第06讲：等式性质与不等式性质【六大题型】-【初升高暑假衔接】2025-2026学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第06讲：等式性质与不等式性质 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　基本事实 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 如果a>b⇔a－b>0. 如果a＝b⇔a－b＝0. 如果a<b⇔a－b<0. 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 知识点二　重要不等式 ∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 知识点三　等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点四　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 【例题详解】 题型一、由已知条件判断不等式是否正确 1．（2025高一·全国）对于实数，下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．（25-26高一·全国·假期作业）已知，则（ ） A． B． C． D． 3．（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 题型二、作差法比较大小 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，，设，，则与的大小关系为 ． 6．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）若，设，则M，N的大小关系是 ． 题型三、作商法比较大小 7．（23-24高三上·天津和平·开学考试）已知a是实数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 9．（2020高三·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 题型四、利用性质比较大小 10．（25-26高一·全国·假期作业）已知，则（ ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·全国·课后作业）有下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型五：利用不等式的性质求范围 13．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·湖南郴州·期末）已知实数满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型六、利用不等式的性质判断或证明 16． （24-25高一上·全国） （1）比较和的大小； （2）已知，，证明： 17．（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 18、（25-26高一上·全国） （1）已知，，，试求证：． （2）已知，，试求与的取值范围． （3）已知，，求的取值范围． 【专项训练】 一、单选题 1．（2025高一·全国·专题练习）对于实数，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2025高一·全国·专题练习）对于实数，下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河北石家庄·一模）如果，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一下·云南临沧·期中）下列说法中正确的是（   ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 6．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（24-25高一上·广东深圳·期末）下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 8．（24-25高一上·四川内江·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、多选题 9．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·全国·课后作业）设，则P，Q，R的大小关系是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．若，，且，则 B．若，，则 C．若，，且，则 D．若，，且，则 12．（24-25高一下·浙江·期中）已知，，，，则下列叙述中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 13．（24-25高一上·湖北武汉·期末）下列几种说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 14．（2025高一·全国·专题练习）如果，那么与的大小关系是 ． 15．（2025高一·全国·专题练习）若实数满足，则的取值范围是 ． 16．（24-25高一下·上海金山·阶段练习）已知实数a，b满足，则的取值范围为 . 17．（24-25高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知，若，，则的大小关系是 ． 18．（25-26高一上·全国·课后作业）设，为正实数，有下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则． 其中为真命题的有 （写出所有正确命题的序号）． 四、解答题 19．（24-25高一下·河北保定·阶段练习） （1）已知，比较与的大小． （2）比较与的大小． 20．（24-25高一·上海·课堂例题）已知实数和，判断下列不等式中哪些是正确的． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）． 21． （25-26高一上·全国） （1）已知，，，求证：； （2）证明：． 22． （24-25高一上·湖北武汉） （1）已知，，求，及的取值范围． （2）设、均为正实数，试比较和的大小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲：等式性质与不等式性质 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　基本事实 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 如果a>b⇔a－b>0. 如果a＝b⇔a－b＝0. 如果a<b⇔a－b<0. 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 知识点二　重要不等式 ∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 知识点三　等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点四　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 【例题详解】 题型一、由已知条件判断不等式是否正确 1．（2025高一·全国）对于实数，下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】采用举反例的方法，可判断A，C，D，利用不等式性质可判断B. 【详解】对于A选项：如果，，，则，但是，故A错误； 对于选项B：如果，则，根据不等式的性质：不等式两边同时加上 或减去同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则，故B正确； 对于选项C：如果，，，，则， 但是，故C错误； 对于选项D：，当时，那么，故D错误. 故选：B 2．（25-26高一·全国·假期作业）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出每个数的取值范围，再结合不等式的性质可得出各数的大小关系. 【详解】因为，所以，，． 由于，故在不等式上同时乘以a得，即， 因此，． 故选：C. 3．（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用特殊值法可判断ABD选项，利用不等式的性质可判断C选项. 【详解】对于A选项，不妨取，，，则，A错； 对于B选项，不妨设，，，则，B错； 对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，不妨设，，，则，D错. 故选：C. 题型二、作差法比较大小 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差法判断即可. 【详解】因为， 所以． 故选：C 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，，设，，则与的大小关系为 ． 【答案】 【详解】．因为，，所以，，，所以，所以． 6．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）若，设，则M，N的大小关系是 ． 【答案】 【分析】利用作差法求解. 【详解】， 因为， 所以， 所以，即， 故答案为： 题型三、作商法比较大小 7．（23-24高三上·天津和平·开学考试）已知a是实数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当时，， 故，即成立，则成立； 当时，，但推不出成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 8．（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 9．（2020高三·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【详解】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D 【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题. 题型四、利用性质比较大小 10．（25-26高一·全国·假期作业）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的性质比较数（式）大小即可. 【详解】因为，所以． 由于，故在不等式上同时乘以a得， 即，因此，． 故选：C. 11．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以．由于，故在不等式上同时乘以a得，即，因此，． 12．（25-26高一上·全国·课后作业）有下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对于①，由，得，，要证，则需证，即，这显然成立，故①正确；对于②，由，得，由①知，②正确；对于③，当，时，显然不成立，所以③错误；对于④，当，时，有，④错误． 题型五：利用不等式的性质求范围 13．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求解． 【详解】因为，又，，所以的取值范围是． 故选：C． 14．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】因为，，则，可得， 由不等式的基本性质可得. 故选：A. 15．（24-25高一上·湖南郴州·期末）已知实数满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式性质得到，得到答案. 【详解】，又， 故，即. 故选：D 题型六、利用不等式的性质判断或证明 16． （24-25高一上·全国） （1）比较和的大小； （2）已知，，证明： 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）展开后作差比较大小； （2）根据不等式的性质先证明，然后证明，最后再证明. 【详解】（1）因为， 所以. （2）证明：因为，所以，， 于是，即， 由，得. 17．（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件，利用不等式的性质，即可求解； （2）通过作差，得到，再根据条件，即可求解. 【详解】（1）因为，，所以， 当，时，则，，此时， 当，时，则，此时，得到， 当，时，则，此时，得到， 当，时，， 又当或时，， 综上，. （2）因为， 又，，则，， 所以，得到. 18．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知，，，试求证：． （2）已知，，试求与的取值范围． （3）已知，，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【详解】（1）证明：因为，所以．又，所以，所以，所以．又，所以． （2）解：因为，，所以，且，所以．因为，所以．又因为，所以．故的取值范围是，的取值范围是． （3）解：由，得．又，所以，即．故的取值范围是． 【专项训练】 一、单选题 1．（2025高一·全国·专题练习）对于实数，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式性质及特殊值法判断各个选项即可. 【详解】若，则，A选项错误； 若，则，B选项错误； 若，则，C选项错误； 若，则，则，D选项正确. 故选：D. 2．（2025高一·全国·专题练习）对于实数，下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】由不等式的性质和特殊值逐个判断即可. 【详解】对于A，等时，不成立，错误； 对于B，取，不成立，错误， 对于C，取，不成立，错误； 对于D，因为，不等式两端同除，可得，正确， 故选：D 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以，，所以，，故A正确，B错误；当时，，，故C错误，D错误． 4．（2025·河北石家庄·一模）如果，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由不等式的性质作差后分别证明充分性和必要性即可. 【详解】若，，则， 则，即，充分性成立； 若，，则， 所以，必要性成立， 所以如果，那么“”是“”的充要条件. 故选：C 5．（24-25高一下·云南临沧·期中）下列说法中正确的是（   ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 【答案】B 【分析】取特殊值判断ACD，根据不等式的性质及必要条件判断B. 【详解】项，若，，此时，但不满足，故A项错误； B项，根据不等式性质，可由推导出，故是的必要条件，故B项正确； C项，若，，此时，但不满足，故C项错误； D项，若，，此时，但是不满足，故D项错误． 故选：B 6．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】举反例令可得A错误；由不等式的性质可得B错误；作差法可得C正确；举反例可得D错误. 【详解】对于A选项，当时不满足，故A错误； 对于B选项，由不等式性质知，两边同时乘以，可得，故B错误； 对于C选项，若，则，，，， 故，即，故C正确； 对于D选项，取，，可得，故D错误． 故选：C 7．（24-25高一上·广东深圳·期末）下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】A 【分析】对于AＣＤ，由做差法与题意可判断选项正误； 对于B，由不等式性质可判断选项正误． 【详解】对于A，，因，则， 又，则，故A错误； 对于B，由不等式同向可加性可知，当时，，故B正确； 对于C，，因，则，又， 则，故C正确； 对于D，，因，则， ，则， 故D正确． 故选：A 8．（24-25高一上·四川内江·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】对于ABC：举反例说明即可；对于D：利用作差法分析判断即可. 【详解】对于选项A：例如，可得，故A错误； 对于选项B：例如，满足， 但，即，故B错误； 对于选项C：例如，满足， 但，即，故C错误； 对于选项D：因为， 若，则， 可得，即，故D正确； 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】应用作差法计算比较判断A，应用不等式性质计算判断C，D，应用特殊值法计算判断B. 【详解】因为，， 对于A，因为，而，，故无法确定与的大小，A错； 对于B，因为，所以，B错； 对于C，由不等式的性质可得，从而，C对； 对于D，由不等式的性质可得，D对. 故选：CD. 10．（25-26高一上·全国·课后作业）设，则P，Q，R的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为，所以． 因为， 又，所以，所以． 11．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．若，，且，则 B．若，，则 C．若，，且，则 D．若，，且，则 【答案】AD 【详解】对于选项A，因为，所以，即，故A正确；对于选项B，取，，，，满足，，但，故B错误；对于选项C，取，，满足，，且，但，故C错误；对于选项D，因为，所以，，则，故D正确． 12．（24-25高一下·浙江·期中）已知，，，，则下列叙述中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【答案】AB 【分析】利用不等式的性质可得AB正确；举反例或者作差分析可得C错误；举例可得D错误. 【详解】对于A：因为，， 因为，两边同乘以，不等号的方向不变，得， 所以，故A正确； 对于B：因为，，所以，所以， ，两边同乘以并化简得， 所以，故B正确； 对于C： 方法一：若，此时分母无意义，不能比较，故C错误. 方法二：时不等式左边无意义，不能比较. 当时做如下分析： ， 符号不确定，故结论不确定，故C错误; 对于D： 若，则，故D错误. 故选：AB 13．（24-25高一上·湖北武汉·期末）下列几种说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】取特例判断A，根据作差法判断BC，利用不等式性质判断D. 【详解】当时，满足，但不成立，故A错误； 因为，所以，即，故B正确； 因为，所以，即，故C正确； 因为，所以，所以， 又，所以，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 14．（2025高一·全国·专题练习）如果，那么与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】直接由作差法即可求解. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 15．（2025高一·全国·专题练习）若实数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】因为实数满足，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 16．（24-25高一下·上海金山·阶段练习）已知实数a，b满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据不等式性质直接求解即可. 【详解】， . 故答案为：. 17．（24-25高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知，若，，则的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】利用作差法求解即可. 【详解】 ， 因为，所以. 所以. 故答案为：. 18．（25-26高一上·全国·课后作业）设，为正实数，有下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则． 其中为真命题的有 （写出所有正确命题的序号）． 【答案】① 【详解】对于①，由题意，为正实数，，则，，，故．若，则，则，这与矛盾，故成立．对于②，取特殊值，，，则，②错误．对于③，取，，则，③错误． 四、解答题 19．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）（1）已知，比较与的大小． （2）比较与的大小． 【答案】（1），（2） 【分析】（1）（2）利用作差法即可求解. 【详解】（1）， 由于，所以，所以， 故 （2）， 因为，即 所以. 20．（24-25高一·上海·课堂例题）已知实数和，判断下列不等式中哪些是正确的． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）． 【答案】（1）、（2）、(6)、(7)正确． 【分析】利用完全平方数的非负性判断（1）（2）（6）；利用特殊值判断（3）（4）（5），利用作差法判断（7）. 【详解】（1）因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，故正确； （2）因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，故正确； （3）当，时，，故不正确； （4）当，时，故不正确； （5）当时，故不正确； （6）显然且， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故正确； （7）因为， 所以，当且仅当时取等号，故正确. 21．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）因为，所以．又，所以，则，所以，即．又，所以． （2）要证，只需证，即证，即证，即证，即证，显然成立，所以． 22．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知，，求，及的取值范围． （2）设、均为正实数，试比较和的大小． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【分析】（1）结合不等式的基本性质即可求解. （2）利用作差法进行比较，先对代数式作差得出；再分类讨论即可得出结果. 【详解】（1）因为， 所以， 又，两个不等式相加可得，即． 因为，所以， 又，两个不等式相加可得，即． 因为，所以， 当时，两个不等式相加乘可得：，即； 当时，两个不等式相加乘可得：，即， 所以． 的取值范围为； 的取值范围为； 的取值范围为. （2）． 因为，均为正实数，所以． 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，，此时．     综上可得：当时，； 当时，； 当时，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$