专题2.8 对数函数讲义+巩固训练-2026届高三数学一轮复习

专题2.8 对数函数 基础巩固 一、单选题 1．（2025·福建厦门·三模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上�内蒙古赤峰�阶段练习）设，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 4．华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（    ） A．B．C．D． 5． “”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数，若，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 7．若函数且在上的值域为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，若的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025·浙江杭州·模拟预测）定义新运算：，设，命题，则（ ） A．，且为假 B．，且为假 C．，且为真 D．，且为真 二、多选题 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域是 B．函数的值域是 C．函数的单调递增区间是 D．不等式的解集是 12．（2025·湖北孝感·三模）已知函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 13．（2025高三�全国�专题练习）已知函数（且）与（且）的图象关于坐标原点对称，则函数与的大致图象可能是（   ） A．  B．  C．  D．   14．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知函数，则（   ） A．是奇函数 B． C．在上单调递减 D．在上单调递增 三、填空题 15．（2025·上海宝山·二模）已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为 ． 16．（2025·甘肃白银·二模）已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 ． 17．（2025·湖北恩施·模拟预测）若函数定义域为，则a的取值范围是 . 18．（2025·北京·模拟预测）已知函数， ①当，时，恰有1个零点； ②若，则对于任意的，都有零点； ③当时，若函数恰有1个零点，则满足条件的取值唯一； ④当时，存在的取值，使得有3个零点. 其中所有正确结论的序号是： . 四、解答题 19．设函数． (1)当时，求的值； (2)判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论； (3)当时，的最小值为3，求m的值． 20．已知函数且，且函数的图像过点． (1)求函数的解析式； (2)若成立，求实数m的取值范围． 21．已知函数 (1)求不等式 的解集； (2)当 时，求该函数的值域； (3)若 对于任意 恒成立，求的取值范围. 能力提升 22．（多选题）已知函数，则（    ） A．的最小值为2 B．， C． D． 23．已知函数，，，，则（    ） A． B． C． D． 24．已知函数，若，且 ，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 25．（2025·四川·模拟预测）已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 26．（多选题）（24-25高三上�山西大同�开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象恒过某个定点 B．在上单调递减，在上单调递增 C．图象上存在两个不同的点关于轴对称 D．若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 27．设函数的定义域为D，若满足：①在D内是单调增函数；②存在（），使得在上的值域为，那么就称是定义域为D的“成功函数”.若函数（，是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（2024�广东�一模）已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（    ） A．16 B．24 C．32 D．48 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.8 对数函数 基础巩固 一、单选题 1．（2025·福建厦门·三模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算、求指数函数在区间内的值域、由对数函数的单调性解不等式 【分析】首先化简求解集合、，再求即可. 【详解】， ， 因为，函数单调递增， 所以，所以，即 . 所以. 故选：C 2．（24-25高三上�内蒙古赤峰�阶段练习）设，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较对数式的大小、比较指数幂的大小 【分析】利用指数函数，对数函数单调性可得答案. 【详解】由函数在上单调递增，可得， . 因函数在R上单调递增，则.故， 即. 故选：A 3．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数的运算性质的应用、比较对数式的大小 【分析】将三个数化为的形式，即可根据对数函数的单调性与图像进行判断. 【详解】因为，，， 所以. 故选：A 4．华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【知识点】根据对数型函数图象判断参数的范围、判断指数型函数的图象形状 【分析】根据题意，求得，结合指数函数的图象与性质以及图象变换，即可求解. 【详解】由题意，根据函数的图象，可得， 根据指数函数的图象与性质， 结合图象变换向下移动个单位，可得函数的图象只有选项C符合. 故选：C. 5． “”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】对数型复合函数的单调性、判断命题的必要不充分条件 【分析】结合对数复合函数的单调性及充分条件、必要条件的定义，即可得答案. 【详解】令，， 若在上单调递增， 因为是上的增函数， 则需使是上的增函数且， 则且，解得. 因为⫋，故是的必要不充分条件， 故选：C. 6．已知函数，若，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由对数函数的单调性解不等式 【分析】讨论，结合对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】， 当时，， 当时，，因为， 所以， 故选：A 7．若函数且在上的值域为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【知识点】对数函数单调性的应用、根据函数的最值求参数 【分析】分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，根据题意可得出关于实数、的方程组，解之即可. 【详解】因为且， 当时，，此时，函数在上单调递减， 根据题意可得，解得； 当时，，此时，函数在上单调递增， 根据题意可得，解得. 综上所述，或. 故选：A. 8．函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求对数函数在区间上的值域、求已知指数型函数的最值、求二次函数的值域或最值 【分析】对两边取对数，得到，继而换元，令，再结合求解二次函数的最值问题，即可求得答案. 【详解】由，设， 故， 令，则， 当时，取到最大值， 故y的最大值为，即函数的最大值为， 故选：D 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是结合函数解析式的结构特点，采用两边取对数再结合换元的方法，将原问题转化为求二次函数的最值问题. 9．已知函数，若的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围、对数型复合函数的单调性 【分析】根据复合函数单调性以及对数函数相关知识进行求解即可. 【详解】由，得， 所以函数定义域为， 因为由外层函数和内层函数复合而成， 当时，内层函数单调递增，外层函数单调递减，所以单调递减， 当时，内层函数单调递减，外层函数单调递减，所以单调递增， 所以，所以， 又因为，所以. 故选：C 10．（2025·浙江杭州·模拟预测）定义新运算：，设，命题，则（ ） A．，且为假 B．，且为假 C．，且为真 D．，且为真 【答案】D 【知识点】求已知指数型函数的最值、求对数函数的最值、全称命题的否定及其真假判断、函数新定义 【分析】根据题意结合指对数函数性质分析可知，再根据命题的否定分析判断. 【详解】因为，且， 则，， 可得，即命题为假命题， 所以，且为真命题. 故选：D. 二、多选题 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域是 B．函数的值域是 C．函数的单调递增区间是 D．不等式的解集是 【答案】BC 【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的值域、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据对数函数相关的复合函数的定义域，值域，单调性及解对数不等式，依次判断即可得出结果. 【详解】选项A；令，解得或，所以函数的定义域为，故A错误； 选项B：由定义域可知，所以函数的值域是，故B正确； 选项C：由（1）可知，函数在上为增函数， 在上为减函数，在定义域内为增函数， 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，故C正确； 选项D：由，且在定义域内为增函数， 所以，解得或， 所以不等式的解集是，故D错误； 故选：BC. 12．（2025·湖北孝感·三模）已知函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、对数型复合函数的单调性 【分析】设，可得函数在上单调递减，根据复合函数的单调性即可得的范围即可判断AB，利用单调性即可判断CD. 【详解】的定义域为． 设，可得函数在上单调递减， 在上单调递增， 根据复合函数的单调性可得，故A正确，B错误； 由，可得， 又在上单调递减， 则，故C正确，D错误． 故选：AC． 13．（2025高三�全国�专题练习）已知函数（且）与（且）的图象关于坐标原点对称，则函数与的大致图象可能是（   ） A．  B．  C．  D．   【答案】AC 【知识点】函数图像的识别 【分析】根据给定条件，推导得，再按，分类讨论，结合函数单调性判断即得. 【详解】在函数的图象上任取点， 则点在的图象上， 即，于是对任意成立，则， 当时，函数是上的减函数，，则是上的增函数，故C符合，D不符合； 当时，函数是上的增函数，，则是上的减函数，故A符合，B不符合． 故选：AC. 14．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知函数，则（   ） A．是奇函数 B． C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】ACD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定义域 【分析】A选项，利用函数奇偶性的定义判断，B选项，特值代入说明不成立，C和D选项，利用复合函数的单调性判断. 【详解】要使得函数有意义，则，解得且，所以的定义域关于原点对称， 且，从而是奇函数，A正确； ，B错误； 当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，C正确； 当时，， 在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，D正确. 故选：ACD 三、填空题 15．（2025·上海宝山·二模）已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为 【答案】 【知识点】对数型函数图象过定点问题、指数型函数图象过定点问题 【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质求解即可. 【详解】令，可得. 所以定点的坐标为. 故答案为：. 16．（2025·甘肃白银·二模）已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、研究对数函数的单调性 【分析】由分段函数的单调性得到求解即可. 【详解】由是R上的单调递增函数， 可得：， 解得：， 所以实数a的取值范围为， 故答案为： 17．（2025·湖北恩施·模拟预测）若函数定义域为，则a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求对数函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】应用一元二次不等式恒为正分两种情况计算求解. 【详解】对一切实数均成立， 所以当时，显然成立； 当时，， 解得； 故的取值范围为. 故答案为： 18．（2025·北京·模拟预测）已知函数， ①当，时，恰有1个零点； ②若，则对于任意的，都有零点； ③当时，若函数恰有1个零点，则满足条件的取值唯一； ④当时，存在的取值，使得有3个零点. 其中所有正确结论的序号是： . 【答案】①② 【知识点】指数函数图像应用、函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个数、对数函数图象的应用 【分析】利用函数零点问题转化为方程，然后再构造两个函数图象的交点个数问题，从而可利用数形结合来解决问题. 【详解】对于①，当，时，由， 分别作出函数与的图象， 由图像可得两函数必有一个交点，则有唯一零点，故①正确； 对于②，若，由， 分别作出函数与的图象，当时作图可得： 此时由图像可得两函数必有一个交点，但当时又作图可得： 此时由图像可得两函数也必有一个交点，则都有零点，故②正确； 对于③，若时，由， 分别作出函数与的图象，当时作图可得： 此时由图像可得两函数必有一个交点，说明对任意的，都满足有一个零点，即满足条件的的取值并不唯一，故③错误； 对于④，若时，由， 分别作出函数与的图象，当时作图可得： 此时由图像可得两函数必有一个交点，说明对任意的，不满足有三个零点， 所以当时，又分别作出函数与的图象，    此时由图像可得两函数可能没有交点，或只有一个交点，或有两个交点，但一定没有三个交点，所以不满足有三个零点，故④错误， 故答案为：①②. 四、解答题 19．设函数． (1)当时，求的值； (2)判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论； (3)当时，的最小值为3，求m的值． 【答案】(1)2 (2)在区间上的单调递增，证明见解析 (3)7 【知识点】对数的运算、利用函数单调性求最值或值域、定义法判断或证明函数的单调性、求函数值 【分析】（1）求出函数的解析式，进而求出的值； （2）利用函数单调性的定义证明单调性； （3）由（2）的单调性，可得，求出的值. 【详解】（1）当时，， 所以. （2）在区间上的单调递增，证明如下： 在上任取，且， 则， 因为，，所以， 所以，即， 所以，即，所以， 即在区间上的单调递增. （3）时，由（2）可得在上单调递增， 所以， 所以. 20．已知函数且，且函数的图像过点． (1)求函数的解析式； (2)若成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求对数函数的解析式、由对数函数的单调性解不等式、 对数函数y=log2x的图像和性质 【分析】（1）把点代入函数,求出即可. （2）利用对数函数的单调性,列出不等式,求解即可. 【详解】（1）函数的图像过点, 且 （2）， 当时,在上为增函数, 或. 实数的取值范围为或. 21．已知函数 (1)求不等式 的解集； (2)当 时，求该函数的值域； (3)若 对于任意 恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、由对数函数的单调性解不等式、求二次函数的值域或最值、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）把看成整体，先由不等式求得的范围，再利用对数函数的单调性即可求得不等式的解集； （2）设，由条件求出，将函数化成关于的二次函数，利用其单调性即可求得原函数的值域； （3）设，由条件求出，原不等式恒成立问题转化成在上恒成立，利用函数的单调性求得函数的最大值，即得参数的范围. 【详解】（1）由可得：，即， 则得或，解得或， 即不等式 的解集为； （2）设，因，则，于是，， 该函数在上单调递减，在上单调递增，而， 故，即该函数的值域为； （3）设，因，则，于是即， 依题意，可得在上恒成立， 因函数在上单调递增，故，故得， 即的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查对数型函数不等式的求解及值域、恒成立问题，属于难题. 解题的关键是，通过对数换元将其化成关于新元的一元二次不等式或函数式，以及不等式恒成立问题，通过参数分离即可求得参数范围. 能力提升 22．（多选题）已知函数，则（    ） A．的最小值为2 B．， C． D． 【答案】AC 【知识点】比较对数式的大小、求对数函数的最值、对数型复合函数的单调性 【分析】确定在上单调递减，在上单调递增，函数关于对称，计算最值得到A正确，，B错误，，C正确，，D错误，得到答案. 【详解】，在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增， ，函数关于对称， 对选项A：的最小值为，正确； 对选项B：，错误； 对选项C：，故，，正确； 对选项D：，故，错误； 故选：AC. 23．已知函数，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数型复合函数的单调性、对数的运算、比较函数值的大小关系、比较对数式的大小 【分析】由对数运算性质，借助中间量得，进而在结合函数的单调性比较大小即可. 【详解】解：由得，解得， 所以，函数的定义域为， 因为， 由于函数在上单调递减，函数在定义域上单调递增， 所以，根据复合函数的单调性得在上单调递减， 因为，，， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，， 所以，由函数单调递减的性质得. 故选：A 24．已知函数，若，且 ，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数的运算、根据对数型函数图象判断参数的范围 【分析】根据题意得，作出图像分析时，有，化简，从而得到答案. 【详解】由题可得：，作出的图像如下： 由，且，则，，即，解得：， 所以 由，则， 所以，故当，即时，取最小值为. 故选：B 25．（2025·四川·模拟预测）已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据指对幂函数零点的分布求参数范围、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、指数式与对数式的互化、对数函数图象的应用 【分析】根据函数解析式画出函数大致图象，数形结合有且，结合解析式有、、，最后由指数函数、对勾函数性质求目标式的范围. 【详解】根据函数解析式，可得函数大致图象如下， 由图知，且， 由，得，即，故， 由，则，由，则， 所以，且在上单调递增， 所以. 故选：A 26．（多选题）（24-25高三上�山西大同�开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象恒过某个定点 B．在上单调递减，在上单调递增 C．图象上存在两个不同的点关于轴对称 D．若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【知识点】对数型复合函数的单调性、函数不等式恒成立问题、判断或证明函数的对称性、对数型函数图象过定点问题 【分析】根据可判断A的正误，就的不同取值分类讨论后可判断函数的单调性，故可判断B的正误，考虑是否有解后可判断C的正误，而任意，恒成立等价任意，恒成立，故可求参数的取值范围，从而判断D的正误. 【详解】对于A，因为，故的图象恒过原点，故A正确； 对于B，若，则， 故在上单调递减，在上单调递增； 若，则， 故在上单调递减，在上单调递增,故B正确. 对于C，考虑是否有解， 而等价于， 也即等价于， 也即等价于或， 两个方程均无解， 故图象上不存在两个不同的点关于轴对称，故C错误. 对于D，若对任意，恒成立， 则对任意，恒成立即恒成立， 故，故或， 所以或，故D成立， 故选：ABD. 27．设函数的定义域为D，若满足：①在D内是单调增函数；②存在（），使得在上的值域为，那么就称是定义域为D的“成功函数”.若函数（，是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复合函数的单调性、函数与方程的综合应用、函数新定义、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】根据给定定义，利用复合函数的单调性确定的单调性，再利用对数函数的性质及一元二次方程实根分布求解作答. 【详解】依题意，函数定义域为R，令，显然， 函数在上单调性与在R上单调性相同，则函数在R上单调递增， 显然，而当时，函数不满足条件②，因此， 由于函数在上的值域为，则，即， 于是是方程的两个不等实根， 令，当时，则方程有两个不等的正实根， 因此，解得； 当时，则方程在上有两个不等的正实根， 则，无解； 所以t的取值范围是. 故选：A 【点睛】思路点睛：涉及一元二次方程的实根分布问题，可借助二次函数及其图象，利用数形结合的方法解决一元二次方程的实根问题. 28．（2024�广东�一模）已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（    ） A．16 B．24 C．32 D．48 【答案】B 【知识点】排列组合综合、判断指数函数的单调性、研究对数函数的单调性、判断一般幂函数的单调性 【分析】分类讨论单调性，结合排列数、组合数运算求解. 【详解】若和在上单调递增，在上单调递减， 则有个； 若和在上单调递增，在上单调递减， 则有个； 若和在上单调递增，在上单调递减， 则有个； 若、和在上单调递增，则有个； 综上所述：共有个. 故选：B. 【点睛】方法点睛：两个计数原理的应用技巧 （1）在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理． （2）对于复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.8 对数函数 题型1 对数型函数图像的应用 4 考点1 对数型函数图像的判断 4 考点2 对数函数图像的应用-数形结合 5 题型2 对数型函数图像过定点问题 5 题型3 对数值的比较大小 5 题型4 由对数函数单调性解不等式 6 题型5 由对数型函数单调性求参数范围 7 题型6 对数函数有关的函数值域及最值问题 8 题型7 对数函数的综合应用 9 高考真题演练 12 知识点一 对数函数的概念 1．对数函数的概念 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，定义域是 注：以10为底的对数函数叫做常用对数函数， 以为底的对数函数叫做自然对数函数. 2．判断一个函数是对数函数的依据 (1)形如; (2)底数满足; (3)真数是，而不是的函数； (4)定义域为 知识点二 对数函数的图像与性质 1．对数函数的图像与性质 底数 图象 性质 定义域 值域 定点 函数图象恒过点，即时，. 函数值的正负 当 时，； 当时， 当时，； 当时， 单调性 在上为增函数 在上为减函数 对称性 函数与的图象关于轴对称. 2．底数对对数函数函数图象的影响 (1)底数与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降” 当时，对数函数的图象“上升”； 当时，对数函数的图象“下降”. (2)底数的大小决定了图象相对位置的高低 无论是还是，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线的右侧，时，越大，图象越靠近轴；时，越小，图象越靠近轴； ②左右比较：比较图象与直线的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大. 拓展1 与对数函数有关的函数定义域 (1)对数函数的定义域为 (2)形如的函数，定义域由 来确定. (3)形如的复合函数在求定义域时，必须保证每一部分都要有意义. 拓展2 与对数函数有关的函数值域 (1)对数函数的值域利用函数的单调性求解. (2)求形如的复合函数的值域，先求的值域，然后结合函数的性质确定函数的值域. (3)求形如的复合函数的值域，其中复合函数一般是关于的二次函数，可采用换元法求解，注意新元的取值范围. 拓展3 与对数函数有关的函数单调性 对数型复合函数一般分为两类：型和型. (1)对于型复合函数的单调性，一般用复合法判定，即令，则只需研究及的单调性即可. (2)对于 型复合函数的单调性，首先由确定函数的定义域，然后判断在定义域上的单调性，然后结合底数或再来确定的单调性，其核心是同增异减. 拓展4 与对数函数有关的函数奇偶性 由于对数函数的定义域为，因而其本身是非奇非偶函数.但与对数函数有关且具有奇偶性的函数却屡见不鲜.例如： (1)函数和函数均为奇函数. (2)函数是奇函数. (3)函数是偶函数. 题型1 对数型函数图像的应用 考点1 对数型函数图像的判断 1．（多选题）（2025·安徽合肥·三模）已知且，则函数的图象一定经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（多选题）（2023·河南信阳·模拟预测）函数的大致图象不可能为（    ） A．    B．  C．  D．   3．若函数在上既是奇函数，又是减函数，则的图象是（    ） A． B． C． D． 4．函数的部分图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   考点2 对数函数图像的应用-数形结合 5．（2025·陕西西安·一模）已知函数，，若有一个零点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南·二模）若函数与直线恰有三个交点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·海南·模拟预测）已知函数，若存在不相等的实数，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型2 对数型函数图像过定点问题 8．（2025·安徽滁州·一模）已知函数恒过定点，则 . 9．函数（，且）的图象恒过定点，若点在函数（，且）的图象上，则的最小值为 ． 题型3 对数值的比较大小 10．（2025·天津河西·二模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·海南儋州·模拟预测）已知函数，设，，，则（   ） A． B． C． D． 12．（2025·天津·二模）若，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 13．（2025·天津·二模）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高三上�广西�阶段练习）函数的定义域为，满足：①，②任意，都有.设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 15．（2024·湖北荆州·模拟预测）已知，则正数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型4 由对数函数单调性解不等式 16．（2025·上海·模拟预测），则 的解集为 ． 17．（2025·福建宁德·三模）设函数，则满足的的取值范围是 . 18．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）若函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 19．（2025·山西临汾·三模）已知，则满足的实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 20．（2025·福建三明·三模）若实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．（2025·辽宁鞍山·二模）已知、是函数的图象上两个不同的点，则（   ） A． B． C． D． 题型5 由对数型函数单调性求参数范围 22．（2025·广东·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．（2025·江苏南通·二模）已知函数，则“”是“函数在上单调递减”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 24．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（2025·福建·模拟预测）若且，已知是R上的单调函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型6 对数函数有关的函数值域及最值问题 26．（2025·河南·三模）函数的定义域为 ，值域为 . 27．（2025·江苏泰州·二模）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为 ． 28．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数的值域为，则实数的值为 . 29．（2024·甘肃庆阳·一模）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 30．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 31．（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 32．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知函数 （且）， 若有最小值， 则实数a的取值范围是 . 33．（2024·上海·模拟预测）函数的最小值为 . 34．已知，设，则函数的最大值为 . 题型7 对数函数的综合应用 35．（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）已知函数的定义域为R. (1)求的取值范围； (2)当时，判断的奇偶性，并解关于的不等式. 36．已知函数是偶函数. (1)求的值; (2)设 ，，若对任意的 ，存在，使得，求的取值范围. 37．（24-25高三上�辽宁大连�期中）已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 38．（2024·江苏南通·一模）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 一、单选题 1．（2020·山东·高考真题）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（2020·全国III卷·高考真题）设，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2021·全国乙卷·高考真题）设，，．则（    ） A． B． C． D． 5．（2018·全国III卷·高考真题）下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是 A． B． C． D． 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 7．（2020·海南·高考真题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2020·北京·高考真题）函数的定义域是 ． 9．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 10．（2022·上海·高考真题） (1)若将函数图像向下移后，图像经过，求实数a，m的值. (2)若且，求解不等式. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.8 对数函数 题型1 对数型函数图像的应用 4 考点1 对数型函数图像的判断 4 考点2 对数函数图像的应用-数形结合 6 题型2 对数型函数图像过定点问题 8 题型3 对数值的比较大小 9 题型4 由对数函数单调性解不等式 12 题型5 由对数型函数单调性求参数范围 16 题型6 对数函数有关的函数值域及最值问题 18 题型7 对数函数的综合应用 22 高考真题演练 27 知识点一 对数函数的概念 1．对数函数的概念 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，定义域是 注：以10为底的对数函数叫做常用对数函数， 以为底的对数函数叫做自然对数函数. 2．判断一个函数是对数函数的依据 (1)形如; (2)底数满足; (3)真数是，而不是的函数； (4)定义域为 知识点二 对数函数的图像与性质 1．对数函数的图像与性质 底数 图象 性质 定义域 值域 定点 函数图象恒过点，即时，. 函数值的正负 当 时，； 当时， 当时，； 当时， 单调性 在上为增函数 在上为减函数 对称性 函数与的图象关于轴对称. 2．底数对对数函数函数图象的影响 (1)底数与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降” 当时，对数函数的图象“上升”； 当时，对数函数的图象“下降”. (2)底数的大小决定了图象相对位置的高低 无论是还是，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线的右侧，时，越大，图象越靠近轴；时，越小，图象越靠近轴； ②左右比较：比较图象与直线的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大. 拓展1 与对数函数有关的函数定义域 (1)对数函数的定义域为 (2)形如的函数，定义域由 来确定. (3)形如的复合函数在求定义域时，必须保证每一部分都要有意义. 拓展2 与对数函数有关的函数值域 (1)对数函数的值域利用函数的单调性求解. (2)求形如的复合函数的值域，先求的值域，然后结合函数的性质确定函数的值域. (3)求形如的复合函数的值域，其中复合函数一般是关于的二次函数，可采用换元法求解，注意新元的取值范围. 拓展3 与对数函数有关的函数单调性 对数型复合函数一般分为两类：型和型. (1)对于型复合函数的单调性，一般用复合法判定，即令，则只需研究及的单调性即可. (2)对于 型复合函数的单调性，首先由确定函数的定义域，然后判断在定义域上的单调性，然后结合底数或再来确定的单调性，其核心是同增异减. 拓展4 与对数函数有关的函数奇偶性 由于对数函数的定义域为，因而其本身是非奇非偶函数.但与对数函数有关且具有奇偶性的函数却屡见不鲜.例如： (1)函数和函数均为奇函数. (2)函数是奇函数. (3)函数是偶函数. 题型1 对数型函数图像的应用 考点1 对数型函数图像的判断 1．（多选题）（2025·安徽合肥·三模）已知且，则函数的图象一定经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】AB 【知识点】对数型函数图象过定点问题、对数函数图象的应用 【分析】根据对数函数图象性质判断即可. 【详解】由，且， 则， 即函数过点, 当时，函数单调递增，过第一、二、三象限； 当时，函数单调递减，过第一、二、四象限． 故选：AB． 2．（多选题）（2023·河南信阳·模拟预测）函数的大致图象不可能为（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】BCD 【知识点】判断对数型函数的图象形状 【分析】易得函数为偶函数，再结合对数函数的性质即可得解. 【详解】函数的定义域为， 因为，所以函数为偶函数， 当时，为减函数，且过定点， 故函数的大致图象不可能为BCD选项. 故选：BCD. 3．若函数在上既是奇函数，又是减函数，则的图象是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【知识点】判断对数型函数的图象形状、由奇偶性求参数、由指数（型）的单调性求参数 【分析】根据的奇偶性和单调性求得，从而确定的图象. 【详解】由于是上的奇函数，所以， 所以为减函数，所以， 所以，为上的减函数，， 所以BCD选项错误，A选项正确. 故选：A 4．函数的部分图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】函数图像的识别、判断对数型函数的图象形状 【分析】先求的定义域，再判断奇偶性，最后取特殊值判断即可. 【详解】的定义域为，定义域关于原点对称， 因为, 所以是奇函数，排除C选项； 取，则； 取，则，排除B、D选项； 故选：A. 考点2 对数函数图像的应用-数形结合 5．（2025·陕西西安·一模）已知函数，，若有一个零点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、对数函数图象的应用、指数函数图像应用 【分析】根据给定条件，利用零点的意义将问题转化为函数的图象与直线交点，再利用数形结合求出范围. 【详解】由，得，因此有一个零点， 当且仅当函数的图象与直线有且仅有一个公共点， 函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为R， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线的图象， 观察图象知，当时，函数的图象与直线有两个交点， 当时，函数的图象与直线有1个交点， 所以m的取值范围是. 故选：C 6．（2025·湖南·二模）若函数与直线恰有三个交点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】画出函数的图象，结合图像求解即可. 【详解】画出的图象， 由图象可知a的范围是. 故选：D 7．（2025·海南·模拟预测）已知函数，若存在不相等的实数，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、对数函数图象的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】根据给定条件，结合二次函数的对称性可得，利用对数运算可得，再利用函数图象及性质求出的取值范围即可. 【详解】函数的图象对称轴，， 函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为， 在单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为， 令，则函数的图象与直线有4个交点， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线， 观察图象，得，，由，得， 由，得，则， 函数在上单调递减，，因此， 所以的取值范围为. 故选：C 题型2 对数型函数图像过定点问题 8．（2025·安徽滁州·一模）已知函数恒过定点，则 . 【答案】 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】令求解即可. 【详解】令，则，又，所以过定点， 即，，所以 故答案为： 9．函数（，且）的图象恒过定点，若点在函数（，且）的图象上，则的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】对数型函数图象过定点问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据对数函数的性质求出点坐标，从而得到，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】对于函数（，且），令，即， 此时， 即函数（，且）的图象恒过定点， 则（，且）， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故答案为：. 题型3 对数值的比较大小 10．（2025·天津河西·二模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数函数单调性的应用、比较对数式的大小 【分析】利用对数函数单调性限定出的取值范围即可. 【详解】易知，即； 而，即； 又，因此， 所以. 故选：D 11．（2025·海南儋州·模拟预测）已知函数，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较对数式的大小 【分析】根据对数函数的性质及单调性即可求解. 【详解】因为当时，为上的增函数， 又， 所以，即， 故选：A 12．（2025·天津·二模）若，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较指数幂的大小、运用换底公式化简计算、对数函数单调性的应用、比较对数式的大小 【分析】利用指数函数单调性判定，利用对数函数单调性得到，进而得到，然后作出判定. 【详解】∵函数为单调递增函数，∴ ∵函数单调递增，∴ ∴， ∴大小关系为， 故选：C. 13．（2025·天津·二模）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较对数式的大小、对数的运算性质的应用 【分析】由对数的运算性质结合对数函数的单调性可得. 【详解】因为，， 所以，即； 又，所以， 故选：D． 14．（24-25高三上�广西�阶段练习）函数的定义域为，满足：①，②任意，都有.设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系、对数的运算性质的应用、比较对数式的大小 【分析】由题意可知：为奇函数且在上的增函数，结合函数性质分析判断. 【详解】由①可知：为奇函数；由②可知：是上的增函数； 且， 因为，则，所以. 故选：B. 15．（2024·湖北荆州·模拟预测）已知，则正数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数函数图象的应用、比较零点的大小关系、比较对数式的大小 【分析】通过将已知等式变形得到关于、、的方程，然后将方程的解转化为函数图像交点的横坐标，最后通过比较函数图像交点的位置来确定、、的大小关系. 【详解】设，由此， 分别为方程的解，在同一坐标系作函数的图像， 分别与函数的图像分别交于，其横坐标分别为， 由图可知. 故选：A. 题型4 由对数函数单调性解不等式 16．（2025·上海·模拟预测），则 的解集为 ． 【答案】 【知识点】对数型复合函数的单调性、由对数函数的单调性解不等式 【分析】由复合函数的单调性解抽象不等式可得. 【详解】由题意可得函数定义域为， 由复合函数的定义域易得函数在定义域上为减函数，且， 所以，即， 所以解集为. 故答案为：. 17．（2025·福建宁德·三模）设函数，则满足的的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由对数函数的单调性解不等式 【分析】先求得函数定义域，然后分与讨论，结合对数函数的单调性代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 则，解得，所以定义域为， 当时，， 由可得，即，无解； 当时，， 由可得，即， 即，解得， 又，所以， 即不等式的解集为. 故答案为： 18．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）若函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、解不含参数的一元二次不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】利用函数的奇偶性和单调性来求解不等式即可. 【详解】因为， 所以，又因为定义域为关于原点对称， 所以是奇函数， 由于， 可知函数在定义域上单调递减， 所以 即，即， 则，该不等式组无解，所以解集为. 故选：D. 19．（2025·山西临汾·三模）已知，则满足的实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数奇偶性解不等式、由对数（型）的单调性求参数、求对数型复合函数的定义域 【分析】由函数解析式明确定义域，判其奇偶性，整理函数解析式，根据指数函数、对勾函数以及复合函数的单调性，可得函数的单调性，简化不等式，可得答案. 【详解】由，易知其定义域为， 由 ，则函数为偶函数， ， 由在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 由，则，即， 整理可得，分解因式可得， 解得. 故选：A 20．（2025·福建三明·三模）若实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由对数函数的单调性解不等式 【分析】将题干中的不等式变形为，令，其中，分析该函数的单调性，将不等式变形为，结合函数的单调性即可得解. 【详解】因为实数满足，即，可得， 令，其中， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，由，可得，故. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 21．（2025·辽宁鞍山·二模）已知、是函数的图象上两个不同的点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由基本不等式证明不等关系、由对数函数的单调性解不等式、对数的运算性质的应用 【分析】根据基本不等式求出，再利用对数函数的单调性及对数的运算即可求解. 【详解】根据已知条件有，，所以， 因为、是函数的图象上两个不同的点， 所以，所以，即， 因为为上的增函数， 所以， 所以 故选：B 题型5 由对数型函数单调性求参数范围 22．（2025·广东·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数型复合函数的单调性、与二次函数相关的复合函数问题、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】由复合函数的单调性得到在上单调递增，列出不等式组，解之即得参数范围. 【详解】因为在上单调递增，由函数在上单调递增， 可得在上单调递增且恒成立， ，解得， 即实数的取值范围是. 故选：C. 23．（2025·江苏南通·二模）已知函数，则“”是“函数在上单调递减”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】判断命题的必要不充分条件、对数型复合函数的单调性、由对数（型）的单调性求参数 【分析】根据给定条件，结合对数复合函数单调性求出的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】令，函数在上单调递增， 由函数在上单调递减，得函数在上单调递减，且当时，， 因此，解得， 所以“”是“函数在上单调递减”的必要不充分条件. 故选：C 24．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数型复合函数的单调性、由对数（型）的单调性求参数 【分析】根据复合函数单调性确定内层函数与外层函数的单调性，结合函数的定义域列不等式组即可得的取值范围. 【详解】由函数在上单调递增， 可得在上单调递增， 且在上恒成立，故需满足，解得. 故选：B. 25．（2025·福建·模拟预测）若且，已知是R上的单调函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由对数（型）的单调性求参数、分段函数的性质及应用 【分析】先根据一次函数单调递增得出函数是增函数，再根据对数复合函数的单调性及分段函数列不等式求解即可. 【详解】因为在R上单调，且当时，单调递增， ∴在R上单调递增，则需满足， 解得， 即a的取值范围是， 故选：B． 题型6 对数函数有关的函数值域及最值问题 26．（2025·河南·三模）函数的定义域为 ，值域为 . 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域、求对数型复合函数的值域 【分析】先求证恒成立，即可由得出定义域，再化简即可求出值域. 【详解】因为，所以恒成立， 由，得，则的定义域为， ，故的值域为. 故答案为：； 27．（2025·江苏泰州·二模）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围 【分析】根据给定条件，利用对数函数值域确定真数取值集合，再利用二次函数求出范围. 【详解】由函数的值域为R，得函数的值域包含， 因此，解得或， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 28．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数的值域为，则实数的值为 . 【答案】1 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围 【分析】利用复合函数的单调性可得的最大值为4，结合二次函数的性质确定参数的值并验证即得. 【详解】因的值域为， 即，又在定义域内为增函数，故的最大值为4， 则，由，可得时，，解得， 此时的定义域为， 在上单调递增，在上单调递减， 则得，符合题意. 故答案为：1. 29．（2024·甘肃庆阳·一模）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、求对数型复合函数的值域 【分析】利用二次函数与对数函数的性质即可得解. 【详解】对于，有，解得， 对于，其图象开口向下，对称轴为， 当时，，当时，， 所以当时，，即， 又在其定义域内单调递增， 所以，则， 则的值域为. 故选：D. 30．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】求出在区间上的值域，要使的值域为R，只需在区间上的值需取遍区间内所有值，列出关于的不等式组可得答案. 【详解】由题知，在区间上单调递增， ∴在区间上的值域为， 时，， 其对称轴为，要使的值域为R， 则在区间上的值需取遍区间内所有值， ，解得. 故选：C． 31．（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围、根据二次函数的最值或值域求参数、二次函数的图象分析与判断、对数型复合函数的单调性 【分析】根据开口向上，故需在区间上有最小值，且，从而得到不等式，求出答案. 【详解】要使函数在区间上有最大值或最小值， 由于开口向上， 故需函数在区间上有最小值，且． 该函数图像的对称轴为直线，所以， 解得， 所以，且，即实数的取值范围为． 故选：B． 32．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知函数 （且）， 若有最小值， 则实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】利用单调性确定最小值后可得． 【详解】是减函数，在时最小值是， 若，则是减函数，时，，没有最小值，不合题意， 时，是增函数，因此要使得取得最小值，则，解得， 故答案为：． 33．（2024·上海·模拟预测）函数的最小值为 . 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的值域、求对数函数的最值 【分析】根据对数的运算性质将函数化简为，再结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为 ， 当，即时，取到最小值，且. 故答案为： 34．已知，设，则函数的最大值为 . 【答案】8 【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、求对数函数的最值 【分析】由求出的定义域为，然后换元，令，，得，根据二次函数的单调性可求出最大值. 【详解】， 由得，即的定义域为， 令，因为，所以， 所以在上为增函数， 所以时，. 故答案为：. 题型7 对数函数的综合应用 35．（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）已知函数的定义域为R. (1)求的取值范围； (2)当时，判断的奇偶性，并解关于的不等式. 【答案】(1) (2)偶函数，. 【知识点】对数型复合函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）由题意知恒成立，利用换元法将不等式转化为一元二次函数恒成立问题，再利用分离参数求最值即可求解； （2）求出函数的定义域，根据即可判断函数的奇偶性，换元法求出函数在上的单调性，再根据函数的奇偶性可得函数在定义域上的单调性，从而根据单调性判断与的关系. 【详解】（1）因为函数的定义域为， 所以恒成立，所以恒成立， 令，则，所以在上恒成立， 即时， 恒成立，令，， 由，时，，时，， 因此在上单调递增，在上单调递减，所以， 故，即的取值范围为； （2）当时，， 因为的定义域为，定义域关于原点对称， 又因为， 所以为偶函数. 当时，，令， 令，，， 又时，，所以在上单调递增， 即在上单调递增，又在定义域上为增函数， 所以函数在上单调递增，又函数在定义域上为偶函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以， 即，解得， 故原不等式解集为. 36．已知函数是偶函数. (1)求的值; (2)设 ，，若对任意的 ，存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】对数函数单调性的应用、由奇偶性求参数 【分析】（1）由偶函数的性质即可求解的值； （2）由题意可得在上的最小值不小于在上的最小值，分别求出和的最小值，即可求解. 【详解】（1）因为是偶函数， 所以， 即， ， ， ， ， ， ， ， 所以，即. （2）， 因为对任意的 ，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增， 所以， 因为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，解得， 所以的取值范围为. 37．（24-25高三上�辽宁大连�期中）已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求二次函数的值域或最值、由奇偶性求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）根据奇函数的定义求参数的值. （2）把问题转化成函数在上的值域是函数在上值域的子集，根据集合的包含关系求实数的取值范围. 【详解】（1）由题意得，的定义域为，且为奇函数， 所以 所以恒成立，所以. （2）由（1）得，， 因为，所以， 所以当时，的值域． 又， 设，则， 当时，取最小值为，当时，取最大值为， 即在上的值域． 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以，所以， 解得，即实数的取值范围是． 38．（2024·江苏南通·一模）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2). 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数不等式恒成立问题、求对数函数的最值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】（1）利用奇偶性定义证明判断即可； （2）根据对数复合函数单调性确定在上最小值，把问题化为在上恒成立，即可求结果. 【详解】（1）为奇函数，证明如下： 由解析式易知，函数定义域为， 而，故为奇函数. （2）由在上为减函数，而在定义域上为增函数， 所以在上为减函数，故， 要使任意，，不等式恒成立， 只需在上恒成立，即在上恒成立， 由开口向上，则， 综上，. 一、单选题 1．（2020·山东·高考真题）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】具体函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式、求对数函数的定义域 【分析】根据题意得到，再解不等式组即可. 【详解】由题知：，解得且. 所以函数定义域为. 故选：B 2．（2020·全国III卷·高考真题）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较对数式的大小 【分析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 3．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较对数式的大小 【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论. 【详解】，即. 故选：C. 4．（2021·全国乙卷·高考真题）设，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数证明不等式、比较对数式的大小 【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系. 【详解】[方法一]： ， 所以； 下面比较与的大小关系. 记，则，， 由于 所以当0<x<2时，，即，， 所以在上单调递增， 所以，即，即； 令，则，， 由于，在x>0时，， 所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b<c； 综上，， 故选：B. [方法二]： 令 ，即函数在（1，+∞)上单调递减 令 ，即函数在（1，3)上单调递增 综上，， 故选：B. 【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的. 5．（2018·全国III卷·高考真题）下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数对称性的应用、对数型函数图象过定点问题 【详解】分析：确定函数过定点（1，0）关于x=1对称点，代入选项验证即可． 详解：函数过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有过此点． 故选项B正确 点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题． 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断. 7．（2020·海南·高考真题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数型复合函数的单调性 【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可. 【详解】由得或 所以的定义域为 因为在上单调递增 所以在上单调递增 所以 故选：D 【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域. 二、填空题 8．（2020·北京·高考真题）函数的定义域是 ． 【答案】 【知识点】求对数函数的定义域 【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果. 【详解】由题意得， 故答案为： 【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 9．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、解不含参数的一元二次不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围. 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 10．（2022·上海·高考真题） (1)若将函数图像向下移后，图像经过，求实数a，m的值. (2)若且，求解不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析. 【知识点】求对数型复合函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式、对数的运算 【分析】（1）由题知，再根据题意得，解方程即可得答案； （2）根据题意，结合对数函数的单调性将不等式转化为的解集，再分类讨论求解即可. 【详解】（1）解：函数的定义域满足，即， 所以，要使函数的定义域非空，则，即. 若将函数图像向下移后得到的解析式为： ，. 所以在函数的图像上，即， 解得：， 所以， （2）解：由题知， , , 因为函数在上单调递增， 所以等价于，展开整理得：， 所以，不等式的解集为的解， 所以，当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为. 综上，当时，不等式的解为；当时，不等式的解为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$