4.5相似三角形判定定理的证明同步练习2025-2026学年北师大版九年级数学上册

相似三角形判定定理的证明 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，已知为的角平分线，交于，如果，那么 A． B． C． D． 2．在直角三角形ABC中，CD是斜边上的高线，则下列各式能成立的是(　　) A． B． C． D． 3．下列条件，不能判定△ABC与△DEF相似的是（　　） A．∠C=∠F=，∠A=，∠D= B．∠C=∠F=，AB=10，BC=6，DE=15，EF=9 C．∠C=∠F=， D．∠B=∠E=， 4．如图，点O是△ABC内任一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，则图中相似三角形有(         ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 5．如图，与相交于点，．若，则为（ ） A． B． C． D． 6．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有(　  　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=4，CD=12，那么EF的长是（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．2.8 8．如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（　　） A．16 B．18 C．20 D．24 二、填空题 9．如图，在中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使，那么可添加的条件是 ． 10．如图所示，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件 （只填一个条件），使△ADE与原△ABC相似． 11．如图，在△ ABC中， DE∥ BC， AD＝3cm， BD＝2cm，则△ ADE与△ ABC相似比是 ；若 DE＝4cm，则 BC＝ ． 12．△ABC的三边长分别为，，2，△A1B1C1的两边长为1，，要使△ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1的第三边长为 ． 13．如图，请你添加一个条件使得．这个条件是： ． 14．如图，BD、CE是的高，图中相似三角形有 对． 三、解答题 15．如图，在等边三角形中，D，E，F分别是三边上的点，，那么与相似吗？请证明你的结论． 16．如图，□ABCD的对角线交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE． （1）求证：△BDE是直角三角形； （2）如果OE⊥CD，试判断△BDE与△DCE是否相似，并说明理由． 17．如图，平行四边形的对角线相交于点，点在边的延长线上，且，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 18．如图，正方形与正方形有公共顶点，连接、、，，． (1)求线段的长． (2)若点是平面内一动点，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《相似三角形判定定理的证明》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D D D B C B 1．B 【分析】根据角平分线的定义，平行线的性质易证，，从而求得 的值． 【详解】∵AD为△ABC的角平分线， ∴∠BAD=∠EAD， ∵DEAB， ∴△CED∽△CAB，∠BAD=∠EDA. ∴∠EDA=∠EAD， ∴EA=ED， ∵, ∴ED:EC=2:3， 那么 故选:B. 【点睛】考查了角平分线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键. 2．D 【详解】试题分析：根据三角形的面积计算公式可得：AC·BC=AB·CD，即，故选D． 3．D 【详解】试题解析：A．相似：∵∠A=∴∠B=-=∵∠D=∴∠B=∠D∵∠C=∠F∴△ABC∽△DEF； B．相似：∵AB=10，BC=6，DE=15，EF=9，则，，∴，又∵∠C=∠F∴△ABC∽△DEF； C．相似：∵∠C=∠F=，∴△ABC∽△DEF； D．不相似：∵∠B=∠E=，，有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似． 故选D． 4．D 【分析】根据点D,E,F分别为OA,OB,OC的中点,可得DE是△AOB的中位线,DF是△AOC的中位线,EF是△BOC的中位线,可得DE//AB,DF//AC,EF//BC,进而可判定△DOE∽△AOD, △DOF∽△AOC, △EOF∽△BOC,根据中位线性质可得,, 继而可得，可判定△DEF∽△ABC. 【详解】因为点D,E,F分别为OA,OB,OC的中点, 所以DE是△AOB的中位线,DF是△AOC的中位线,EF是△BOC的中位线, 所以DE//AB,DF//AC,EF//BC, 所以△DOE∽△AOB, △DOF∽△AOC, △EOF∽△BOC, 因为DE是△AOB的中位线,DF是△AOC的中位线,EF是△BOC的中位线, 所以,, 所以， 所以△DEF∽△ABC, 因此有四对相似三角形, 故选D. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定方法. 5．D 【分析】由AD∥BC可证明△ADE∽△CBE，再由相似三角形的性质就可以得出结论. 【详解】∵AD∥BC. ∴△ADE∽△CBE， ， ∵AE:EC=1:2 ， 故选D. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及相似三角形的面积之比等于相似比的平方的运用．解答本题求出两三角形相似是关键. 6．B 【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得出DF∥BC，则△EFD∽△EBC，AD∥BC，得△EFD∽△BFA，从而得出△BFA∽△EBC． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DF∥CB，AB∥DC， ∴△EFD∽△EBC，△EFD∽△BFA， ∴△BFA∽△EBC． 共3对． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和平行四边形的性质，是基础知识要熟练掌握． 7．C 【详解】试题解析：∵AB、CD、EF都与BD垂直， ∴AB∥EF∥CD， ∴△DEF∽△DAB，△BFE∽△BDC， ∴ ， ， ∴=1， ∵AB=4，CD=12， ∴EF=3， 故选C． 8．B 【详解】【分析】由EF∥BC，可证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出S△ABC的值． 【详解】∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∵AB=3AE， ∴AE：AB=1：3， ∴S△AEF：S△ABC=1：9， 设S△AEF=x， ∵S四边形BCFE=16， ∴， 解得：x=2， ∴S△ABC=18， 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解本题的关键. 9． （答案不唯一，也可以增加条件：或）． 【分析】题目中相似的两个三角形已经有一个公共角，可以再增加一对相等的角，用两组角相等判定两三角形相似，也可以增加两组对应边成比例，利用两组边对应成比例及夹角相等判定两三角形相似． 【详解】若增加条件：∠ACD=∠ABC， ∵∠ACD=∠ABC，且∠A=∠A， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，比较简单，熟练掌握相似三角形的三种判定方法是解题的关键． 10．∠B=∠AED． 【详解】试题解析：已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件∠B=∠AED（只填一个条件），使△ADE与原△ABC相似. 11． 3：5 cm； 【详解】∵AD=3cm，BD=2cm， ∴AB=AD+DB=5cm. ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC，且相似比为：； ∴，即， ∴BC=. 故答案为（1）；（2）. 点睛：本题解题的要点是根据“平行于三角形一边的直线截另外两边（或两边的延长线），所得新三角形与原三角形相似”由DE∥BC得到△ADE∽△ABC，这样利用相似三角形的性质即可求得所求量了. 12． 【分析】根据题目中三角形的边长计算出两个相似三角形的相似比,则第三边可利用三边对应成比例进行计算. 【详解】由三边对应成比例的两个三角形相似,易得相似比为:, 故要使△ABC和△A1B1C1的三边成比例,则第三边长为2÷=, 故答案为:. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定方法. 13．（或等，答案不唯一） 【分析】相似三角形的判定方法结合已知条件即可解答. 【详解】解：当DE∥BC时， ∴△ABC∽△ADE； 当，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADE. 故答案为DE∥BC（ 或等，答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 14．2对（∽，∽） 【分析】由△ACE和△ABD均为直角三角形且有公共角，可判定两个三角形相似；由△EOB和△DOC均为直角三角形且有对顶角，可判定两个三角形相似. 【详解】解：∵∠A=∠A，∠AED=∠ADB=90°， ∴△ACE∽△ABD， ∵∠EOB=∠DOC，∠BEO=∠CDO=90° ∴△EOB∽△DOC， 故答案为2 【点睛】本题考查了有两角对应相等的三角形相似. 15．见解析 【分析】利用等边三角形性质及已知条件，可得，根据三角形全等的判定定理得出，同理可得出，所以，可得为等边三角形，根据三角形相似的判定定理即可证明两个等边三角形相似． 【详解】解：与相似，理由如下： ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， 同理可得：， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查了相似三角形的判定、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定及性质是解题关键． 16．（1）证明见解析；（2）相似，理由见解析. 【详解】试题分析：（1）由平行四边形ABCD 对角线互相平分、已知条件OE=OB以及等边对等角推知∠BED=∠OEB+∠OED=90°，则DE⊥BE，即△BDE是直角三角形； （2）利用两角法证得△BDE与△DCE相似． 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD， ∵OE=OB， ∴OE=OD， ∴∠OBE=∠OEB，∠ODE=∠OED， ∵∠OBE+∠OEB+∠ODE+∠OED=180°， ∴∠BED=∠OEB+∠OED=90°， ∴DE⊥BE，即△BDE是直角三角形； （2）△BDE与△DCE相似． 理由如下： ∵OE⊥CD， ∴∠CEO＋∠DCE=∠CDE＋∠DCE=90°， ∴∠CEO=∠CDE， ∵∠OBE=∠OEB， ∴∠DBE=∠CDE， ∵∠BED=∠DEC=90°， ∴△BDE∽△DCE. 17．(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查相似三角形，平行四边形的知识，解题是掌握相似三角形的判定，平行四边形的性质，根据相似三角形的判定，平行四边形的性质，进行解答，即可． （1）根据题意，则，根据，等量代换，根据等边对等角，得到，再根据三角形的内角和为，即可； （2）根据，得到，再根据等边对等角，可得，根据相似三角形的判定，即可． 【详解】（1）解：证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．(1) (2) 【分析】（1）证明，即可求出． （2）根据则判断出点在以为圆心，为半径的圆上运动，当三点共线，且在上时，最小，即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵正方形与正方形， ∴，， ， ， ， ， ∴， ． （2）解：∵， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， 当三点共线，且在上时，最小，最小值． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆的概念，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是证明三角形相似． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$