上递增， 所以，故. 故选：B 24．（2023高三·全国·专题练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数的图象及根的分布计算即可. 【详解】易知恒成立，即有两个不等实数根， 又，即二次函数有两个异号零点， 所以要满足不等式在区间上有解， 所以只需， 解得，所以实数m的取值范围是． 故选A． 题型九、一元二次不等式的实际应用 25．（25-26高一上·全国）汽车在行驶时，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了．事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：，．则可判断甲、乙两车的超速现象是（   ） A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速 【答案】BC 【详解】由题意，对于甲车，有，即，解得或（舍去），由此估计甲车不会超过限速；对于乙车，有，即，解得或（舍去），即乙车超速 26．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（    ） A．20 B．25 C．27 D．28 【答案】B 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】由题意可得，整理得， 即，解得，则的最大值是25. 故选：B 27．（24-25高一上·广东广州·期末）某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）. (1)写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价）） (2)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？ 【答案】(1)， (2)当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长 【分析】（1）设下调电价后新增用电量为，可得出，进而得出收益关于实际电价的函数解析式； （2）根据题意列不等式组，解一元二次不等式即可得出结论. 【详解】（1）设下调电价后新增用电量为， 因为下调电价后新增用电量和实际电价与用户期望电价的差成反比（比例系数为）， 则，所以本年度的用电量为， 所以本年度电力部门的收益关于实际电价的函数解析式为：，. （2）依题意有：， 整理得：，解得：， 所以当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长． 题型十：二次函数与一元二次方程、不等式综合问题 28．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接解一元二次不等式即可； （2）由题意可得不等式的解集为，又方程的两个根为和，从而可求解. 【详解】（1）当时，不等式等价于， ∴，解得或. ∴不等式的解集为. （2）不等式等价于， ∴不等式的解集为. ∵方程的两个根为和， ∴或，解得， ∴实数的值为. 29．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知关于的不等式. (1)当不等式的解集为时，求的值； (2)若且不等式恒成立，求的最小值. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）由方程根与系数的关系求解即可； （2）由一元二次不等式恒成立得到，再由基本不等式的乘“1”法可求. 【详解】（1）由题意可知：为方程的根， 或， . （2）不等式恒成立， ，即，. （当且仅当时取等号）， 的最小值为4. 30．（24-25高一上·山东德州·期末）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求、； (2)当时， ①若关于的不等式解集为，求实数的取值范围； ②若、，求的最小值. 【答案】(1)，. (2)①；②. 【分析】（1）分析可知、是方程的两根，利用韦达定理可求得、的值； （2）由已知条件得出，①由题意可得，由此可求得实数的取值范围；②将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】（1）由题意可知、是方程的两根，则， 解得，. （2）当时，则，可得，则， 则， ①因为关于的不等式解集为， 则，解得， 因此，实数的取值范围是； ②因为、，则， 当且仅当，即当时，等号成立， 所以当，时，的最小值为. 【专项训练】 一、单选题 1．（2025高一上·河北保定·专题练习）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】利用绝对值的意义，分和两种情况，再利用一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】当时，原不等式等价于，解得，所以， 当时，原不等式等价于，解得，所以， 综上，原不等式的解为， 故选：A. 2．（24-25高一上·全国·课前预习）不等式的解为，则的值分别为（   ） A． B．1，6 C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的解集可得对应方程的根，利用根与系数的关系求解. 【详解】由已知可知方程的两根分别为，， 由韦达定理得：，， ，． 故选：A 3．（25-26高一上·全国·课后作业）某工人共加工300个零件，在加工100个零件后，改进了操作方法，每天多加工15个，用了不到20天的时间就完成了任务，则改进操作方法前每天至少加工零件的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】设改进操作方法前每天至少要加工x个零件，由题意得，解得或（舍去）．又，所以改进操作方法前每天至少要加工9个零件． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】由题意知，1为方程的两根，所以解得则不等式可化为，即，解得． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，原不等式为，符合题意；当时，要使关于的不等式的解集为，只需解得．综上，． 6．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【答案】C 【分析】利用三个二次的关系分析得到，，即可判断AB；对于C，由或可得；对于D，利用前面已得结论，消元后解一元二次不等式即得. 【详解】由题意知，和3是方程的两根，且， 则有，故得. 对于AB，由和，可推得，故AB均错误； 对于C，因或故，故C正确； 对于D，由上分析，不等式可化为， 因，故可解得，即的解集为，故D错误. 故选：C. 7．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作垂线，易得两组相似三角形，得到等式，结合分式等式的性质，得出，从而得出内接矩形的长与宽的关系式，再根据题意建立不等式，解不等式得解. 【详解】 如上图所示，过点作底的垂线，分别交于点 设矩形的另一边长为， 易知,          由三角形相似知，，所以 即，所以， 由题意，所以，即，解得, 故选：C 8．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知结合二次不等式的求法分别求出各不等式的解集，即可求解. 【详解】由，即， 解得或，由， 即，因为， 不等式的解集为， 结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解， 所以. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知命题，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】解不等式，只需是或的真子集，得到答案. 【详解】或， 要求命题p成立的一个充分不必要条件，只需满足或的真子集即可， 其中和满足要求，其他选项不满足. 故选：AC 10．（24-25高一上·山东日照·期末）已知关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．的最小值为6 【答案】ACD 【分析】由已知条件知方程的两根，，结合根与系数关系可得，，依次判断各个选项. 【详解】对于A，根据题意，方程的两根，且，故A正确； 对于B，由，，，即，，则，故B错误； 对于C，因为，， 所以不等式为，又， 所以不等式变为，解得，即不等式的解集为，故C正确； 对于D，，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为6，故D正确. 故选：ACD. 11．（24-25高一上·广东广州·期末）使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先求出不等式对一切实数都成立时的取值范围，然后再看各个选项是否在这个取值范围内. 【详解】当时，此时不等式变为，这个不等式对于一切实数恒成立. 当时，不等式是一个二次不等式，要使其对一切实数都成立，则二次函数的图象需开口向下，且与轴无交点.开口向下：二次项系数，即. 与轴无交点：判别式.此种情况，解得.   综合两种情况 不等式对一切实数都成立时的取值范围是. 分析各个选项： A选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. B选项：不满足，所以不是不等式成立的充分条件. C选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. D选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. 故选：ACD. 12．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】由题意可知：的根为，且，即可判断A；利用韦达定理判断B；代入解不等式判断CD. 【详解】由题意可知：的根为，且，故A正确； 由韦达定理可得，即， 所以，故B错误； 不等式即为，且， 解得，所以不等式的解集为，故C正确； 不等式即为，且， 可得，解得， 所以不等式的解集为，故D正确； 故选：ACD. 13．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．的最大值为 D． 【答案】ACD 【分析】根据一元二次不等式的解集与方程的根的关系可判断，结合韦达定理及一元二次不等式的解法可判断；利用基本不等式的求和的最小值可判断； 【详解】对于：不等式的解集为或， 故和是方程的两个根， 所以，解得，故正确， 对于：可变为，解得或，故错误， 对于，，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，故正确； 对于，是对应方程的根，所以，故正确. 故选：ACD. 三、填空题 14．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】将所求不等式变形为，利用“穿针引线”法可得出原不等式的解集. 【详解】由可得，即， 如下图所示： 由“穿针引线”法可知，原不等式的解集为或. 故答案为：或. 15．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由题意，为方程的根，且，进而结合韦达定理求出，，再解不等式即可． 【详解】由题意，为方程的根，且， 则，解得， 不等式，即为， 即，解得， 则不等式的解集为． 故答案为： 16．（24-25高一上·广东深圳·期末）当关于x的不等式对一切实数x都成立时，k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式恒成立对二次项系数k的取值进行分类讨论，再由判别式可解得k的取值范围. 【详解】当时，不等式可化为，显然恒成立， 当时，若不等式对一切实数x都成立， 需满足，且，即； 综上可得，, 即k的取值范围是. 故答案为： 17．（24-25高一上·湖南湘潭·期末）如图，地在自西向东的一条直线铁路上，在距地的B地有一金属矿，地到该铁路的距离．现拟定在之间的地修建一条公路到地，即修建一条的运输路线．若公路运费是铁路运费的倍，则当地到地的距离为 时，总运费最低． 【答案】 【分析】根据已知列出总运费，再应用判别式法计算求解即可. 【详解】设当地到地的距离为时，铁路每公里运费为，公路每公里运费为． 由题意得，则总运费， 要使总费用最低，只需最小即可． 设，则， 得，则，得． 当时，总费用最低，则，得， 所以当地到地的距离为时，总运费最低． 故答案为：. 四、解答题 18．（24-25高一下·四川泸州·开学考试）已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)若不等式对于均成立，求实数取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的解集得1和2是方程的两根，然后根据韦达定理建立的方程求解即可. （2）分和两种情况讨论，时利用判别式法列不等式组求解范围，最后求并集即可. 【详解】（1）由题意知，1和2是方程的两根，. 由韦达定理可得，解得； （2）由（1）可知，则不等式对于均成立， 则当时，不等式恒成立； 当时，不等式对于均成立， 等价于，解得， 综上，可得． 19．（24-25高一上·江西·期末）设函数 (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，，求不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与对应方程根的关系来确定系数； （2）先将不等式化简，再通过因式分解求解集，需要对参数的取值进行分类讨论。 【详解】（1）由题意，不等式的解集为，则-1和3是方程的两个根， 得解得，所以. （2）若，则，即， 因为，所以，是方程的两个实数根， ①当时，，不等式的解集为， ②当时，解集为， ③当时，，不等式的解集为， 综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 20．（24-25高一上·江苏盐城·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【答案】(1) (2)单价定为元时利润最大，最大利润为元 (3) 【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得正确答案. （2）求得利润的表达式，利用二次函数的性质求得最值以及此时对应的单价. （3）根据已知条件列不等式，根据函数的单调性求得销售量的最小值. 【详解】（1）设，由图可知，函数图象过点， 所以，解得，所以， 由解得. 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是. （2）若单价不低于成本价24元，且不高于50元销售， 则， 则利润， 其开口向下，对称轴为， 所以当时，利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元. （3）由（2）得利润， 又该商品每天获得的利润不低于1280元， 则，整理得， 即，解得， 销售量是减函数，所以当时，销售量最小， 且最小值为件. 21．（24-25高一上·江西抚州·期末）已知二次函数. (1)若的解集为，解关于的不等式； (2)若且，求的最小值； (3)若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）分析可知、是方程的解，且，利用韦达定理求出、的值，然后利用二次不等式的解法解不等式，即可得出该不等式的解集； （2）由已知等式化简所求代数式得，利用基本不等式可求得该代数式的最小值； （3）由二次不等式恒成立可得出，可得出，令，则，且，可得出，结合基本不等式可得出所求代数式的最小值. 【详解】（1）由已知的解集为，则， 所以、是方程的解， 由韦达定理可得，解得， 所以不等式可化为，解得或， 故不等式的解集为或. （2）因为，所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以的最小值为. （3）因为对任意，不等式恒成立， 所以，则，则， 令，则，且， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 即当时，即当时，等号成立，所以的最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲：二次函数与一元二次方程、不等式 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 知识点二　一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 知识点三　二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点四 解一元二次不等式 ①化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)； ②计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解； ③有根求根； ④根据图象写出不等式的解集. 知识点五 解分式不等式 (1)>0⇔f(x)·g(x)>0；(2)≤0⇔(3)≥a⇔≥0. 知识点六．简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)． 知识点七 一元二次不等式恒成立问题 恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min. 【例题详解】 题型一、解不含参数的一元二次不等式 1．（24-25高一上·全国）解一元二次不等式 (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）求下列一元二次不等式的解集 (1) (2) (3) (4) 3．（24-25高一上·全国·课前预习）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二、解分式不等式和含绝对值不等式 4．（24-25高一·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 5．（24-25高一上·上海·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2)． 6．（2025高三·全国·专题练习）解下列关于x的不等式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10). 题型三、解含有参数的一元二次不等式 7．（24-25高一上·北京·期中）解关于的不等式：． 8．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 9．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知函数. (1)若，，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 题型四、由一元二次不等式的解确定参数 10．（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·陕西·期末）若关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·河北唐山·期末）若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 题型五、一元二次方程根的分布问题 13．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 15．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 题型六、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 16．（24-25高一上·重庆·期末）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25高一·上海·课堂例题）若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 题型七、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 19．（24-25高一上·山东临沂·期末）“”是“在上恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 21．（24-25高一上·贵州·期中）已知集合，对于任意的，不等式恒成立，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型八、一元二次不等式在某区间上有解问题 22．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）方程在区间[1,3]内有解，则实数的取值范围是（   ） A．[2,5] B．[1,7] C． D．[1,5] 24．（2023高三·全国·专题练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型九、一元二次不等式的实际应用 25．（25-26高一上·全国）汽车在行驶时，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了．事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：，．则可判断甲、乙两车的超速现象是（   ） A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速 26．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（    ） A．20 B．25 C．27 D．28 27．（24-25高一上·广东广州·期末）某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）. (1)写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价）） (2)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？ 题型十：二次函数与一元二次方程、不等式综合问题 28．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的值. 29．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知关于的不等式. (1)当不等式的解集为时，求的值； (2)若且不等式恒成立，求的最小值. 30．（24-25高一上·山东德州·期末）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求、； (2)当时， ①若关于的不等式解集为，求实数的取值范围； ②若、，求的最小值. 【专项训练】 一、单选题 1．（2025高一上·河北保定·专题练习）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 2．（24-25高一上·全国·课前预习）不等式的解为，则的值分别为（   ） A． B．1，6 C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）某工人共加工300个零件，在加工100个零件后，改进了操作方法，每天多加工15个，用了不到20天的时间就完成了任务，则改进操作方法前每天至少加工零件的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 5．（25-26高一上·全国·课后作业）若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 7．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知命题，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·山东日照·期末）已知关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．的最小值为6 11．（24-25高一上·广东广州·期末）使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 13．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．的最大值为 D． 三、填空题 14．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）不等式的解集为 ． 15．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 16．（24-25高一上·广东深圳·期末）当关于x的不等式对一切实数x都成立时，k的取值范围是 ． 17．（24-25高一上·湖南湘潭·期末）如图，地在自西向东的一条直线铁路上，在距地的B地有一金属矿，地到该铁路的距离．现拟定在之间的地修建一条公路到地，即修建一条的运输路线．若公路运费是铁路运费的倍，则当地到地的距离为 时，总运费最低． 四、解答题 18．（24-25高一下·四川泸州·开学考试）已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)若不等式对于均成立，求实数取值范围． 19．（24-25高一上·江西·期末）设函数 (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，，求不等式的解集． 20．（24-25高一上·江苏盐城·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 21．（24-25高一上·江西抚州·期末）已知二次函数. (1)若的解集为，解关于的不等式； (2)若且，求的最小值； (3)若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$