专题2.7 指数函数讲义+巩固训练-2026届高三数学一轮复习

专题2.7 指数函数 题型1 指数函数的图象及应用 3 考点1 指数型函数图象的判断 3 考点2 指数函数图形的应用 5 题型2 指数型函数图象过定点问题 8 题型3 指数函数单调性的应用 10 考点1 利用指数函数单调性比较幂的大小 10 考点2 利用指数函数单调性解指数不等式 12 考点3 指数型复合函数的单调性问题 16 题型4 求指数型函数值域及最值 18 题型5 有关指数型函数的综合应用 23 高考真题演练 28 知识点一 指数函数的定义 一般地，函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是. 注：规定底数大于零且不等于1的理由： ①若，则当时，当时，无意义. ②若，则对于的某些值，可使无意义.比如，对于，，，函数值不存在. ③若，则是一个常量，没有研究的必要. 拓展 指数型函数的图像过定点的问题 由于指数函数且的图像恒过定点(0，1)，因此我们讨论类似的图像过定点的问题时，只需令指数为0，解出相应的，的值，即可确定定点坐标. 知识点二 指数函数的图像与性质 函数，且的图象和性质如下表： 图象 性质 定义域 值域 最值 无最值 过定点 过定点，即时， 函数值 的变化 当时，； 当时， 当时，； 当时， 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 与的图象关于轴对称 知识点三 底数对指数函数图象的影响 函数和的图象如图所示 观察上图，有如下结论. (1) 当且时，底数越大，图象越“陡”； 当且时，底数越小，图象越“陡”. (2) 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”. 题型1 指数函数的图象及应用 考点1 指数型函数图象的判断 1．若指数函数的图象如图所示，则1，a，b，c，d由小到大的顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围 【详解】利用特值法求解，取，可知． 2．(多选)（2025·湖南娄底·模拟预测）下列函数，其图象平移后可得到函数的图象的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】指数函数图像应用、函数图象的变换 【分析】利用函数图象变换依次判断可得出结论. 【详解】对于A，函数的图象向右平移1个单位长度可得到函数的图象，故A正确； 对于B，函数的图象向上平移2个单位长度可得到函数的图象，故B正确； 对于C，函数的图象上点的横坐标伸长为原来的2倍可得到函数的图象，故C错误； 对于D，函数，其图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，故D正确． 故选：ABD 3．（2025·湖南长沙·一模）已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断对数型函数的图象形状、判断指数型函数的图象形状、函数图像的识别 【分析】依题意可得，再由指数函数和对数函数单调性即可判断得出结论. 【详解】由可知，， 故，故函数与函数的单调性相同， 故选：B. 4．函数图像的大致形状为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状 【分析】中含有，故是分段函数，根据的正负写出分段函数的解析式，对照图象选择即可． 【详解】是分段函数，根据的正负写出分段函数的解析式，， 时，图象与在第一象限的图象一样是增函数， 时，图象与的图象关于轴对称. 故选：B． 5．函数的图象大致为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状 【分析】分析函数的奇偶性可排除选项B，根据时可确定选项. 【详解】设，则， ∴函数为奇函数，选项B错误. 当时，， 由得，， ∴，∴，CD错误，选项A符合要求. 故选：A. 考点2 指数函数图形的应用 6．（2025·甘肃兰州·模拟预测）已知函数 关于 的方程 有两个不等实数根，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数图象的应用、函数与方程的综合应用、指数函数图像应用 【分析】作出函数 的图象与直线 的图象即可求解. 【详解】作出函数 的图象，如图所示， 若关于 的方程 有两个不等实根， 则函数 的图象与直线 有两个交点，由图知，． 故选：D. 7．（2025·广东广州·一模）已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围、比较指数幂的大小、指数函数图像应用 【分析】设指数函数，在同一坐标系中作出三个函数的图象，结合函数图象即可求解. 【详解】设函数， 作出函数图象如下， 设， 对A，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，A错误； 对C，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，C错误； 因为，所以， 设， 作出函数的图象如下， 对B，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，B正确； 对D，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，D错误； 故选:B. 8．(多选)（2025·安徽安庆·模拟预测）设、是曲线上两个不同的点，则（） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】指数函数图像应用 【分析】结合图象，利用函数的凹凸性判断即可. 【详解】对于选项，构造点， 点恒在的上方，则，即，故A正确，B错误；    对于选项C，构造，则，点， 点恒在的上方，则， 两边取对数得，即，故C正确；    对于选项D，构造，则，点， 点恒在的上方，则， 两边取对数得，即，故D正确；    故选：ACD． 题型2 指数型函数图象过定点问题 9．（2025·贵州毕节·二模）已知函数且的图象过定点，则点的坐标是 . 【答案】 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】利用可得的坐标. 【详解】由函数解析式可得：当且仅当时，的值与无关， 故定点的横坐标为，故纵坐标为，故. 故答案为：. 10．（2025·山东枣庄·二模）已知函数恒过定点，则点的坐标为 . 【答案】 【知识点】指数幂的运算、指数型函数图象过定点问题、指数式与对数式的互化 【分析】利用指数运算法则、指数式与对数式互化关系化简函数，再利用指数函数过定点问题求解. 【详解】函数，由，得恒成立， 所以点的坐标为. 故答案为： 11．已知幂函数在区间上单调递减，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】指数型函数图象过定点问题、根据函数是幂函数求参数值 【分析】由幂函数的性质求出，再由指数函数的性质可得. 【详解】因为幂函数在区间上单调递减， 则解得， 所以，，则，即函数的图象过定点. 故选：A. 题型3 指数函数单调性的应用 考点1 利用指数函数单调性比较幂的大小 12．（2025·天津北辰·三模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、由指数函数的单调性解不等式 【分析】根据充分必要条件的定义、以及指数函数的性质判断即可. 【详解】取，满足，但得不出， 所以“”是“”的不充分条件； 由，可得，又因为在上单调递增， 所以，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 13．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据指数函数，幂函数的性质即可判断，，再对，进行取对数，结合对数函数的性质即可判断，进而即可得到答案． 【详解】由，，， 则，， 又，， 则，即， 所以． 故选：D． 14．（2025·甘肃白银·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为函数是减函数，所以， 同理，函数是增函数，所以. 综上，可得. 故选：B 15．(多选)（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知实数x，y满足，则下列关系式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】比较正弦值的大小、由指数函数的单调性解不等式、由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据指数函数的单调性，结合正弦函数的单调性、幂函数的单调性进行判断即可. 【详解】因为，所以. A：在上是增函数，故，故本关系恒成立； B：当时，显然符合，但是不成立，故本关系式不恒成立； C: 因为在上是增函数，所以，故本关系恒成立. D：由于为单调递增函数，为单调递减函数，故为上的单调递增函数，由可得，故，故本关系式恒成立； 故选：ACD 16．（2024高三�全国�专题练习）若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较函数值的大小关系、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】将不等式变形后构造函数，利用其单调性即得结论. 【详解】，（*）， 令，因和都是上增函数，故是上增函数， （*）式即为，，即． 故选：D. 17．（2025·宁夏中卫·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由指数（型）的单调性求参数、对数的运算性质的应用 【分析】由指数函数单调性得是增函数，从而，由此结合对数函数单调性可说明A错，B对，对于CD，举反例即可判断. 【详解】，令函数， 因为都是增函数，所以是增函数， 所以， 对于AB，，故A错误，B正确； 对于CD，当时，，故CD错误. 故选：B. 考点2 利用指数函数单调性解指数不等式 18．（2025·浙江嘉兴·三模）关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】利用在上为增函数，由得，再由对数函数的单调性即可求解. 【详解】因为在上为增函数，由有， 又在上为增函数，，， 故选：D. 19．若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、由指数函数的单调性解不等式 【分析】根据题意，由指数函数的单调性化简，转化为一元二次不等式恒成立，列出不等式，即可得到结果. 【详解】不等式恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 即恒成立， 所以，即， 解得，所以实数a的取值范围是. 故选：B 20．（2025·湖南·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由对称性研究单调性、判断指数函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】易得函数关于对称，且在上单调递减，在单调递增，将原不等式转化为求解即可. 【详解】因为，所以， 即函数关于对称， 当时，单调递增， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 因为，所以，解得， 即的取值范围是， 故选：B. 21．（2025·江西·二模）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数不等式恒成立问题、判断指数函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】首先判断的单调性与奇偶性，依题意可得对于任意恒成立，再分，两种情况讨论，当时参变分离可得，利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】因为，在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，所以为奇函数， 由恒成立，即恒成立， 所以对于任意恒成立， 当时； 当时， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，所以； 综上可得实数的取值范围为. 故选：A 22．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，不等式成立，则实数有（   ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、判断指数型复合函数的单调性、基本不等式求和的最小值 【分析】根据奇函数，利用赋值法可得，进而可函数解析式及单调性，可将不等式转化为，即，结合基本不等式可得最值. 【详解】由已知是定义在上的奇函数， 则，解得， 即，，满足奇函数， 所以，且函数在上单调递增， 所以不等式，即， 可转化为， 即在上恒成立， 设，， 由时， 则，即， 当且仅当即时，等号成立， 即， 所以有最大值为， 故选：A. 考点3 指数型复合函数的单调性问题 23．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断指数型复合函数的单调性 【分析】根据给定条件求出，再利用复合函数单调性求出递增区间. 【详解】由，得，解得，函数定义域为R， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在R上单调递增，所以函数的单调递增区间为. 故选：D 24．（2025·甘肃白银·模拟预测）若函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由指数（型）的单调性求参数 【分析】根据给定条件，利用指数型复合函数的单调性列式求出的范围. 【详解】函数在上单调递增，而函数是R上的增函数， 则函数在上单调递增，于是， 所以a的取值范围为． 故选：D 25．（24-25高三上·广东·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断指数型复合函数的单调性 【分析】根据指数型复合函数单调性的求法可得参数范围. 【详解】由函数的定义域为， 设，则， 又单调递增， 当时，，，无单调性，不成立； 当时，在和上单调递增， 即在和上单调递增， 所以，则，即； 当时，在和上单调递减， 即在和上单调递减，不成立； 综上所述， 故选：C. 26．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性求参数值、由指数（型）的单调性求参数 【分析】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， 且函数在上单调， 根据复合函数的单调性，可得，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 27．（2024�辽宁�一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围. 【详解】设，，则在上单调递增. 因为在区间内单调递减，所以函数在区间内单调递减， 结合二次函数的图象和性质，可得：，解得4. 故选： 题型4 求指数型函数值域及最值 28．已知函数，，则其值域为 ． 【答案】 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】令，将问题转化为求二次函数在区间上的值域问题，结合二次函数单调性，即可求解. 【详解】令，∵，∴， ∴， 又关于对称，开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 时，函数取得最小值，即，时，函数取得最大值，即， . 故答案为：. 29．（2025·北京海淀·二模）已知函数，则的值域为 ，曲线的对称中心为 ． 【答案】 / 【知识点】判断或证明函数的对称性、求指数型复合函数的值域 【分析】化简解析式得出，结合指数函数的值域可求得函数的值域；计算的值，可得出曲线的对称中心坐标. 【详解】因为， 因为，则，故，即函数的值域为， 因为， 所以，， 因此，函数的对称中心为. 故答案为：；. 30．（2024·贵州·模拟预测）已知函数，则的最大值是 . 【答案】16 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求指数型复合函数的值域 【分析】求出的范围，根据复合函数的单调性求解. 【详解】由，而， 因为单调递增，所以，则的最大值是16. 故答案为：16 31．(多选)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数是奇函数 D．函数为减函数 【答案】ABC 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求指数（型)函数的定义域、求指数函数在区间内的值域、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】A选项，由于恒成立，故定义域为R；B选项，分离常数得到，根据，得到，求出值域；C选项，根据函数奇偶性的定义作出判断；D选项，为增函数且，推出为增函数. 【详解】A，因为，所以， 所以函数的定义域为R，故A正确； B，， ， 故， 所以函数的值域为，故B正确； C，函数定义域为R，， 所以函数是奇函数，故C正确； D，函数是增函数，且， 所以函数是减函数， 所以函数是增函数， 故是增函数，故D不正确． 故选：ABC 32．(多选)已知曲线（且）过定点，且的坐标满足方程，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【知识点】指数型函数图象过定点问题、基本不等式求积的最大值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】A选项，先由指数函数特征求出，故，由基本不等式求出积的最大值；B选项，，解得，变形得到，求出最小值；C选项，变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值；D选项，变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值； 【详解】A选项，令，即，此时，故， 由题意得， 由基本不等式得，即，解得， 当且仅当，即时，等号成立，A正确； B选项，，故，解得， 则， 故当时，取得最小值，最小值为，B错误； C选项，， 因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，C正确； D选项，因为，， 所以， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ACD. 33．（2024·宁夏银川·三模）已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 【答案】C 【知识点】判断或证明函数的对称性、求指数型复合函数的值域、判断指数型复合函数的单调性 【分析】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A；根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B；根据对称性的定义，与的关系，即可判断CD. 【详解】， 函数，，则， 又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确； 因为，所以，则， 所以函数的值域为，故B正确； ，， 所以函数关于点对称，故C错误，D正确. 故选：C. 题型5 有关指数型函数的综合应用 34．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据指数函数的最值求参数、指数函数最值与不等式的综合问题、函数不等式恒成立问题 【分析】参变分离可得恒成立，结合基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为恒成立，即恒成立， 所以恒成立，又由（当且仅当时取等号）， 所以． 故选：A． 35．设函数． （1）若，求的值； （2）若，设，求在上的最小值． 【答案】(1)；(2) . 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、与二次函数相关的复合函数问题、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域） 【分析】(1)由可得，两边平方后进行配方可求出的值. (2)由可求出，从而可得的解析式，由在上单调递增，可设，通过讨论对称轴和区间的三种位置关系，结合二次函数的单调性即可求出函数的最小值. 【详解】(1)解:因为，所以，则，即， 即，因为 ， 因为，所以，即. (2)因为，整理得，解得或(舍去)， 所以， 在上单调递增，在上单调递减， 则在上单调递增，当时，，当时，， 令，则，对称轴为，抛物线开口向上， 当时，在上单调递增，此时当时，； 当时，在上单调递减，此时当时，； 当时，在先减后增，此时当时，； 综上所述，在上的最小值 【点睛】关键点睛: 本题第二问的关键是利用换元法，通过讨论二次函数对称轴和区间的三种位置关系:对称轴在区间左侧，对称轴在区间内，对称轴在区间右侧，从而确定函数的单调性，进而求出最小值. 36．设函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求的解析式； (2)若，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）根据函数的奇偶性可得答案； （2）转化为，使得，令，转化为在有解，构造函数利用单调性可得答案. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，且， 设，则，所以，所以， 所以. （2）若，使得，由（1）知即，使得， 令，则转化为在有解， 令， 设，则， 因为，所以，所以，即 在时是单调递增函数，所以， 所以， 所以实数的取值范围是. 37．（2024·山西·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且. (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【知识点】由奇偶性求函数解析式、指数函数最值与不等式的综合问题、基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用偶函数性质以及函数值可得，再由偶函数定义可得其解析式； （2）将不等式恒成立转化为求恒成立问题，由基本不等式计算可得的取值范围. 【详解】（1）因为是偶函数，所以， 解得， 当时，可得，所以， 所以函数的解析式为 （2）由（1）知，当时，， 因为在上恒成立， 所以， 又因为， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，即的取值范围是. 38．已知函数， (1)若的值域为，求满足条件的整数的值； (2)若非常数函数是定义域为的奇函数，且，，，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】求指数型复合函数的值域、根据对数函数的值域求参数值或范围、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）根据函数的值域为，可得函数的值域包含，再分，和三种情况讨论，结合二次函数的性质即可得解； （2）根据函数的奇偶性求出函数的解析式，再根据，则只要即可，求出函数的最小值，再从分情况讨论，结合二次函数的性质求出的最小值即可． 【详解】（1）因为函数的值域为，所以函数的值域包含， ， 当时，，其值域为，不满足条件， 当时，令，则函数的对称轴为， 当时，，即的值域为， 所以，解得， 当时，，则函数的值域为，即函数的值域为，不满足条件， 综上所述，，所以满足条件的整数的值为； （2）因为函数是定义域为的奇函数， 所以，即，解得或， 由函数不是常数函数，所以， 经检验，符合题意，即， 由，，， 得，，， 只要即可， 当时，， 所以函数，则， ， 令，因为，所以， 函数， 当时，，则时，恒成立，符合题意； 当时，函数的对称轴为， 当时，则时，恒成立，符合题意； 当，即时，则时，，所以，不等式组无解； 当，即时，则时，恒成立，符合题意； 当，即时，则时，，所以，解得， 综上所述，的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 一、单选题 1．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】D 【知识点】由指数函数的单调性解不等式 【分析】利用指数函数的性质分类讨论与1的关系即可判定选项. 【详解】∵，∴， 当时，定义域上严格单调递减， 此时若，则一定有成立，故D正确，C错误； 当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误. 故选：D 2．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断零点所在的区间、比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 3．（2016·全国III卷·高考真题）已知，，，则 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小 【详解】因为，，， 因为幂函数在R上单调递增，所以， 因为指数函数在R上单调递增，所以， 即b<a<c. 故选：A. 4．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：D 5．（2020·山东·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、判断指数函数的单调性 【分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项. 【详解】当时，，所以在上递减， 是偶函数，所以在上递增. 注意到， 所以B选项符合. 故选：B 6．（2020·全国II卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、比较对数式的大小 【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果. 【详解】由得：， 令， 为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数， ， ，，，则A正确，B错误； 与的大小不确定，故CD无法确定. 故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想. 7．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】指数幂的化简、求值、指数函数的判定与求值 【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误． 【详解】，故A错误，C正确； ，不是常数，故BD错误； 故选：C． 8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性求参数值、判断指数型复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 9．（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、求指数型复合函数的值域、求对数型复合函数的值域、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意． 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出． 10．（2017·全国·高考真题）函数的图像关于直线对称，则 ． 【答案】 【知识点】函数对称性的应用、根据指数型函数图象判断参数的范围 【分析】根据指数函数图象可得的图象，写出其对称轴，由特殊推一般，可得的对称轴，即可求出的值. 【详解】因为的对称轴为， 的对称轴为相当于y＝向右平移1个单位，所以. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.7 指数函数 基础巩固 一、单选题 1．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】∵y＝0.2x为R上的减函数，y＝2x为R上的增函数. ∴a＝0.20.5＜0.20.2＝c＜1＝0.20＝20＜20.2＝b 故b＞c＞a， 故选：C 2．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】结合函数单调性即可求解. 【详解】易知为减函数， 所以. 所以函数的值域为， 故选：A 3．已知函数（且）的定义域和值域都是，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】根据指数函数的单调性判断值域，列方程，解方程即可. 【详解】由已知（且）， 当时，函数单调递减， 所以， 解得，则； 当时，函数单调递增， 所以，方程无解； 综上所述， 故选：B. 4．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求指数型复合函数的定义域、由指数函数的单调性解不等式 【分析】由题意可得对任意恒成立，结合指数函数单调性可得对任意恒成立，根据二次不等式恒成立问题列式求解. 【详解】由题意可得对任意恒成立， 即，且在内单调递增， 可得，即对任意恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 5．（2024�福建福州�模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由指数（型）的单调性求参数 【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 所以在区间单调递减，所以，解得． 故选：D． 6．已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造函数，研究函数的单调性与奇偶性，利用函数性质解不等式. 【详解】令，定义域为，且， 所以函数为定义域内的奇函数，且在上单调递增； 则，则，即，即， 又因为为定义域内的奇函数，所以， 又因为在上单调递增，所以， 解得或， 故实数a的取值范围是. 故选：C 7．已知函数，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性解不等式、判断指数型复合函数的单调性 【分析】由函数的单调性求解即可 【详解】因为， ， 由， 得 因为单调递减， 所以单调递减， 又时，在上单调递减； 所以， 解得， 所以实数的取值范围为， 故选：A 8．若直线与函数（且）的图象有两个公共点，则的取值不可以是（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【知识点】指数函数图像应用 【分析】分别将和两种情况作出函数图象，利用数形结合根据交点个数即可求得的取值范围，即可得出选项. 【详解】的图象由的图象向下平移一个单位，再将轴下方的图象翻折到轴上方得到， 分和两种情况分别作图. 当时，图象如下图所示： 此时需要，即， 所以； 当时，图象如下图所示： 此时需满足，都符合条件； 综上可知, 的取值范围为或， 所以的取值不可以是D. 故选：D 9．函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】判断指数型函数的图象形状、函数图像的识别、函数奇偶性的定义与判断 【分析】由函数的奇偶性，指数函数的单调性，以及当时函数的符号判断即可； 【详解】定义域为关于原点对称，， 所以函数为奇函数，关于原点对称，故A、C错误； 当时，，所以，故B错误， 故选：D. 10．（2025·安徽安庆·二模）函数的图象经过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（    ） A．函数不具有奇偶性 B． C．函数的值域为 D．函数的单调递增区间为 【答案】D 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、指数函数图像应用、函数奇偶性的定义与判断、利用函数单调性求最值或值域 【分析】根据条件和指数函数的性质得出，，然后利用函数的图像与性质逐一判断即可. 【详解】函数的定义域为，且，故函数为偶函数，A错误； 由函数的图象过原点，有，即，所以，由于的图象无限接近直线但又不与该直线相交，故，且，故，于是B，C错误； 由上面的分析得出函数，显然的单调递增区间为，故D正确； 故选：D. 二、多选题 11下列是真命题的是（    ） A．函数且的图像恒过定点 B．函数的值域是 C．函数为奇函数 D．函数的图像的对称轴是 【答案】AC 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、指数型函数图象过定点问题、函数奇偶性的定义与判断 【分析】由指数函数过定点即可判断A，由指数型复合函数的值域即可判断B，由函数奇偶性的定义即可判断C，由函数对称性的定义即可判断D 【详解】对于A，令，则，当时，， 所以函数恒过定点，故A正确； 对于B，因为，则， 令，则，则， 即函数的值域是，故B错误； 对于C，因为函数定义域为关于原点对称， 且，则， 所以函数为奇函数，故C正确； 对于D，函数的图像的对称轴是，故D错误； 故选：AC 12．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 【答案】ABD 【知识点】判断或证明函数的对称性、求指数型复合函数的值域、判断指数型复合函数的单调性 【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A，根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B，根据对称性的定义，与的关系，即可判断CD. 【详解】， 函数，，则， 又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确； 因为，所以，则，所以函数的值域为，故B正确； ，，所以函数关于点对称，故C错误，D正确. 故选：ABD 13．（2025·湖北十堰·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、比较函数值的大小关系、求指数函数在区间内的值域 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：整理可得，结合二次函数分析判断；对于C：整理可得，结合指数函数性质分析判断；对于D：根据的单调性分析判断. 【详解】因为，即， 对于选项A：例如，则，故A错误； 对于选项B：因为， 且在内单调递减，则，故B正确； 对于选项C：因为， 且，则，所以，故C正确； 对于选项D：因为，即， 且在定义域内单调递增，则， 即，所以，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题 14．函数的值域为 . 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、求指数型复合函数的值域 【分析】根据基本不等式求得的范围，然后根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】，当且仅当，即时等号成立， 又在上单调递增，所以，所以函数的值域为. 故答案为： 15．函数的单调递减区间为 ；函数的值域是 ． 【答案】 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、求指数型复合函数的值域 【详解】令，当时，u单调递增．而在上是减函数，所以函数的单调递减区间为．又，所以． 16．（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象关于直线对称，则 . 【答案】64 【知识点】函数对称性的应用、指数幂的运算 【分析】解法一：根据图象关于直线对称，得，求出，代入验证；解法二，根据图象关于直线对称，，代入求出的值. 【详解】解法一：因为的图象关于直线对称，所以， 即，解得，当时，，满足题意，故， 解法二：因为的图象关于直线对称， 所以恒成立，故. 故答案为：64. 17．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数则的解集是 ． 【答案】 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】根据给定的分段函数，探讨其奇偶性和单调性，再利用性质求解不等式. 【详解】当时，，，； 当时，，，；当时，， 因此函数为奇函数，函数在上单调递减，在上单调递减， 则函数在上单调递减，则， 于是，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题 18．已知函数（且），且． (1)求的解析式： (2)若函数在上的最小值为0，求的值． 【答案】(1) (2)6 【知识点】求指数函数解析式、求指数型复合函数的值域、与二次函数相关的复合函数问题 【分析】（1）代入条件，即可求解； （2）首先根据（1）的结果，换元，利用二次函数的单调性，求最小值，即可求解. 【详解】（1）因为，所以，解得或， 当时，， 当， 所以． （2）． 令 ，设， 则 因为，所以，， 则 ，所以在单调递增， 所以， 因为函数在上单调递增，所以． 因为在上的最小值为0，所以，解得． 综上，的值为6． 19．已知奇函数与偶函数满足. (1)求，的解析式； (2)若，求的值； (3)若函数，求在上的最小值. 【答案】(1)，. (2) (3)当时，； 当时，； 当时，. 【知识点】指数幂的化简、求值、求已知指数型函数的最值、由奇偶性求函数解析式 【分析】（1）根据函数的奇偶性列出等式，联立方程组求解可得. （2）将和代入函数解析式中化简求解即可. （3）首先化简，然后讨论一元二次函数的单调性，计算最小值. 【详解】（1）因为奇函数与偶函数满足， 得，联立得，，. （2）由（1）得，即， 因为.又因为，则，所以， 则 . （3）由题， 令，则，则， 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，. 综上：当时，；当时，； 当时，. 20．已知，，． (1)若，，且函数为奇函数，求的值． (2)若，且存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由奇偶性求参数、函数不等式能成立（有解）问题、求已知指数型函数的最值 【分析】（1）设，由为奇函数可得，解方程求即可， （2）由条件化简可得存在，使得成立，故，其中，结合指数函数的单调性求函数的最小值，由此可得结论. 【详解】（1）设， 因为，，， 所以，因为函数为奇函数， 所以，即， 所以，又， 所以 （2）因为，所以， 所以不等式，可化为， 所以，所以， 由已知存在，使得成立， 所以，其中， 因为函数在上单调递减， 所以函数在的最小值为， 所以， 所以的取值范围为． 21．已知函数（为实常数）． (1)若函数为奇函数，求的值； (2)在（1）的条件下，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1) (2)1 【知识点】求指数型复合函数的值域、函数不等式恒成立问题、由奇偶性求参数 【分析】（1）若函数为奇函数，由奇函数的性质可求得，并代入检验； （2）对任意，不等式恒成立，化简不等式参变分离，构造新函数，利用换元法和对勾函数的单调性求出最值，代入得出实数u的最大值． 【详解】（1）由题意可知：的定义域为， 若函数为奇函数，则，解得， 此时， 则， 即，可知为奇函数，则符合题意， 综上所述：. （2）由（1）可知， 由不等式，得， 原题意等价于， 因为，令， 则 又因为函数在单调递增，则， 可得，所以实数的最大值为1. 能力提升 22．已知函数，若，则 ． 【答案】/ 【知识点】指数函数的判定与求值、指数幂的运算 【分析】由解析式推出，再倒序相加即可. 【详解】因为，所以， 所以， 由， 则， 所以，则． 故答案为： 23．（2025·广东·一模）已知函数，，若关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据指对幂函数零点的分布求参数范围、指数函数图像应用 【分析】原方程等价于或，则只需有个根，数形结合即可得答案. 【详解】函数是偶函数，大致图象，如图所示： 方程， 分解因式得， 解得：或， 由函数的图象可知，只有个根， 所以需有个根才满足题意， 所以实数的取值范围是：， 故答案为：． 24．设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的取值范围为 【答案】 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、画出具体函数图象、函数新定义、由指数（型）的单调性求参数 【分析】分和两种情况，时，单调性相反，不合要求，时，画出与的图象，分在区间上同增和同减两种情况，数形结合得到不等式，求出答案. 【详解】若区间为函数的“稳定区间”， 则函数与函数在区间上同增或者同减， 当时，则，， 故在上单调递减，在上单调递增， 不合要求， 当时，， ， 画出与的图象，如下：    ①若两函数在区间上单调递增，则， 解得； ②若两函数在区间上单调递减，则，不等式组无解； 综上所述；． 故答案为： 25．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为M.若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、根据集合的包含关系求参数、求指数型复合函数的值域 【分析】根据题意，转化为有解且无最大值即可分类讨论得解. 【详解】由，可知有解，且无最大值， 即有解，且无最大值， 当时，有解，无最大值，符合题意； 当时，有解，但有最大值，不符合题意； 当时，有解需满足，解得， 此时无最大值，满足题意. 综上，实数a的取值范围是. 故选：A 26．已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性求参数值、由指数（型）的单调性求参数、根据函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】结合指数函数、幂函数的单调性确定的单调性，构造函数并探讨奇偶性，再利用性质求解不等式. 【详解】函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 令，则函数在上单调递增， ，即函数是奇函数， 不等式 ，则， 依题意，在上恒成立，而当时，，当且仅当时取等号， 则，所以实数的取值范围是. 故选：D 27．（多选）已知函数，当时，有．给出以下命题，则正确命题的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围、函数图象的应用 【分析】作出函数的图象，由数形结合判断四个选项的正误. 【详解】的图象如下图所示,由图可知在单调递减，在上单调递增 因为， 若，因为在单调递减，此时不满足 所以，同理可得， 因为，所以 所以，即，对. 即，错. 若，因为 所以 此时，错，，对. 若,因为 所以 即 综上所述，对. 故选： 28．在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数双曲函数是工程数学中一类重要的函数，然而它也是一类重要的初等函数，令，. (1)证明：； (2)求不等式的解集； (3)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值、指数幂的运算 【分析】(1)根据函数解析式直接写出的解析式并计算出和的解析式即可； (2)先利用，把看成未知量解一元二次不定时求出的取值范围，再求出的取值范围最后得到的取值范围； (3)先分离参数，再分离常数把看成一个整体，利用基本不等式求最值. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ， ， ∴． （2）∵，∴， ∴，∴或， 又∵， ∴，即， ∴，即：，∴， ∴或，∴或， 所以，原不等式的解集为． （3）∵， ∴，， 且恒成立， ∴，即， 又∵， 当且仅当时取等号．∴， 所以，满足条件的a的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.7 指数函数 题型1 指数函数的图象及应用 3 考点1 指数型函数图象的判断 3 考点2 指数函数图形的应用 4 题型2 指数型函数图象过定点问题 4 题型3 指数函数单调性的应用 4 考点1 利用指数函数单调性比较幂的大小 4 考点2 利用指数函数单调性解指数不等式 5 考点3 指数型复合函数的单调性问题 6 题型4 求指数型函数值域及最值 6 题型5 有关指数型函数的综合应用 7 高考真题演练 10 知识点一 指数函数的定义 一般地，函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是. 注：规定底数大于零且不等于1的理由： ①若，则当时，当时，无意义. ②若，则对于的某些值，可使无意义.比如，对于，，，函数值不存在. ③若，则是一个常量，没有研究的必要. 拓展 指数型函数的图像过定点的问题 由于指数函数且的图像恒过定点(0，1)，因此我们讨论类似的图像过定点的问题时，只需令指数为0，解出相应的，的值，即可确定定点坐标. 知识点二 指数函数的图像与性质 函数，且的图象和性质如下表： 图象 性质 定义域 值域 最值 无最值 过定点 过定点，即时， 函数值 的变化 当时，； 当时， 当时，； 当时， 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 与的图象关于轴对称 知识点三 底数对指数函数图象的影响 函数和的图象如图所示 观察上图，有如下结论. (1) 当且时，底数越大，图象越“陡”； 当且时，底数越小，图象越“陡”. (2) 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”. 题型1 指数函数的图象及应用 考点1 指数型函数图象的判断 1．若指数函数的图象如图所示，则1，a，b，c，d由小到大的顺序是（   ） A． B． C． D． 2．(多选)（2025·湖南娄底·模拟预测）下列函数，其图象平移后可得到函数的图象的有（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南长沙·一模）已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．函数图像的大致形状为（    ） A．   B．   C．   D．   5．函数的图象大致为（    ）. A． B． C． D． 考点2 指数函数图形的应用 6．（2025·甘肃兰州·模拟预测）已知函数 关于 的方程 有两个不等实数根，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·广东广州·一模）已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 8．(多选)（2025·安徽安庆·模拟预测）设、是曲线上两个不同的点，则（） A． B． C． D． 题型2 指数型函数图象过定点问题 9．（2025·贵州毕节·二模）已知函数且的图象过定点，则点的坐标是 . 10．（2025·山东枣庄·二模）已知函数恒过定点，则点的坐标为 . 11．已知幂函数在区间上单调递减，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 题型3 指数函数单调性的应用 考点1 利用指数函数单调性比较幂的大小 12．（2025·天津北辰·三模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 14．（2025·甘肃白银·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 15．(多选)（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知实数x，y满足，则下列关系式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 16．（2024高三�全国�专题练习）若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 17．（2025·宁夏中卫·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 考点2 利用指数函数单调性解指数不等式 18．（2025·浙江嘉兴·三模）关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 19．若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（2025·湖南·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（2025·江西·二模）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 22．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，不等式成立，则实数有（   ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值 考点3 指数型复合函数的单调性问题 23．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 24．（2025·甘肃白银·模拟预测）若函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 25．（24-25高三上·广东·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（2024�辽宁�一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型4 求指数型函数值域及最值 28．已知函数，，则其值域为 ． 29．（2025·北京海淀·二模）已知函数，则的值域为 ，曲线的对称中心为 ． 30．（2024·贵州·模拟预测）已知函数，则的最大值是 . 31．(多选)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数是奇函数 D．函数为减函数 32．(多选)已知曲线（且）过定点，且的坐标满足方程，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 33．（2024·宁夏银川·三模）已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 题型5 有关指数型函数的综合应用 34．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 35．设函数． （1）若，求的值； （2）若，设，求在上的最小值． 36．设函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求的解析式； (2)若，使得，求实数的取值范围. 37．（2024·山西·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且. (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 38．已知函数， (1)若的值域为，求满足条件的整数的值； (2)若非常数函数是定义域为的奇函数，且，，，求的取值范围. 一、单选题 1．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 2．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 3．（2016·全国III卷·高考真题）已知，，，则 A． B． C． D． 4．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．（2020·山东·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（    ） A．B．C．D． 6．（2020·全国II卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 7．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 10．（2017·全国·高考真题）函数的图像关于直线对称，则 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.7 指数函数 基础巩固 一、单选题 1．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数（且）的定义域和值域都是，则（   ） A． B． C． D．或 4．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2024�福建福州�模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．若直线与函数（且）的图象有两个公共点，则的取值不可以是（    ） A． B． C． D．3 9．函数的图象大致为（    ） A．  B．   C．   D．   10．（2025·安徽安庆·二模）函数的图象经过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（    ） A．函数不具有奇偶性 B． C．函数的值域为 D．函数的单调递增区间为 二、多选题 11下列是真命题的是（    ） A．函数且的图像恒过定点 B．函数的值域是 C．函数为奇函数 D．函数的图像的对称轴是 12．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 13．（2025·湖北十堰·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 14．函数的值域为 . 15．函数的单调递减区间为 ；函数的值域是 ． 16．（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象关于直线对称，则 . 17．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数则的解集是 ． 四、解答题 18．已知函数（且），且． (1)求的解析式： (2)若函数在上的最小值为0，求的值． 19．已知奇函数与偶函数满足. (1)求，的解析式； (2)若，求的值； (3)若函数，求在上的最小值. 20．已知，，． (1)若，，且函数为奇函数，求的值． (2)若，且存在，使得成立，求的取值范围． 21．已知函数（为实常数）． (1)若函数为奇函数，求的值； (2)在（1）的条件下，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值． 能力提升 22．已知函数，若，则 ． 23．（2025·广东·一模）已知函数，，若关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是 ． 24．设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的取值范围为    25．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为M.若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（多选）已知函数，当时，有．给出以下命题，则正确命题的有（    ） A． B． C． D． 28．在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数双曲函数是工程数学中一类重要的函数，然而它也是一类重要的初等函数，令，. (1)证明：； (2)求不等式的解集； (3)若恒成立，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$