专题06 圆锥曲线-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（黑龙江专用）

专题06 圆锥曲线 题型概览 题型01 直线与圆 题型02 椭圆及其性质 题型03 双曲线及其性质 题型04 抛物线及其性质 题型05 新定义与新情景问题 直线与圆题型01 1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）直线与圆相交于，两点，当面积最大时，（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】，即， 则其圆心为，半径为，而， 当且仅当时等号成立，此时为顶点为的等腰直角三角形， 此时圆心到直线的距离， 则，解得. 故选：B. 2．（2025·黑龙江大庆·二模）过直线上一点作圆的两条切线，切点为，无论点在直线上如何运动，始终有，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【解析】 如图，由题：圆半径为2，， 故，即， 即无论点在直线上如何运动，， 所以圆心到直线的距离解得：或， 故选：A. 3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知圆，直线，直线被圆所截得的弦长最短时，实数的值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【解析】直线，所以直线恒过点， 点在圆的内部，所以当点是弦的中点时，此时弦长最短， 圆心和点连线的斜率为， 所以直线的斜率为1，即，即. 故选：B 4．（2025·黑龙江·二模）已知直线l：，圆C：，则“”是“直线l与圆C相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】圆C：的圆心为，半径， 若直线l与圆C相切，则，解得， 显然是的真子集，所以“”是“直线l与圆C相切”的充分不必要条件. 故选：A. 5．（2025·黑龙江大庆·二模）直线与直线平行，则 . 【答案】或4 【解析】由直线与直线平行， 若，则直线的方程为，的方程可化为，两直线不平行， 故，所以，解得或. 故答案为：或4 6．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）若圆经过坐标原点，且圆心在直线上运动，当半径最小时，圆的方程为 . 【答案】 【解析】由题意圆心在直线上运动，设圆心坐标为. 又圆经过坐标原点，即，整理得. 当半径最小时，，则圆心为. 故圆的方程为. 故答案为：. 椭圆及其性质题型02 7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知椭圆的离心率，则的值为（    ） A．12 B． C．12或 D．或 【答案】C 【解析】①当时，即椭圆的焦点在轴上时， 此时，，解得，符合题意； ②当时，即椭圆的焦点在轴上时， 此时，，解得，符合题意； 综上，的值为或12. 故选：C 8．（2025·黑龙江·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，由，得，由椭圆定义可知， 在中，由余弦定理得，解得或（舍去）， 在中，， ，解得离心率. 故选：D. 9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线， 令，则，所以， 令，则，所以， 又因为，所以， 则该椭圆的离心率. 故选：B. 10．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知为坐标原点，椭圆的长轴长为4，离心率为，过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，连接并分别延长交椭圆于两点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若直线的斜率分别为，则 C．若抛物线的准线与轴交于点，直线的倾斜角为，则 D．的最小值为 【答案】ACD 【解析】如图： 对椭圆：，所以椭圆：； 对抛物线：，所以，. 设，. 对A选项：设直线方程为：，代入抛物线：，得： ，整理：. 所以，， 所以， . 因为，所以， 所以 . 所以.故A正确； 对B选项：由A选项解答可知：，故B错误； 对C选项：直线的倾斜角为，即，所以直线：，即. 此时，，，所以. ，， 所以, 故C正确； 对D选项：因为直线：，由得： ，，所以， 同理，且，. 因为 ， 又， 所以 设，则， 所以，. 因为在上单调递减， 所以. 所以.故D正确. 故选：ACD 11．（多选题）（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知为坐标原点，椭圆的方程：，其左右焦点为，离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于两点，是的中点（是异于长轴端点的点），在中，记，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．与椭圆切于点的切线方程为 D．若直线的斜率存在，则 【答案】ACD 【解析】令椭圆的半焦距为，则， 对于A，在中，由正弦定理，得， 因此，A正确； 对于B，在中，由余弦定理，得 ，则， ，B错误； 对于C，与椭圆切于点的切线斜率存在，设方程为， 由消去得：， ， 整理得，而， 则，即，解得， 因此切线方程为，整理得，C正确； 对于D，设直线的方程为，点，由 消去得，，， ，D正确. 故选：ACD 12．（2025·黑龙江大庆·二模）已知，从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线方程为称为点关于椭圆的极线．如图，两个椭圆、的方程分别为和，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于椭圆的极线为．若到的距离为定值1，则取最大值时的值为 ． 【答案】/ 【解析】设椭圆，，则． 设椭圆，，则． 设， 由题意可得方程为：， 因为原点到直线的距离恒为1，所以． 又因为为椭圆上的点，所以， 所以，， 所以， 设，则， ， 当时，取得最大值，此时为． 故答案为：． 13．（2025·黑龙江·二模）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，过的直线与C相交于点A，D，与y轴交于点B，，，则C的离心率为 ． 【答案】/ 【解析】设，因为，所以，， 由对称性可得，又，所以， 所以，， 又，所以，，又， 所以由余弦定理， 所以，的离心率， 故答案为：． 14．（2025·黑龙江大庆·二模）已知椭圆的标准方程为，焦点，点为椭圆上一动点（不在坐标轴上），为椭圆的左右顶点，直线斜率的乘积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点做直线交椭圆于，且满足，试求. 【解析】（1）设， ， 由得； （2）直线的方程为， 由，得，同理， 15．（2025·黑龙江大庆·二模）已知椭圆的离心率，，分别为其左右焦点，为椭圆上一动点，为原点，的最大值为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆的左顶点为，过作两条直线分别交椭圆于两点（均不与重合），线段的中点分别为两点，已知直线斜率之积为．求证：直线过定点，并求出该定点坐标． 【解析】（1）因为椭圆的离心率，所以， 所以椭圆方程为. 因为为椭圆上一动点，当位于椭圆最左端或者最右端时，取最大值2， 所以，进而，所以椭圆的标准方程为. （2）由题可知为，设，， 则中点，. 而，所以. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为. 此时，根据， 解得.此时直线的方程为. 当直线的斜率存在时，设直线为， 与椭圆方程联立，可得： ，， 根据韦达定理，，， 所以，而 ， 所以，解得或， 当时，直线过点，不存在所以不成立， 所以，此时， 所以直线为，过定点. 16．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线交于，两点（点位于轴上方），为坐标原点. (1)若，求的值； (2)已知二次曲线在点处的切线方程为，现过，两点作的两条切线相交于点，求面积的最小值. 【解析】（1）由椭圆的对称性可知， 则， 即， 又，，三点共线， 则， 解得； （2） 如图所示，易知直线斜率不为， 且点， 设直线方程为，，， 联立直线与椭圆方程，， 整理可得， 则， 且，， 则， 由已知可得直线，， 设点，联立直线与得，， 则点到直线的距离， 则 设， 则， 设，， 则恒成立， 所以在上单调递增， 所以的最小值为， 即面积的最小值为. 17．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知椭圆C：的两个焦点为和，，，为椭圆上不同三点，且，周长为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线平分线段，记中点为，当为何值时，的面积最大？ (3)设直线PO与椭圆C的另一交点为T，直线PT，MQ，PM，TQ的斜率分别为，，，，若，求的值． 【解析】（1）依题意，又周长为，即， 所以，则， 所以椭圆方程为； （2）设直线的方程为，由， 整理得， 则，， 所以， 又点到直线的距离， 所以 ， 因为点为的中点，设，则， 所以，所以，即点的轨迹为， 由，消去整理得， 所以，则， 令，则， 所以， 所以当时的面积取最大值， 此时，则，即为的中点，即； （3）设，直线：， 由，整理得，则，； 设直线：， 由，整理得， 所以，； 所以 . 18．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在圆上取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，记线段的中点轨迹为. (1)求的轨迹方程； (2)过点的直线与轨迹交于，两点，为坐标原点，面积为，求直线的方程. 【解析】（1）设点，则点，由点是线段的中点， 得 因为点在圆上，所以* 把，代入方程*，得， 即的轨迹方程：. （2）依题意，设直线，，， 联立，消去整理得，则， 由韦达定理得， 所以，，直线的方程为：或. 方法二：①当时，（不符合题意，舍去） ②设直线，，， 联立，消去整理得， 则，由韦达定理得，， 所以，，直线的方程为：或. 19．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）椭圆与圆和圆都外切． (1)求椭圆E的方程； (2)设A，B分别为椭圆E的左右顶点，F为椭圆的右焦点，K为椭圆E上动点（异于A，B），直线与椭圆E交于另一点H．若直线与交于点P，求证：点P在定直线l上； (3)在（2）的条件下，设直线与直线l交于Q点，椭圆E在点K处的切线与l交于R， ①求证：． ②求面积取最小值时K点的横坐标． 【解析】（1）圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为； 由题意椭圆E与两圆都外切，结合图形可知，， 故椭圆E的方程为. （2）由椭圆E的方程为可知， 由题意知，不垂直于轴，故可设直线， 由焦点在椭圆内，则直线与椭圆恒有两个交点， 设， 联立直线与椭圆方程得， 由韦达定理得， 则（）， 又直线方程为，方程为， 设两直线交点， 则联立方程，解得， 将（）式代入化简得， 故点P在定直线上. （3）①由题意知椭圆E在点处的切线斜率存在， 可设切线的方程为， 联立直线与椭圆E方程消得， ， 由直线与椭圆相切， 则， 化简得， 由，得代入上式得， 解得，故， 令，得 直线，令得； 直线，令得； 由， 故为线段的中点， ，得证. ②由， 则 则 ， 则的面积 . 令，， 则， 由解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 故当时，函数取最小值. 即面积S取最小值时K点的横坐标为． 20．（2025·黑龙江大庆·二模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，过作，交椭圆于点，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知，是椭圆上关于轴对称的两点，点在椭圆上，直线，分别交轴于，两点. （ⅰ）证明：； （ⅱ）若点的坐标为，点为平面上一动点（不在直线上），记直线，，的斜率分别为，，，且满足.判断动点是否在定直线上？若在定直线上，求出该直线的方程；若不在，请说明理由. 【解析】（1）由椭圆的离心率，得，则， 椭圆的半焦距，由过作，交椭圆于点，， 得，解得，则， 所以椭圆的方程为. （2）（ⅰ）设，则， 由三点共线，得，则， 同理由三点共线，得，而， 于是， 所以. （ⅱ）设，直线， 则，由， 得，即， 整理得， 因此， 整理得，而点不在直线上， 即，则，即， 解得，由（ⅰ）知，又，于是，即， 所以动点在定直线上，该定直线方程为. 21．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知曲线C由双曲线和椭圆组合而成，P是曲线C上任意一点，，则（   ） A．曲线C是中心对称图形 B． C．满足的点P有2个 D．满足的点P有8个 【答案】ABC 【解析】曲线C是由以，为焦点的等轴双曲线和长轴长为4，，为焦点的椭圆组合而成， 所以曲线C是关于原点O的中心对称图形，故A正确； 若P是曲线C上任意一点，必然，故B正确； ，为双曲线和椭圆的公共焦点， 若，则，， 由双曲线和椭圆的定义可知，点P为右支和的交点，有两个，故C正确； 若，则点P在以为直径的圆上，此时点P为圆与曲线C的交点， 因为圆与有4个公共点，与有2个公共点，且易知曲线和的交点不在圆上， 所以满足的点P有6个，故D错误． 故选：ABC． 22．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知曲线的中心为M，过的直线交曲线M于A，B两点，，则三角形面积的最大值为 ． 【答案】 【解析】由可得，故, 令，则或， 因此曲线与轴的交点为， ， 故要使得的面积最大，只需要最大，即只需要的纵坐标的绝对值最大即可， 在中令，则， 故， 故答案为： 23．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点，过点直线与交于，两点，若弦中点的纵坐标为，求直线的斜率； (3)设是曲线上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交曲线于点，，若直线，的斜率均存在，并分别记为，，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 【解析】（1）由题意，点与定点的距离， 点到直线的距离，所以， 即，化简得， 故曲线的方程为； （2）设直线的方程为， 则， ，解得或， 所以， 因为弦中点的纵坐标为，所以，解得（不符合舍去）或， 所以直线的斜率为； （3）由题意可得，直线的方程分别为，设. 由直线与圆相切可得. ，同理， 所以是方程的两个根，所以， 所以，， 因为是曲线上的一动点，所以， 则有， 联立方程，所以， 所以，同理 所以， 因为，所以， 所以. 双曲线及其性质题型03 24．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）双曲线的左、右焦点分别为，，下列说法正确的有（   ） A．若双曲线的两条渐近线互相垂直，则 B．过作渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线离心率为 C．若双曲线的焦距为，为双曲线上一点，则到两渐近线距离之积为 D．若点为该双曲线上的一点，且，则 【答案】ABD 【解析】渐近线方程为，若双曲线的两条渐近线互相垂直，则， 得，故A正确； 由题意可知，点到渐近线的距离为， 又直线的斜率为，则， 则，得，， 故离心率为，故B正确； 由题意可知，，则，则双曲线方程为， 渐近线方程为， 设点，则， 点到两条渐近线的距离之积为， 故C错误； 因，则， 则三点均在以为直径的圆上， 设，由于对称性，不妨设点在第一象限， 则，得， 则，故D正确. 故选：ABD 25．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知为坐标原点，双曲线的左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与轴正半轴交于点，过且垂直于轴的直线与的某条渐近线交于点，且与轴垂直，双曲线的离心率为，渐近线的斜率为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】 由题知，且，所以. 又因为为直径，在圆上，所以. 结合图像易知与相似，则有，即， 则，故A正确； 由A知，，， ，故B错误； ，故C正确； 由A知，，则，且点在渐近线上， 不妨设渐近线方程为，则，则，即. 则，故D正确. 故选：ACD. 26．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知为双曲线上一点，、为双曲线C的左、右焦点，G和I分别为的重心和内心．若轴，则（   ） A． B．的面积为 C． D．内切圆的半径 【答案】AD 【解析】不妨设点在第一象限，，，分别为与三边的切点． 由切线长定理以及双曲线的定义，得 ， ∴，∴． 设，由为的重心知，，故A正确. 把代入双曲线：可得． ∴， ∴． 所以，故B错误； 若点在第二象限，则，同理可求得，，故C错误. 设内切圆的半径为， 则． 又， ∴，∴．故D正确； 故选：AD. 27．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，内切圆半径为1，则 . 【答案】10 【解析】解法一： ，所以， ， 设（，），， ， ， 又因为：，则，， ； 解法二：不妨设点在右支上，如下图，设，， 双曲线内切圆的圆心为，连接， ， 设分别与圆相切于点，双曲线右顶点为，连接， 则， 即， 又因为，所以与重合，即， 所以内切圆与轴切在双曲线的顶点处，， 可得，可得 则， ， 所以，， 即：； 解法三：设，，， ，， 则 ，所以， 由焦点三角形面积公式； 解法四：设，，， 则， 即：①， 由余弦定理，得：， ②， 设，则， 得，，则. 故答案为：10. 28．（2025·黑龙江大庆·二模）双曲线第二定义：设动点到定点的距离与点到定直线的距离的比是，当时，该动点的轨迹为双曲线．定点为双曲线焦点，定直线为双曲线准线，比值为双曲线离心率．已知动点满足到定点的距离与到定直线的距离的比是2，点坐标为． (1)求点的轨迹方程及的最小值； (2)直线与轨迹的右支交于两点，． （i）若直线过点且与两渐近线分别交于点，，求的取值范围； （ii）若，两点关于直线对称，并且过点．求的取值范围． 【解析】（1）设，由题意，所以， 平方化简得，即点的轨迹方程为． 由双曲线的第二定义可知， 又的最小值为到准线的水平距离， 所以的最小值为． （2）（i）如图： 双曲线的渐近线为，显然直线过焦点的直线斜率不为0， 故可设其方程为：． 由， 整理得：． 设，则， 所以． 于是． 又由，即； 同理：， 所以． 所以， 因为直线与轨迹的右支交于两点，，所以， 所以，所以． （ii）设，， 联立，则， 所以，即， 且，， 则， 则的中点为，即， 因为线段的中垂线过点， 则，整理得． 则，，， 由，，则，， 则，解得， 又 ， 则， 又，则，即， 又，则的取值范围为. 29．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知双曲线过点，且与直线有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴，轴于两点． (1)当点运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；如果推广到双曲线，你能得到什么相应的结论？（只需写出结论，不需要证明） (2)是双曲线上的两个不相同的点，若直线的斜率之和为0，证明：（点不与原点重合） 【解析】（1）依题意，可得，则双曲线方程为， ，， ，，即， 故，即，其中， 故过点且与直线垂直的直线为， 可得，， ，， 故点的轨迹方程为， 其轨迹为：双曲线（去掉两个顶点）， 如果推广到一般的等轴双曲线，点的轨迹方程为. （2）设直线， 直线，且， 由，，， 设，，，， ，，， ，同理， ， ，. 30．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知双曲线过点，左、右焦点分别为，且左焦点到渐近线的距离为. (1)求的标准方程； (2)过左焦点作直线交的左支于两点，过右焦点作直线交的右支于两点，，若四边形的面积为，求直线的方程. 【解析】（1）双曲线左焦点到渐近线的距离为， ，则， 双曲线过点， ，解得， 的标准方程为； （2）过左焦点作直线交C的左支于两点， 直线斜率不为0，设直线，联立得： 得， 由对称性，四边形的面积等于的面积的4倍， ， 则 ， 整理得，解得或（舍）， 直线的方程为或. 31．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）焦点在x轴上的等轴双曲线E，其顶点到渐近线的距离为，直线过点与双曲线的左、右支分别交于点A、B (1)求双曲线E的方程； (2)若，求直线AB的斜率； (3)若点B关于原点的对称点C在第三象限，且，求直线AB斜率的取值范围． 【解析】（1）设等轴双曲线的方程为，其渐近线方程为， 故，解得，所以双曲线E的方程为. （2） 由题意，过点的直线斜率存在且不为0，可设其方程为， 设，由，得， 联立，整理得， 由韦达定理得：，， 联立解得，经验证均满足题意，所以直线的斜率为. （3） 点在第三象限，如图所示，故直线的斜率是正数， 由，得， 所以，则，则， 由，得， 所以，则， 又因为直线交两支两点，故直线的斜率， 所以. 32．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知直线，双曲线，圆， (1)当时，求双曲线的离心率； (2)若直线与圆相切，证明：与的上下两支各有一个公共点； (3)设直线与轴交于点，且与圆交于点，与的上下两支交于点，从上到下依次为，当时，是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）当时，双曲线的实半轴，半焦距， 所以双曲线的离心率. （2）由直线与圆相切，得，即， 由消去得，即， 由恒成立，得与有两个不同的交点，且两根之积为， 即该方程的两根一正一负，所以直线与的上下两支各有一个公共点. （3）存在，， 由直线与圆相交，得，即，由直线与双曲线相交及（2）知， 方程中，，即， 而，且，则， 设，由（2）得， 由，得，则， 由，且四点共线，得，则， 即，则或，因此，即， 整理得，即， 于是，化简得，解得，符合题意， 所以存在，使得. 33．（2025·黑龙江·二模）已知双曲线，A为右顶点，点，，在双曲线上（不同于点A），使得． (1)求坐标； (2)记的坐标为．对的正整数，按照以下规则依次定义：过作一条平行于的直线与双曲线交于（不同于）．证明：为等比数列； (3)时，求n边形的面积． 【解析】（1）双曲线方程为 ，右顶点 . 计算 的斜率：. 直线 的方程为 . 代入双曲线方程并化简得：， 解得（舍去）或，对应. 故坐标为. （2）根据（1），可猜想，其中点看作. 已知坐标坐标满足猜想. 假设坐标猜想成立，我们来证明时猜想成立. 下面验证在双曲线上，并且满足. 记的坐标为， 则，， 所以， 所以在双曲线上. 直线的斜率， 直线的斜率， 所以满足. 由于直线与双曲线至多有两个交点，因此上述猜想的点即为题设中的点. 综上所述，根据数学归纳法原理，可知猜想正确. 由，这也就同时证明了数列为首项为公比为的等比数列，. （3）顶点坐标可化为 (). 先证明三角形面积的向量坐标表示公式： 设向量， 则 . 考虑向量， ， n边形的面积： . 34．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知直线与双曲线及其渐近线分别交于点，和点，. (1)求实数的取值范围； (2)证明：； (3)若，过双曲线上一点向双曲线作切线，，其斜率分别为，，问是否存在这样的，使得为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）联立，得， 由题意可得，，解得或； （2）证明：设，， 由（1）可得， 设的中点为，则， 从而，即， 又双曲线的渐近线方程为， 联立，解得， 同理可得， 则的中点为，故与的中点重合， 则，，即； （3）设过且与双曲线相切的直线方程为， 即，联立， 得， 由题意可知， 化简可得， 由题意可知，为方程的两个根， 则，， 故， 若为定值，则有，化简得，此时， 但此时， 故不存在，使得为定值． 35．（2025·黑龙江大庆·二模）焦点在轴上的双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设焦点在轴上的双曲线的标准方程为，又离心率为2， 所以，所以，所以，所以， 所以该双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 36．（2025·黑龙江大庆·二模）已知双曲线经过点，的角平分线与轴交于，则双曲的离心率（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】假设为双曲线上一点，假设双曲线左右焦点分别为， 则 ， 同理可得 本题中在双曲线上，故， 因为的角平分线与轴交于，所以，所以， 因为点满足，所以，结合， 可求得， 故选：A 37．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M为双曲线E右支上一点，点N在x轴上，满足，若，则双曲线E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以以、为邻边的平行四边形的以点为起点的对角线对应的向量与共线， 又，为的角平分线， 以、为邻边的平行四边形为菱形，， 由双曲线定义知：，，， 在中， 由余弦定理， 即，即， 双曲线的离心率. 故选：C. 抛物线及其性质题型04 38．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）设.为抛物线的焦点，的准线与轴交于一点，过的直线与交于、两点.若的面积是的面积的3倍，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】 由题意不妨设分别在第一、四象限，，其中. 由题意，直线斜率存在且不为，所以设直线的方程为，易知. 联立直线与抛物线方程，得，则. 因为，则，即. 所以， 得则，且. ，得，则. 故选：A. 39．（多选题）（2025·黑龙江·二模）已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与C交于，两点，动点在C的准线上，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，，则 C．若，则为定值 D．若，且满足，则直线l的斜率为 【答案】ABD 【解析】抛物线的焦点为，准线方程为， 设直线， 联立方程，消去x可得， 则. 设的中点为，准线l与x轴的交点为 过作准线l的垂线，垂足分别为， 对于选项A：因为， 可知以线段为直径的圆与准线l相切， 且动点在准线l上，所以，故A正确； 对于选项B：若，可知点与点重合， 则，，可得， 则，即，所以，故B正确； 对于选项CD：若，可知， 可得， 则 ， 所以不为定值，故C错误； 因为 ， 所以轴为的平分线， 根据角平分线定理可得，即， 且，可得， 代入可得，解得， 显然此时，则，所以直线l的斜率为，故D正确； 故选：ABD. 40．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知抛物线的焦点为，直线与以为圆心，为半径的圆相切，交于两点，且直线过，则（   ）． A．的周长为 B．圆为的内切圆 C．准线和所夹锐角正弦值为 D．抛物线上存在一点，使得为等边三角形 【答案】AC 【解析】 由题意，，抛物线方程为：，圆的方程为：， 直线的斜率存在且不为0，设直线：即. 则圆心到直线的距离，解得或（舍去）， 所以，直线：. 联立方程可得， 设，则. 对于A，因为，， 的周长为，故A正确； 对于B，假设圆为的内切圆，则点是三条内角平分线的交点，即平分，则有. 因为， 所以假设不成立，故B错误； 对于C，如图，设准线和所夹锐角为，则，所以，故C正确； 对于D，假设存在一点，使得为等边三角形， 取中点，过点作直线的垂线，垂足为，则 ， 由题意，直线的方程为即， 所以点的坐标满足， ，解得， 当时，，不满足； 当时，，不满足. 所以抛物线上不存在一点，使得为等边三角形，故D错误. 故选：AC. 41．（2025·黑龙江大庆·二模）已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，点为抛物线上一动点且在抛物线准线上的投影为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，且动点满足， 设，可得，整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 由抛物线，可得且准线方程为， 又因为点在抛物线的准线方程为的投影为， 因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离相等，所以， 所以， 当且仅当四点共线时， 取得最小值，且， 所以. 即的最小值为. 故选：B. 42．（2025·黑龙江大庆·二模）已知抛物线的焦点为准线为为抛物线上一点，过点作直线于点，且的内心，则内切圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.设内切圆半径为， 法一：由抛物线的光学性质知直线和抛物线相切， 不妨设且，，则，解得， 所以，则，而，所以， 即为等边三角形，其内切圆半径，故内切圆面积为. 法二：设圆与的切点分别是，连接， 由，又，所以，即，所以在轴上， 连接，所以是的角分线，所以在直线上， 设，，且， 由，所以，解得或， 若时，与题设矛盾，所以，易知， 由，解得，则内切圆面积为. 故选：B 43．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知抛物线上一点到其准线和焦点的距离之和为，则 ；过点的直线与交于、两点，以为直径的圆与直线有交点，则面积的最小值为 . 【答案】 2 4 【解析】第一空：根据抛物线定义：到一个点和一条直线的距离相等的动点组成的图形， 给出抛物线方程，可知准线方程为， 故到的距离为，所以，求出； 第二空：已知方程：，设横截式，与交于，， 将两个方程联立，得到：，， 由韦达定理，， 故，所以为直径的圆半径， 设中点为，，故， 写出圆的标准方程：， 令，可以得到有唯一解，，说明直线与圆相切于点， 所以到的距离， 故三角形，， 当时，有最小值1，此时最小，. 【二级结论速解】设直线的倾斜角为，则， 又因为直线过焦点，所以以为直径的圆与准线相切，则， 所以， 当时，有最小值，最小值为4. 故答案为：2；4. 44．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知是拋物线的焦点，是抛物线上的点，为坐标原点，当时，则的面积为 ． 【答案】 【解析】由是拋物线的焦点，可得，所以，即， 又由为坐标原点，且， 如图所示，不妨设直线的倾斜角为，则直线的方程为， 联立方程组，整理得，即， 解得或（舍去），可得 所以的面积为. 故答案为：. 45．（2025·黑龙江大庆·二模）如图所示，由部分抛物线和半圆所组成的曲线称为“黄金抛物线”，若“黄金抛物线”经过点和. (1)求“黄金抛物线”的方程； (2)点为“黄金抛物线”在第四象限上一点，且“黄金抛物线”在点处的切线恰好与“黄金抛物线”在第三象限相切于点，求直线的方程； (3)设和，过点作直线与“黄金抛物线”交于三点，问是否存在这样的直线，使得平分.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由“黄金抛物线”过点和，得， 解得，所以“黄金抛物线”的方程为和. （2）设坐标为，直线的斜率存在且不为0， 设直线为，与联立，得， 则，解得，直线为， 直线与相切，得，解得， 又在第四象限，则，所以直线方程为. （3）假设存在这样的直线，使得平分，显然直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，不妨令， 由消去并整理，得，解得， 即，由，得，则直线的斜率为， 由消去并整理，得，解得， 即，由，得，则直线的斜率为， 由平分，而直线的斜率不存在，得，即，由， 解得，所以存在直线，使得平分. 46．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）平面直角坐标系中，已知曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离大1． (1)求曲线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线、，直线与曲线交于、两点，直线与曲线交于、两点，求的最小值． 【解析】（1）因为曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离大1． 所以曲线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等， 所以曲线为抛物线，且为焦点，为准线， 所以，所以曲线的方程为：. （2）如图： 设直线，， 代入抛物线得：，得， 整理得：. 由韦达定理：. 所以. 用代替，可得. 所以. 设，则，当且仅当时取等号. 则. . 47．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于两个动点（可以重合） (1)求点的轨迹的方程； (2)过点的两条直线相互垂直，直线与交于两点，直线与交于两点，线段的中点分别为. ①求四边形面积的最小值； ②判断直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 【解析】（1）根据题意，圆心坐标为． 又因为该圆经过点和，所以， 化简得，所以点的轨迹的方程为． （2）①因为直线的斜率一定存在且不为0， 故设，． 联立方程消x得， 则． 所以 ， 同理， 所以， 当且仅当时，四边形的面积最小，最小值为32． ②易知当直线斜率不存在时，直线关于x轴对称， 此时①中，得直线； 当直线PQ斜率存在时，设直线， 联立方程，得， 又，得， 同理可得， 所以，是方程的两根， 所以，即，则，所以直线过定点． 综上，直线过定点． 48．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，已知点，轴于点，是线段OB上任意一点，轴于点，于点，与相交于点. (1)求点的轨迹方程； (2)设点轨迹所在的完整圆锥曲线为 ①是上的一点，求经过点且与相切的直线方程 ②直线与相交于，经过且与轴平行的直线与曲线相交于，经过且与相切的直线与相交于，经过且与轴平行的直线与曲线相交于，如此类推，得到一系列的点，求 【解析】（1）设 因为直线，所以，直线， 所以，即，所以的轨迹方程式 （2）①由（1）可知，即， ，切线斜率， 所以直线方程为，即. ②设 经过与相切的切线为，又 所以 因为 所以数列是从起的周期数列，且 又 所以. 49．（2025·黑龙江·二模）已知经过定点的动圆与直线相切，记圆心的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同的两点，以分别为切点作曲线的切线与的交点为. (1)求点的轨迹方程； (2)设点，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，已知. （i）求数列的通项； （ii）已知为数列的前项和，求使不等式成立时，的最小值. 【解析】（1）依题意可知，动圆的圆心到点与到直线的距离相等， 根据抛物线定义可得曲线是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线的方程为，则直线经过抛物线的焦点， 设，联立，整理得恒成立， 则，又可化为，则， 所以，联立， 消可得， 又因为，所以点的轨迹方程为. （2） （i）设，则， 又，则，又， 所以，即直线的方程为， 整理得，令，可得，① 同理得的方程为，令，可得，② 又直线的斜率为， 所以直线的方程为，令，得， 由①可知，， ①②可得. 于是可得，即，又因为，则， 于是，即，即， 即，又， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 则，所以，所以. （ii）由（i）可知，，则， 所以， 则， 两式作差可得 所以. 令，即. 当时，显然不合题意； 当时，随着的增大而增大， 又， ， ， 则满足不等式的的最小值为9. 新定义与新情景问题题型05 50．（2025·黑龙江牡丹江·二模）2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点，（）的距离之积为定值．当时，C上第一象限内的点P满足的面积为，则（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【解析】由原点在曲线上，则， 设，则， 所以，则， 所以， 由，且，可得， 所以，易知是曲线与以直径的圆的交点， 联立，且在第一象限，可得， 所以. 故选：B 51．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知曲线，则（   ） A．曲线的图象关于轴对称 B．曲线上任意一点横坐标的最小值为 C．曲线与轴围成封闭图形的面积大于 D．直线与曲线有三个交点 【答案】BC 【解析】对于A，点代入，，则关于轴对称，故A错误； 对于B，令，则， 令， 在递增，由，及对称性可得图象，故B正确； 对于C，联立：和， 令，，且， 所以当相同时，， 而曲线是半圆，它与轴围成封闭图形的面积等于，所以C正确. 对于D，联立和， 令，，且，，有一个零点.所以D错误. 故选：BC. 52．（多选题）（2025·黑龙江大庆·二模）比利时数学家丹德林用一个双球模型证明用平面截圆锥面，可以截出椭圆、双曲线、抛物线.如图，两个对顶圆锥的轴线与母线成角为，在两个圆锥中，各有一个球，两球球心分别为，，两球半径分别为，且与圆锥侧面相切，两个对顶圆锥的轴与平面所成角为且平面与两球相切于，两点，则平面与圆锥侧面的交线为双曲线一部分，则下列说法中正确的是（   ） A．，两点为双曲线的两个焦点 B． C．若，则该双曲线为等轴双曲线 D．双曲线的实轴长为 【答案】ABD 【解析】在双曲线上任选一点，过点做球的切线，切点分别为与，且在球与圆锥的交线上，且过圆锥的顶点，同理，过点做球的切线，切点分别为与，且在球与圆锥的交线上，且过圆锥的顶点所以，，以及圆锥的顶点共线，所以为定值，故A正确； 过，分别往，作垂线，作垂直于于，易得，，所以，故B正确； 对于D， 设圆锥的一条母线与两球相切与点，，由A选项可知，， 连接，，则，，设圆锥顶点为，则在四边形中，，，所以，故D正确 由上述可得，双曲线，，所以双曲线离心率为，与，是否相等无关，故C不正确， 故选：ABD 53．（2025·黑龙江大庆·二模）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了用于计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它的意思可以描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果所截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕轴旋转一周，得到一个旋转体，用祖暅原理可求得这个旋转体的体积为 . 【答案】 【解析】双曲线的渐近线方程为，令直线交渐近线分别为及， 由，得，由，， 线段绕轴旋转一周得到旋转体的一个截面，它是一个圆环， 圆环的内径，外径，此圆环面积为， 因此此旋转体垂直于轴的任意一截面面积都为，又旋转体的高为， 由祖暅原理知，此旋转体的体积等于底面圆半径为，高为的圆柱的体积. 故答案为： 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 圆锥曲线 题型概览 题型01 直线与圆 题型02 椭圆及其性质 题型03 双曲线及其性质 题型04 抛物线及其性质 题型05 新定义与新情景问题 直线与圆题型01 1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）直线与圆相交于，两点，当面积最大时，（   ） A．0 B． C． D． 2．（2025·黑龙江大庆·二模）过直线上一点作圆的两条切线，切点为，无论点在直线上如何运动，始终有，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C．或 D． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知圆，直线，直线被圆所截得的弦长最短时，实数的值为（    ） A． B． C．0 D． 4．（2025·黑龙江·二模）已知直线l：，圆C：，则“”是“直线l与圆C相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025·黑龙江大庆·二模）直线与直线平行，则 . 6．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）若圆经过坐标原点，且圆心在直线上运动，当半径最小时，圆的方程为 . 椭圆及其性质题型02 7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知椭圆的离心率，则的值为（    ） A．12 B． C．12或 D．或 8．（2025·黑龙江·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知为坐标原点，椭圆的长轴长为4，离心率为，过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，连接并分别延长交椭圆于两点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若直线的斜率分别为，则 C．若抛物线的准线与轴交于点，直线的倾斜角为，则 D．的最小值为 11．（多选题）（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知为坐标原点，椭圆的方程：，其左右焦点为，离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于两点，是的中点（是异于长轴端点的点），在中，记，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．与椭圆切于点的切线方程为 D．若直线的斜率存在，则 12．（2025·黑龙江大庆·二模）已知，从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线方程为称为点关于椭圆的极线．如图，两个椭圆、的方程分别为和，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于椭圆的极线为．若到的距离为定值1，则取最大值时的值为 ． 13．（2025·黑龙江·二模）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，过的直线与C相交于点A，D，与y轴交于点B，，，则C的离心率为 ． 14．（2025·黑龙江大庆·二模）已知椭圆的标准方程为，焦点，点为椭圆上一动点（不在坐标轴上），为椭圆的左右顶点，直线斜率的乘积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点做直线交椭圆于，且满足，试求. 15．（2025·黑龙江大庆·二模）已知椭圆的离心率，，分别为其左右焦点，为椭圆上一动点，为原点，的最大值为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆的左顶点为，过作两条直线分别交椭圆于两点（均不与重合），线段的中点分别为两点，已知直线斜率之积为．求证：直线过定点，并求出该定点坐标． 16．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线交于，两点（点位于轴上方），为坐标原点. (1)若，求的值； (2)已知二次曲线在点处的切线方程为，现过，两点作的两条切线相交于点，求面积的最小值. 17．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知椭圆C：的两个焦点为和，，，为椭圆上不同三点，且，周长为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线平分线段，记中点为，当为何值时，的面积最大？ (3)设直线PO与椭圆C的另一交点为T，直线PT，MQ，PM，TQ的斜率分别为，，，，若，求的值． 18．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在圆上取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，记线段的中点轨迹为. (1)求的轨迹方程； (2)过点的直线与轨迹交于，两点，为坐标原点，面积为，求直线的方程. 19．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）椭圆与圆和圆都外切． (1)求椭圆E的方程； (2)设A，B分别为椭圆E的左右顶点，F为椭圆的右焦点，K为椭圆E上动点（异于A，B），直线与椭圆E交于另一点H．若直线与交于点P，求证：点P在定直线l上； (3)在（2）的条件下，设直线与直线l交于Q点，椭圆E在点K处的切线与l交于R， ①求证：． ②求面积取最小值时K点的横坐标． 20．（2025·黑龙江大庆·二模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，过作，交椭圆于点，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知，是椭圆上关于轴对称的两点，点在椭圆上，直线，分别交轴于，两点. （ⅰ）证明：； （ⅱ）若点的坐标为，点为平面上一动点（不在直线上），记直线，，的斜率分别为，，，且满足.判断动点是否在定直线上？若在定直线上，求出该直线的方程；若不在，请说明理由. 21．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知曲线C由双曲线和椭圆组合而成，P是曲线C上任意一点，，则（   ） A．曲线C是中心对称图形 B． C．满足的点P有2个 D．满足的点P有8个 22．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知曲线的中心为M，过的直线交曲线M于A，B两点，，则三角形面积的最大值为 ． 23．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点，过点直线与交于，两点，若弦中点的纵坐标为，求直线的斜率； (3)设是曲线上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交曲线于点，，若直线，的斜率均存在，并分别记为，，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 双曲线及其性质题型03 24．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）双曲线的左、右焦点分别为，，下列说法正确的有（   ） A．若双曲线的两条渐近线互相垂直，则 B．过作渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线离心率为 C．若双曲线的焦距为，为双曲线上一点，则到两渐近线距离之积为 D．若点为该双曲线上的一点，且，则 25．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知为坐标原点，双曲线的左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与轴正半轴交于点，过且垂直于轴的直线与的某条渐近线交于点，且与轴垂直，双曲线的离心率为，渐近线的斜率为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 26．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知为双曲线上一点，、为双曲线C的左、右焦点，G和I分别为的重心和内心．若轴，则（   ） A． B．的面积为 C． D．内切圆的半径 27．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，内切圆半径为1，则 . 28．（2025·黑龙江大庆·二模）双曲线第二定义：设动点到定点的距离与点到定直线的距离的比是，当时，该动点的轨迹为双曲线．定点为双曲线焦点，定直线为双曲线准线，比值为双曲线离心率．已知动点满足到定点的距离与到定直线的距离的比是2，点坐标为． (1)求点的轨迹方程及的最小值； (2)直线与轨迹的右支交于两点，． （i）若直线过点且与两渐近线分别交于点，，求的取值范围； （ii）若，两点关于直线对称，并且过点．求的取值范围． 29．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知双曲线过点，且与直线有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴，轴于两点． (1)当点运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；如果推广到双曲线，你能得到什么相应的结论？（只需写出结论，不需要证明） (2)是双曲线上的两个不相同的点，若直线的斜率之和为0，证明：（点不与原点重合） 30．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知双曲线过点，左、右焦点分别为，且左焦点到渐近线的距离为. (1)求的标准方程； (2)过左焦点作直线交的左支于两点，过右焦点作直线交的右支于两点，，若四边形的面积为，求直线的方程. 31．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）焦点在x轴上的等轴双曲线E，其顶点到渐近线的距离为，直线过点与双曲线的左、右支分别交于点A、B (1)求双曲线E的方程； (2)若，求直线AB的斜率； (3)若点B关于原点的对称点C在第三象限，且，求直线AB斜率的取值范围． 32．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知直线，双曲线，圆， (1)当时，求双曲线的离心率； (2)若直线与圆相切，证明：与的上下两支各有一个公共点； (3)设直线与轴交于点，且与圆交于点，与的上下两支交于点，从上到下依次为，当时，是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 33．（2025·黑龙江·二模）已知双曲线，A为右顶点，点，，在双曲线上（不同于点A），使得． (1)求坐标； (2)记的坐标为．对的正整数，按照以下规则依次定义：过作一条平行于的直线与双曲线交于（不同于）．证明：为等比数列； (3)时，求n边形的面积． 34．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知直线与双曲线及其渐近线分别交于点，和点，. (1)求实数的取值范围； (2)证明：； (3)若，过双曲线上一点向双曲线作切线，，其斜率分别为，，问是否存在这样的，使得为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，请说明理由. 35．（2025·黑龙江大庆·二模）焦点在轴上的双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 36．（2025·黑龙江大庆·二模）已知双曲线经过点，的角平分线与轴交于，则双曲的离心率（    ） A． B． C． D．2 37．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M为双曲线E右支上一点，点N在x轴上，满足，若，则双曲线E的离心率为（    ） A． B． C． D． 抛物线及其性质题型04 38．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）设.为抛物线的焦点，的准线与轴交于一点，过的直线与交于、两点.若的面积是的面积的3倍，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 39．（多选题）（2025·黑龙江·二模）已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与C交于，两点，动点在C的准线上，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，，则 C．若，则为定值 D．若，且满足，则直线l的斜率为 40．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知抛物线的焦点为，直线与以为圆心，为半径的圆相切，交于两点，且直线过，则（   ）． A．的周长为 B．圆为的内切圆 C．准线和所夹锐角正弦值为 D．抛物线上存在一点，使得为等边三角形 41．（2025·黑龙江大庆·二模）已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，点为抛物线上一动点且在抛物线准线上的投影为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 42．（2025·黑龙江大庆·二模）已知抛物线的焦点为准线为为抛物线上一点，过点作直线于点，且的内心，则内切圆的面积为（    ） A． B． C． D． 43．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知抛物线上一点到其准线和焦点的距离之和为，则 ；过点的直线与交于、两点，以为直径的圆与直线有交点，则面积的最小值为 . 44．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知是拋物线的焦点，是抛物线上的点，为坐标原点，当时，则的面积为 ． 45．（2025·黑龙江大庆·二模）如图所示，由部分抛物线和半圆所组成的曲线称为“黄金抛物线”，若“黄金抛物线”经过点和. (1)求“黄金抛物线”的方程； (2)点为“黄金抛物线”在第四象限上一点，且“黄金抛物线”在点处的切线恰好与“黄金抛物线”在第三象限相切于点，求直线的方程； (3)设和，过点作直线与“黄金抛物线”交于三点，问是否存在这样的直线，使得平分.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 46．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）平面直角坐标系中，已知曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离大1． (1)求曲线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线、，直线与曲线交于、两点，直线与曲线交于、两点，求的最小值． 47．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于两个动点（可以重合） (1)求点的轨迹的方程； (2)过点的两条直线相互垂直，直线与交于两点，直线与交于两点，线段的中点分别为. ①求四边形面积的最小值； ②判断直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 48．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，已知点，轴于点，是线段OB上任意一点，轴于点，于点，与相交于点. (1)求点的轨迹方程； (2)设点轨迹所在的完整圆锥曲线为 ①是上的一点，求经过点且与相切的直线方程 ②直线与相交于，经过且与轴平行的直线与曲线相交于，经过且与相切的直线与相交于，经过且与轴平行的直线与曲线相交于，如此类推，得到一系列的点，求 49．（2025·黑龙江·二模）已知经过定点的动圆与直线相切，记圆心的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同的两点，以分别为切点作曲线的切线与的交点为. (1)求点的轨迹方程； (2)设点，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，已知. （i）求数列的通项； （ii）已知为数列的前项和，求使不等式成立时，的最小值. 新定义与新情景问题题型05 50．（2025·黑龙江牡丹江·二模）2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点，（）的距离之积为定值．当时，C上第一象限内的点P满足的面积为，则（   ） A．6 B． C． D． 51．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知曲线，则（   ） A．曲线的图象关于轴对称 B．曲线上任意一点横坐标的最小值为 C．曲线与轴围成封闭图形的面积大于 D．直线与曲线有三个交点 52．（多选题）（2025·黑龙江大庆·二模）比利时数学家丹德林用一个双球模型证明用平面截圆锥面，可以截出椭圆、双曲线、抛物线.如图，两个对顶圆锥的轴线与母线成角为，在两个圆锥中，各有一个球，两球球心分别为，，两球半径分别为，且与圆锥侧面相切，两个对顶圆锥的轴与平面所成角为且平面与两球相切于，两点，则平面与圆锥侧面的交线为双曲线一部分，则下列说法中正确的是（   ） A．，两点为双曲线的两个焦点 B． C．若，则该双曲线为等轴双曲线 D．双曲线的实轴长为 53．（2025·黑龙江大庆·二模）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了用于计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它的意思可以描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果所截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕轴旋转一周，得到一个旋转体，用祖暅原理可求得这个旋转体的体积为 . 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$