专题2.3（2) 有理数的乘法与除法（分层专项练习）-2025-2026学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题2.4（2) 有理数的乘法与除法（分层专项练习） 本专题分夯实基础和拓展培优两部分，其中夯实基础满分72分，拓展培优满分48分，合计120分；建议完成时间40——60分钟. 第一卷【夯实基础】 1、 选择题（每小题3分，共24分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 1．（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）2025的相反数的倒数是（　　） A．2025 B． C．-2025 D． 2．（24-25九年级下·吉林长春·期中）对于两个有理数，如果，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定的正负 3．（24-25七年级上·福建福州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·广东梅州·阶段练习）若， 则（         ） A． B． C．与m互为相反数 D．m的倒数为 5．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．海拔每升高100米，气温约下降．有一座海拔为2850米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是，则此时山顶的气温约为（   ） A． B． C． D． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）下面各题中，运算顺序和的运算顺序一样的是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）若定义新运算，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题（每小题3分，共18分） 9．（23-24七年级上·青海海东·阶段练习）与相乘得的数是 ． 10．（2020·河北石家庄·模拟预测）计算： ． 11．（24-25七年级上·云南·期中）定义是有理数范围内的一种运算，则的值为 ． 12．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）小刚遇到这样一道题：，觉得直接计算括号内通分较为复杂，经过思考后他采用先计算：的方法．小刚之所以这样计算是发现它们的结果的数量关系是 ，计算的结果是 ． 13．（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）将有理数①；②；③；④；⑤；⑥填入如图所示的集合中，那么集合应填的数是 ．（填序号即可） 14．（2024七年级上·全国·专题练习）【学习情境·数值转换机】下图是一数值转换机，输入数值后按两个方框中的程序运算，若运算结果大于，可以输出结果；若运算结果不大于，则将得到的结果重新输入，进行运算，直到运算结果大于时输出运算结果．当输入数为时，最终输出的结果是 ．    三、解答题（4题共计30分） 15.（6分）（24-25七年级下·四川绵阳·开学考试）计算： （1）； （2）． 16.（8分）（24-25七年级上·河南洛阳·期末）计算 （1） （2） 17.（8分）（24-25七年级上·湖北恩施·期中）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，且． （1）求与的值． （2）化简：． 18.（8分）（24-25七年级上·广西柳州·期中）一天下午，某出租车以希望小学为出发点在东西方向营运，行车情况依先后次序记录如下（向东为正方向，单位：）： ，，，，，，，． （1）将最后一名乘客送到目的地，出租车在出发点位置的东边还是西边？离出发点多远？ （2）若出租车在行驶过程中，每千米耗油升，出租车一下午共耗油多少升？ 第二卷【拓展培优】 四、选择题（每小题3分，共12分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 19．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）现有这样一种算法程序，任意输入一个数后会不断地反复进行“先乘以，后加上4”的运算，即若输入2，通过第一次运算输出，随后输入，通过第二次运算输出，随后输入，……，一直这样运算下去，运算结果会越来越接近于（   ） A． B． C． D． 21．（2024·河北·模拟预测）如果三个连续整数n、、的和等于它们的积，那么我们把这三个整数称为“和谐数组”，下列n的值不满足“和谐数组”条件的是（    ） A． B． C．1 D．3 22．（23-24七年级上·江苏常州·期中）已知有理数，则在数轴上表示的点在原点右侧的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 五、填空题（每小题3分，共12分） 23．（23-24七年级上·河南商丘·开学考试）的运算结果与的运算结果相差 24．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个有理数，如果任意相邻三个台阶上数的和都相等，回答下列问题． （1） ； （2）若前个台阶上所标有理数之和是，则的值为 ． 25．（22-23七年级上·浙江丽水·期中）如图，将一条长为的卷尺铺平放置在数轴上，使得刻度线和刻度线分别落在数轴上表示数和数10的点上. （1）数轴的原点对应的是卷尺上 cm的刻度线； （2）将卷尺沿直线向右折叠，使得刻度线与刻度线重合，此时刻度线在数轴上对应点表示的数是 . 26．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）游乐场里有五台抓娃娃机同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 故障抓娃娃机序号 第一台 第二台 第三台 第四台 第五台 修复时间（分钟） 15 8 23 7 10 若每台抓娃娃机停止使用一分钟经济损失元，修复后即可投入使用．现只有一名检修工，且每次只能修理一台故障抓娃娃机，若出现故障立即开始修复，则游乐场最少经济损失为 元． 六、解答题（12×2=24分） 27.（12分）（24-25七年级上·甘肃白银·期中）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项． 【类比探究】（）猜想并写出：__________． 【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：． 【拓展提高】（）计算：． 28.（12分）（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则，在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考，下面请探索思考． 【探索】 （1）若，则的值为：①负数；②正数；③0．你认为结果可能为______（只填序号） （2）若，且a、b为整数，则的最大值为______． 【拓展】 （3）数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，若，试比较与0的大小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4（2） 有理数的乘法与除法（分层专项练习） 本专题分夯实基础和拓展培优两部分，其中夯实基础满分72分，拓展培优满分48分，合计120分；建议完成时间40——60分钟. 第一卷【夯实基础】 1、 选择题（每小题3分，共24分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 1．（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）2025的相反数的倒数是（　　） A．2025 B． C．-2025 D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数和倒数的概念，掌握相反数的和倒数的定义成为解题的关键． 先确定2025的相反数，再求其倒数即可． 解：2025的相反数是． 的倒数为． ∴2025的相反数的倒数是，对应选项B． 故选B． 2．（24-25九年级下·吉林长春·期中）对于两个有理数，如果，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定的正负 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，根据题意，由，可判断a，b异号，然后根据有理数的乘法运算法则，有理数的加法运算法则判断即可． 解：∵， ∴a，b异号， 当正数的绝对值较大时，如，则，此时选项A正确； 当a，b的绝对值相等时，如，则，此时选项B正确； 当负数的绝对值较大时，如，则，此时选项C正确； 由于题目未限定a，b的具体值，上述三种均可能出现，因此无法确定的正负，故选项D正确． 故选：D． 3．（24-25七年级上·福建福州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了有理数的运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．根据有理数的加减乘除运算法则计算即可． 解：A、，故本选项计算错误，不符合题意； B、，故本选项计算错误，不符合题意； C、，故本选项计算正确，符合题意； D、，故本选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25七年级上·广东梅州·阶段练习）若， 则（         ） A． B． C．与m互为相反数 D．m的倒数为 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的定义，根据，得到，再根据相反数的定义，倒数的定义及有理数除法运算，逐一判断即可． 解：， ，故A选项错误； 当时，与无意义，故B，D选项错误； 与m互为相反数，故C选项正确，符合题意； 故选：C． 5．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．海拔每升高100米，气温约下降．有一座海拔为2850米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是，则此时山顶的气温约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数运算的应用，正确理解题意、列出算式是解题的关键． 根据：每升高100米，气温约下降列出算式解答即可． 解：由题意得： ， 故选：A． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）下面各题中，运算顺序和的运算顺序一样的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，的运算顺序是按照从左到右的运算顺序；找出这样运算顺序的选项即可． 解：A．，先算乘法，再算减法，不是按照从左到右的运算顺序，故A不符合题意； B．，先算括号里面的加法，再算除法，不是从左到右的运算顺序，故B不符合题意； C．，先算减法，再算加法，是按照从左到右的运算顺序，故C符合题意； D．，先算除法，再算加法，不是按照从左到右的运算顺序，故D不符合题意． 故选：C． 7．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）若定义新运算，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是定义新运算的题目，正确理解定义新运算的意义是解题的关键．根据定义的新运算，可得，根据有理数的乘法和减法法则计算即可求解． 解：∵， ∴， 故选：C． 8．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，有理数的乘法，加减法计算，绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据数轴得到，即可判断每个选项． 解：由数轴可得：， ∴，，，， 故选：D． 2、 填空题（每小题3分，共18分） 9．（23-24七年级上·青海海东·阶段练习）与相乘得的数是 ． 【答案】 【分析】用除以即可解题． 解： 故答案为：． 【点拨】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键． 10．（2020·河北石家庄·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的乘法运算律，利用乘法分配律计算即可． 解：， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·云南·期中）定义是有理数范围内的一种运算，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，首先理解的运算法则，利用运算法则去求最后的结果即可，解题关键是正确理解定义的新运算，然后根据运算法则即可解决问题． 解：， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）小刚遇到这样一道题：，觉得直接计算括号内通分较为复杂，经过思考后他采用先计算：的方法．小刚之所以这样计算是发现它们的结果的数量关系是 ，计算的结果是 ． 【答案】 互为倒数 / 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据题意可知，与互为倒数，然后计算出的结果，即可求得的结果． 解：与互为倒数， ， 的结果是， 故答案为：互为倒数；． 13．（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）将有理数①；②；③；④；⑤；⑥填入如图所示的集合中，那么集合应填的数是 ．（填序号即可） 【答案】⑥ 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，化简多重符号，有理数的分类，先根据有理数的四则运算法则求出对应的数，再根据题意可知集合P表示的是负分数，据此可得答案． 解：，，，，，， 根据题意可知集合P表示的是负分数， ∴集合P出应填的数是⑥， 故答案为：⑥． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）【学习情境·数值转换机】下图是一数值转换机，输入数值后按两个方框中的程序运算，若运算结果大于，可以输出结果；若运算结果不大于，则将得到的结果重新输入，进行运算，直到运算结果大于时输出运算结果．当输入数为时，最终输出的结果是 ．    【答案】320 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是根据流程图，输入值进行计算，直到满足程序流程图的输出，即可． 解：由题意得，当输入时，可得， 故继续输入，可得， 故继续输入，， 故继续输入，， ∴输出结果为． 故答案为：． 三、解答题（4题共计30分） 15.（6分）（24-25七年级下·四川绵阳·开学考试）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）23；（2）41． 【分析】（1）先算乘法，最后算减法． （2）先将除法转化成乘法，然后根据乘法分配律计算即可． 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 解：（1） （2） 16.（8分）（24-25七年级上·河南洛阳·期末）计算 （1） （2） 【答案】（1）17；（2） 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）先计算乘除，然后计算加减； （2）先计算乘法，然后计算加减． 解：（1）解： ； （2）解： ． 17.（8分）（24-25七年级上·湖北恩施·期中）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，且． （1）求与的值． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据数轴可得，再由得到，据此求解即可； （2）由数轴可知，据此化简绝对值并计算求解即可． 解：（1）解：∵，且， ∴， ∴； （2）解：由数轴可知， ∴， ∴ ． 【点拨】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则混合计算，有理数的除法和加法计算，化简绝对值等等，熟练掌握相关计算法则是解题的关键． 18.（8分）（24-25七年级上·广西柳州·期中）一天下午，某出租车以希望小学为出发点在东西方向营运，行车情况依先后次序记录如下（向东为正方向，单位：）： ，，，，，，，． （1）将最后一名乘客送到目的地，出租车在出发点位置的东边还是西边？离出发点多远？ （2）若出租车在行驶过程中，每千米耗油升，出租车一下午共耗油多少升？ 【答案】（1）出租车离山发点，且在出发点的东方；（2） 【分析】本题考查正数与负数，理解正数与负数的意义是正确解答的前提，掌握绝对值的意义是解决问题的关键． （1）计算这些数据的和，根据“和”的符号、绝对值进行判断即可； （2）求出行驶路程，即这些数绝对值的和，再进行计算即可； 解：（1）解：， 因此将最后一名乘客送到目的地，出租车离山发点，且在出发点的东方； （2）解：， 升， 答：出租车一下午共耗油升； 第二卷【拓展培优】 四、选择题（每小题3分，共12分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 19．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的四则运算．熟练掌握有理数的运算法则，是解题的关键．根据有理数的计算法则，逐一进行计算，判断即可． 解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误． 故选：C． 20．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）现有这样一种算法程序，任意输入一个数后会不断地反复进行“先乘以，后加上4”的运算，即若输入2，通过第一次运算输出，随后输入，通过第二次运算输出，随后输入，……，一直这样运算下去，运算结果会越来越接近于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方、代数式的运算，理解新算法，熟练掌握有理数的混合运算是解题关键． 先计算前几组数据，找到规律，根据规律求解即可； 解：若输入的数为， 则第一次运算结果为：， 第二次运算结果为：， 第三次运算结果为， 第（为奇数时）次运算结果为， 第（为偶数时）次运算结果为 当一直这样运算下去，运算结果会越来越接近于； 故选：B 21．（2024·河北·模拟预测）如果三个连续整数n、、的和等于它们的积，那么我们把这三个整数称为“和谐数组”，下列n的值不满足“和谐数组”条件的是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】根据题意，逐个判断出所给的值，是否满足三个连续整数的和等于它们的积，进而判断出哪个的值不满足“和谐数组”条件即可． 此题主要考查了数字规律类“和谐数组”，解答此题的关键是判断出所给的值，是否满足三个连续整数的和等于它们的积． 解：A、当时， ， ， ∵ ， ∴满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意； B、当时， ， ， ∵ ， ∴满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意； C、当时， ， ， ∵ ， ∴满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意； D、当时， ， ， ∵， ∴不满足“和谐数组”条件，故选项符合题意． 故选：D． 22．（23-24七年级上·江苏常州·期中）已知有理数，则在数轴上表示的点在原点右侧的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了有理数符号的判断，需分类讨论，当同号时，当异号且时，当异号且时，分别判断即可． 解：当同号时，是负数，是正数， 所以在数轴上表示的点在原点右侧的个数为1个， 当异号且时，中有一个是正数，是负数， 所以在数轴上表示的点在原点右侧的个数为1个， 当异号且时，中有一个是正数，是负数， 所以在数轴上表示的点在原点右侧的个数为1个， 综上所述，在数轴上表示的点在原点右侧的个数为1个． 故选：B． 五、填空题（每小题3分，共12分） 23．（23-24七年级上·河南商丘·开学考试）的运算结果与的运算结果相差 【答案】 【分析】本题主要考查整数乘法和加减混合运算，根据乘法分配律求得第一个式子的值，再与第二个作差即可． 解：， 则运算结果相差， 故答案为：． 24．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个有理数，如果任意相邻三个台阶上数的和都相等，回答下列问题． （1） ； （2）若前个台阶上所标有理数之和是，则的值为 ． 【答案】 3 610 【分析】本题考查有理数的运算： （1）根据任意相邻三个台阶上数的和都相等，得到求出即可； （2）先求出，进而求出相邻三个数的和，根据每三个数一循环，且和等于，进行计算即可． 解：（1）∵任意相邻三个台阶上数的和都相等， ； （2） 每三个数一循环，且和等于 ， ． 故答案为：3，610． 25．（22-23七年级上·浙江丽水·期中）如图，将一条长为的卷尺铺平放置在数轴上，使得刻度线和刻度线分别落在数轴上表示数和数10的点上. （1）数轴的原点对应的是卷尺上 cm的刻度线； （2）将卷尺沿直线向右折叠，使得刻度线与刻度线重合，此时刻度线在数轴上对应点表示的数是 . 【答案】 40 4 【分析】（1）求出数轴上的一个单位长度为，进而可得原点对应的卷尺上的刻度线； （2）根据刻度线与刻度线重合，可知直线过卷尺的刻度线，所以刻度线与刻度线重合，即可求出答案． 解：（1）∵刻度线和刻度线分别落在数轴上表示数和数10的点上， ∴数轴上的一个单位长度为， ∵， ∴数轴的原点对应的是卷尺上的刻度线， 故答案为：40； （2）刻度线与刻度线重合， 直线过卷尺的刻度线， 刻度线与刻度线重合， 刻度线在数轴上对应点表示的数是． 故答案为：4． 【点拨】本题考查了数轴，有理数混合运算的实际应用，熟练掌握数轴特点是解题的关键． 26．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）游乐场里有五台抓娃娃机同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 故障抓娃娃机序号 第一台 第二台 第三台 第四台 第五台 修复时间（分钟） 15 8 23 7 10 若每台抓娃娃机停止使用一分钟经济损失元，修复后即可投入使用．现只有一名检修工，且每次只能修理一台故障抓娃娃机，若出现故障立即开始修复，则游乐场最少经济损失为 元． 【答案】300 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，要使游乐场经济最少，则要使总停产的时间尽量短，则先修复时间短的，据此求出总修复时间即可得到答案． 解：∵要使游乐场经济最少， ∴要使总停产的时间尽量短，则先修复时间短的， ∴游乐场最少经济损失为元， 故答案为：300． 六、解答题（12×2=24分） 27.（12分）（24-25七年级上·甘肃白银·期中）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项． 【类比探究】（）猜想并写出：__________． 【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：． 【拓展提高】（）计算：． 【答案】（1），（2），（3） 【分析】（）根据题中材料即可求解； （）根据（）中的裂项方法，把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算； （）根据（）中的裂项方法，把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算； 本题考查了有理数的四则混合运算，掌握裂项法是解题的关键． 解：（）猜想并写出：， 故答案为：； （）原式 ； （）原式 ． 28.（12分）（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则，在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考，下面请探索思考． 【探索】 （1）若，则的值为：①负数；②正数；③0．你认为结果可能为______（只填序号） （2）若，且a、b为整数，则的最大值为______． 【拓展】 （3）数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，若，试比较与0的大小． 【答案】（1）①②③；（2）16；（3）见分析 【分析】本题主要考查的是有理数的加法和有理数的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）为负数，则只要有一个负数，然后分类计算即可； （2）要使最大，则，必须同为负号，然后，利用有理数的乘法法则进行计算即可； （3），则只要有一个为正数，然后分类讨论即可． 解：（1）若，，则，则①成立； 若，，则，则②成立； 若，，则，则③成立． 故答案为：①②③． （2），且、为整数，要使得的最大值，则，必须同为负号， ， 的最大值为16． 故答案为：16． （3）， 、至少有一个正数， 当、都为正数时，为正，， ②当一个为正数、另一个为0时，， ③当一个为正数、另一个为负数；且正数的绝对值大于负数的绝对值时，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$