11.3解一元一次不等式（第1课时）教案 2024—2025学年冀教数学七年级下册

第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 11.3解一元一次不等式 第1课时   一、教材分析 在前面已学习了一元一次方程的相关知识和不等式的性质，本节课主要是通过类比一元一次方程的解法总结归纳出一元一次不等式的解法，并熟练运用不等式的性质解一元一次不等式.只有学生掌握好了一元一次不等式的解法，才能更好地学习后面的不等式的应用及不等式组，可见，本节课内容在本章具有承上启下的作用，处于一个基础性、工具性的地位，不仅是对已有知识的运用和深化，还为后续学习打下基础．   二、学情分析 学生已经学习了一元一次方程以及不等式的基本性质等相关知识，通过回顾不等式的基本性质，让学生猜测如何对一元一次不等式求解，激发学生的学习兴趣，引入新课，让学生体会类比学习的思想．   三、教学目标 1.能理解不等式的解及其解集的意义； 2.能借助数轴表示不等式的解集； 3.能利用不等式的基本性质，解简单的一元一次不等式； 4.通过方程的解、一元一次方程的概念，类比得出不等式的解、一元一次不等式的概念，培养学生主动思考，善于类比和发现，主动反思的习惯； 5.通过在数轴上表示不等式的解集，渗透数形结合的数学思想．   四、教学重难点 重点：认识不等式的解及其解集，在数轴上表示不等式的解集． 难点：运用不等式的基本性质解一元一次不等式．   五、教学过程 · 情境导入 活动一：展示图片，引入新课． 60(x+1) 80x 天平左边质量为60(x+1)，天平右边质量为80x，你能判断哪边的质量大吗？ 我们一起来探究吧！ 设计意图：通过实际问题引入，增强趣味性，方便学生理解也更容易接受新的知识.培养学生观察和概括的能力. · 一起探究 活动二：复习回顾． 不等式的基本性质： 不等式的基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 即如果，那么. 不等式的基本性质2 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变. 即如果，且，那么(或). 不等式的基本性质3 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变. 即如果，且，那么(或). 设计意图：通过回顾不等式的性质，为本节课探索一元一次不等式的解法做好铺垫，并且从学生已有的数学经验出发，建立新旧知识之间的联系，培养学生梳理知识体系的习惯. 活动二：探索一元一次不等式的相关概念． “情境”中的问题你能解决吗？ 思考：你能列出相应的不等式吗？ 答：80x>60(x+1) 追问：满足80x>60(x+1)的x的值有多少个呢? 根据给定的x值，完成下表： x 80x 60(x+1) x的值是否符合80x>60(x+1) 2 2.5 3.5 4.1 追问：请再任意选择两个大于3的x的值，检验其是否符合80x>60(x+1)？ 答：当x=5.4时，80x=432，60(x+1)=384，符合80x>60(x+1)； 当x=6.8时，80x=544，60(x+1)=468，符合80x>60(x+1). 思考：上述数值3.5，4.1，5.4，6.8都满足不等式80x>60(x+1)，那么我们可以把这些数值叫作什么？ 概念生成： 不等式的解：能使含有未知数的不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解. 师生活动：学生在填空的基础上不难发现，有些数值不符合80x>60(x+1)，而有些数值符合80x>60(x+1) 设计意图：学生通过简单的计算容易发现有些数值能使含有未知数的不等式成立，有些数值不能使含有未知数的不等式成立，自然得出不等式的解的概念. 追问：你认为不等式80x>60(x+1)的解有多少个? 答：无数个 思考：满足不等式80x>60(x+1)的解有无数个，那么我们可以把这些数值叫作什么？ 概念生成： 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 求不等式解集的过程，叫作解不等式. 设计意图：通过一组问题的设计，让学生顺利得到不等式的解集以及解不等式的概念，使学生接受新知识没有压力. 活动三：探索不等式解集的表示方法． 思考：如果要写出不等式的所有解，该如何表示呢？ 方法一：用不等式表示，即用最简形式的不等式(如或)来表示. 如：可以表示不等式的解集. 方法二：用数轴表示，一般标出数轴上某一区间，其中的点对应的数值都是不等式的解. 如：的解集为 0 5 注意：空心圆圈表示不包含这一点. 又如：−2x≥2的解集用不等式表示为x≤−1. 用数轴表示如图所示： 注意：实心圆点表示包含这一点. 师生活动：学生认真思考，合作交流，应该能够总结出用不等式表示解集的方法.用数轴表示解集，是本节课的难点，需要教师加以引导，并亲自演示示范，特别强调要确定边界和方向. 归纳总结： 在数轴上表示不等式的解集时，要确定边界和方向. (1) 边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈. (2) 方向 ：大于向右，小于向左. 设计意图：分解难点，让学生更容易接受，掌握用数轴表示解集的方法，初步感受数形结合思想. 思考：不等式的解和解集有什么区别与联系呢？ 设计意图：通过表格的形式，让学生区分不等式的解与不等式的解集的概念，避免在做题过程中出现错误. 活动四：探索一元一次不等式的概念 思考：观察不等式：. 请说说这些不等式的共同特点是什么？ 答：这些不等式的两边都是整式，只含一个未知数、并且未知数的指数是1 概念生成： 一元一次不等式：我们把含有一个未知数且未知数的次数都是1的不等式，叫作一元一次不等式. 师生活动：学生通过观察若干不等式的共同特点，得出一元一次不等式的概念，讲课过程中，也可类比一元一次方程的概念得出一元一次不等式的概念. · 应用举例 例1 解不等式2x+1<5，并把解集在数轴上表示出来. 解：不等式两边都减去1，得2x<5−1， 即2x<4. 将未知数的系数化为1，得x<2. 解集在数轴上表示，如图所示. 0 2 师生活动：学生思考后独立完成例题，教师提醒：不等式两边都减去1的过程类似于解方程中的移项变形. 设计意图：进一步让学生感受不等式的解集与数轴上表示数的范围的一种对应关系，加深学生对不等式解集的理解，也使学生进一步领会到数形结合的方法具有形象，直观，易于说明问题的优点 方法总结： 解简单一元一次不等式的步骤： 1.移项 2.合并同类项 3.系数化为1 注意：“系数化为1”时，不等式要根据同乘（或除以）的数的正负决定是否改变不等号的方向 例2. 已知关于x的不等式的解集如图所示，则a的值等于多少？ -1 0 解:不等式两边都加上a，得2x≥ a−3， 两边都除以2，得x≥ ， 由图可知x≥−1，所以=−1 解得a=1. 师生活动：学生先独立思考后，小组交流答案. 设计意图：例2是简单的一元一次不等式的应用，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间，激发学生学习的积极性，建立学好数学的自信心. 解题通法： (1)先化不等式为的形式. (2)再与图中的解集比较，列方程求解. · 课堂练习 1.把下列不等式的解集在数轴上表示出来: (1)x>2； (2)x<； (3)x≥−3； (4)x≤5. 解：(1) (2) (3) (4) 2.解不等式，并把解集在数轴上表示出来. 解：不等式两边都乘−，得x<−， 解集在数轴上表示，如图所示. 3.写出下列数轴上所表示的不等式的解集: (1) (2) 解：(1)x< ；(2)x≥−3. 4.已知关于x的不等式x<a+1的解集与不等式<−1的解集完全相同，求a的值. 解：不等式<−1的两边都乘2，得：x<−2 因为不等式x<a+1的解集与不等式<−1的解集完全相同， 所以a+1=−2 所以a=−3. 设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高. · 课堂总结 这节课你学到了哪些知识？说说你的体会. 设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系. · 课堂检测 1.解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来: (1)2x+2<6； (2)−3x>； (3)x+5>−x； (4)<1. 解：(1)不等式两边都减去2，得2x<6−2， 即2x<4. 将未知数的系数化为1，得x<2. 解集在数轴上表示，如图所示. (2)不等式两边都除以-3，得x<−， 解集在数轴上表示，如图所示. (3)不等式两边都加x-5，得2x>−5 不等式两边都除以2，得x>−， 解集在数轴上表示，如图所示. (4)不等式两边都乘4，得1−x<4 不等式两边都减1，得−x<3， 将未知数的系数化为1，得x>−3. 解集在数轴上表示，如图所示. 2.解不等式，并把解集在数轴上表示出来.观察在数轴上表示的解集，直接写出该不等式的正整数解. 解:不等式两边都减，得<10 将未知数的系数化为1，得x<4， 解集在数轴上表示，如图所示. 所以，该不等式的正整数解是1，2，3. 3.已知+5>0是关于x的一元一次不等式，则a的值是________． 解：由+5>0是关于x的一元一次不等式得 ，解得 则a的值等于1. 4.已知，请确定的最大值. 解： ，即 不等式两边都减，得 即 所以. 所以，的最大值是.   六、板书设计 学科网（北京）股份有限公司 $$