3.2从有理数到实数导学案2025-2026学年浙教版数学七年级上册

3.2 从有理数到实数导学案 一、学习目标 1. 理解无理数和实数的概念，能准确识别无理数与实数。 1. 掌握实数的分类方法，了解不同类型实数的特点。 1. 学会比较实数的大小，理解实数的倒数、相反数和绝对值的意义，并能进行相关计算。 1. 认识到实数与数轴上的点一一对应关系。 二、学习重难点 （一）学习重点 1. 无理数和实数的概念。 1. 实数的分类及大小比较方法。 1. 实数的倒数、相反数和绝对值的性质及运算。 （二）学习难点 1. 无理数概念的理解，区分有理数与无理数。 1. 利用数轴理解实数的性质及大小比较。 三、知识点自主预习填空 1. 有理数包括______和______，其中整数又分为______、和，分数可化为______或______小数。 1. 无限不循环小数叫做______。 1. ______和______统称为实数。 1. 实数按性质分类，可分为______、______和______；按定义分类，可分为______和______。 1. 实数 a 的相反数是______；一个正实数的绝对值是______，一个负实数的绝对值是______，0 的绝对值是______；非零实数 a 的倒数是______。 四、知识点讲解 知识点01：实数 （1）有理数的定义：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 （2）无理数的定义：无限不循环小数叫无理数。 （3）实数的定义：有理数和无理数统称为实数。 1. 实数的分类 （4）实数与数轴上点的关系： 实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。 2. 无理数的概念 无限不循环小数称为无理数。 人们已经证明是一个无限不循环小数，它的值为1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7… ，，，，，等都是无理数。 【典型例题1】 1．下列说法中，正确的是（　　） A．无限小数都是无理数 B．无理数都是带有根号的数 C．、都是分数 D．实数分为正实数，负实数和零 【答案】D 【分析】直接利用相关实数的性质分析得出答案． 【详解】解：A、无限不循环小数都是无理数，原说法错误，本选项不符合题意； B、无理数不一定是带有根号的数，原说法错误，本选项不符合题意； C、、都是无理数，不是分数，原说法错误，本选项不符合题意； D、实数分为正实数．负实数和零，正确，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了实数的性质，属于基础知识的考查，掌握相关概念或性质解答即可． 【典型例题2】 2．下列说法中，错误的是（    ） A．实数可分为有理数和无理数 B．无理数可分为正无理数和负无理数； C．无理数都是无限小数 D．无限小数都是无理数． 【答案】D 【分析】有理数与无理数统称实数，无限不循环小数是无理数，根据概念逐一分析即可． 【详解】解：实数可分为有理数和无理数，原说法正确，故A不符合题意； 无理数可分为正无理数和负无理数，原说法正确，故B不符合题意； 无理数都是无限小数，原说法正确，故C不符合题意； 无限不循环小数都是无理数，原说法错误，故D符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是实数的分类，无理数的含义，熟记概念是解本题的关键． 知识点02：实数的大小比较 1、实数的倒数、相反数和绝对值 （1）相反数 实数与它的相反数是一对数（只有符号不同绝对值相同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。 （2）绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；零的绝对值既可以看成是它本身，也可看成它的相反数。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 （3）倒数 如果ab=1，则a与b互为倒数，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 2、数轴和实数大小比较 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 比较大小时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设a、b是实数， （3）求商比较法：设a、b是两正实数 （4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。 （5）平方法：设a、b是两负实数，则。 【典型例题3】 3．比较下列各组数的大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据无理数的估算方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴，即，原式错误，符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∴，即，正确，不符合题意； D、∵，，且， ∴，正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法以及无理数的估算是解题的关键． 【典型例题4】 4．下面四个数中，比1小的正无理数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正数负数，即可进行解答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴比1小的正无理数是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了比较实数是大小，无理数的估算，解题的关键是掌握正数负数． 五、效果检测 1. 无理数都是无限小数。（ ） 1. 带根号的数都是无理数。（ ） 1. 0 的相反数是 0，0 没有倒数。（ ） 1. 两个无理数的和一定是无理数。（ ） 六、归纳总结 1. 无理数与实数概念：无限不循环小数是无理数，有理数和无理数统称实数。实数可按性质分为正实数、0、负实数；按定义分为有理数和无理数。 1. 实数相关性质 0. 倒数：非零实数 a 的倒数是，0 无倒数。 0. 相反数：实数 a 的相反数是 -a，0 的相反数是 0 。 0. 绝对值：正实数绝对值是本身，负实数绝对值是其相反数，0 的绝对值是 0 。 20. 实数大小比较：数轴上右边数大于左边数；正数大于 0 大于负数，两负数比较绝对值大的反而小。 7、 课后作业 一、单选题 1．下列四个实数中，无理数的是（   ） A． B． C．0 D． 2．下列实数为无理数的是（    ） A．2.01001 B． C． D．0 3．下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 4．估计的值在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 5．是一个很奇妙的数，在艺术、建筑中以“黄金分割”体现美感，估计的值（   ） A．在和1之间 B．在0和之间 C．在和2之间 D．在1和之间 6．估计的值（   ） A．在4和5之间 B．在5和6之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间 7．在下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 8．下列实数是负数的是（   ） A．7 B．1.9 C． D． 9．我国南北朝时期著名的数学家、天文学家祖冲之采用刘徽的“割圆术”将圆周率精确到小数点后第七位，还得到了的两个近似值：（约率）和（密率），这个记录在世界上保持了1100多年．其中，约率是（    ） A．整数 B．负分数 C．无理数 D．正分数 10．下列各数中是负数的是（　　） A． B． C．0 D． 11．的相反数是（    ） A． B． C． D． 12．实数，，，在数轴上对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最小的是（   ） A． B． C． D． 13．实数在数轴上对应点的位置如图所示，则实数可能是（   ） A． B． C．0 D． 14．下列实数比小的是（   ） A．3 B． C． D． 15．下列四个实数中，最小的实数是（   ） A． B．0 C． D．2 二、填空题 16．在，，0，中，无理数有 个 17．请写出一个小于的整数： ． 18．请你写一个比小的正整数： ．（写一个即可） 19．某一正方体的体积是，则它的棱长的整数部分是 ． 20．已知的小数部分记为，则可以表示为 ． 三、解答题 21．观察：，即的整数部分为2，小数部分为．规定符号表示实数的整数部分，例如：，请你运用上述规律解决下面的问题： (1)按此规定___________． (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 八、答案 （一）自主预习填空答案 1. 整数；分数；正整数；0；负整数；有限小数；无限循环 1. 无理数 1. 有理数；无理数 1. 正实数；0；负实数；有理数；无理数 1. -a；它本身；它的相反数；0； （二）效果检测答案及解析 1. √。无理数的定义就是无限不循环小数，无限不循环小数属于无限小数范畴，所以无理数都是无限小数，该说法正确。 1. ×。例如等，这些带根号的数开方后是整数，属于有理数，并非所有带根号的数都是无理数，该说法错误。 1. √。根据相反数和倒数的定义，0 的相反数是 0，0 乘以任何数都为 0，不可能等于 1，所以 0 没有倒数，该说法正确。 （三）课后作业答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C B A D D C D D 题号 11 12 13 14 15 答案 A C B D A 1．B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，即无限不循环小数，解题的关键是掌握无理数的定义． 根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数即可． 【详解】A.是分数，属于有理数，不符合题意； B. 是无限不循环小数，且3不是完全平方数，因此是无理数，符合题意； C. 0是整数，属于有理数，不符合题意； D.，是整数，属于有理数，不符合题意； 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．根据无理数的定义，即无限不循环小数，逐一判断各选项是否为有理数或无理数． 【详解】选项A：2.01001是有限小数，属于有理数； 选项B：，结果为整数，属于有理数； 选项C：无法表示为整数或分数，且是无限不循环小数，属于无理数； 选项D：0是整数，属于有理数， 综上，只有选项C为无理数． 3．C 【分析】本题考查了无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数或不能表示为整数比的数即可． 【详解】A、无限循环小数是有理数，不符合题意； B、，整数是有理数，不符合题意； C、，因为不是完全平方数，是无限不循环小数，属于无理数，符合题意； D、是分数，分数是有理数，不符合题意． 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，先估算的范围，再减去确定结果所在的范围即可． 【详解】，， ， ． 故选：B． 5．A 【分析】本题主要考查无理数的估算，掌握其计算方法是关键． 先估算的范围，再逐步计算的值即可． 【详解】解：， ， ∴，即， ∴， ∴的值在和1之间， 故选：A． 6．D 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据即可得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 7．D 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解：， 由无理数的定义可得，四个数中，只有是无理数， 故选；D． 8．C 【分析】本题主要考查了负数的意义，利用负数的意义即比0小的数为负数解答即可． 【详解】解：A、7是正数，不符合题意； B、1.9是正数，不符合题意； C、是负数，符合题意； D、是正数，不符合题意． 故选：C． 9．D 【分析】本题主要考查了实数的分类，直接根据实数的分类方法即可得到答案． 【详解】解：是正分数，是有理数， 故选：D． 10．D 【分析】本题主要考查了实数的分类，化简多重符号和计算绝对值，先化简多重符号和计算绝对值，再根据负数是小于0的数即可得到答案． 【详解】解：，， ∴四个数中，只有是负数， 故选：D． 11．A 【分析】本题主要考查了相反数定义，实数的性质，根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，求的相反数只需改变其符号即可． 【详解】解：的相反数是在前添加负号，即． 故选：A． 12．C 【分析】本题考查实数与数轴，绝对值的意义，根据绝对值的非负性，结合点在数轴上的位置，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：， ∴绝对值最小的是； 故选：C． 13．B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，预估无理数的取值，解题的关键是掌握预估无理数的取值． 确定的取值范围即可在数轴上表示出其位置． 【详解】解：， 即， ， 故选：B． 14．D 【分析】本题考查了实数的大小比较，比较各选项与的大小，负数中绝对值越大数值越小． 【详解】解：A.3是正数，显然大于，不符合题意； B.是正数，也大于，不符合题意； C.是负数，其绝对值小于1，故，不符合题意； D.是负数，其绝对值3大于1，故，符合题意． 故选D． 15．A 【分析】本题考查比较实数的大小，首先确定符号，负数小于正数和零；若均为负数，绝对值大的数更小，由此可解． 【详解】解：， 四个选项中最小的实数是， 故选：A． 16．2 【分析】本题考查无理数的判断，本题的关键是明确无理数的定义，即无限不循环小数，且不能表示为分数形式的数．根据无理数的定义，判断每个数是否为无理数，进而统计个数． 【详解】解：在给出的数，，0，中： ，0属于有理数； ，属于无理数，无理数有2个． 故答案为：2． 17．（答案不唯一，不大于的整数均正确） 【分析】本题考查无理数的估算，解题的关键是明确与接近的整数． ，写出一个不大于1的整数即可． 【详解】解：∵， ∴小于的整数为负整数、、， 故答案为：（答案不唯一，不大于的整数均正确） ． 18．1（1或2中任意一个均可） 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴比小的正整数有1或2， 故答案为：1（1或2中任意一个均可）． 19． 【分析】本题考查了无理数的估算，根据某一正方体的体积是，求出，然后由无理数的估算方法即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵某一正方体的体积是， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴它的棱长的整数部分是， 故答案为：． 20．/ 【分析】本题考查了实数的大小比较，首先估计在和之间，所以的整数部分是，可得的小数部分是． 【详解】解：， ， 的整数部分是， ． 故答案为：． 21．(1) (2) 【分析】本题主要考查无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键． （1）根据无理数的估算得到，结合题意即可求解； （2）根据题意可得，，，由此得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，即， ∴， ∵规定符号表示实数的整数部分， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴． $$