专题1.4 反比例函数（高效培优讲义）数学沪科版九年级上册

专题1.4 反比例函数 教学目标 1.理解反比例函数的概念,会识别一个函数是不是反比例函数. 2.能正确画出反比例函数的图象,并从图象中获取所需要的信息. 3.能用待定系数法确定反比例函数的表达式。 教学重难点 教学重点：反比例函数的概念、反比例函数的表达式、反比例函数的图象与性质。 教学难点：反比例函数概念的抽象性、反比例函数图象的性质理解、反比例函数在实际问题中的应用。 知识点01 反比例函数的概念 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 注意： （1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 【即学即练】1.（23-24九年级上·安徽滁州·期中）反比例函数中常数k为（　　） A． B．2 C． D． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）下列式子中：①；②；③；④；⑤．能表示是的反比例函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 知识点02 反比例函数图象的画法 （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 知识点03 反比例函数的图象和性质 图象特征 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴 性质 表达式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 【即学即练】1.（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（   ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 2.（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）若反比例函数的图象在每一个象限内随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 知识点04 反比例函数表达式的确定 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式 中. 【即学即练】已知：反比例函数的图象过点A（-3，-2）； （1）求反比例函数的解析式；（2）若点B（1，m）在该函数图象上，求m的值． 知识点05 反比例函数的实际应用 1. 基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题. 2. 一般步骤如下： （1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示. （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 【即学即练】（24-25九年级上·安徽六安·期末）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（千帕）是气球的体积（立方米）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求该反比例函数的表达式；（不用写自变量的取值范围） (2)当气球内的气压为千帕时，求气球的体积． 题型01 根据反比例函数的概念求字母参数的值 【例1】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的值是（    ） A．2 B． C．2或 D．无法确定 【变式】若函数是反比例函数，则m的值是 ． 题型02 确定反比例函数的表达式 【例2-1】根据图象上的点确定反比例函数表达式（24-25九年级上·安徽淮南·期末）若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【例2-2】在实际问题中确定反比例函数表达式已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（米）的反比例函数，当近视眼镜的度数是400度时，镜片的焦距为米，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间的函数关系式为 ． 【变式2-1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知反比例函数图象经过点，则的值是 ． 【变式2-3】（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知是关于的反比例函数，当时，．则这个函数的表达式为 ． 题型03 反比例函数的图象 【例3-1】判断点是否在反比例函数图象上（23-24九年级上·安徽安庆·期中）下列各点中，在双曲线的图象上的是（　　） A． B． C． D． 【例3-2】由反比例函数图象上的点确定k的值（24-25九年级上·安徽宿州·期末）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例3-3】判断反比例函数图像所在象限（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）若反比例函数的图像经过，则它的图像位于（   ） A．第四象限 B．第一象限 C．第二、四象限 D．第一、三象限 【变式3-1】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，下列各点在双曲线上的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）已知双曲线分布在第二、四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）若双曲线经过点，则此双曲线分别位于（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 题型04 反比例函数的性质应用 【例4-1】利用反比例函数图象的性质确定字母的取值范围（24-25九年级上·安徽亳州·期末）若反比例函数的图象，在每个象限内，随的增大而减小，则的取值可能为（   ） A． B． C． D．0 【例4-2】比较函数值的大小（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如果在反比例函数图象的每一支上，随的增大而增大，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）对于反比例函数以及图象上两点和，下列说法错误的是（   ） A．它的图象分布在第一、三象限 B．它的两支图象关于原点对称 C．当时，则 D．y随x的增大而减小 【变式4-3】已知点，，在下列某一函数图像上．且那么这个函数是（　　） A． B． C． D． 题型05 反比例函数中系数k的几何意义 1．反比例函数图象中有关图形的面积 2．涉及三角形的面积型 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． 1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|； 2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=； 3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=． 【例5-1】由图形面积确定反比例函数解析式已知双曲线上有一点，过点作轴于点为坐标原点，且，则此反比例函数的表达式为 ． 【例5-2】由函数表达式确定图形面积（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，是等边三角形，过原点，底边轴交轴于点，双曲线过A、B两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是 ． 【例5-3 】由图形面积确定反比例函数k的值（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，的面积是5，顶点B的坐标为，反比例函数的图象经过点C，则k的值为 ． 【变式5-1】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图是双曲线和双曲线的图象，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，其中、在轴上，则为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，直线与轴平行且与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式5-4】（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点；的顶点在轴上，轴，点、分别在反比例函数和的图象上．若的面积为5，且，则的值为 ． 【变式5-5】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点为轴上一点，过正半轴一点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图象交于、两点，若，则的值为 ． 【变式5-6】（24-25九年级上·安徽铜陵·期末）如图，若正方形的顶点和正方形的顶点都在函数的图象上，则点的坐标是 ． 【变式5-7】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，四边形和四边形都是正方形，且面积分别是和，点，，都在轴上，点在边上，第二象限的点是反比例函数图象上一点，反比例函数的图象同时经过点，． （1）的值为 ； （2）的值为 ． 题型06 反比例函数的实际应用 【例6-1】反比例函数在行程问题中的应用（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且A市到B市汽车的行驶里程为480千米． (1)求v关于t的函数表达式（不要求写自变量t的取值范围）； (2)若汽车从上午从A市出发，如果汽车在当天到之间（包含端点时间）到达B市，求汽车行驶速度v的范围． 【例6-2】反比例函数在工程中的应用（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）某工程队修建一条村村通公路，所需天数y（单位：天）与每天修建该公路长度x（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图．    (1)求y与x之间的函数表达式（不写出自变量的取值范围）． (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路40米要比每天修建30米提前多少天完成此项工程？ 【例6-3】反比例函数在跨学科中的应用（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，其函数图象如图所示． (1)当近视眼镜的度数是125度时，镜片焦距是多少米？ (2)小明原来佩戴200度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了米，求小明的眼镜度数增加了多少度． 【变式6-1】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过120千米/时．若从A市到B市汽车的行驶里程为480千米． (1)求关于的函数表达式； (2)若汽车从上午从市出发，如果汽车在当天到之间到达市，求汽车行驶速度的范围． 【变式6-2】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）某农场组织一批同一型号的收割机抢收秋粮，所需天数（天）是每天完成的收割量（亩）的反比例函数，其函数图象如图所示，且经过点． (1)求与之间的函数表达式，并写出的取值范围； (2)已知该型号收割机每台每天能够收割秋粮15亩，若该农场计划用10天的时间完成收割任务，则需要几台这种型号的收割机？ 【变式6-3】知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）． (2)当电阻R为时，求此时的电流I． 题型07 反比例函数与一次函数综合 【例7-1】多图象问题（2024·安徽宿州·三模）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数的大致图象是（   ） A． B．C．D． 【例7-2】反比例函数的图象与一次函数的图象交点问题（24-25九年级上·安徽安庆·期中）直线与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点B，若，则b的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【例7-3】综合应用反比例函数与一次函数解决实际问题（24-25九年级上·安徽安庆·期中）某学校教室饮水机4分钟就可以将的饮用水加热到．此后停止加热，水温开始下降．如图所示，已知整个下降过程中水温与通电时间成反比例关系． (1)求y与x的函数解析式； (2)学生饮用水时必须在水从加热到，然后降温到方可使用．求从饮水机加热开始，到可以饮用需要等待多长时间？ 【变式7-1】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）二次函数（是常数）的图象如图，则双曲线和直线的位置可能为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）已知关于的反比例函数的图象位于第一、三象限，则关于的二次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式7-3】（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，反比例函数与一次函数的图象交于，两点，一次函数的图象经过点．点为轴上一动点，当的周长最小时，点的坐标是 ． 【变式7-4】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知是直线上两点，分别过点和点作轴，和分别交双曲线于点和点，连接． （1）直线和双曲线的交点坐标为 ； （2）若，则的值为 ． 【变式7-5】某种原料需要达到及以上才能加工制作零件，如图表示原料的温度与时间之间的关系，其中线段表示原料加热阶段；线段轴，表示原料的恒温阶段；曲线是双曲线的一部分，表示原料的降温阶段．根据图象回答下列问题：    (1)填空：的值为_______； (2)求线段对应的函数解析式； (3)在图中所示的温度变化过程中，求可进行零件加工的时间长度． 【变式7-6】（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出时的取值范围； (3)过线段AB上的动点，作轴的垂线，垂足为点M，其交函数的图象于点，若，求点的坐标． 题型08 反比例函数中的面积问题 【例8-1】（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接、，求的面积． 【变式8-2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，一次函数与函数为的图象交于，两点． (1)求这两个函数的解析式； (2)点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交函数的图象于点，若面积为2，求点的坐标； (3)根据图象，直接写出满足时的取值范围． 【变式8-1】（24-25九年级下·安徽合肥·开学考试）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，已知． (1)求该反比例函数的表达式和点的坐标； (2)求的面积． 【变式8-2】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与坐标轴交于点A、B，与双曲线交于C、D两点，并且． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，根据图象直接写出此条件下x的取值范围； (3)在x轴上取一点，当的面积为12时，求m的值． 【变式8-3】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出满足时x的取值范围． (3)连接并延长交的另一支于点C，连接，求的面积． 【变式8-4】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数与函数为的图象交于，两点，点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交函数的图象于点． (1)求这两个函数的解析式； (2)当时，的取值范围是_____； (3)若点的横坐标为2，求的面积． 一、选择题 1．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）当时，函数值y随x的增大而增大的函数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）函数的图像（   ） A．过原点的一条直线 B．位于一、三象限的两支曲线 C．位于二、四象限的两支曲线 D．过点和点的一条直线 3．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）函数的图象经过抛物线的顶点，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，已知抛物线，（，均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则满足不等式的解为（   ） A．或 B．或或 C．或 D．或或 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为菱形，一边在y轴上，点B坐标为，C点在反比例函数上，连接，则的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）在下列函数图像上任取不同的两点和，一定能使成立的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与双曲线交于点，作轴于点．平移直线使其经过点，得到直线，与双曲线交于点，作轴于点．作轴，交直线于点，反比例函数的图象是一条经过点的双曲线．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是 ． 9．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，在平面直角坐标系中菱形的顶点A、B在反比例函数的图象上，点A、B横坐标分别为1、4，对角线轴．若菱形的面积为10，则k的值为 ． 10．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，矩形的一边在轴上，点是对角线与的交点，双曲线恰好经过点、，且交于点，连接． （1）若点的坐标为，， ； （2）若的面积为2时． ． 11．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，直线与双曲线交于点A，点是直线上一点，且． （1） ； （2）过点B作轴于点C，作交双曲线于点D，过点D作于点E，则 ． 三、解答题 12．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，直线与坐标轴交于，两点，点在直线上，点与点关于轴对称．    (1)若点在反比例函数的图像上，求的值． (2)若线段被反比例函数的图像分成两部分，且这两部分长度的比为，求的值． 13．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于点和点，交轴于点． (1)求反比例函数的解析式及点B的坐标； (2)请结合图象直接写出不等式的解集． 14．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）手工制品在当今市场上越来越受欢迎．某大学生团队对成本为20元/个的某手工制品进行40天试营销，其销量（个）与销售的时间（天）满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间（天） 1 2 3 4 ．．． 销量（个） 49 48 47 46 团队制定的销售单价（元）与销售的时间（天）关系如下：当时，，当时，． (1)直接写出关于的函数关系式； (2)求该团队第天获得的利润关于的函数关系式； (3)这40天中该团队第几天获得的利润最大？最大利润是多少？ 15．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点和点． (1)填空：______，______； (2)求一次函数的解析式和的面积； (3)根据图象回答：当x为何值时，（请直接写出答案）______． 16．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，反比例函数（）的图象经过A，B两点，连接，，过点B作轴，垂足为点D，交于点E，若E为的中点，且点E坐标为． (1)求k的值； (2)连接，求直线的函数表达式； (3)求的面积． 17．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，直线，都与反比例函数的图象交于点，这两条直线分别与轴交于，两点． (1)求的值． (2)在第一象限内，根据图象直接写出不等式的解集 (3)若点在反比例函数的图象上，的面积为14，求此时点的坐标． 18．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）如图，反比例函数和一次函数的图象交于和两点． (1)求k，n的值： (2)求出关于x的不等式的解集： (3)在x轴上找出一点M使最小，并求点M坐标；在x轴上画出点N，使最大，并求点N坐标． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 反比例函数 教学目标 1.理解反比例函数的概念,会识别一个函数是不是反比例函数. 2.能正确画出反比例函数的图象,并从图象中获取所需要的信息. 3.能用待定系数法确定反比例函数的表达式。 教学重难点 教学重点：反比例函数的概念、反比例函数的表达式、反比例函数的图象与性质。 教学难点：反比例函数概念的抽象性、反比例函数图象的性质理解、反比例函数在实际问题中的应用。 知识点01 反比例函数的概念 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 注意： （1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 【即学即练】1.（23-24九年级上·安徽滁州·期中）反比例函数中常数k为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查房比例函数的定义，掌握“形如的函数是反比例函数”时解题的关键． 【详解】解：反比例函数中常数k为， 故选D． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）下列式子中：①；②；③；④；⑤．能表示是的反比例函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的判断，根据形如或或，这样的函数叫做反比例函数，进行判断即可． 【详解】解：由题意，，，能表示是的反比例函数，共3个； 故选B． 知识点02 反比例函数图象的画法 （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 知识点03 反比例函数的图象和性质 图象特征 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴 性质 表达式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 【即学即练】1.（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（   ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 【答案】D 【知识点】判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数的图象经过点，进行解答．熟练掌握该性质是关键． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， 此函数的图象位于第二、四象限， 故选：D． 2.（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）若反比例函数的图象在每一个象限内随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】此题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．利用反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：∵在反比例函数的图象在每一个象限内随的增大而增大， ∴，即， 故选：A． 知识点04 反比例函数表达式的确定 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式 中. 【即学即练】已知：反比例函数的图象过点A（-3，-2）； （1）求反比例函数的解析式；（2）若点B（1，m）在该函数图象上，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）反点B（1，m）代入已求得的反比例函数的解析式中，即可求得m的值． 【解析】（1） 把A（-3，-2）代入得，，解得k =6，∴反比例函数的表达式为； （2）由（1）知，反比例函数的表达式为，把B（1，m）代入得∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，正确的理解题意是解题的关键． 知识点05 反比例函数的实际应用 1. 基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题. 2. 一般步骤如下： （1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示. （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 【即学即练】（24-25九年级上·安徽六安·期末）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（千帕）是气球的体积（立方米）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求该反比例函数的表达式；（不用写自变量的取值范围） (2)当气球内的气压为千帕时，求气球的体积． 【答案】(1) (2)立方米 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质，根据点在反比例函数图象上，求出反比例系数，再根据反比例函数的性质，进行解答，即可． （1）设，根据点在反比例函数图象上，代入，求出，即可； （2）根据题意，当，代入反比例函数解析式，求出，即可． 【详解】（1）解：设， 由函数图象可得，点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：由（1）得，反比例函数的表达式为：， 当时， ∴， 答：当气球内的气压为千帕时，气球的体积为立方米． 题型01 根据反比例函数的概念求字母参数的值 【例1】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的值是（    ） A．2 B． C．2或 D．无法确定 【答案】A 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围、根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的定义和性质，熟知反比例函数的相关知识是解题的关键．根据反比例函数的定义可得，根据反比例函数的性质可知，由此即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴且， 解得． 故选A． 【变式】若函数是反比例函数，则m的值是 ． 【答案】0或2/2或0 【知识点】根据反比例函数的定义求参数、因式分解法解一元二次方程 【分析】根据反比例函数的定义，即可求解． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， 解得：或2． 故答案为：0或2 【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，解一元二次方程，熟练掌握形如或的形式的函数关系，称为反比例函数是解题的关键． 题型02 确定反比例函数的表达式 【例2-1】根据图象上的点确定反比例函数表达式（24-25九年级上·安徽淮南·期末）若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答本题的关键． 先根据反比例函数的图象经过点求出的值，然后逐项判断即可解答． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 反比例函数的图象经过点， ， A、， 此点不在反比例函数的图象上，故A选项错误； B、， 此点不在反比例函数的图象上，故B选项错误； C、， 此点不在反比例函数的图象上，故C选项错误； D、， 此点在反比例函数的图象上，故D选项正确； 故选：D． 【例2-2】在实际问题中确定反比例函数表达式已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（米）的反比例函数，当近视眼镜的度数是400度时，镜片的焦距为米，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据题意特意求出的值是解题的关键．设，根据已知度的近视眼镜镜片的焦距是米，求出的值即可． 【详解】解：设， ∵400度的近视眼镜镜片的焦距是米， ∴， 解得：， ∴y与x之间的函数表达式是：， 故答案为：． 【变式2-1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先求出k值，然后计算横、纵坐标乘积判断解题即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∵；；；， ∴反比例函数的图象一定经过点． 故选：D． 【变式2-2】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知反比例函数图象经过点，则的值是 ． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点．根据反比例函数图象上点的坐标特征，将代入反比例函数的解析式，列出关于系数的方程，通过解方程即可求得的值． 【详解】解：把代入得，， 解得：， 故答案为：． 【变式2-3】（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知是关于的反比例函数，当时，．则这个函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． 【详解】解：设这个函数的表达式为， ∵时，， ∴， ∴这个函数的表达式为． 故答案为：． 题型03 反比例函数的图象 【例3-1】判断点是否在反比例函数图象上（23-24九年级上·安徽安庆·期中）下列各点中，在双曲线的图象上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，掌握所有在反比例函数图像上的点的纵横坐标的积，应等于比例系数是解答本题的关键． 将选项中点的纵横坐标相乘，结果是比例系数的，就在双曲线的图象上． 【详解】解：反比例函数中，比例系数， 将选项中点的纵横坐标相乘： A选项，符合题意； B选项，不符合题意； C选项，不符合题意； D选项，不符合题意， 故选A． 【例3-2】由反比例函数图象上的点确定k的值（24-25九年级上·安徽宿州·期末）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限． 先根据反比例函数的性质得出，再解不等式即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， 解得． 故选：A． 【例3-3】判断反比例函数图像所在象限（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）若反比例函数的图像经过，则它的图像位于（   ） A．第四象限 B．第一象限 C．第二、四象限 D．第一、三象限 【答案】C 【知识点】求反比例函数解析式、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了反比例函数的性质，求反比例函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把代入，解得，则 【详解】解：∵反比例函数的图像经过， ∴， 解得， ∵ ∴反比例函数经过第二、四象限， 故选：C． 【变式3-1】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，下列各点在双曲线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了反比例函数表达式和图象上点的坐标的关系，解题的关键是熟练掌握反比例函数表达式和图象上点的坐标的关系．根据反比例函数表达式和图象上点的坐标的关系求解即可． 【详解】解：A、将代入得：，∴在双曲线上，符合题意； B、将代入得：，∴不在双曲线上，不符合题意； C、将代入得：，∴不在双曲线上，不符合题意； D、将代入得：，∴不在双曲线上，不符合题意； 故选：A． 【变式3-2】（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）已知双曲线分布在第二、四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据双曲线的图象分布在第二、四象限得出，求解即可，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵双曲线的图象分布在第二、四象限， ∴， 解得：． 故选：D． 【变式3-3】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）若双曲线经过点，则此双曲线分别位于（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象所在的象限，将点代入关系式求出k，再根据k的值判断即可． 【详解】∵双曲线经过点， ∴． ∵， ∴双曲线分别位于第二、四象限． 故选：D． 题型04 反比例函数的性质应用 【例4-1】利用反比例函数图象的性质确定字母的取值范围（24-25九年级上·安徽亳州·期末）若反比例函数的图象，在每个象限内，随的增大而减小，则的取值可能为（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题主要考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象是双曲线且当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小是解题的关键． 根据反比例函数的性质可求k的取值范围，再确定的可能取值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而减小, ∴，即，即D选项符合题意． 故选：D． 【例4-2】比较函数值的大小（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了比较反比例函数值的大小，反比例函数的增减性，根据解析式可得反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，再由即可得到答案． 【详解】解；∵在中，， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上，且， ∴， 故选D． 【变式4-1】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如果在反比例函数图象的每一支上，随的增大而增大，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的解集、已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，求不等式的解集，判定反比例函数图象所在象限，掌握增减性是解题的关键． 根据图象的每一支上，随的增大而增大，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵在反比例函数图象的每一支上，随的增大而增大， ∴， 解得，， 故选：C ． 【变式4-2】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）对于反比例函数以及图象上两点和，下列说法错误的是（   ） A．它的图象分布在第一、三象限 B．它的两支图象关于原点对称 C．当时，则 D．y随x的增大而减小 【答案】D 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】此题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解题的关键． 当时，双曲线的两支分别位于第一，第三象限，在每一象限内随的增大而减小，根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A，反比例函数中，，图象在一，三象限，故本选项正确； B，反比例函数的图象双曲线关于原点对称，故本选项正确； C，反比例函数在每一象限内，随的增大而减小，当，则有：，故本选项正确； D，反比例函数的图象在一，三象限，在每一象限内，随的增大而减小，故本选项错误； 故选：D． 【变式4-3】已知点，，在下列某一函数图像上．且那么这个函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、比较一次函数值的大小、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质，利用函数的增减性逐一判断，即可求解；掌握一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质是解题的关键. 【详解】解：A.在上时，，故不符合题意； B.在上时，，故不符合题意； C.在上时，，故不符合题意； D.在上时，，故符合题意； 故选：D． 题型05 反比例函数中系数k的几何意义 1．反比例函数图象中有关图形的面积 2．涉及三角形的面积型 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． 1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|； 2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=； 3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=． 【例5-1】由图形面积确定反比例函数解析式已知双曲线上有一点，过点作轴于点为坐标原点，且，则此反比例函数的表达式为 ． 【答案】或 【分析】根据反比例函数的几何意义，由的面积得出的值，进而确定的值，得到反比例函数表达式． 本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是掌握过双曲线上一点与坐标轴围成的直角三角形面积与的关系． 【详解】， 或 此反比例函数的表达式为或． 【例5-2】由函数表达式确定图形面积（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，是等边三角形，过原点，底边轴交轴于点，双曲线过A、B两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是 ． 【答案】6 【知识点】坐标与图形、反比例函数与几何综合、由反比例函数图象的对称性求点的坐标、等边三角形的性质 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，等边三角形的性质，坐标与图形等知识，求出的值是解题关键．过点作与点，设，则，得到，，由等边三角形的性质，得到，进而得出、两点的坐标，得到，然后由求出的值，即可得到的值． 【详解】解：如图，过点作与点， 双曲线过A、B两点，且过原点， 设，则， ，， ，， 是等边三角形，， ， ， ， 轴， ， 轴， ， ， ， ， ， 故答案为：6 【例5-3 】由图形面积确定反比例函数k的值（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，的面积是5，顶点B的坐标为，反比例函数的图象经过点C，则k的值为 ． 【答案】4 【知识点】反比例函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了反比例函数与几何结合，先得，再结合的面积是5，故，解得，则，所以，即可作答． 【详解】解：设点， 则， ∵的面积是5， ∴， ∴， ∴， ∵点C在反比例函数图象上， ∴． 【变式5-1】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图是双曲线和双曲线的图象，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 根据已知条件求出矩形的面积，以及的面积与的面积，用矩形的面积减去两个三角形的面积就是四边形的面积． 【详解】解：设点的坐标为， 的解析式为， ， 则， 设点的坐标为， 的解析式为， ， 则， 设点的坐标为， 的解析式为， ， 则， ， 故选：C． 【变式5-2】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，其中、在轴上，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了反比例函数和平行四边形的综合题，根据题意得出点的纵坐标相同，表示出的值是解题的关键． 根据题意得出点的纵坐标相同，设点的纵坐标为，即可得到点的横坐标，进而得出的值，再利用平行四边形面积公式计算即可求解． 【详解】解：轴， 点的纵坐标相同， 设点的纵坐标为， ， 即点的横坐标为， 同理可得：点的横坐标为， ， ， 故选：B ． 【变式5-3】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，直线与轴平行且与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，连接，易得，再利用分割法以及值的几何意义进行求解即可． 【详解】解：连接，设直线与轴交于点， ∵直线与轴平行， ∴， ∵直线与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点， ∴， ∴； 故选B． 【变式5-4】（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点；的顶点在轴上，轴，点、分别在反比例函数和的图象上．若的面积为5，且，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，连接，设交x轴于点D，利用平行线间的距离相等，即可求得，利用反比例函数系数的几何意义得出，然后结合，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设交x轴于点D， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵的面积为5， ∴， ∵点、分别在反比例函数和的图象上， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 故答案为： 【变式5-5】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点为轴上一点，过正半轴一点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图象交于、两点，若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 连接，交x轴于点F，得出，结合图形确定，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，然后结合函数的图象所在的象限解方程得到满足条件的的值． 【详解】解：连接，交x轴于点F，如图所示： ∵直线轴， ∴ ∵， ， ， 而， ． 故答案为：． 【变式5-6】（24-25九年级上·安徽铜陵·期末）如图，若正方形的顶点和正方形的顶点都在函数的图象上，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程、反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】在正方形中四边都相等，由反比例的性质可知，即．若假设点E的纵坐标为m，则横坐标为，因为在反比例函数图象上任意一点的横坐标和纵坐标之积都等于比例系数，所以可列方程进行解答． 【详解】解：依据比例系数k的几何意义可得正方形的面积为4， 则其边长为2， 设点E的纵坐标为m，则横坐标为， 则， 解得 (不合题意，舍去)， 故． ∴， 故点E的坐标是． 故答案为． 【变式5-7】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，四边形和四边形都是正方形，且面积分别是和，点，，都在轴上，点在边上，第二象限的点是反比例函数图象上一点，反比例函数的图象同时经过点，． （1）的值为 ； （2）的值为 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数中的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据反比例函数中的几何意义可得，根据两个正方形的面积可得两个正方形的边长分别是和，设，，即可求， （2）根据正方形的性质和直角坐标系列方程求出，进而求出，即可求的值． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，且面积是， ∴， 两个正方形面积分别是和， 两个正方形的边长分别是和， 设，， 则， （2）， 解得：， ， ， 故答案为：，． 题型06 反比例函数的实际应用 【例6-1】反比例函数在行程问题中的应用（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且A市到B市汽车的行驶里程为480千米． (1)求v关于t的函数表达式（不要求写自变量t的取值范围）； (2)若汽车从上午从A市出发，如果汽车在当天到之间（包含端点时间）到达B市，求汽车行驶速度v的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． （1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解； （2）分别算出至时间长为小时，至时间长为6小时，再代入，且结合反比例函数的图象性质，得出汽车行驶速度v的范围为．即可作答． 【详解】（1）解：依题意，得， ∴． （2）解：依题意，（小时），（小时） ∴至时间长为小时，至时间长为6小时， 则将代入得；将代入得． ∴汽车行驶速度v的范围为． 【例6-2】反比例函数在工程中的应用（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）某工程队修建一条村村通公路，所需天数y（单位：天）与每天修建该公路长度x（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图．    (1)求y与x之间的函数表达式（不写出自变量的取值范围）． (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路40米要比每天修建30米提前多少天完成此项工程？ 【答案】(1) (2)15 【分析】（1）利用待定系数法求解即可得出与之间的函数表达式； （2）将及代入（1）中求得的解析式，求出值，作差后即可得出答案． 本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解此题的关键． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 经过点， ， ， 表达式为； （2）解：依题意，∵表达式为 ∴当时，， 当时，， （天）， 工程队提前15天完成此项工程． 【例6-3】反比例函数在跨学科中的应用（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，其函数图象如图所示． (1)当近视眼镜的度数是125度时，镜片焦距是多少米？ (2)小明原来佩戴200度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了米，求小明的眼镜度数增加了多少度． 【答案】(1)当近视眼镜的度数是125度时，镜片焦距是米 (2)小明的眼镜度数增加了50度 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查反比例函数的实际运用，求得反比例函数解析式并将矫正治疗后所配镜片焦距调整为代入反比例函数求出矫正后的度数是解题的关键． （1）先设近视眼镜的度数y度与镜片焦距x解析式为：，由函数图象可得，当时，，代入即可求解； （2）将代入即可求得焦距为米时近视眼镜的度数，再与200度作比较即可求解． 【详解】（1）解：设近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的反比例函数表达式为． 由图象可知，当时，， ∴，解得， ∴反比例函数表达式为． 当时，． 答：当近视眼镜的度数是125度时，镜片焦距是米． （2）解：当时，， （度）． 答：小明的眼镜度数增加了50度． 【变式6-1】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过120千米/时．若从A市到B市汽车的行驶里程为480千米． (1)求关于的函数表达式； (2)若汽车从上午从市出发，如果汽车在当天到之间到达市，求汽车行驶速度的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是反比例函数在行程问题中的应用，根据时间速度和路程的关系可以求解． （1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解； （2）至时间长为小时，至时间长为6小时，将它们分别代入关于的函数表达式，即可得汽车行驶的速度范围． 【详解】（1）解：，且全程速度限定为不超过120千米/小时， ∴v关于的函数表达式为； （2）解：至时间长为小时，至时间长为6小时， 将代入得； 将代入得． ∴汽车行驶速度的范围为． 【变式6-2】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）某农场组织一批同一型号的收割机抢收秋粮，所需天数（天）是每天完成的收割量（亩）的反比例函数，其函数图象如图所示，且经过点． (1)求与之间的函数表达式，并写出的取值范围； (2)已知该型号收割机每台每天能够收割秋粮15亩，若该农场计划用10天的时间完成收割任务，则需要几台这种型号的收割机？ 【答案】(1) (2) 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查反比例函数解决实际问题，读懂题意，由待定系数法确定函数解析式是解决问题的关键． （1）由待定系数法求解即可得到答案，根据实际意义，数形结合即可确定的取值范围； （2）根据题意，当时，，再由该型号收割机每台每天能够收割秋粮15亩，列式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，所需天数（天）是每天完成的收割量（亩）的反比例函数， 设与之间的函数表达式为， 将代入表达式可得， 即与之间的函数表达式为； （2）解：由题意可知，当时，， 该型号收割机每台每天能够收割秋粮15亩， （台） 答：需要台这种型号的收割机． 【变式6-3】知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）． (2)当电阻R为时，求此时的电流I． 【答案】(1) (2) 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用： （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出当时I的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个反比例函数的解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴这个反比例函数的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴此时的电流I为． 题型07 反比例函数与一次函数综合 【例7-1】多图象问题（2024·安徽宿州·三模）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、二次函数图象与各项系数符号、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题主要考查了一次函数的图象、反比例函数的图象、二次函数的图象等知识点，根据函数图象确定相关参数的正负是解题的关键．根据一次函数与反比例函数图象确定的正负，再结合二次函数图象的对称轴即可解答． 【详解】解：由图可知二次函数开口向上、对称轴在轴右侧、与轴的交点在负半轴， 则，，， ∴， ∴一次函数的图象过第一、二、三象限，反比例函数图象在第一、三象限， ∴选项的图象符合题意， 故选：． 【例7-2】反比例函数的图象与一次函数的图象交点问题（24-25九年级上·安徽安庆·期中）直线与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点B，若，则b的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 先求出点，设，根据，则，求得，再分类讨论，当时，，把代入得 把代入得，得到，求解得；当时，，把代入得因为点B在第二象限内，故不符合题意，舍去．即可求解． 【详解】解：对于 ，令，则， 解得： ∴ ∴ 设， ∵直线与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点B， ∴点B在第二象限， ∴ ∵ ∴ 解得， 当时，， ∴把代入得 把代入得 ∴ 解得或（舍去）， 当时， 把代入得（不符合题意，舍去） ∴， 故选：B． 【例7-3】综合应用反比例函数与一次函数解决实际问题（24-25九年级上·安徽安庆·期中）某学校教室饮水机4分钟就可以将的饮用水加热到．此后停止加热，水温开始下降．如图所示，已知整个下降过程中水温与通电时间成反比例关系． (1)求y与x的函数解析式； (2)学生饮用水时必须在水从加热到，然后降温到方可使用．求从饮水机加热开始，到可以饮用需要等待多长时间？ 【答案】(1) (2)从饮水机加热开始，到可以使用需要等待 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的应用，理解题意，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．注意数形结合思想的应用． （1）分两种情况：①当时，②当时，利用待定系数法即可求出与的函数解析式； （2）令（1）中求得的函数解析式，求出的值即为需要等待的时间． 【详解】（1）解：①当时 根据图象设， 其图象过点，则   解得： ∴， ②当时 ∵整个下降过程中y与通电时间x成反比例关系， ∴可设整个下降过程中水温， 其图象过点， ∴，解得， ∴； 综上，y与x的函数解析式为：． （2）解：依题意，令，得，解得， 答：从饮水机加热开始，到可以使用需要等待10min． 【变式7-1】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）二次函数（是常数）的图象如图，则双曲线和直线的位置可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、一次函数、二次函数图象综合判断、判断（画）反比例函数图象 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象与性质，由二次函数的图象可得，，，据此判断一次函数和反比例函数的图象即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，与轴交点在负半轴，对称轴在轴左边， ∴，，， ∴， ∴直线过一、二、四象限， 当时， ∴双曲线过二、四象限， ∴双曲线和直线的位置都符合条件的只有D选项， 故选：D． 【变式7-2】（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）已知关于的反比例函数的图象位于第一、三象限，则关于的二次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查反比例函数图象与性质、二次函数图象与性质，先由反比例函数图象与性质得到，再由二次函数图象与性质从四个方面得到草图即可确定答案，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：关于的反比例函数的图象位于第一、三象限， ，解得， 关于的二次函数为， 由知，它的图象开口向上； 由对称轴知，它的对称轴在负半轴上； 由知，它与轴交于正半轴上； 由知，它与轴有两个不相同的交点； 由上面的结论，作出草图，如图所示： 即关于的二次函数的图象不经过第四象限， 故选：D． 【变式7-3】（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，反比例函数与一次函数的图象交于，两点，一次函数的图象经过点．点为轴上一动点，当的周长最小时，点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、根据成轴对称图形的特征进行求解、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，解方程组即可确定的坐标，进而求得的值，解求得点的坐标，根据轴对称的性质求得直线的解析式，从而求得点的坐标，求得交点坐标是解题的关键． 【详解】解：由解得， ， 反比例函数经过点， ， 反比例函数的解析式为， 解， 得， 经检验是原方程的解， 当时，， ， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于，此时的周长最小， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 点的坐标为， 故答案为：． 【变式7-4】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知是直线上两点，分别过点和点作轴，和分别交双曲线于点和点，连接． （1）直线和双曲线的交点坐标为 ； （2）若，则的值为 ． 【答案】 8 【知识点】反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的综合问题，几何与反比例函数综合问题，运用数形结合思想解题是解题的关键． （1）令解得，舍去负值并计算出y值即可得解； （2）延长和分别交轴于点和点，设， ．同理设，则．利用得出，运用勾股定理求出，，从而代入中整体代换消去字母得解． 【详解】解：（1）根据题意，得， 解得或(舍去)， 则， 直线和双曲线的交点坐标为． （2）如图，延长和分别交轴于点和点． 则，，即和都是等腰直角三角形． 设，则， ． 同理设，则， ． 又， ，两边同时平方，得， 即． 在中，， 同理， ， 故答案为：（1）；（2）8． 【变式7-5】某种原料需要达到及以上才能加工制作零件，如图表示原料的温度与时间之间的关系，其中线段表示原料加热阶段；线段轴，表示原料的恒温阶段；曲线是双曲线的一部分，表示原料的降温阶段．根据图象回答下列问题：    (1)填空：的值为_______； (2)求线段对应的函数解析式； (3)在图中所示的温度变化过程中，求可进行零件加工的时间长度． 【答案】(1)21 (2) (3) 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】本题为实际应用背景的函数综合题，考查求得一次函数、反比例函数解析式．解答时应注意临界点的应用． （1）由线段轴，且点的纵坐标为100，代入，即可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）将分别代入和，即可求解． 【详解】（1）解：∵线段轴，且点的纵坐标为100， ∴， 解得， 故答案为：21； （2）解：设线段的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴线段的解析式为； （3）解：在中，当时，， 解得， 在中，当时，， 解得， ∴， ∴在图中所示的温度变化过程中，可进行零件加工的时间长度为． 【变式7-6】（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出时的取值范围； (3)过线段AB上的动点，作轴的垂线，垂足为点M，其交函数的图象于点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题是反比例函数的综合题，主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）把代入得到，求得，得到反比例函数的表达式为； （2）求出点的坐标，根据函数的图形即可得到结论； （3）设，得到，根据题意列方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点， ， ， ， ∴反比例函数的表达式为， （2）解：联立， 解得：或， ， 观察图象得，时，的取值范围为或， 即时，的取值范围为或； （3）解：设， ∵轴， ∴， ， ， 解得：， ． 题型08 反比例函数中的面积问题 【例8-1】（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接、，求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查一次函数以反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形面积的计算方法是解题的关键． （1）用待定系数法求解析式即可求解； （2）如图所示，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，根据几何图形面积的计算方法，图形结合即可求解． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， 代入得：， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在的图象上， ∴， ， 将，代入中， 得：，解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：把代入得：， ∴， 如图所示，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E， ∴． 【变式8-2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，一次函数与函数为的图象交于，两点． (1)求这两个函数的解析式； (2)点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交函数的图象于点，若面积为2，求点的坐标； (3)根据图象，直接写出满足时的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、已知比例系数求特殊图形的面积、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据值的几何意义，得到，进而求出，设出点坐标，列出方程进行求解即可； （3）找到直线在双曲线上方时的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∴，， ∴，解得：， ∴； （2）设点， ∵点在双曲线上，轴， ∴， ∴， ∴，解得：或， ∴或； （3）由图象可知：当时，直线在双曲线的上方， ∴的取值范围为：． 【变式8-1】（24-25九年级下·安徽合肥·开学考试）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，已知． (1)求该反比例函数的表达式和点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形面积的计算方法是解题的关键． （1）把点代入反比例函数解析式，运用待定系数法即可求解反比例函数解析式，将一次函数，反比例函数联立方程组求解得到点B的坐标； （2）根据一次函数与坐标轴的交点得到，由的面积的面积的面积即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过， ， 反比例函数的表达式为， 由， 解得或， ； （2）解：∵当时，， ∴一次函数交轴于点，又，， ∴的面积的面积的面积． 【变式8-2】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与坐标轴交于点A、B，与双曲线交于C、D两点，并且． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，根据图象直接写出此条件下x的取值范围； (3)在x轴上取一点，当的面积为12时，求m的值． 【答案】(1) (2)或 (3)1或 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别求出点的坐标，再结合，得出点D的坐标为，再把点D的坐标代入，进行计算，即可作答． （2）因为直线与坐标轴交于点A、B，与双曲线交于C、D两点，则，解得，运用数形结合思想，即可作答； （3）依题意，得出，结合的面积为12，列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：在直线中，当时，， ∴点A的坐标为， 当时，， 解得：， ∴点B的坐标为， ∵，且A、B、C、D四点共线， ∴点A是线段的中点， ∴点D的坐标为， 将点D的坐标代入反比例函数解析式得：， ∴反比例函数解析式为y； （2）解：∵直线与坐标轴交于点A、B，与双曲线交于C、D两点， ∴ 得或， ∴， 观察图象可得：当时，x的取值范围为或． （3）解：依题意， ∵ ∴， ∴， 解得或． 【变式8-3】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出满足时x的取值范围． (3)连接并延长交的另一支于点C，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)8 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查数形结合思想的运用． （1）由反比例函数的性质可得，求解即可求出函数的解析式； （2）根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案； （3）过C点作轴，交直线于D，求出D的坐标，即可求得，然后根据 即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意得，解得， ， 即反比例函数的解析式为； （2）解：∵， ∴， 由图象和两函数交点坐标，可知， 不等式的解集为：或； （3）解：如图，过点C作x轴的平行线交直线于点D， 由反比例函数图象的中心对称性质可知， ∵，在一次函数的图象上， ，解得， ∴直线解析式为：， 当时，， ∴， 【变式8-4】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数与函数为的图象交于，两点，点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交函数的图象于点． (1)求这两个函数的解析式； (2)当时，的取值范围是_____； (3)若点的横坐标为2，求的面积． 【答案】(1)，， (2) (3)3 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键． （1）由A坐标求出反比例函数解析式，由反比例函数解析式求出点B坐标，待定系数法求出直线解析式即可； （2）根据函数图象，可直接写出时自变量x的取值范围； （3）求出点P和点Q的纵坐标，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：在函数为的图象上， ， ，当时，， ， 一次函数过， ， 解得， 一次函数解析式为：． （2）解：根据函数图象，当时，的取值范围为：． 故答案为： （3）解：当时，，， ∴点， ． 一、选择题 1．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）当时，函数值y随x的增大而增大的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断一次函数的增减性、y=ax²+k的图象和性质、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的增减性．一次函数当时，函数值总是随自变量增大而增大，反比例函数当时，在每一个象限内，随自变量增大而增大，二次函数根据对称轴及开口方向判断增减性． 【详解】解：A、为反比例函数， ∵， ∴时，函数值随自变量增大而增大， ∴时，函数值随自变量增大而增大，故本选项符合题意； B、为二次函数，对称轴为，开口向上，故当时，函数值随自变量增大而减小，故本选项不符合题意； C、为一次函数，且时，函数值总是随自变量增大而减小，故本选项不符合题意； D、一次函数，且时，函数值总是随自变量增大而减小，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）函数的图像（   ） A．过原点的一条直线 B．位于一、三象限的两支曲线 C．位于二、四象限的两支曲线 D．过点和点的一条直线 【答案】C 【知识点】判断（画）反比例函数图象、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据函数关系式，可确定该函数图像是双曲线可判断A、D选项，再根据的正负确定双曲线所在象限可判断B、C选项． 【详解】解：A、是反比例函数，反比例函数图像不过原点且为双曲线，故该选项错误； B、因为，所以图像是位于二、四象限的双曲线，故该选项错误； C、因为，所以图像是位于二、四象限的双曲线，故该选项正确； D、的图像是双曲线，不是直线，故该选项错误； 故选：C． 3．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）函数的图象经过抛物线的顶点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式、求反比例函数解析式 【分析】本题考查二次函数的性质，求反比例函数的解析式．解题的关键是掌握的顶点坐标为：． 先求抛物线的顶点坐标，顶点的横纵坐标之积即为值． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∴． 故选D． 4．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，已知抛物线，（，均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则满足不等式的解为（   ） A．或 B．或或 C．或 D．或或 【答案】D 【知识点】根据交点确定不等式的解集、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质．根据题意并结合图象可直接写出不等式的解集． 【详解】解：根据图象并结合已知条件可知不等式的解集为：或或． 故选：D． 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为菱形，一边在y轴上，点B坐标为，C点在反比例函数上，连接，则的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义、菱形的性质、勾股定理，理解反比例函数比例系数k的几何意义是解答的关键．先根据菱形的性质得到，轴，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到，进而，由勾股定理得，则，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，一边在y轴上， ∴， 又∵轴 ∴轴， ∵点C在反比例函数图象上， ∴， ∵即， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴． 故选：B． 6．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）在下列函数图像上任取不同的两点和，一定能使成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断一次函数的增减性、y=ax²+bx+c的图象与性质、判断反比例函数的增减性 【分析】本题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的性质等知识点，熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质是解题的关键． 先判断各函数的增减性，然后进行判断即可． 【详解】解： A、，∴y随x的增大而增大，即当时，必有，，故A选项不符合题意； B、，∴y随x的增大而增大，即当时，必有，，故B选项不符合题意； C、，∴当时，y随x的增大而增大，即当时，必有，，故C选项不符合题意； D、∵，∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，∴时，必有，，故D选项符合题意． 故选：D． 7．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与双曲线交于点，作轴于点．平移直线使其经过点，得到直线，与双曲线交于点，作轴于点．作轴，交直线于点，反比例函数的图象是一条经过点的双曲线．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、已知两点坐标求两点距离、求反比例函数解析式、求一次函数解析式 【分析】设，得，，确定直线的解析式为，联立，得，，设，得，继而得到，，可判断A；根据，，点、在双曲线上，推出，，可判断B；根据两点间距离求出，，可判断C；求出，，可判断D． 【详解】解：设， ∵直线与双曲线交于点， ∴， ∵轴， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， ∴，即， 解得：或（负值不符合题意，舍去） ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵轴，交直线于点，设， ∴， ∵点在直线：和反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， A．∵，， ∴，该选项结论正确，故此选项不符合题意； B．∵，， 又∵，， ∵点、在双曲线上， ∴， ∴， ∴，该选项结论正确，故此选项不符合题意； C．∵，，， ∴， ， ∴，该选项结论错误，故此选项符合题意； D．∵，，， ∴，， ∴，该选项结论正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法确定函数解析式，平移的性质，函数图象上点的坐标特征，坐标与图形，两点间距离，等积变换等知识点．利用联立方程组求函数图象的交点坐标是解题的关键． 二、填空题 8．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握数形结合思想成为解题的关键． 观察函数图象得到当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方或重合，即的解集． 【详解】解：∵直线与双曲线交于点和点， ∴， ∴， ∴由函数图象可得，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方或重合， ∴不等式的解集为或． 故答案为：或． 9．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，在平面直角坐标系中菱形的顶点A、B在反比例函数的图象上，点A、B横坐标分别为1、4，对角线轴．若菱形的面积为10，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征和菱形的性质． 连接交于，如图，利用菱形的性质得，设，则，根据菱形的面积公式得到，然后解关于的方程即可． 【详解】解：如图，连接交于， ∵四边形为菱形， ∴， ∵轴， 设， ， ∵菱形的面积为 10 ， ∴， 即，解得：． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，矩形的一边在轴上，点是对角线与的交点，双曲线恰好经过点、，且交于点，连接． （1）若点的坐标为，， ； （2）若的面积为2时． ． 【答案】 2 6 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，反比例函数的比例系数k的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图像与性质，矩形的性质． （1）由的坐标为，可得，得出，可得，将代入，得，即反比例函数关系式为，再由矩形的性质得出轴，，将代入，得，可得，，从而求出结果； （2）设，可得，，，再由的面积为2，可得的面积为4，再由三角形面积公式可得，最后求解即可． 【详解】解：（1）的坐标为， ， ， ， 将代入，得， 反比例函数关系式为， 四边形矩形， 轴，， 将代入，得， ，， ， 故答案为：2； （2）设， 四边形矩形， ， 点D的纵坐标为， 将代入，得， ， ， 轴， 点F的横坐标与点C的横坐标相同，即， 将代入，得， ， 的面积为2， 的面积为4， ， ， 解得：， 故答案为：6 11．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，直线与双曲线交于点A，点是直线上一点，且． （1） ； （2）过点B作轴于点C，作交双曲线于点D，过点D作于点E，则 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查平行线分线段成比例，求反比例函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，先根据平行线分线段成比例，求出点A的坐标即可得到，然后判断是等腰直角三角形，设，根据勾股定理和因式分解解题即可． 【详解】解：过点A作轴于点F， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵，， ∴， 设，则， 即点D的坐标为， ∴， ∴， 故答案为：，． 三、解答题 12．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，直线与坐标轴交于，两点，点在直线上，点与点关于轴对称．    (1)若点在反比例函数的图像上，求的值． (2)若线段被反比例函数的图像分成两部分，且这两部分长度的比为，求的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题是反比例函数与一次函数综合，掌握一次函数与反比例函数的性质，分类讨论是解题的关键． （1）利用点在函数图像上的特点求出，根据点与点关于轴对称得到点N的坐标，代入反比例函数即可解答； （2）利用点的对称点的坐标特点求出点的坐标，线段被反比例函数的图像分成两部分，并且这两部分长度的比为，设反比例函数的图像与线段交点为，分两种情况或计算即可． 【详解】（1）解：在直线的图象上， ， ， 点与点关于轴对称, ， 点在反比例函数的图像上， ， ； （2）， ， 线段被反比例函数的图像分成两部分，并且这两部分长度的比为， 设反比例函数的图像与线段交点为， ①当时，即：，   ， ， ， ②当时，即：，   ， ， ． 故的值为或． 13．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于点和点，交轴于点． (1)求反比例函数的解析式及点B的坐标； (2)请结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)反比例函数的解析式为， (2)或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，从函数的图象获取信息等知识点，运用数形结合思想并从函数的图象获取正确信息是解题的关键． （1）将点代入，即可求出的值，进而可得反比例函数的解析式，将点代入反比例函数的解析式，可得，进而可得，于是可得点坐标； （2）观察图象即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； 将点代入反比例函数的解析式，可得： ， ， ； （2）解：观察图象可知，不等式的解集为：或． 14．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）手工制品在当今市场上越来越受欢迎．某大学生团队对成本为20元/个的某手工制品进行40天试营销，其销量（个）与销售的时间（天）满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间（天） 1 2 3 4 ．．． 销量（个） 49 48 47 46 团队制定的销售单价（元）与销售的时间（天）关系如下：当时，，当时，． (1)直接写出关于的函数关系式； (2)求该团队第天获得的利润关于的函数关系式； (3)这40天中该团队第几天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2) (3)这40天中第21天获得的利润最大，最大利润是725元 【知识点】求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、销售问题(实际问题与二次函数)、求反比例函数解析式 【分析】（1）根据表格数据，由待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）由团队制定的销售单价（元）与销售的时间（天）关系计算出单个手工制品的利润，再由总利润单个商品利润销量即可得到利润关于的函数关系式； （3）由（2）中所得的利润关于的函数关系式，分段讨论，由二次函数图象与性质、反比例函数图象与性质求出最值即可得到答案． 【详解】（1）解：设关于的函数关系式为， 将和代入得 ， 解得， 关于的函数关系式为； （2）解：当时，； 当时， ； 关于的函数关系式为； （3）解：当时， ， ， ∴当时，有最大值，且； 当时， ∵， 随着的增大而减小， 当时，有最大值，且； ， 这40天中第21天获得的利润最大，最大利润是725元． 【点睛】本题考查函数解应用题，涉及一次函数的应用、二次函数的应用及反比例函数的应用、待定系数法求一次函数关系式、求分段函数关系式、二次函数图象与性质求最值、反比例函数图象与性质求最值等知识，熟练掌握函数相关知识是解决问题的关键． 15．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点和点． (1)填空：______，______； (2)求一次函数的解析式和的面积； (3)根据图象回答：当x为何值时，（请直接写出答案）______． 【答案】(1) (2)4 (3)或 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，明确函数图象上的点满足函数关系式是本题关键． （1）将点坐标，点坐标代入解析式可求的值； （2）用待定系数法可求一次函数解析式，根据可求的面积． （ 3 ）由图象直接可得． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ， ， 故答案为：． （2）解：一次函数解析式，且过， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为， ∵一次函数图象与轴交点为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵，即， ∴一次函数图象在反比例函数图象下方， 或， 故答案为：或． 16．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，反比例函数（）的图象经过A，B两点，连接，，过点B作轴，垂足为点D，交于点E，若E为的中点，且点E坐标为． (1)求k的值； (2)连接，求直线的函数表达式； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)直线OB的函数表达式为 (3)的面积为18 【知识点】反比例函数与几何综合、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的综合，求一次函数和反比例函数解析式，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合熟练掌握待定系数法． （1）根据中点坐标求出点A的坐标，再代入反比例函数解析式求出k的值即可； （2）根据点B在反比例函数的图象上，先求出，再由待定系数法求解函数解析式； （3）过点A作于点N，轴于点，由于轴，则四边形是矩形，求出的面积，根据三角形中线等分面积即可求解． 【详解】（1）解：∵点为，是的中点， ∴点为， ∴ ∴反比例函数解析式为：， （2）解：设点B坐标为 ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴ 设直线的函数表达式为， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为； （3）解：过点A作于点N，轴于点，由于轴，则四边形是矩形， ∵点为，点为， ∴， ∵，点 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，直线，都与反比例函数的图象交于点，这两条直线分别与轴交于，两点． (1)求的值． (2)在第一象限内，根据图象直接写出不等式的解集 (3)若点在反比例函数的图象上，的面积为14，求此时点的坐标． 【答案】(1)6； (2)； (3)． 【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】（1）将点代入直线，确定点坐标，然后利用待定系数法求的值即可； （2）结合图像，即可获得答案； （3）首先确定点的坐标，求出，根据求出，进而可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：将点代入直线， 可得， ∴， 将点代入双曲线， ∵可得，解得； （2）解：∵直线与双曲线交于点， 结合图像可知，不等式的解集为； （3）解：对于直线， 令，可有，解得， ∴， 将点代入直线， 可得，解得， ∴该直线解析式为， 令，可得，解得， ∴， ∴． ∵的面积为14，， ∴，解得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、数形结合确定解析式构成不等式的解集、三角形面积之比等知识，熟练掌握一次函数与反比例函数的交点问题是解题的关键． 18．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）如图，反比例函数和一次函数的图象交于和两点． (1)求k，n的值： (2)求出关于x的不等式的解集： (3)在x轴上找出一点M使最小，并求点M坐标；在x轴上画出点N，使最大，并求点N坐标． 【答案】(1)； (2)或． (3)； 【知识点】求反比例函数解析式、画轴对称图形、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求函数解析式，熟练掌握数形结合、“将军饮马”的数学思想是解题的关键． （1）将点代入反比例函数中，可得到k值，再将点代入反比例函数中，可得到n的值； （2）利用交点坐标以及函数图象得出反比例函数在一次函数上方的x的取值范围，即函数的自变量x的取值范围； （3）连接，交x轴于点M，由于三点共线，此时最小，求出直线的表达式，令即可得到点M坐标；过点做关于x轴对称点，连接交x轴于点N，此时，则有最大值，求得直线的表达式，令即可得到点N坐标． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上，代入得：， ∴， ∴反比例函数的表达式为： 又∵点也在反比例函数上，代入得：， ∴． （2）解：由（1）得：反比例函数与一次函数的图象交于和， 由图象可得：的解集为：反比例函数在一次函数上方部分的x的取值范围， ∴或． （3）解：连接，交x轴于点M，如图： ∵两点在x轴的两侧， ∴当三点共线时，最小， ∴点M为直线与x轴的交点， 设直线的表达式为：， ∵，， ∴ 解得： ∴直线的表达式为：， ∴当时， ∴； 过点做关于x轴对称点，连接交x轴于点N，如图： ∴此时，则有最大值， ∵，且，关于x轴对称， ∴ ∵， 设直线的表达式为：， ∴ 解得： ∴直线的表达式为：， ∴当时， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$