第07讲：基本不等式【十大题型】-【初升高暑假衔接】2025-2026学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第07讲：基本不等式 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　基本不等式≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 知识点二　几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤2(a，b∈R)．(4)≥2(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 知识点三　用基本不等式求最值 用基本不等式≤求最值应注意：一正二定三相等. (1)a，b是正数； (2)①如果ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值2； ②如果a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值S2. (3)讨论等号成立的条件是否满足． 【例题详解】 题型一、利用基本不等式比较大小 1．（24-25高一上·上海）下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式判断AB；举例说明判断CD. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，取，，C错误； 对于D，取，，D错误. 故选：A 2．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式，先比较与，然后比较与，再比较与，由此确定出正确选项. 【详解】因为，所以，， ，当且仅当时，等号成立， 则. 故选：A. 3．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合基本不等式比较的大小即可. 【详解】由，得，，则， 因此. 故选：C 题型二、利用基本不等式求积最大值 4．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）设，，若，则的最大值为 . 【答案】16 【分析】由基本不等式求积的最大值. 【详解】， 由基本不等式可知， 当且仅当时等号成立，即的最大值为. 故答案为：16 5．（24-25高一上·天津津南·期中）已知，则的最小值为 ． 【答案】25 【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】 ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：25 6．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 题型三、利用基本不等式求和最小值 7．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的最小值为 ，此时x的值为 ． 【答案】 【详解】由知，所以，当且仅当，即时取等号． 方法总结 对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换等． 8．（24-25高一上·河南焦作·期末）已知a>0，则的最小值为 ． 【答案】12 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，当且仅当时取等号， 因此， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为12. 故答案为：12 9．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】求出的范围，根据基本不等式即可求出的最小值. 【详解】，， ， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 题型四：二次或二次商式的最值 10．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 11．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 . 【答案】16 【分析】将目标式化为，结合及二次函数性质求最大值即可. 【详解】由，则， 而，故当时，目标式最小值为16. 故答案为：16 12．（24-25高一上·上海）若，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 题型五：条件等式求最值 13．（24-25高一上·云南玉溪·期中）若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】由条件得，还原利用基本不等式求的最小值. 【详解】由，得， 则， ∴， 当且仅当，即时等号成立． ∴的最小值是18. 故选：B 14．（24-25高一上·广东清远·期末）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．16 B．18 C．22 D．26 【答案】C 【分析】变形得到，，由基本不等式求出最小值. 【详解】因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，此时的最小值为22． 故选：C 15．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】先化简已知等式，再应用基本不等式计算求解即可. 【详解】因为，，且，则， ，同理， 则， 当且仅当时，的最小值为. 故选：B. 题型六：基本不等式‘1’的妙用 16．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D．12 【答案】C 【分析】利用“1”的代换，由基本不等式求最小值． 【详解】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：C. 17．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，且，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，利用的代换结合基本不等式求出最小值． 【详解】，， 当且仅当，即时取等号. 故选：A. 18．（24-25高一上·陕西·期末）设，，若，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】根据题意利用“1”代换，结合基本不等式运算求解. 【详解】，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4. 故选：A. 题型七：基本不等式恒成立问题 19．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用恒成立等价条件转化，再利用不等式即可求得结果 【详解】因为，所以恒成立等价于恒成立， 又，当且仅当时取等号， 故. 故选：A 20．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ，当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 21．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据基本不等式“1”的妙用先求得的最小值，进而转化问题为，解不等式即可求解. 【详解】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 要使恒成立，则， 解得，即实数的取值范围为. 故选：A. 题型八：基本不等式在实际问题中的应用 22．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】(1) (2) (3)3万元 【分析】（1）由时，代入即可求解； （2）由销售综合减去促销费用、成本即可求解； （3）由（2）结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. （3）当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 23．（25-26高一上·全国·课后作业）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为． (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 【答案】(1)当左右两面墙的长度为时，甲工程队报价最低 (2) 【详解】解：（1）因为屋子的左右两侧墙的长度均为，底面积为，所以屋子的前面墙的长度为． 设甲工程队报价为y元，所以． 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以当左右两面墙的长度为时，甲工程队报价最低，为14400元． （2）根据题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立． 因为，当且仅当，即时，等号成立，所以． 故当时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功． 24．（24-25高一上·四川成都·期末）利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）． (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库占地（即底面）面积S的最小值； (3)求仓库的储物量（即容积V）的最大值． 【答案】(1)，其中，． (2) (3) 【分析】（1）根据题设有，化简整理可得关系式； （2）根据（1）可得，结合对应函数的单调性求最小值； （3）解法一：应用基本不等式有，解一元二次不等式求得，结合求最大值； 解法二：根据已知得，再应用基本不等式求最大值. 【详解】（1）由题设，则且； （2）由，得， 易知S是关于b的减函数，所以当b取最大值3m时，S取最小值． 故仓库占地面积的最小值为，此时． （3）解法一：由，得． 因为（当且仅当时取等号）． 所以，故，解得， 故（当且仅当时取等号）． 所以仓库容积的最大值为，此时． 解法二：由，得． 故． 因为（当且仅当时取等号）． 所以（当且仅当时取等号）． 故仓库容积的最大值为，此时． 题型九、用基本不等式证明不等式 25．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）（1）已知，，，求证：． （2）已知，，，，求证：． 【答案】证明见解析；证明见解析 【分析】（1）利用不等式的性质证明； （2）利用基本不等式“1”的妙用证明不等式. 【详解】（1）证明：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴； （2）证明：∵，，，且， ∴ ，当且仅当时取等号． . 26．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对分别应用基本不等式即可证明； （2）对分别应用基本不等式即可证明. 【详解】证明  （1）由，，，都是正数，利用基本不等式可知，， 当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 即有，当且仅当，时，等号成立. （2）由，，都是正数，利用基本不等式可知， ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 当且仅当时，等号成立. 27．（24-25高一上·云南玉溪·阶段练习）证明下列不等式： (1)已知，，，求证：； (2)已知，，均为正实数，且，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）根据，化简，再利用基本不等式证明即可. 【详解】（1）由，得， 因为，所以， 所以，进而得到， 因为，所以. （2）因为，，均为正实数，且， 所以由基本不等式得， ， 当且仅当时，等号成立. 题型十：基本不等式的综合应用问题 28．（24-25高一上·四川眉山·期中）求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用基本不等式即可； （2）利用基本不等式求的最小值，再求的最大值即可； （3）先化简得，再利用的妙用化简即可. 【详解】（1）因为，且，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，有最小值，最小值为； （2）因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以当时，有最大值，最大值为； （3）因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即，即时取等号， 故当时，有最小值，最小值为. 29．（24-25高一上·福建福州·期中）回答下列问题 (1)已知，求的最大值 (2)已知正数，，，满足，，的最小值为，求，的值 (3)已知，且，求的最小值 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由已知可得，然后利用基本不等式即可求解最大值； （2）由已知可得，然后利用基本不等式可得，又，即可求解，； （3）由已知可得，将原式变形可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，的最大值为； （2）， 当且仅当时等号成立， 因为的最小值为，所以，所以，即， 又因为，解得或； （3）因为，，， 所以， 所以， 当且仅当，且，即，时等号成立， 所以的最小值为. 30．（24-25高一上·上海·期中）已知，． (1)者，求的最小值； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若，求的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）消元，借助二次函数求出最小值. （2）将给定不等式分离参数，消元并利用基本不等式求出最大值及取得最大值的条件求出范围. （3）利用基本不等式，结合配凑方法求出最大值. 【详解】（1）由，得， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. （2）由，得，而， ， 当且仅当，即时取等号，而，因此，则， 所以实数的取值范围为. （3）由，得，，当且仅当时取得等号， 因此， 所以的最大值为. 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【分析】应用基本不等式求最小值，注意取值条件即可. 【详解】由题设，当且仅当时取等号，故原式的最小值为3. 故选：C 2．（24-25高一上·山西大同·期末）函数的最小值是（   ） A．7 B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】先将变为，然后利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为，所以， 所以． 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是7． 故选：A 3．（25-26高一上·全国·课后作业）建造一个容积为，深为的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米180元和80元，那么水池的最低总造价为（   ） A．1000元 B．2000元 C．2720元 D．4720元 【答案】B 【详解】由题意，设水池底面一边长为，则另一边长为，总造价，当且仅当，即时，等号成立． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为2 【答案】C 【详解】当时，，当且仅当，即时，等号成立；当时，，当且仅当，即时，等号成立.故A，B错误.对任意，，当且仅当，即时，也即时，等号成立，所以的最小值为2，故C正确.，当且仅当，即时，等号成立，但是，等号不成立，故D错误. 5．（24-25高一下·浙江·阶段练习）若正实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简再应用基本不等式计算求解. 【详解】由， 又因为，所以， 即得， 所以当且仅当时取等号， 所以，所以的最大值是 故选：B. 6．（24-25高一上·陕西汉中·期末）若，且，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】D 【分析】根据基本不等式，可得答案. 【详解】由题意可得，当且仅当时取等号，解得. 故选：D. 二、多选题 7．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（    ） A．ab有最大值 B．有最大值 C．有最小值4 D．有最大值 【答案】BC 【分析】根据条件，结合基本不等式，以及“1”的妙用，即可判断选项. 【详解】因为a，b为正实数，且，由，可得，当且仅当时取等号，所以ab有最大值，故A错误； 解法一：因为，当且仅当时取等号，所以有最大值，故B正确； 解法二：由不等式，可得，所以，当且仅当时取等号，所以有最大值，故B正确； 解法一：因为，当且仅当时取等号，则有最小值4，故C正确； 解法二：因为，所以，当且仅当时取等号，则有最小值4，故C错误； 由不等式，可得，当且仅当时取等号，所以有最小值，故D错误． 故选:BC． 8．（25-26高一上·全国）下列结论正确的是（    ） A．若，则的最大值为1 B．若，则的最小值为2 C．若，则有最大值1 D．若，则的最小值为2 【答案】ACD 【详解】因为，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为1，故A正确；因为的等号成立条件是，不成立，所以B错误；当时，，当时，，当且仅当时，等号成立，当时，，故有最大值1，故C正确；因为，当且仅当，即时，等号成立，所以D正确． 9．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知且，则下列说法正确的有（    ） A．的最小值为9 B．的最小值为6 C．的最大值为 D．的最小值为9 【答案】AB 【分析】根据基本不等式以及函数关系，可得答案. 【详解】对于A，由，则，当且仅当时等号成立， 整理可得，解得，即，故A正确； 对于B，由，则，当且仅当时等号成立， 整理可得，解得，故B正确； 对于C，由，当时，整理可得， 由，则，即，解得， 所以，故C错误； 对于D，由，当时，整理可得， 由，则，即，解得， 则， 当且仅当等号成立，故D错误. 故选：AB. 10．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）以下结论正确的是（ ） A．若，则的最大值为 B．的最小值为2 C．若则 D．若a+b＝1，则 【答案】AC 【分析】对式子进行变形，运用基本不等式，结合乘1法进行计算判断各选项即可. 【详解】对于选项A，已知，又因为，所以，即，当且仅当时等号成立. 将代入可得. 因为，所以，则. 对不等式两边同时开平方，可得，所以的最大值为，故选项A正确. 对于选项B， . 但是等号成立的条件是，即. 而因为，所以，那么，等号不成立，所以，故选项B错误. 对于选项C，已知，则（因为），所以. 在不等式两边同时加上，可得. 不等式两边同时除以，得到. 因为，且，，开平方，可得，故选项C正确. 对于选项D， . 根据基本不等式则，所以，当且仅当，即时等号成立. 由于；则，故选项D错误. 故选：AC. 三、填空题 11．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，则当 时，取最小值为 . 【答案】 4 5 【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立. 12．（25-26高一上·全国·课后作业）某种汽车购车时费用为10万元，每年的保险、养路、汽油费用共9千元，汽车使用年的维修总费用为，，则这种汽车使用 年后报废最合算（提示：报废即为年平均使用费用最低）． 【答案】10 【详解】设使用年时的年平均费用为万元，依题意得，当且仅当，即时，等号成立． 13．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知，则的最大值为 ．已知，，且，则的最小值为 【答案】 / 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】当时，，故， 当且仅当时取到等号，故的最大值为 由于，，故， 则， 当且仅当时，即时取到等号，故的最小值为. 故答案为：；. 14．（25-26高一上·全国·课后作业）海伦公式亦叫海伦——秦九韶公式．它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为，其中a，b，c分别是三角形的三边长，．已知一根长为8的木棍，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为2，则该三角形面积的最大值为 ． 【答案】 【详解】由海伦公式可知，不妨设，则，则，当且仅当，即时，等号成立． 四、解答题 15．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）（1）已知，求的最大值； （2）若，求的最小值； （3）已知为正实数，，求的最小值. 【答案】（1）；（2）8；（3）． 【分析】利用基本不等式结合常数代换求最值. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号； 所以，的最大值为. （2）因为，所以， 所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. （3），． 又，， ， 当且仅当，即时，等号成立． 由得 当，时，取得最小值． 16．（24-25高一上·广东肇庆·期中）根据题意，求解下列问题： (1)已知，，且满足，求的最小值； (2)已知，求最小值； (3)已知，，，求的最小值并求出此时a，b的值. 【答案】(1) (2) (3)的最小值为，此时 【分析】（1）利用“”的妙用，把转化为，然后利用基本不等式求解； （2）将通过变形转化为，然后利用基本不等式求解； （3）利用“”的妙用，把转化为，然后利用基本不等式求解. 【详解】（1）由可得：，又， 所以，当且仅当，即时成立， 结合可知：取等条件为. （2）因为，所以，， 当且仅当，即时成立. （3）因为，， 所以， 当且仅当，即时成立，结合可知：取等条件为. 17．（24-25高一上·甘肃·期末）某企业年年初花费64万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为30万元，设备使用年后该设备的维修保养费用为万元，盈利总额为y万元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额＝盈利总额÷使用年数）． 【答案】(1) (2)10万元 【分析】（1）根据给定条件，直接求出y关于x的函数关系式； （2）求出年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求得最大值. 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 则，因为（当且仅当时取等号）， 所以有万元， 故第8年年平均盈利额取得最大值，最大值为10万元. 18．（24-25高一上·四川南充·期末）（1）已知a，b，c，d都是正实数，证明：； （2）已知x，y是正实数，，若恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 ；（2） ． 【分析】（1）法1：应用作差法比较大小即可证；法2：将不等式左侧展开并结合基本不等式证明结论即可； （2）问题化为，应用“1”的代换及基本不等式求左式最小值，可得，再解不等式求参数范围. 【详解】（1）方法1： ， ∴； 方法2：∵，，， ∴ ，当且仅当时，等号成立， 故. （2）由恒成立，知， ∵，，， ∴， 当且仅当，即时，等号成立，即， ∴，解得或， 故m的取值范围为. 19．（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）问题：正实数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号，故而的最小值是.学习上述解法并解决下列问题： (1)已知是正实数，且，求的最小值； (2)①已知实数，满足，求证：； ②求代数式的最小值，并求出使得最小的的值. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②，最小值. 【分析】（1）化为，根据题中示例，利用乘法结合基本不等式求解即可； （2）①化，结合基本不等式求解；②利用换元法，令，则，再利用①求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，所以， 所以， ，当且仅当，即时等号成立， 故取得最小值. （2）①因为，所以， 因为 ， 当且仅当且同号时取等号，此时满足，所以. ②令，所以，由，解得，构造，由，则， 所以，利用①中结论，有： 当且仅当且时，即取等号， 解得时，取最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲：基本不等式 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　基本不等式≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 知识点二　几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤2(a，b∈R)．(4)≥2(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 知识点三　用基本不等式求最值 用基本不等式≤求最值应注意：一正二定三相等. (1)a，b是正数； (2)①如果ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值2； ②如果a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值S2. (3)讨论等号成立的条件是否满足． 【例题详解】 题型一、利用基本不等式比较大小 1．（24-25高一上·上海）下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 题型二、利用基本不等式求积最大值 4．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）设，，若，则的最大值为 . 5．（24-25高一上·天津津南·期中）已知，则的最小值为 ． 6．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）若，则的最大值为 ． 题型三、利用基本不等式求和最小值 7．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的最小值为 ，此时x的值为 ． 8．（24-25高一上·河南焦作·期末）已知a>0，则的最小值为 ． 9．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，则的最小值为 . 题型四：二次或二次商式的最值 10．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 11．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 . 12．（24-25高一上·上海）若，则的最小值为 . 题型五：条件等式求最值 13．（24-25高一上·云南玉溪·期中）若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 14．（24-25高一上·广东清远·期末）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．16 B．18 C．22 D．26 15．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 题型六：基本不等式‘1’的妙用 16．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D．12 17．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，且，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 18．（24-25高一上·陕西·期末）设，，若，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．8 题型七：基本不等式恒成立问题 19．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 20．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 题型八：基本不等式在实际问题中的应用 22．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 23．（25-26高一上·全国·课后作业）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为． (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 24．（24-25高一上·四川成都·期末）利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）． (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库占地（即底面）面积S的最小值； (3)求仓库的储物量（即容积V）的最大值． 题型九、用基本不等式证明不等式 25．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）（1）已知，，，求证：． （2）已知，，，，求证：． 26．（24-25高一上·全国）（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 27．（24-25高一上·云南玉溪）证明下列不等式： (1)已知，，，求证：； (2)已知，，均为正实数，且，求证：. 题型十：基本不等式的综合应用问题 28．（24-25高一上·四川眉山·期中）求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 29．（24-25高一上·福建福州·期中）回答下列问题 (1)已知，求的最大值 (2)已知正数，，，满足，，的最小值为，求，的值 (3)已知，且，求的最小值 30．（24-25高一上·上海·期中）已知，． (1)者，求的最小值； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若，求的最大值． 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．3 D．2 2．（24-25高一上·山西大同·期末）函数的最小值是（   ） A．7 B．1 C．5 D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）建造一个容积为，深为的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米180元和80元，那么水池的最低总造价为（   ） A．1000元 B．2000元 C．2720元 D．4720元 A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为2 5．（24-25高一下·浙江·阶段练习）若正实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·陕西汉中·期末）若，且，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 二、多选题 7．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（    ） A．ab有最大值 B．有最大值 C．有最小值4 D．有最大值 8．（25-26高一上·全国）下列结论正确的是（    ） A．若，则的最大值为1 B．若，则的最小值为2 C．若，则有最大值1 D．若，则的最小值为2 9．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知且，则下列说法正确的有（    ） A．的最小值为9 B．的最小值为6 C．的最大值为 D．的最小值为9 10．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）以下结论正确的是（ ） A．若，则的最大值为 B．的最小值为2 C．若则 D．若a+b＝1，则 三、填空题 11．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，则当 时，取最小值为 . 12．（25-26高一上·全国·课后作业）某种汽车购车时费用为10万元，每年的保险、养路、汽油费用共9千元，汽车使用年的维修总费用为，，则这种汽车使用 年后报废最合算（提示：报废即为年平均使用费用最低）． 13．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知，则的最大值为 ．已知，，且，则的最小值为 14．（25-26高一上·全国·课后作业）海伦公式亦叫海伦——秦九韶公式．它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为，其中a，b，c分别是三角形的三边长，．已知一根长为8的木棍，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为2，则该三角形面积的最大值为 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）（1）已知，求的最大值； （2）若，求的最小值； （3）已知为正实数，，求的最小值. 16．（24-25高一上·广东肇庆·期中）根据题意，求解下列问题： (1)已知，，且满足，求的最小值； (2)已知，求最小值； (3)已知，，，求的最小值并求出此时a，b的值. 17．（24-25高一上·甘肃·期末）某企业年年初花费64万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为30万元，设备使用年后该设备的维修保养费用为万元，盈利总额为y万元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额＝盈利总额÷使用年数）． 18．（24-25高一上·四川南充·期末）（1）已知a，b，c，d都是正实数，证明：； （2）已知x，y是正实数，，若恒成立，求实数m的取值范围． 19．（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）问题：正实数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号，故而的最小值是.学习上述解法并解决下列问题： (1)已知是正实数，且，求的最小值； (2)①已知实数，满足，求证：； ②求代数式的最小值，并求出使得最小的的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$