专题2.4（1） 有理数的乘方（知识梳理与题型分类讲解）-2025-2026学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题2.4(1) 有理数的乘方(知识梳理与题型分类讲解) 【学习目标】 (1)精准理解有理数乘方的意义:能够清晰阐述乘方是求n个相同因数积的运算这一本质概念; (2)牢固掌握乘方相关概念:准确识别并解释底数、指数和幂的含义; (3)熟练进行有理数的乘方运算:依据乘方的意义,将乘方运算转化为乘法运算来求解. 【题型目录】 【题型一】有理数幂的概念理解.....................................................1 【题型二】乘方运算的符号规律.....................................................2 【题型三】有理数的乘方运算.......................................................4 【题型四】有理数乘方逆运算.......................................................5 【题型五】乘方的应用.............................................................6 【题型六】用科学记数法...........................................................8 【题型七】近似数.................................................................9 【题型八】直通中考...............................................................5 【题型九】拓展延伸..............................................................10 【题型展示与方法点拨】 【题型一】有理数幂的概念理解 定义:求个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂. 一般形式:,其中是底数,是指数. 【例题1】(2024七年级上 全国 专题练习)关于式子,底数是 ,指数是 ;底数是,指数是2024的幂写作 . 【答案】 3 【分析】本题考查了有理数乘方定义,熟练掌握有理数乘方的定义是解题的关键; n个相同的因数a相乘,记作,这种求n个相同因数的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂.在乘方运算中,a叫做底数,n叫做a的幂的指数,据此即可解答. 解:解根据乘方的定义可知 ,底数是,指数是3;底数是,指数是2024的幂写作, 故答案为:,3, . 【变式1】(24-25七年级上 辽宁沈阳 阶段练习)在中,指数是 ,底数是 . 【答案】 【分析】本题考查了幂的定义,根据中,是底数,是指数,即可求解. 解:在中,指数是,底数是, 故答案为,. 【变式2】(2024七年级上 全国 专题练习)表示的意义是( ) A.5个2相乘的相反数 B.与5相乘 C.2个相乘 D.2个5相乘的相反数 【答案】A 【分析】根据有理数的乘方,相反数的意义解答即可. 本题考查了乘方,相反数,熟练掌握定义是解题的关键. 解:表示的意义是5个2相乘的相反数, 故选:A. 【变式3】(24-25七年级上 四川成都 期末)杨老师在黑板上写下“”,读作: ,计算的结果是 . 【答案】 3的平方的相反数 【分析】本题考查了有理数幂的概念理解,有理数的乘方运算,正确理解有理数的乘方运算法则是解题的关键.根据有理数幂的意义,即可正确解答,根据有理数的乘方运算法则即可计算结果. 解:“”,读作:3的平方的相反数; 故答案为:3的平方的相反数; . 故答案为:. 【题型二】乘方运算的符号规律 乘方运算符号规律:(1)正数的任何次幂都是正数;(2)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;(3)0的任何正整数次幂都是0;(4)任何一个数的偶次幂都是非负数,即 。 【例题2】(23-24七年级上 黑龙江齐齐哈尔 期中)如果n是正整数,那么的值( ) A.一定是零 B.一定是正偶数 C.一定是正奇数 D.是零或正偶数 【答案】D 【分析】分为两种情况当n是偶数时,当n是奇数时,求出即可. 解:当n是偶数时,原式, 当n是奇数时,原式,是正偶数. 故选:D. 【点拨】本题考查了有理数的乘方的应用,注意要进行分类讨论是解决本题的关键. 【变式1】(23-24七年级上 全国 课堂例题)有下列各数:①;②;③;④,其中结果等于的是( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 【答案】D 【分析】根据有理数的乘方,以及相反数的求法,逐项判定即可. 解:①, ②, ③, ④, ∴其中结果等于的是:①②③④. 故选:D. 【点拨】此题主要考查了有理数的乘方,以及相反数的求法,求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”. 【变式2】(22-23七年级上 江苏扬州 阶段练习)下列各组的两个数中,运算后结果相等的是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 【答案】C 【分析】根据有理数的乘方的定义对各选项分析判断利用排除法求解. 解:A、,,不相等,故A选项错误; B、,,不相等,故B选项错误; C、,,相等,故C选项正确; D、,,不相等,故D选项错误. 故选:C. 【点拨】此题考查有理数的乘方,解题的关键在于掌握运算法则. 【题型三】有理数的乘方运算 定义:求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂. 即有:.在中,叫做底数, n叫做指数. 【例题3】(24-25七年级上 广东潮州 期末)已知与互为相反数,那么 . 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性以及相反数的定义,乘方运算,先根据相反数的定义进行列式,根据非负性质可得出,,然后代入计算即可. 解:与互为相反数, ∴, ∴,, ∴,, ∴, 故答案为:. 【变式1】(2024七年级上 全国 专题练习)计算: (1); (2); (3); (4). 【答案】(1);(2);(3);(4) 【分析】该题主要考查了有理数的乘方、乘法运算以及绝对值,解题的关键是掌握相关运算法则. (1)(3)(4)先算乘方,再算乘法. (2)先算乘方和绝对值,再算乘法. 解:(1)解:原式. (2)解:原式. (3)解:原式. (4)解:原式. 【变式2】(24-25九年级下 福建福州 开学考试)为了求的值,可令,则,因此,所以,仿照以上推理计算出的值是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方,有理数的减法运算,熟练掌握有理数的乘方,有理数的减法运算是解题的关键. 设,则,然后由即可求解. 解:设 ∴, 得: ∴,即, 故选:. 【题型四】有理数乘方逆运算 【例题4】(24-25七年级上 全国 单元测试)如果,那么 . 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的乘方的定义及法则.熟练掌握有理数的乘方的定义是解题的关键.根据有理数乘方的定义,已知等式中的相当于的5次方,由此可以求出x的值为.已知等式中的8相当于2的3次方,由此可以求出y的值为2.进而可求出的值. 解:∵, ∴, ∴. ∵, ∴, 因此. 故答案为:4. 【变式1】计算的值是( ) A. B. C.0 D. 【答案】A 【分析】乘方的运算可以利用乘法的运算来进行,运用乘法的分配律简便计算. 解:原式= = =. 故选:A. 【点拨】本题考查了乘法分配律的逆用.乘方是乘法的特例,乘方的运算可以利用乘法的运算来进行.本题运用乘法的分配律计算. 【变式2】(2022七年级 江苏 专题练习)定义一种新运算,若,则,例,.已知,则x的值为 . 【答案】56 【分析】设,根据新运算可得,从而得到,即可求解. 解:设 , ∵, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, 故答案为:56. 【点拨】本题考查有理数的混合运算、新定义,解答本题的关键是明确题意,会用新定义解答问题. 【题型五】乘方的应用 【例题5】(2024七年级上 全国 专题练习)[传统文化]《庄子》中记载:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”这句话的意思是一尺长的木棍,每天截取它的一半,永远也截不完.第1天截取它的一半,以后每天截取剩下部分的一半.若按此方式截一根长为1的木棍,第5天截取后木棍剩余的长度是 . 【答案】/ 【分析】本题主要考查分数乘法的应用以及乘方的意义,熟练掌握乘方的意义是解题的关键.根据分数乘法的意义求得剩下的长度即可得到答案. 解:由题意可知,第一次截取后剩余长度为, 第二次截取后剩余长度为, 第三次截取后剩余长度为, 第次截取后剩余长度为, 故第5天截取后木棍剩余的长度是. 故答案为:. 【变式1】(24-25七年级上 全国 假期作业)若,为有理数,下列判断正确的个数是( ) (1)的最小值是;(2)的最小值是;(3)的最大值为;(4)的最大值是. A. B. C. D. 【答案】B 【分析】此题考查绝对值的性质,偶次方的性质,最大值及最小值的确定.根据绝对值,偶次方的非负性进行判断即可. 解:, ,即的最小值是,故(1)正确; ,, 当,即时,,故的最小值不是; 当时,则,即,即,故最小值不是;故(2)不正确; 的最小值为,故(3)错误; 的最大值是,故(4)正确;. 故选:B. 【变式2】(24-25六年级上 山东济宁 期中)观察下列等式:,,,,,,,,根据上述算式中的规律,你认为的末位数字是 . 【答案】 【分析】本题考查数字的规律探索,由题中可以看出,以为底的幂的末位数字是以,,,依次循环的,利用即可知的个位数字,即可得出结论.解题的关键是找到为底的幂的末位数字的循环规律. 解:∵以为底的幂的末位数字是以,,,依次循环的, 又∵, ∴的个位数字是, ∴的末位数字是:, 即的末位数字是. 故答案为:. 把一个大于10的数表示成的形式(其中是整数数位只有一位的数,l≤||<10,是正整数),这种记数法叫做科学记数法,如=. 【题型六】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【例题6】(24-25九年级上 黑龙江绥化 阶段练习)预计今年寒假来哈尔滨旅游人数将达到308000000人次,数据308000000用科学记数法表示为 . 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法,熟练掌握科学记数法是解题的关键.根据科学记数法进行解题即可.将一个数表示成,其中,为整数. 解:308000000用科学记数法表示为, 故答案为:. 【变式1】(2025 安徽淮北 三模)《中国冰雪旅游发展报告(2025)》预测:2024—2025冰雪季,我国冰雪休闲旅游人数预计超5亿人次,旅游收入有望超过亿元.数据“亿”用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法,科学记数法的表示形式为的形式,其中,为整数.确定的值时,要看把原来的数,变成时,小数点移动了多少位,的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时,是正数;当原数的绝对值时,是负数,确定与的值是解题的关键. 解:亿. 故选:C. 【变式2】(24-25七年级上 河南开封 阶段练习)小华在做练习题时,不小心把墨水洒在了习题上,如图所示,他翻看答案后得知本题的正确答案选B,则原数中数字“3”后“0”的个数为( ) 长江是世界第三长河,也是亚洲最长的河流,全长约63米,将63用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法表示原数,科学记数法的表示形式为的形式,其中,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同. 解:, 则原数中数字“3”后“0”的个数为5, 故选:C 【题型七】近似数 近似数的定义:近似数是指与实际数值接近,但存在一定误差的数值。它是通过测量、估算或四舍五入等方法得到的与真实值相近的数,常用于无法或无需精确表示实际数值的场景。 【例题7】(24-25七年级上 河南洛阳 期末)下列说法正确的是( ) A.数精确到千分位是 B.将数精确到千位是 C.按科学记数法表示的数,其原数是 D.近似数精确到 【答案】B 【分析】本题考查了有效数字、精确度和科学记数法等知识,熟练掌握以上知识点是解答本题的关键. 根据有效数字、精确度和科学记数法等知识逐项进行判断即可. 解:A、数精确到千分位是,故A选项错误; B、将数精确到千位是,故B选项正确; C、按科学记数法表示的数,其原数是,故C选项错误; D、近似数精确到,故D选项错误; 故选:B. 【变式1】(24-25七年级上 北京 期中)圆周率是数学美的象征,它的无限不循环小数形式引发了人们对数学的好奇和探索.圆周率,用四舍五入法把精确到千分位,得到的近似值是 . 【答案】 【分析】本题考查了近似数和有效数字,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件. 根据题意,将千分位的数字四舍五入即可得出答案; 解:用四舍五入法把精确到千分位,得到的近似值是, 故答案为: 【变式2】(21-22七年级上 浙江杭州 期中)(1)将用科学记数法表示为 ; (2)把精确到十分位的近似数是 ; (3)由四舍五入得到的近似数,它表示大于或等于 ,而小于 的数. 【答案】 【分析】(1)根据科学记数法表示即可求解; (2)将百分位的9四舍五入即可求解; (3)根据近似数四舍五入法,判断范围即可求解. 解:(1)解:将用科学记数法表示为 故答案为:. (2)把精确到十分位的近似数是; 故答案为:. (3)由四舍五入得到的近似数,它表示大于或等于,而小于的数, 故答案为:;. 【点拨】本题考查了科学记数法,求近似数,掌握以上知识是解题的关键. 【题型八】直通中考 【例题1】(2024 江苏南京 中考真题)下列四个数中,是负数的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数,掌握在正数前面加负号叫做负数是解题的关键.先利用绝对值,相反数的定义及有理数乘方的运算法则,计算各数,再根据正负数的定义判断即可. 【详解】解:A.是负数,故选项A符合题意; B. 是正数,故选项B不符合题意; C. 是正数,故选项C不符合题意; D.是正数,故选项D不符合题意; 故选:A. 【例题2】(2022 湖南娄底 中考真题)若,则称是以10为底的对数.记作:.例如:,则;,则.对数运算满足:当,时,,例如:,则的值为( ) A.5 B.2 C.1 D.0 【答案】C 【分析】通过阅读自定义运算规则:,再得到 再通过提取公因式后逐步进行运算即可得到答案. 【详解】解: , 故选C 【点睛】本题考查的是自定义运算,理解题意,弄懂自定义的运算法则是解本题的关键. 【例题3】(2022 西藏 中考真题)已知,都是实数,若,则 . 【答案】 【分析】根据绝对值,偶次幂的非负性求出,,再代入计算即可. 【详解】∵, ∴,, 即,, ∴, 故答案为:. 【点睛】本题主要考查了绝对值,偶次幂的非负性,求出,的值是解本题的关键. 【题型九】拓展延伸 【例题1】(22-23七年级上 山东济南 期末)记:,,,…,. (1)计算的值; (2)计算的值; (3)猜想与的关系. 【答案】(1);(2)0;(3)互为相反数 【分析】(1)根据已知算式即可求解; (2)观察已知算式发现规律即可求值; (3)分两种情况讨论,当为奇数和偶数时,为偶数和奇数,进而可以说明. 解:(1)解:(1), , , , 的值为:; (2)的值为: ; (3)与的关系:互为相反数的关系.理由如下: , , 当为奇数时,为偶数, 与互为相反数; 当为偶数时,为奇数, 与互为相反数; 所以与的关系:互为相反数的关系. 【点拨】本题考查了规律型数字的变化类,解决本题的关键是观察已知条件寻找规律并运用规律. 【例题2】(24-25七年级上 湖北黄冈 期中)观察下列等式:,,,,,,…根据其中的规律可得的结果的个位数字是 . 【答案】8 【分析】本题考查了有理数乘方的规律型问题.熟练掌握个位数字的变化规律,确定循环组及组数,是解题关键. 观察发现个位数字是以1、7、9、3为一个循环组,再根据即可得的个位数是7,计算即得个位数字. 解:∵,,,,,,… ∴每4个数为一个循环组, ∵, ∴的个位数是7, ∴, 故的个位数字为:8. 【例题3】(24-25七年级上 广东深圳 期中)在一次综合实践活动课上,张老师给每位同学各发了一张正方形纸片,请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值. 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后,进行了如下操作:如图1,将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分,第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半,第②部分是第①部分面积的一半,第③部分是第②部分面积的一半,,依次类推,则图1中空白部分的面积为. “破浪”小组是这样思考的:设, 将等式两边同时乘以得:, 将上式减去下式得,即,即. 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ,= . (2)请你利用图2,再设计能求的值的几何图形.(只画出图形即可) (3)根据以上规律, ① .(为正整数) ② .(为正整数) 【答案】(1),;(2)如图所示(标序号部分)即为所求:(3)①;② 【分析】(1)阴影部分的面积等于部分⑥的面积; (2)依照题目的示范作图即可; (3)①利用数形结合的思想,用整个正方形的面积减去阴影部分的面积即可确定答案;②利用整体思想,令将等式两边同时乘以得:,两式子相减,即可得出答案. 解:(1)由题知, 正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半, 所以图中阴影部分的面积与部分⑥的面积相等. 又因为部分①的面积为:, 部分②的面积为:, 部分③的面积为:, …, 依次类图,部分n的面积为. 当时, . 所以阴影部分的面积为. ∵, ∴. 故答案为:;. (2)如图所示(标序号部分)即为:求的值的几何图形 (3)①根据(2)中的发现可知, . 故答案为:. ②令 将等式两边同时乘以得:, 将②式减去①式得,即. 故答案为:. 【点拨】本题考查图形变化的规律,数形结合思想以及整体思想的巧妙运用是解题的关键. 1 学科网(北京)股份有限公司 $$ 专题2.4（1） 有理数的乘方（知识梳理与题型分类讲解） 【学习目标】 （1）精准理解有理数乘方的意义：能够清晰阐述乘方是求n个相同因数积的运算这一本质概念； （2）牢固掌握乘方相关概念：准确识别并解释底数、指数和幂的含义； （3）熟练进行有理数的乘方运算：依据乘方的意义，将乘方运算转化为乘法运算来求解. 【题型目录】 【题型一】有理数幂的概念理解.....................................................1 【题型二】乘方运算的符号规律.....................................................1 【题型三】有理数的乘方运算.......................................................2 【题型四】有理数乘方逆运算.......................................................2 【题型五】乘方的应用.............................................................2 【题型六】用科学记数法...........................................................3 【题型七】近似数.................................................................3 【题型八】直通中考...............................................................4 【题型九】拓展延伸...............................................................5 【题型展示与方法点拨】 【题型一】有理数幂的概念理解 定义：求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 一般形式：，其中是底数，是指数. 【例题1】（2024七年级上·全国·专题练习）关于式子，底数是 ，指数是 ；底数是，指数是2024的幂写作 ． 【变式1】（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在中，指数是 ，底数是 ． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）表示的意义是（ ） A．5个2相乘的相反数 B．与5相乘 C．2个相乘 D．2个5相乘的相反数 【题型二】乘方运算的符号规律 乘方运算符号规律：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 。 【例题2】（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如果n是正整数，那么的值（    ） A．一定是零 B．一定是正偶数 C．一定是正奇数 D．是零或正偶数 【变式1】（23-24七年级上·全国·课堂例题）有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式2】（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【题型三】有理数的乘方运算 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 即有：.在中，叫做底数， n叫做指数. 【例题3】（24-25七年级上·广东潮州·期末）已知与互为相反数，那么 ． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】（24-25九年级下·福建福州·开学考试）为了求的值，可令，则，因此，所以，仿照以上推理计算出的值是（　　） A． B． C． D． 【题型四】有理数乘方逆运算 【例题4】（24-25七年级上·全国·单元测试）如果，那么 ． 【变式1】计算的值是（        ） A． B． C．0 D． 【变式2】（2022七年级·江苏·专题练习）定义一种新运算，若，则，例，．已知，则x的值为 ． 【题型五】乘方的应用 【例题5】（2024七年级上·全国·专题练习）［传统文化］《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．第1天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是 ． 【变式1】（24-25七年级上·全国·假期作业）若，为有理数，下列判断正确的个数是（　　） （1）的最小值是；（2）的最小值是；（3）的最大值为；（4）的最大值是． A． B． C． D． 【变式2】（24-25六年级上·山东济宁·期中）观察下列等式：，，，，，，，，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如＝. 【题型六】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【例题6】（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）预计今年寒假来哈尔滨旅游人数将达到308000000人次，数据308000000用科学记数法表示为 ． 【变式1】（2025·安徽淮北·三模）《中国冰雪旅游发展报告（2025）》预测：2024—2025冰雪季，我国冰雪休闲旅游人数预计超5亿人次，旅游收入有望超过亿元．数据“亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·河南开封·阶段练习）小华在做练习题时，不小心把墨水洒在了习题上，如图所示，他翻看答案后得知本题的正确答案选B，则原数中数字“3”后“0”的个数为（   ） 长江是世界第三长河，也是亚洲最长的河流，全长约63米，将63用科学记数法表示为（   ） A．  B．  C．  D． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【题型七】近似数 近似数的定义：近似数是指与实际数值接近，但存在一定误差的数值。它是通过测量、估算或四舍五入等方法得到的与真实值相近的数，常用于无法或无需精确表示实际数值的场景。 【例题7】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．数精确到千分位是 B．将数精确到千位是 C．按科学记数法表示的数，其原数是 D．近似数精确到 【变式1】（24-25七年级上·北京·期中）圆周率是数学美的象征，它的无限不循环小数形式引发了人们对数学的好奇和探索．圆周率，用四舍五入法把精确到千分位，得到的近似值是 ． 【变式2】（21-22七年级上·浙江杭州·期中）（1）将用科学记数法表示为 ； （2）把精确到十分位的近似数是 ； （3）由四舍五入得到的近似数，它表示大于或等于 ，而小于 的数． 【题型八】直通中考 【例题1】（2024·江苏南京·中考真题）下列四个数中，是负数的是（   ） A． B． C． D． 【例题2】（2022·湖南娄底·中考真题）若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（    ） A．5 B．2 C．1 D．0 【例题3】（2022·西藏·中考真题）已知，都是实数，若，则 ． 【题型九】拓展延伸 【例题1】（22-23七年级上·山东济南·期末）记：，，，…，． (1)计算的值； (2)计算的值； (3)猜想与的关系． 【答案】(1) 【例题2】（24-25七年级上·湖北黄冈·期中）观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是 ． 【例题3】（24-25七年级上·广东深圳·期中）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ，= ． (2)请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可） (3)根据以上规律， ① ．（为正整数） ② ．（为正整数） 【答案】(1)， (2)如图所示（标序号部分）即为所求： (3)①；② 【分析】（1）阴影部分的面积等于部分⑥的面积； （2）依照题目的示范作图即可； （3）①利用数形结合的思想，用整个正方形的面积减去阴影部分的面积即可确定答案；②利用整体思想，令将等式两边同时乘以得：，两式子相减，即可得出答案． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$