2.3二次根式（分层作业）数学北师大版2024八年级上册

2.3 二次根式 16大知识点（基础）+能力提升题（8道）+拓展培优练（5道） 一、二次根式的判断 1．（24-25八年级下·河南濮阳·期中）下列各式中是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义：正数的算术平方根；根据二次根式的定义，需满足根指数为2且被开方数非负，据此判断即可． 【详解】解：选项A：，根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式的条件； 选项B：，被开方数为负数，在实数范围内无意义，故不是二次根式； 选项C：，根指数为2（省略未写），被开方数2为正数，符合二次根式的定义； 选项D：，当时被开方数为负数，无意义；仅当时有意义，但需满足所有条件值有意义，因此整体不符合二次根式的要求； 故选：C． 2．（24-25八年级下·上海·假期作业）下列各式中，二次根式的个数有 （        ） ；；；；；． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义．根据二次根式的定义：式子叫做二次根式，逐一判断即可． 【详解】解：被开方数1.2是正数，满足条件，属于二次根式； 被开方数为，当时，无论y取何值，；当时，无论x取何值，被开方数为0，但若且，被开方数为负数，无意义，因此，该式子不属于二次根式； 无论m、n取何值，，恒成立，属于二次根式； 被开方数为，需才有意义，但题目未限定x的范围，无法保证非负，不属于二次根式； 配方得，被开方数恒为正，属于二次根式； 被开方数为，需才有意义，但题目未限定x的范围，无法保证非负，不属于二次根式； 故二次根式的个数有3个， 故选：B． 3．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）下列式子中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的识别，根据二次根式有意义的条件逐项分析即可． 【详解】解：A、，没有意义，不是二次根式，故本选项不符合题意； B、是二次根式，故本选项符合题意； C、是立方根，不是二次根式，故本选项不符合题意； D、当时，没意义，即不是二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B． 二、二次根式的值 1．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）当时，二次根式的值是（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的求值，将代入所求二次根式，再求解即可． 【详解】解：当时，二次根式， 故选：A． 2．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）当时，二次根式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式的求值，将代入二次根式中求解即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：2． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解二次根式的性质是解题关键． 将代入，进而根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：当时，， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·广东梅州·期中）当时，二次根式的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解二次根式的性质是解题关键．将代入，进而根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：当时，． 故答案为：． 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键． （1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． （2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：当 时， ； （2）解： 当 时， ． 三、二次根式有意义的条件 1．（2025·福建·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围，进而选出正确选项． 【详解】解：要使在实数范围内有意义， 需满足被开方数， 解得． ∴符合． 故选：D． 2．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）要使二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及解不等式．根据二次根式有意义的条件：被开方数必须为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意：， 则． 故答案为：． 3．（2025年北京市中考数学真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”得到不等式求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·重庆忠县·期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义，根据被开方数为非负数进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·重庆巴南·期末）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件—被开方数大于等于零．根据二次根式有意义的条件—被开方数大于等于零，列出不等式即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 四、利用二次根式的性质化简求值 1．（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的性质，求一个数的立方根，幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选；B． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式及绝对值的化简，熟记化简规则即可． 【详解】解：， 由数轴可知：， ∴， ∴， 即， 故选：C． 3．（24-25八年级下·河南周口·期中）将二次根式根号外的移入根号内得到（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得，据此根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：， ∴． ∴， 故选：D． 4．（24-25八年级下·福建南平·期末）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简．直接化简二次根式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·山东青岛·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式的性质进行化简即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中） . 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的性质根据，化简得，结合，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则， 故答案为： 五、复合二次根式的化简求值 1．（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 2．（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【答案】(1)3； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意． （1）将4看成是，则，由此求解即可； （2）将7看成是，则，由此求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴； ∴； （2）解： ． 3．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简： 且， ． (1)填上适当的数：｜__________｜__________； (2)当时，化简． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． （1）将写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． 【详解】（1）解： ，， ， 故答案为：，，； （2） ， ． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 【答案】(1)；；； (2) 【分析】本题主要考查了复合二次根式化简： （1）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可； （2）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：；；；； （2）解： ． 六、最简二次根式的判断 1．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母求解即可． 【详解】解：A、，被开方数是小数，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数是分数，不是最简二次根式，不符合题意； C、，含能开方的因数9，不是最简二次根式，不符合题意； D、为最简二次根式，符合题意， 故选：D． 2．（24-25八年级下·广东云浮·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义， 根据最简二次根式的定义：①被开方数不含能开方的因数或因式；②被开方数不含分母．对各选项逐一分析即可． 【详解】A：，不是最简二次根式． B：是最简二次根式． C：，原式被开方数含分母10， 不是最简二次根式． D：，被开方数含分母3，不是最简二次根式． 综上，只有选项B是最简二次根式． 故选B． 3．（24-25八年级下·河南漯河·期末）下列各式中，为最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，二次根式的性质，根据最简二次根式的定义（被开方数不含能开方的因数且不含分母），逐一分析各选项是否满足条件，即可作答． 【详解】解：A、，可化简为整数，不是最简二次根式， B、，可化简为绝对值形式，不是最简二次根式， C、被开方数的质因数分解为，不含平方数因数，无法化简，是最简二次根式， D、，含可开方的因数，不是最简二次根式． 故选：C 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟记最简二次根式的特征．根据最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因式和因数，进行判断即可． 【详解】解：A．被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项错误； B． 被开方数含小数，不是最简二次根式，故该选项错误； C．是最简二次根式，故该选项正确； D被开方数含开方开得尽的因数，不是最简二次根式，故该选项错误； 故选：C． 七、同类二次根式 1．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质，判断二次根式是否为同类，需将各选项化简为最简二次根式后比较被开方数，即可作答． 【详解】解：A、，被开方数为，与是同类二次根式，故该选项不符合题意； B、，与不是同类二次根式，故该选项符合题意； C、，与是同类二次根式，故该选项不符合题意； D、，与是同类二次根式，故该选项不符合题意； 故选：B 2．（24-25八年级下·云南临沧·阶段练习）已知最简二次根式与能合并成一项，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同类二次分式的定义，根据同类二次根式的定义，若两个最简二次根式能合并，则它们的被开方数必须相等，列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得：． 故选：B． 3．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）已知是最简二次根式，且与可以合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，利用平方根解方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 由是最简二次根式且与可以合并，得出，然后利用平方根解方程即可． 【详解】解：∵是最简二次根式且与可以合并， ∴，解得：， 故选：． 4．（24-25八年级下·吉林松原·期中）若与最简二次根式可以合并，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式及最简二次根式，根据题意得，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：依题意得：， 解得：， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知最简二次根式与能合并，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查的是同类二次根式及最简二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式的定义解答即可． 【详解】解：最简二次根式与能合并， ， 解得 故答案为： 八、二次根式的乘法 1．（24-25八年级下·广东江门·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则． 按照二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，熟知二次根式的乘法计算法则是解题的关键． （1）直接根据二次根式的乘法计算法则求解即可； （2）直接根据二次根式的乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘法，再进行加减计算； （2）分别由平方差公式和完全平方公式计算，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 九、二次根式的除法 1．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的除法，算术平方根． 根据二次根式的除法运算法则计算，再求算术平方根，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 2．（2014·上海虹口·二模）计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式除法． 根据二次根式除法法则计算即可． 【详解】， 故答案为：2． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，熟记运算法则是解本题的关键； （1）根据二次根式的除法法则进行计算即可； （2）根据二次根式的除法法则进行计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； 十、二次根式的乘除混合运算 1．（24-25八年级下·广东汕头·期末）简化： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先利用二次根式性质化简，再变除法为乘法，约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 2．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（23-24八年级下·广西河池·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法和除法混合运算．先算二次根式乘除法，再算减法即可求解． 【详解】解： ． 十一、二次根式的加减运算 1．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）下列计算正确的个数是（    ） ①，②，③，④，⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则逐一判断，统计正确个数，即可求解． 【详解】解：① ，错误． ② ，错误． ③ ，正确． ④ ，错误． ⑤ ，正确． 综上，正确的为③和⑤，共2个， 故选B． 2．（24-25八年级下·河南漯河·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的加减运算，根据二次根式的性质及运算法则逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A．，计算错误； B．与不能合并，，计算错误； C．3与不能合并，，计算错误； D．，计算正确； 故选：D． 3．（重庆市荣昌区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，先化简二次根式，再根据二次根式加减计算法则求解即可． 【详解】解： ． 4．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键是准确熟练地进行计算． （1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 十二、二次根式的混合运算 1．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)7 (3) (4)1 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）直接合并即可； （2）先进行开方和乘方运算，再进行乘法运算，最后算加减； （3）先化简，进行除法运算，再合并即可； （4）利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 2．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）计算： (1)； (2)． (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的加减运算法则计算； （2）先计算二次根式的乘除法，再进行加减计算； （3）根据二次根式的加减运算法则计算； （4）利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 3．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先化简各二次根式和运算二次根式的除法，然后合并同类二次根式计算即可． （2）先利用完全平方公式与平方差公式进行展开，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 十三、分母有理化 1（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）数学小组在探究学习中，小组成员遇到这样一个问题： 已知，求的值．经过思考他们是这样解答的： ，，∴即， ∴，∴． 请你根据探究小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)________； (2)计算按规律排列的式子：； (3)若；求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的化简求值，熟知分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）先分母有理化得到，再把所求式子的每一项分母有理化，再计算加减法即可得到答案； （3）分母有理化得到，则，进而得到，把所求式子变形为，进一步变形得到，据此求解即可． 【详解】（1）解；； （2）解：， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴，即， ∴ ∴ ． 2．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是数学老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题． (1)小青编的题：观察下列等式： ；． 直接写出以下算式的结果：_______． (2)小明编的题：由二次根式的乘法可知： ，，； 再根据平方根的定义可得，，． 直接写出以下算式的结果：_______． (3)数学老师编的题：根据你的发现，完成以下计算： ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的化简. （1）根据题干提供的方法进行分母有理化即可； （2）分别把每个被开方数化为某个数的平方，再化简即可； （3）先把括号内每一项分母有理化，再合并同类二次根式，同步化简，最后利用平方差公式计算即可. 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 31．（24-25八年级下·全国·课后作业）比较与的大小可以采用下面的方法： ； ． 显然，所以． 仔细研读上面的解题方法，然后完成下列问题： (1)猜想：与的大小关系； (2)尝试计算：． 【答案】(1) (2)9 【分析】此题考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同． （1）根据阅读材料中的方法将两式化简，即可做出比较； （2）原式变形后，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：，． 显然， 所以． 所以 （2）解： 十四、二次根式相关的化简求值 1．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，直接把x、y的值代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 2．（2025·江西吉安·一模）已知，那么的值等于 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式；将两边同时平方，可求的值，将式子化为即可求解；掌握的典型解法是解题的关键． 【详解】解：由得 ， 整理得：， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·四川德阳·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 先根据分式的混合运算的顺序，化简分式，再代入x值计算 【详解】解： = ， 当时，原式． 4．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，代数式求值，平方差公式，先利用平方差公式将变形为，再将，代入求值即可． 【详解】解： ，， ． 5．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）已知，，求下列各代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，分式化简求值，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由，整理得，，然后代入，进行计算，即可作答． （2）把，代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， 则 ， ∴ ； 则 ； （2）解：由（1）得，， 则 ． 6．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果，试求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，将已知转化为，根据平方的非负性质得，，继而得到，，，再将化为，然后整体代入进行化简即可．掌握平方的非负性，完全平方公式，分式的运算法则，二次根式运算法则是解题的关键． 【详解】由得到， ∴， ∴，， 解得：，， ∴，，， ∴ ． 7．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）已知，，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是求解代数式的值，二次根式的混合运算； （1）先求解，，再把原式化为，再代入计算即可； （2）把原式化为，再代入计算即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ． （2）解：由（1）得，， ． 十五、二次根式的大小比较 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）比较大小： （填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，掌握二次根式的性质是解题关键．由二次根式的性质可得，再根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，即可得到答案． 【详解】解：，，且， ， 故答案为：． 2．（20-21八年级下·山东临沂·期中）比较大小： ．（填>，<或=） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较：对于带根号的无理数的大小比较，可以利用平方法先转化为有理数的大小比较．先比较两个数平方的大小即可得到它们的大小关系． 【详解】解：，， ， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·北京·期中）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的大小比较，根据二次根式的大小比较方法进行判断即可，熟练掌握二次根式的大小比较的方法是解答的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 十六、二次根式的应用 1．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，给出著名的三斜求积公式，即一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．已知的三边长为2，5，，则利用公式求得的面积是 ． 【答案】/ 【分析】根据面积公式代入计算即可． 本题考查了代数式的值，二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：由的三边长为2，5，， 得 ． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·云南文山·期中）如图，老李家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)已知老李家种植的草莓售价为10元/千克，且每平方米产草莓2千克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)1120元 【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据长方形周长计算公式求解即可； （2）用长方形空地的面积减去长方形水池的面积可得种植草莓的面积，进而可求出销售收入． 【详解】（1）解：， 答：长方形空地的周长为； （2）解： ， （元）， 答：销售收入为1120元． 3．（24-25八年级下·山东青岛·期中）现有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在长方形木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)木板截出的正方形木板A的边长为_________，B的边长为__________； (2)求木板中剩余部分（阴影部分）的面积． 【答案】(1)， (2)木板中剩余部分（阴影部分）的面积为 【分析】本题主要考查了图形面积和二次根式计算的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行列式、求解． （1）运用正方形的面积公式和二次根式知识进行求解； （2）运用长方形的面积公式和二次根式知识进行求解． 【详解】（1）解：在长方形木板上截出两个面积分别为和的正方形木板，， 正方形木板的边长为，的边长为， ，， 正方形木板的边长为，的边长为． 故答案为：；． （2）解：根据题意得， ， 木板中剩余部分（阴影部分）的面积是． 1．（重庆市大足区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题）例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫作分母有理化．有下列结论： ①若a是的小数部分，则的值为； ②； ③已知，，则； ④设实数m，n满足，则．其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化．熟练掌握平方差公式，有理化因式，完全平方公式变形求值，二次根式的混合运算，是解题的关键．判断四个结论的正确性，逐一分析每个结论的解题过程． ①的小数部分．得，结论①正确． ② ，结论②错误． ③可得，，得，结论③错误． ④由已知得，得，由，得，得，得．结论④正确． 【详解】解：①∵， ∴， ∴的整数部分为1， ∴小数部分． ∴． ∴①正确． ②∵ ， ∴②错误． ③∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴③错误． ④：∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴④正确． 综上，正确结论为①和④，共2个． 选：B． 2．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作： 例如：时，移项得，两边平方得，所以，即得到整系数方程：． 仿照上述操作方法，若，计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据已知可得，然后利用完全平方公式得到的整系数方程为：，可得，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴得到的整系数方程为：， ∴， ∴ 故答案为：． 3．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）数学课上，邱老师在黑板上给出了如下等式． 第1个等式： ； 第2个等式： ；… 请你根据上述方法完成下列题目： (1)计算：______________； (2)计算：______________； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3)2024 【分析】本题考查平方差公式，分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解； （2）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解； （3）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）解： ． 4．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）计算： (1) (2)已知，，求下列各式的值： ①；② 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算以及求代数的值，熟练掌握二次根式的运算法则以及公式法因式分解是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算的法则，先化简各二次根式，再进行二次根式乘法计算后合并即可， （2）①根据已知条件求得，根据 代入数据即可求解． ②直接代入数据，根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1） （2）① ② 5．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（）计算：             （）计算： 【答案】（）；（） 【分析】（）利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （）利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并即可； 本题考查了二次根式的加减和混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ； （）原式 ． 6．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； (1)观察以上规律，请写出第5个等式：______； (2)观察以上规律，请写出第个等式：______（为正整数）； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘法，分母有理数，二次根式的大小比较，根据已知等式得出规律是解题关键． （1）观察已知等式规律作答即可； （2）观察已知等式规律作答即可； （3）根据上述规律，得到两个数的倒数，然后通过比较两个倒数的大小，即可比较这两个数的大小． 【详解】（1）解：观察以上规律，第5个等式为：， 故答案为： （2）解：观察以上规律，第个等式为：， 故答案为：； （3）解：， ， ， ，即， ． 7．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）阅读下面文字，解决问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分是2，小数部分是根据以上知识解答下列问题： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与无理数整数部分有关的计算，熟练掌握夹逼法，进行无理数的估算，是解题的关键； （1）夹逼法求出的值，再进行计算即可； （2）夹逼法求出的值，再根据相反数的定义，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴ ∵，即， ∴， ∴； （2）∵， ∴的小数部分为：，的整数部分为：1， ∴的整数部分为：， 的小数部分为：， ∴，， ∴， ∴的相反数为． 8．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则___________； (2)化简：___________；___________； (3)计算： 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（）根据阅读材料的方法进行求解即可； （）分母有理化即可得答案； （）将每个加数分母有理化后相加，再进行乘法运算即可； 本题考查分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是读懂阅读材料，运用“对偶式”进行分母有理化． 【详解】（1）解：因为， 所以， 故答案为：； （2）解：； ； 故答案为：；； （3）解：原式 ． 1．（20-21八年级下·广西南宁·期末）已知：；；；……按此规律，请表示出第2021个式子 ． 【答案】 【详解】∵第1个数： 第2个数： 第3个数： 第4个数： ∴第n个数 当n=2021时， 故答案为. 【点睛】本题考查的是找规律，找出式子与序号的关系是解决本题的关键. 2．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式化简求值，熟练掌握平方差公式，二次根式性质，是解题的关键． 计算，把条件式代入，即得结果式的值． 【详解】解：∵ ， 且， ∴． 3．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“和谐数组”． (1)判断：_________“和谐数组”，__________“和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值． 【答案】(1)是，不是； (2) 【分析】本题主要考查算术平方根，理解“和谐数组”的定义是解题的关键： （1）根据“和谐数组”的定义进行判断即可解答； （2）分和两种情况，分别根据算术平方根的定义并运用“和谐数组”的定义验证即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴是“和谐数组”； ∵，不是整数， ∴不是“和谐数组”． （2）解：若，则，解得：； 当时，，均为整数，且3，12，48互不相等，符合条件； 若，得，与12重复，舍去． 综上可知． 4．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）观察下列等式：，，，…．根据上述规律，解决下列问题： (1)填空： ， （n为正整数）； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，解题关键是掌握二次根式的分母有理化． （1）分子、分母同乘以即可求，分子、分母同乘以即可求； （2）分别将前面括号里的每项分母有理化，再相加，然后与后面括号的相乘即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）原式 ． 5．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，则_______，_________； (2)的算术平方根为_________________； (3)若，且、、均为正整数，求的值； (4)化简：． 【答案】(1)； (2) (3)的值为或 (4) 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． （1）利用完全平方公式展开得到，从而可用、表示、； （2）直接利用完全平方公式，变形得出答案； （3）直接利用完全平方公式，变形化简即可； （4）先计算，再利用完全平方公式，变形化简即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：；； （2）解：∵， 故答案为：； （3）解：∵， ∴，，即， ∵、、均为正整数， ∴，或，， ∴当，时，； 当，时，； ∴的值为或； （4）解：∵ ， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 二次根式 16大知识点（基础）+能力提升题（8道）+拓展培优练（5道） 一、二次根式的判断 1．（24-25八年级下·河南濮阳·期中）下列各式中是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海·假期作业）下列各式中，二次根式的个数有 （        ） ；；；；；． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）下列式子中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 二、二次根式的值 1．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）当时，二次根式的值是（　　） A．2 B． C．4 D． 2．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）当时，二次根式的值是 ． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为 ． 4．（24-25八年级上·广东梅州·期中）当时，二次根式的值为 ． 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 三、二次根式有意义的条件 1．（2025·福建·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 2．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）要使二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 3．（2025年北京市中考数学真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 4．（24-25八年级下·重庆忠县·期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ． 4．（24-25八年级下·重庆巴南·期末）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 四、利用二次根式的性质化简求值 1．（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D．0 3．（24-25八年级下·河南周口·期中）将二次根式根号外的移入根号内得到（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·福建南平·期末）计算 ． 5．（24-25八年级下·山东青岛·期中）化简： ． 6．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中） . 五、复合二次根式的化简求值 1．（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 3．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简： 且， ． (1)填上适当的数：｜__________｜__________； (2)当时，化简． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 六、最简二次根式的判断 1．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东云浮·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河南漯河·期末）下列各式中，为最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 七、同类二次根式 1．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·云南临沧·阶段练习）已知最简二次根式与能合并成一项，则的值是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）已知是最简二次根式，且与可以合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·吉林松原·期中）若与最简二次根式可以合并，则 ． 5．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知最简二次根式与能合并，则 ． 八、二次根式的乘法 1．（24-25八年级下·广东江门·期中）计算： ． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 3．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）计算： (1) (2) 九、二次根式的除法 1．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）化简： ． 2．（2014·上海虹口·二模）计算： ． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 十、二次根式的乘除混合运算 1．（24-25八年级下·广东汕头·期末）简化： 2．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）计算： (1)． (2) 3．（23-24八年级下·广西河池·期末）计算： 十一、二次根式的加减运算 1．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）下列计算正确的个数是（    ） ①，②，③，④，⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级下·河南漯河·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（重庆市荣昌区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题）计算：． 4．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）计算： (1)； (2)． 十二、二次根式的混合运算 1．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 2．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）计算： (1)； (2)． (3)； (4) 3．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）计算： (1)； (2)． 十三、分母有理化 1（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）数学小组在探究学习中，小组成员遇到这样一个问题： 已知，求的值．经过思考他们是这样解答的： ，，∴即， ∴，∴． 请你根据探究小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)________； (2)计算按规律排列的式子：； (3)若；求的值． 2．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是数学老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题． (1)小青编的题：观察下列等式： ；． 直接写出以下算式的结果：_______． (2)小明编的题：由二次根式的乘法可知： ，，； 再根据平方根的定义可得，，． 直接写出以下算式的结果：_______． (3)数学老师编的题：根据你的发现，完成以下计算： ． 31．（24-25八年级下·全国·课后作业）比较与的大小可以采用下面的方法： ； ． 显然，所以． 仔细研读上面的解题方法，然后完成下列问题： (1)猜想：与的大小关系； (2)尝试计算：． 十四、二次根式相关的化简求值 1．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）已知，，则 ． 2．（2025·江西吉安·一模）已知，那么的值等于 3．（24-25八年级下·四川德阳·期中）先化简，再求值：，其中． 4．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）已知，，求代数式的值． 5．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）已知，，求下列各代数式的值． (1)； (2)． 6．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果，试求的值． 7．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）已知，，求下列代数式的值． (1)； (2)． 十五、二次根式的大小比较 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）比较大小： （填“”或“”或“”） 2．（20-21八年级下·山东临沂·期中）比较大小： ．（填>，<或=） 3．（24-25八年级下·北京·期中）比较大小： （填“”“”或“”）． 十六、二次根式的应用 1．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，给出著名的三斜求积公式，即一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．已知的三边长为2，5，，则利用公式求得的面积是 ． 2．（24-25八年级下·云南文山·期中）如图，老李家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)已知老李家种植的草莓售价为10元/千克，且每平方米产草莓2千克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ 3．（24-25八年级下·山东青岛·期中）现有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在长方形木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)木板截出的正方形木板A的边长为_________，B的边长为__________； (2)求木板中剩余部分（阴影部分）的面积． 1．（重庆市大足区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题）例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫作分母有理化．有下列结论： ①若a是的小数部分，则的值为； ②； ③已知，，则； ④设实数m，n满足，则．其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作： 例如：时，移项得，两边平方得，所以，即得到整系数方程：． 仿照上述操作方法，若，计算： ． 3．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）数学课上，邱老师在黑板上给出了如下等式． 第1个等式： ； 第2个等式： ；… 请你根据上述方法完成下列题目： (1)计算：______________； (2)计算：______________； (3)计算：． 4．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）计算： (1) (2)已知，，求下列各式的值： ①；② 5．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（）计算：             （）计算： 6．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； (1)观察以上规律，请写出第5个等式：______； (2)观察以上规律，请写出第个等式：______（为正整数）； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 7．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）阅读下面文字，解决问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分是2，小数部分是根据以上知识解答下列问题： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知，其中是整数，且，求的相反数． 8．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则___________； (2)化简：___________；___________； (3)计算： 1．（20-21八年级下·广西南宁·期末）已知：；；；……按此规律，请表示出第2021个式子 ． 2．已知，求的值． 3．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“和谐数组”． (1)判断：_________“和谐数组”，__________“和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值． 4．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）观察下列等式：，，，…．根据上述规律，解决下列问题： (1)填空： ， （n为正整数）； (2)计算：． 5．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，则_______，_________； (2)的算术平方根为_________________； (3)若，且、、均为正整数，求的值； (4)化简：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$