3.3 立方根导学案2025-2026学年浙教版数学七年级上册

3.3 立方根导学案 一、学习目标 1. 理解立方根的概念，能准确表述一个数的立方根。 1. 掌握立方根的性质，会用根号表示一个数的立方根。 1. 能熟练求出一个数的立方根，区分立方根与平方根的异同。 二、学习重难点 （一）学习重点 1. 立方根的概念及表示方法。 1. 立方根的性质及求法。 （二）学习难点 1. 理解立方根的唯一性（任何实数都有且只有一个立方根）。 1. 区分立方根与平方根的性质差异，避免混淆。 三、知识点自主预习填空 1. 如果一个数x的立方等于a，即x^3 = a，那么这个数x叫做a的______（也叫做三次方根）。 1. 数a的立方根用符号______表示，读作 “______”，其中______ 叫做，3叫做______。 1. 正数的立方根是______数，负数的立方根是______数，0的立方根是______。 1. 求一个数的立方根的运算，叫做______，它与______互为逆运算。 1. ______ 。 四、知识点讲解 （一）立方根 1. 概念：如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x叫做a的立方根（也叫做三次方根）。例如，因为，所以2是8的立方根；因为，所以-3是-27的立方根；因为，所以0是0的立方根。 1. 表示方法：数a的立方根用符号 表示，读作 “三次根号a”，其中a叫做被开方数，3叫做根指数。根指数3不能省略，这是与平方根的重要区别（平方根的根指数2通常省略）。例如，64的立方根记作。 1. 性质 0. 正数的立方根是正数。例如，8是正数，它的立方根2也是正数。 0. 负数的立方根是负数。例如，-8是负数，它的立方根-2也是负数。 0. 0的立方根是0。 0. 唯一性：任何实数都有且只有一个立方根，这与平方根不同（正数有两个平方根，负数没有平方根）。 0. 立方与开立方互为逆运算：。 1. 常考易错点 0. 混淆立方根与平方根的表示方法，漏写立方根的根指数3，如将。 0. 错误地认为负数没有立方根，实际上负数有且只有一个负的立方根。 0. 计算立方根时符号出错，例如错误地认正确结果是-2。 0. 对这一性质理解不深，在化简时出现错误，于 经典例题 1 0. 求下列各数的立方根： 10. 125 10. 10. 0.008 解析： 0. 因为。 0. 因为，所方根是。 0. 因。 变式题 1 0. 求下列各数的立方根： 14. -216 14. 14. 0 答案： 0. -6（因） 0. 0. 0（ 五、效果检测 1. 任何数都有立方根，且只有一个立方根。（ ） 1. 。（ ） 1. 正数有两个立方根，它们互为相反数。（ ） 1. 0的立方根是0，0的平方根也是0。（ ） 1. 因的立方根是2。（ ） 六、归纳总结 1. 立方根的概念：是a的立方根数3不能省略。 1. 立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；任何实数都有且只有一 1. 开立方与立方互为逆运算，可利用此关系求一个数的立方根，注意与平方根的区别（平方根有正负，负数无平方根；立方根唯一，负数有负的立方根）。 7、 课后作业 1．下列说法不正确的是（    ） A．1的立方根是1 B．的立方根是 C．的立方根是 D．125的立方根是 2．在（相邻两个1之间2的个数逐次加1）这些数中，无理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若，则（   ） A．0.6 B．0.06 C．0.006 D．0.0006 4．下列结论错误的是（   ） A．有立方根 B． C． D．是1的平方根 5．以下说法正确的是（   ） A．0没有平方根 B．算术平方根是本身的数只有1 C．任何数都有立方根 D．正数才有平方根 6．，则的值为（    　） A． B． C． D． 7．立方根是的数是（   ） A． B． C． D． 二、判断题 8．判断题． (1)是的立方根； (2)是27的立方根； (3)的立方根是； (4)的立方根是． 三、填空题 9．化简的结果是 ． 10． ． 11．已知，则的值为 ． 12．方程的解是 ． 13．将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，则这个大正方体铝块的棱长为 （不计损耗）． 四、解答题 14．求式子中的值：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 八、答案 （一）自主预习填空答案 1. 立方根 1. 根号a；被开方数；根指数 1. 正；负；0 1. 开立方；立方运算 1. -2；0.5 （二）效果检测答案及解析 1. √。根据立方根的性质，任何实数（正数、负数、0）都有且只有一个立方根，该说法正确。 1. √。这是立方根的重要性质，例法正确。 1. ×。正数有且只有一个立方根，且为正数，该说法错误（混淆了立方根与平方根的性质）。 1. √。0^3 = 0，所以0的立方根是0的平方根是0，该说法正确。 1. ×以-8的立方根是-2，不是2，该说法错误。 （三）课后作业答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D C A B C B B 1．D 【分析】本题考查立方根的概念及求一个数的立方根，需根据各选项逐一判断正误． 【详解】解：A. 1的立方根是1，故正确； B. 的立方根是；故正确； C. 的立方根是；故正确； D. 125的立方根是；故错误； 故选：D． 2．C 【分析】本题考查了无理数的定义及立方根，掌握无理数的定义是解答本题的关键． 根据无理数的定义，即无限不循环小数，，，（相邻两个1之间2的个数逐次加1）是无理数，由此选出答案． 【详解】解：由题意， 在（相邻两个1之间2的个数逐次加1）这些数中，，，（相邻两个1之间2的个数逐次加1）是无理数，是有理数， 因此无理数有3个， 故选C． 3．A 【分析】本题考查立方根，理解一个数缩小1000倍，则它的立方根缩小10倍是得出正确答案的关键． 根据立方根的定义，一个数缩小1000倍，则它的立方根就缩小10倍，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选A 4．B 【分析】此题考查了平方根，立方根，熟练掌握平方根及立方根的定义是解本题的关键． 利用平方根及立方根的定义解答即可． 【详解】解：A、有立方根，原结论正确，故此选项不符合题意； B、， 原结论错误，故此选项符合题意； C、，原结论正确，故此选项不符合题意； D、是1的平方根，原结论正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 5．C 【分析】本题主要考查了立方根，平方根和算术平方根的概念，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可． 【详解】解：A、0有平方根，原说法错误，不符合题意； B、算术平方根是本身的数只有1和0，原说法错误，不符合题意； C、任何数都有立方根，原说法正确，符合题意； D、正数和0才有平方根，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义解答即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 7．B 【分析】本题考查了立方根，掌握立方根的定义是解题关键． 【详解】解：， 的立方根是， 故选：B． 8．(1)√ (2)× (3)√ (4)× 【分析】本题考查了立方根，根据立方根定义判断即可． 【详解】（1）解：，故是的立方根，正确． （2）解：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0， ，而，故±3不是27的立方根，错误． （3），∴的立方根为，正确． （4），但的立方根是，错误． 9． 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据立方根的定义计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10．2 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 分别计算绝对值和立方根，再进行加法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 11．或或 【分析】本题考查了立方根的计算，掌握立方根的性质是关键． 根据正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，列式求解即可． 【详解】解：，即一个数的立方根等于它本身， ∴当时， 解得，； 当时， 解得，； 当时， 解得，； 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或 ． 12． 【分析】本题考查了立方根的性质，利用立方根的性质解方程是解题的关键．根据立方根的性质解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， 方程的解是． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查立方根的应用，根据题意，得到大正方体的体积等于两个小正方体的体积之和，求出大正方体的体积，再求出棱长即可． 【详解】解：由题意，得：大正方体铝块的棱长为； 故答案为： 14． 【分析】根据立方根的定义求解即可． 本题主要考查立方根，解题的关键是掌握立方根的定义． 【详解】解：两边同时除以，得， 等式两边同时开立方，得， 移项、合并同类项，得， 等式两边同时除以，得． $$